Generalizações da derivada - Generalizations of the derivative

Em matemática , a derivada é uma construção fundamental do cálculo diferencial e admite muitas generalizações possíveis nos campos da análise matemática , combinatória , álgebra e geometria .

Derivados em análise

Na análise real, complexa e funcional, as derivadas são generalizadas para funções de várias variáveis reais ou complexas e funções entre espaços vetoriais topológicos . Um caso importante é a derivada variacional no cálculo das variações . A aplicação repetida de diferenciação leva a derivados de ordem superior e operadores diferenciais.

Cálculo multivariável

A derivada é freqüentemente encontrada pela primeira vez como uma operação em uma única função real de uma única variável real. Uma das configurações mais simples para generalizações é vetorizar funções com valor de várias variáveis (na maioria das vezes, o domínio também forma um espaço vetorial). Este é o campo do cálculo multivariável .

No cálculo de uma variável, dizemos que uma função é diferenciável em um ponto x se o limite ${\ displaystyle f: \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R}}$

{\ displaystyle \ lim _ {h \ to 0} {\ frac {f (x + h) -f (x)} {h}}}

existe. Seu valor é então a derivada ƒ '( x ). Uma função é diferenciável em um intervalo se for diferenciável em todos os pontos do intervalo. Como a linha é tangente à função original no ponto, a derivada pode ser vista como uma maneira de encontrar a melhor aproximação linear de uma função. Se um ignora o termo constante, configuração , G ( z ) torna-se uma real operador linear em R considerada como um espaço vector sobre si mesmo. ${\ displaystyle L (z) = f '(x) (zx) + f (x)}$ ${\ displaystyle (x, f (x)),}$ ${\ displaystyle L (z) = f '(x) z}$

Isso motiva a seguinte generalização para mapeamento de funções para : ƒ é diferenciável em x se existe um operador linear A ( x ) (dependendo de x ) tal que ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {m}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$

{\ displaystyle \ lim _ {\ | h \ | \ to 0} {\ frac {\ | f (x + h) -f (x) -A (x) h \ |} {\ | h \ |}} = 0.}

Embora essa definição talvez não seja tão explícita quanto a anterior, se tal operador existe, ele é único e, no caso unidimensional, coincide com a definição original. (Neste caso, a derivada é representada por uma matriz 1 por 1 consistindo na única entrada f ' ( x ).) Observe que, em geral, nos preocupamos principalmente com funções sendo diferenciáveis em alguma vizinhança aberta de em vez de em pontos individuais, pois não fazê-lo tende a levar a muitos contra-exemplos patológicos . ${\ displaystyle x}$

Uma matriz n por m , do operador linear A ( x ) é conhecida como matriz Jacobiana J _x (ƒ) do mapeamento ƒ no ponto x . Cada entrada desta matriz representa uma derivada parcial , especificando a taxa de mudança de uma coordenada de alcance em relação a uma mudança em uma coordenada de domínio. Obviamente, a matriz Jacobiana da composição g _° f é um produto das matrizes Jacobianas correspondentes: J _x ( g _° f ) = J _{ƒ (}_x₎ ( g ) J _x (ƒ). Esta é uma afirmação de dimensão superior da regra da cadeia .

Para funções com valores reais de R ⁿ a R ( campos escalares ), a derivada total pode ser interpretada como um campo vetorial denominado gradiente . Uma interpretação intuitiva do gradiente é que ele aponta "para cima": em outras palavras, ele aponta na direção de aumento mais rápido da função. Ele pode ser usado para calcular derivadas direcionais de funções escalares ou direções normais.

Várias combinações lineares de derivadas parciais são especialmente úteis no contexto de equações diferenciais definidas por uma função de valor vetorial R ⁿ a R ⁿ . A divergência dá uma medida de quanta "fonte" ou "afundamento" perto de um ponto existe. Ele pode ser usado para calcular o fluxo pelo teorema da divergência . O curl mede quanta " rotação " um campo vetorial tem perto de um ponto.

Para funções com valor vetorial de R a R ⁿ (ou seja, curvas paramétricas ), pode-se obter a derivada de cada componente separadamente. A derivada resultante é outra função com valor vetorial. Isso é útil, por exemplo, se a função com valor de vetor é o vetor de posição de uma partícula ao longo do tempo, então a derivada é o vetor de velocidade da partícula ao longo do tempo.

A derivada convectiva leva em consideração as mudanças devido à dependência do tempo e ao movimento através do espaço ao longo do campo vetorial.

Análise convexa

O subderivado e o subgradiente são generalizações das funções derivada para convexas .

