Regra do produto - Product rule

Ilustração geométrica de uma prova da regra do produto

No cálculo , a regra do produto (ou regra Leibniz ou regra produto Leibniz ) é uma fórmula usada para encontrar os derivados de produtos de duas ou mais funções . Para duas funções, pode ser declarado na notação de Lagrange como

${\ displaystyle (u \ cdot v) '= u' \ cdot v + u \ cdot v '}$

ou na notação de Leibniz como

${\ displaystyle {\ dfrac {d} {dx}} (u \ cdot v) = {\ dfrac {du} {dx}} \ cdot v + u \ cdot {\ dfrac {dv} {dx}}.}$

A regra pode ser estendida ou generalizada para produtos de três ou mais funções, para uma regra para derivados de ordem superior de um produto e para outros contextos.

Descoberta

A descoberta dessa regra é creditada a Gottfried Leibniz , que a demonstrou por meio de diferenciais . (No entanto, JM Child, um tradutor dos artigos de Leibniz, argumenta que isso se deve a Isaac Barrow .) Aqui está o argumento de Leibniz: Sejam u ( x ) e v ( x ) duas funções diferenciáveis de x . Então o diferencial do uv é

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} d (u \ cdot v) & {} = (u + du) \ cdot (v + dv) -u \ cdot v \\ & {} = u \ cdot dv + v \ cdot du + du \ cdot dv. \ end {alinhado}}}$

Uma vez que o termo du · dv é "insignificante" (em comparação com du e dv ), Leibniz concluiu que

${\ displaystyle d (u \ cdot v) = v \ cdot du + u \ cdot dv}$

e esta é de fato a forma diferencial da regra do produto. Se dividirmos pelo diferencial dx , obtemos

${\ displaystyle {\ frac {d} {dx}} (u \ cdot v) = v \ cdot {\ frac {du} {dx}} + u \ cdot {\ frac {dv} {dx}}}$

que também pode ser escrito na notação de Lagrange como

${\ displaystyle (u \ cdot v) '= v \ cdot u' + u \ cdot v '.}$

Exemplos

• Suponha que queremos diferenciar f ( x ) = x ² sin ( x ). Usando a regra do produto, obtém-se a derivada f ′ ( x ) = 2 x sin ( x ) + x ² cos ( x ) (uma vez que a derivada de x ² é 2 x e a derivada da função seno é a função cosseno )
• Um caso especial da regra do produto é a regra múltipla constante , que afirma: se c é um número ef ( x ) é uma função diferenciável, então cf ( x ) também é diferenciável, e sua derivada é ( cf ) ′ ( x ) = c  f ′ ( x ). Isso segue a regra do produto, uma vez que a derivada de qualquer constante é zero. Isso, combinado com a regra da soma para derivadas, mostra que a diferenciação é linear .
• A regra para integração por partes é derivada da regra do produto, como é (uma versão fraca) a regra do quociente . (É uma versão "fraca" no sentido de que não prova que o quociente é diferenciável, mas apenas diz qual é sua derivada se for diferenciável.)

Provas

Prova por fatoração (dos primeiros princípios)

Seja h ( x ) = f ( x ) g ( x ) e suponha que f e g são diferenciáveis ​​em x . Queremos provar que h é diferenciável em x e que sua derivada, h ′ ( x ) , é dada por f ′ ( x ) g ( x ) + f ( x ) g ′ ( x ) . Para fazer isso, (que é zero e, portanto, não altera o valor) é adicionado ao numerador para permitir sua fatoração e, em seguida, as propriedades dos limites são usadas. ${\ displaystyle f (x) g (x + \ Delta x) -f (x) g (x + \ Delta x)}$

${\ displaystyle {\ begin {align} h '(x) & = \ lim _ {\ Delta x \ to 0} {\ frac {h (x + \ Delta x) -h (x)} {\ Delta x}} \\ [5pt] & = \ lim _ {\ Delta x \ a 0} {\ frac {f (x + \ Delta x) g (x + \ Delta x) -f (x) g (x)} {\ Delta x }} \\ [5pt] & = \ lim _ {\ Delta x \ a 0} {\ frac {f (x + \ Delta x) g (x + \ Delta x) -f (x) g (x + \ Delta x) + f (x) g (x + \ Delta x) -f (x) g (x)} {\ Delta x}} \\ [5pt] & = \ lim _ {\ Delta x \ a 0} {\ frac { {\ big [} f (x + \ Delta x) -f (x) {\ big]} \ cdot g (x + \ Delta x) + f (x) \ cdot {\ big [} g (x + \ Delta x) -g (x) {\ big]}} {\ Delta x}} \\ [5pt] & = \ lim _ {\ Delta x \ a 0} {\ frac {f (x + \ Delta x) -f (x )} {\ Delta x}} \ cdot \ underbrace {\ lim _ {\ Delta x \ a 0} g (x + \ Delta x)} _ {\ text {Veja a nota abaixo.}} + \ Lim _ {\ Delta x \ a 0} f (x) \ cdot \ lim _ {\ Delta x \ a 0} {\ frac {g (x + \ Delta x) -g (x)} {\ Delta x}} \\ [5pt ] & = f '(x) g (x) + f (x) g' (x). \ end {alinhado}}}$

O fato de que

${\ displaystyle \ lim _ {\ Delta x \ a 0} g (x + \ Delta x) = g (x)}$

é deduzido de um teorema que afirma que as funções diferenciáveis ​​são contínuas.