Derivadas de ordem superior e operadores diferenciais

Pode-se iterar o processo de diferenciação, ou seja, aplicar derivadas mais de uma vez, obtendo derivadas de segunda e superior ordem. Uma ideia mais sofisticada é combinar várias derivadas, possivelmente de ordens diferentes, em uma expressão algébrica, um operador diferencial . Isso é especialmente útil ao considerar equações diferenciais lineares ordinárias com coeficientes constantes. Por exemplo, se f ( x ) é uma função duas vezes diferenciável de uma variável, a equação diferencial

{\ displaystyle f '' + 2f'-3f = 4x-1}

pode ser reescrito na forma

{\ displaystyle L (f) = 4x-1,}

Onde

{\ displaystyle L = {\ frac {d ^ {2}} {dx ^ {2}}} + 2 {\ frac {d} {dx}} - 3}

é um operador diferencial de coeficiente constante linear de segunda ordem que atua nas funções de x . A ideia chave aqui é que consideramos uma combinação linear particular de zero, derivadas de primeira e segunda ordem "todas de uma vez". Isso nos permite pensar no conjunto de soluções desta equação diferencial como uma "antiderivada generalizada" de seu lado direito 4 x - 1, por analogia com a integração ordinária , e escrever formalmente

{\ displaystyle f (x) = L ^ {- 1} (4x-1).}

Derivadas mais altas também podem ser definidas para funções de várias variáveis, estudadas em cálculo multivariável . Nesse caso, em vez de aplicar repetidamente a derivada, aplica-se repetidamente as derivadas parciais em relação a diferentes variáveis. Por exemplo, os derivados de segunda ordem parciais de uma função escalar de n variáveis podem ser organizados em uma N por N da matriz, a matriz de Hesse . Um dos pontos sutis é que as derivadas superiores não são intrinsecamente definidas e dependem da escolha das coordenadas de uma maneira complicada (em particular, a matriz Hessiana de uma função não é um tensor ). No entanto, derivadas superiores têm aplicações importantes para a análise de extremos locais de uma função em seus pontos críticos . Para uma aplicação avançada desta análise à topologia de variedades , consulte a teoria de Morse .

Como no caso das funções de uma variável, podemos combinar derivadas parciais de primeira ordem e de ordem superior para chegar a uma noção de um operador diferencial parcial . Alguns desses operadores são tão importantes que têm seus próprios nomes:

O operador Laplace ou Laplaciano em R ³ é um operador diferencial parcial de segunda ordem $Δ$ dado pela divergência do gradiente de uma função escalar de três variáveis, ou explicitamente como ${\ displaystyle \ Delta = {\ frac {\ parcial ^ {2}} {\ parcial x ^ {2}}} + {\ frac {\ parcial ^ {2}} {\ parcial y ^ {2}}} + {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial z ^ {2}}}.}$ Operadores análogos podem ser definidos para funções de qualquer número de variáveis.
O d'Alembertiano ou operador de onda é semelhante ao Laplaciano, mas atua sobre funções de quatro variáveis. Sua definição usa o tensor métrico indefinido do espaço de Minkowski , em vez do produto escalar euclidiano de R ³ : ${\ displaystyle \ square = {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial x ^ {2}}} + {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial y ^ {2}}} + {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial z ^ {2}}} - {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial t ^ {2}}}.}$

Derivadas fracas

Dada uma função que é localmente integrável , mas não necessariamente classicamente diferenciável, uma derivada fraca pode ser definida por meio de integração por partes . Primeiro defina as funções de teste, que são infinitamente diferenciáveis e compactamente suportadas , e os multi-índices , que são listas de comprimento de inteiros com . Aplicado a funções de teste ,. Então, a derivada fraca de existe se houver uma função tal que para todas as funções de teste , temos ${\ displaystyle u: \ mathbb {R} ^ {n} \ to \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle \ varphi \ in C_ {c} ^ {\ infty} \ left (\ mathbb {R} ^ {n} \ right)}$ ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle \ alpha = (\ alpha _ {1}, \ dots, \ alpha _ {n})}$ ${\ textstyle | \ alpha |: = \ sum _ {1} ^ {n} \ alpha _ {i}}$ ${\ textstyle D ^ {\ alpha} \ varphi: = {\ frac {\ partial ^ {| \ alpha |} \ varphi} {\ partial x_ {1} ^ {\ alpha _ {1}} \ dotsm x_ {n } ^ {\ alpha _ {n}}}}}$ ${\ textstyle \ alpha ^ {\ text {th}}}$ ${\ displaystyle u}$ ${\ displaystyle v: \ mathbb {R} ^ {n} \ to \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle \ varphi}$

{\ displaystyle \ int _ {\ mathbb {R} ^ {n}} u \ D ^ {\ alpha} \! \ varphi \ dx = (- 1) ^ {| \ alpha |} \ int _ {\ mathbb { R} ^ {n}} v \ \ varphi \ dx}

Se tal função existe, então , que é única em quase todos os lugares . Essa definição coincide com a derivada clássica para funções e pode ser estendida a um tipo de funções generalizadas chamadas distribuições , o espaço dual das funções de teste. Derivadas fracas são particularmente úteis no estudo de equações diferenciais parciais e dentro de partes da análise funcional. ${\ displaystyle D ^ {\ alpha} u: = v}$ ${\ displaystyle u \ in C ^ {| \ alpha |} \ left (\ mathbb {R} ^ {n} \ right)}$

Análise em fractais

Laplacianos e equações diferenciais podem ser definidos em fractais .

Derivados fracionários

Além de n- ésimas derivadas para qualquer número natural n , existem várias maneiras de definir derivadas de ordens fracionárias ou negativas, que são estudadas no cálculo fracionário . A derivada de ordem −1 corresponde à integral, de onde o termo difereintegral .

Análise complexa

Na análise complexa , os objetos centrais de estudo são funções holomórficas , que são funções de valor complexo nos números complexos que satisfazem uma definição adequadamente estendida de diferenciabilidade .

A derivada Schwarziana descreve como uma função complexa é aproximada por um mapa linear fracionário , da mesma forma que uma derivada normal descreve como uma função é aproximada por um mapa linear.

As derivadas de Wirtinger são um conjunto de operadores diferenciais que permitem a construção de um cálculo diferencial para funções complexas que é inteiramente análogo ao cálculo diferencial ordinário para funções de variáveis reais.

Análise quaterniônica

Na análise quaterniônica , as derivadas podem ser definidas de maneira semelhante às funções reais e complexas. Uma vez que os quatérnions não são comutativos, o limite do quociente de diferença produz duas derivadas diferentes: Uma derivada esquerda ${\ displaystyle \ mathbb {H}}$

{\ displaystyle \ lim _ {h \ to 0} \ left [h ^ {- 1} \, \ left (f \ left (a + h \ right) -f \ left (a \ right) \ right) \ right ]}

e um derivado certo

{\ displaystyle \ lim _ {h \ to 0} \ left [\ left (f \ left (a + h \ right) -f \ left (a \ right) \ right) \, h ^ {- 1} \ right ] ~.}

A existência desses limites são condições muito restritivas. Por exemplo, se tiver derivadas à esquerda em todos os pontos de um conjunto conectado aberto , então para . ${\ displaystyle f: \ mathbb {H} \ to \ mathbb {H}}$ ${\ displaystyle U \ subset \ mathbb {H}}$ ${\ displaystyle f (q) = a + q \, b}$ ${\ displaystyle a, \, b \ in \ mathbb {H}}$

Análise funcional

Na análise funcional , a derivada funcional define a derivada em relação a uma função de um funcional em um espaço de funções. Esta é uma extensão da derivada direcional para um espaço vetorial de dimensão infinita .

A derivada de Fréchet permite a extensão da derivada direcional para um espaço de Banach geral . A derivada Gateaux estende o conceito para espaços vetoriais topológicos localmente convexos . A diferenciabilidade de Fréchet é uma condição estritamente mais forte do que a diferenciabilidade de Gateaux, mesmo em dimensões finitas. Entre os dois extremos está a quase derivada .

Na teoria da medida , a derivada Radon-Nikodym generaliza o Jacobiano , usado para variáveis variáveis, para medidas. Ele expressa uma medida μ em termos de outra medida ν (sob certas condições).

Na teoria dos espaços abstratos de Wiener , a derivada H define uma derivada em certas direções correspondendo ao espaço de Cameron-Martin Hilbert .

Em um espaço de função , o operador linear que atribui a cada função sua derivada é um exemplo de operador diferencial . Os operadores diferenciais gerais incluem derivadas de ordem superior. Por meio da transformada de Fourier , os operadores pseudo-diferenciais podem ser definidos que permitem o cálculo fracionário.

Análogos de derivados em campos de característica positiva

A derivada de Carlitz é uma operação semelhante à diferenciação usual que foi concebida com o contexto usual de números reais ou complexos alterados para campos locais de característica positiva na forma de séries formais de Laurent com coeficientes em algum corpo finito F _q (sabe-se que qualquer campo local de característica positiva é isomórfico a um campo da série de Laurent).

Junto com análogos adequadamente definidos para a função exponencial , logaritmos e outros, a derivada pode ser usada para desenvolver noções de suavidade, analidade, integração, série de Taylor, bem como uma teoria de equações diferenciais.

Operador de diferença, q-analogues e escalas de tempo

A derivada q de uma função é definida pela fórmula ${\ displaystyle D_ {q} f (x) = {\ frac {f (qx) -f (x)} {(q-1) x}}.}$ Para x diferente de zero, se f é uma função diferenciável de x, então no limite como $q \to 1$ obtemos a derivada ordinária, portanto, a derivada q pode ser vista como sua deformação q . Um grande corpo de resultados do cálculo diferencial ordinário, como a fórmula binomial e a expansão de Taylor , tem q- análogos naturais que foram descobertos no século 19, mas permaneceram relativamente obscuros durante grande parte do século 20, fora da teoria dos especiais funções . O progresso da combinatória e a descoberta de grupos quânticos mudaram a situação dramaticamente, e a popularidade dos q- análogos está aumentando.
O operador de diferença de equações de diferença é outro análogo discreto da derivada padrão. ${\ displaystyle \ Delta f (x) = f (x + 1) -f (x)}$
A derivada q , o operador de diferença e a derivada padrão podem ser vistos como a mesma coisa em diferentes escalas de tempo . Por exemplo, tomando , podemos ter ${\ displaystyle \ varepsilon = (q-1) x}$ ${\ displaystyle {\ frac {f (qx) -f (x)} {(q-1) x}} = {\ frac {f (x + \ varejpsilon) -f (x)} {\ varejpsilon}}.}$ A derivada q é um caso especial da diferença Hahn , ${\ displaystyle {\ frac {f (qx + \ omega) -f (x)} {qx + \ omega -x}}.}$ A diferença Hahn não é apenas uma generalização da derivada q, mas também uma extensão da diferença direta.
Observe também que a derivada q nada mais é do que um caso especial da derivada familiar. Pegue . Então nós temos, ${\ displaystyle z = qx}$ ${\ displaystyle \ lim _ {z \ to x} {\ frac {f (z) -f (x)} {zx}} = \ lim _ {q \ to 1} {\ frac {f (qx) -f (x)} {qx-x}} = \ lim _ {q \ to 1} {\ frac {f (qx) -f (x)} {(q-1) x}}.}$

Derivados em álgebra

Em álgebra, generalizações da derivada podem ser obtidas impondo a regra de diferenciação de Leibniz em uma estrutura algébrica, como um anel ou uma álgebra de Lie .

Derivações

Uma derivação é um mapa linear em um anel ou álgebra que satisfaz a lei de Leibniz (a regra do produto). Derivadas superiores e operadores diferenciais algébricos também podem ser definidos. Eles são estudados em um ambiente puramente algébrico na teoria diferencial de Galois e na teoria dos módulos D , mas também aparecem em muitas outras áreas, onde frequentemente concordam com definições menos algébricas de derivados.

Por exemplo, a derivada formal de um polinômio sobre um anel comutativo R é definida por

{\ displaystyle \ left (a_ {d} x ^ {d} + a_ {d-1} x ^ {d-1} + \ cdots + a_ {1} x + a_ {0} \ right) '= da_ { d} x ^ {d-1} + (d-1) a_ {d-1} x ^ {d-2} + \ cdots + a_ {1}.}

O mapeamento é então uma derivação no anel polinomial R [ X ]. Essa definição também pode ser estendida a funções racionais . ${\ displaystyle f \ mapsto f '}$

A noção de derivação se aplica tanto a anéis não comutativos quanto comutativos e até mesmo a estruturas algébricas não associativas, como as álgebras de Lie.

Veja também derivada de Pincherle e derivada aritmética .

Álgebra comutativa

Na álgebra comutativa , as diferenciais de Kähler são derivações universais de um anel ou módulo comutativo . Eles podem ser usados para definir um análogo da derivada exterior da geometria diferencial que se aplica a variedades algébricas arbitrárias , em vez de apenas variedades suaves.

Teoria dos Números

Na análise p-ádica , a definição usual de derivada não é suficientemente forte e, em vez disso, requer-se diferenciabilidade estrita .

Veja também derivada aritmética e derivada de Hasse .

Teoria de tipo

Muitos tipos de dados abstratos em matemática e ciência da computação podem ser descritos como a álgebra gerada por uma transformação que mapeia estruturas baseadas no tipo de volta para o tipo. Por exemplo, o tipo T de árvores binários contendo valores de tipo A pode ser representado como a álgebra gerada pela transformação 1 + A x T ² → T. O "1" representa a construção de uma árvore vazia, e o segundo termo representa a construção de uma árvore a partir de um valor e duas subárvores. O "+" indica que uma árvore pode ser construída de qualquer maneira.

A derivada de tal tipo é o tipo que descreve o contexto de uma subestrutura particular em relação à sua próxima estrutura de contenção externa. Dito de outra forma, é o tipo que representa a "diferença" entre os dois. No exemplo da árvore, a derivada é um tipo que descreve as informações necessárias, dada uma determinada subárvore, para construir sua árvore pai. Essas informações são uma tupla que contém um indicador binário de se o filho está à esquerda ou à direita, o valor no pai e a subárvore do irmão. Esse tipo pode ser representado como 2 × A × T, que se parece muito com a derivada da transformação que gerou o tipo de árvore.

Esse conceito de derivado de um tipo tem aplicações práticas, como a técnica de zíper usada em linguagens de programação funcional .

Derivados em geometria

Os principais tipos de derivadas em geometria são as derivadas de Lie ao longo de um campo vetorial, diferencial exterior e derivadas covariantes.

Topologia diferencial

Na topologia diferencial , um campo vetorial pode ser definido como uma derivação no anel de funções suaves em uma variedade , e um vetor tangente pode ser definido como uma derivação em um ponto. Isso permite a abstração da noção de uma derivada direcional de uma função escalar para variedades gerais. Para variedades que são subconjuntos de R ⁿ , este vetor tangente concordará com a derivada direcional definida acima.

O diferencial ou pushforward de um mapa entre variedades é o mapa induzido entre espaços tangentes desses mapas. Ele abstrai a matriz Jacobiana .

Na álgebra externa de formas diferenciais sobre uma variedade suave , a derivada externa é o mapa linear único que satisfaz uma versão graduada da lei de Leibniz e eleva os quadrados a zero. É uma derivação de grau 1 na álgebra exterior.

A derivada de Lie é a taxa de variação de um campo vetorial ou tensorial ao longo do fluxo de outro campo vetorial. Em campos de vetor, é um exemplo de um colchete de Lie (os campos de vetor formam a álgebra de Lie do grupo de difeomorfismo da variedade). É uma derivação de grau 0 na álgebra.

Junto com o produto interno (uma derivação de grau -1 na álgebra externa definida pela contração com um campo vetorial), a derivada externa e a derivada de Lie formam uma superálgebra de Lie .

Geometria diferencial

Na geometria diferencial , a derivada covariante faz a escolha de tomar derivadas direcionais de campos vetoriais ao longo das curvas . Isso estende a derivada direcional de funções escalares para seções de feixes de vetores ou feixes principais . Na geometria Riemanniana , a existência de uma métrica escolhe uma derivada covariante sem torção preferencial única , conhecida como a conexão de Levi-Civita . Veja também derivada covariante de calibre para um tratamento orientado para a física.

A derivada covariante externa estende a derivada externa para formas de valor vetorial.

Cálculo geométrico

No cálculo geométrico , a derivada geométrica satisfaz uma forma mais fraca da regra de Leibniz. Ele especializa a derivada de Frechet para os objetos de álgebra geométrica. O cálculo geométrico é um formalismo poderoso que tem demonstrado abranger as estruturas semelhantes de formas diferenciais e geometria diferencial.

Outras generalizações

Pode ser possível combinar duas ou mais das diferentes noções acima de extensão ou abstração da derivada original. Por exemplo, na geometria de Finsler , estuda-se espaços que se parecem localmente com espaços de Banach . Assim, pode-se querer uma derivada com algumas das características de uma derivada funcional e da derivada covariante .

O estudo de processos estocásticos requer uma forma de cálculo conhecida como cálculo de Malliavin . Uma noção de derivada neste cenário é a derivada H de uma função em um espaço Wiener abstrato .

O cálculo multiplicativo substitui a adição pela multiplicação e, portanto, em vez de lidar com o limite de uma razão de diferenças, ele lida com o limite de uma exponenciação de razões. Isso permite o desenvolvimento da derivada geométrica e da derivada bigeométrica. Além disso, assim como o operador diferencial clássico tem um análogo discreto, o operador diferença, também existem análogos discretos dessas derivadas multiplicativas .

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