Prova breve

Por definição, se são diferenciáveis ​​em, então podemos escrever ${\ displaystyle f, g: \ mathbb {R} \ rightarrow \ mathbb {R}}$${\ displaystyle x}$

${\ displaystyle f (x + h) = f (x) + f '(x) h + \ psi _ {1} (h) \ qquad \ qquad g (x + h) = g (x) + g' (x ) h + \ psi _ {2} (h)}$

tal que também escrito . Então: ${\ displaystyle \ lim _ {h \ to 0} {\ frac {\ psi _ {1} (h)} {h}} = \ lim _ {h \ to 0} {\ frac {\ psi _ {2} (h)} {h}} = 0,}$ ${\ displaystyle \ psi _ {1}, \ psi _ {2} \ sim o (h)}$

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} fg (x + h) -fg (x) & = (f (x) + f '(x) h + \ psi _ {1} (h)) (g (x) + g '(x) h + \ psi _ {2} (h)) - fg (x) \\ & = f (x) g (x) + f' (x) g (x) h + f (x) g '(x) h-fg (x) + {\ text {outros termos}} \\ & = f' (x) g (x) h + f (x) g '(x) h + o (h) \ \ [12pt] \ end {alinhado}}}$

Os "outros termos" consistem em itens como e Não é difícil mostrar que todos eles estão Dividindo por e tomando o limite para pequeno dá o resultado. ${\ displaystyle f (x) \ psi _ {2} (h), f '(x) g' (x) h ^ {2}}$${\ displaystyle hf '(x) \ psi _ {1} (h).}$${\ displaystyle o (h).}$${\ displaystyle h}$${\ displaystyle h}$

Quadrados de um quarto

Há uma prova usando a multiplicação de um quarto do quadrado que se baseia na regra da cadeia e nas propriedades da função do quarto do quadrado (mostrada aqui como q , ou seja, com ). ${\ displaystyle q (x) = {\ tfrac {x ^ {2}} {4}}}$

Deixar

${\ displaystyle f = q (u + v) -q (uv),}$

Diferenciando os dois lados:

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} f '& = q' (u + v) (u '+ v') - q '(uv) (u'-v') \\ [4pt] & = \ left ( {1 \ over 2} (u + v) (u '+ v') \ right) - \ left ({1 \ over 2} (uv) (u'-v ') \ right) \\ [4pt] & = {1 \ over 2} (uu '+ vu' + uv '+ vv') - {1 \ over 2} (uu'-vu'-uv '+ vv') \\ [4pt] & = vu '+ uv '\\ [4pt] & = uv' + u'v \ end {alinhado}}}$

Regra da corrente

A regra do produto pode ser considerada um caso especial da regra da cadeia para várias variáveis.

${\ displaystyle {d (ab) \ over dx} = {\ frac {\ partial (ab)} {\ partial a}} {\ frac {da} {dx}} + {\ frac {\ partial (ab)} {\ parcial b}} {\ frac {db} {dx}} = b {\ frac {da} {dx}} + a {\ frac {db} {dx}}.}$

Análise fora do padrão

Deixe que u e v ser funções contínuas em x , e deixá- dx , du e DV ser infinitesimais , no âmbito de uma análise não-padrão , especificamente os números hiperreais . Usando st para denotar a função da parte padrão que associa a um número hiperreal finito o real infinitamente próximo a ele, isso dá

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} {\ frac {d (uv)} {dx}} & = \ operatorname {st} \ left ({\ frac {(u + du) (v + dv) -uv} { dx}} \ right) \\ [4pt] & = \ operatorname {st} \ left ({\ frac {uv + u \ cdot dv + v \ cdot du + dv \ cdot du-uv} {dx}} \ right ) \\ [4pt] & = \ operatorname {st} \ left ({\ frac {u \ cdot dv + (v + dv) \ cdot du} {dx}} \ right) \\ [4pt] & = u {\ frac {dv} {dx}} + v {\ frac {du} {dx}}. \ end {alinhado}}}$

Esta foi essencialmente a prova de Leibniz explorando a lei transcendental da homogeneidade (no lugar da parte padrão acima).

Análise infinitesimal suave

No contexto da abordagem de Lawvere aos infinitesimais, seja dx um infinitesimal nilsquare. Então du  =  u ′  dx e dv  =  v  ′  dx , de modo que

${\ displaystyle {\ begin {alinhado} d (uv) & = (u + du) (v + dv) -uv \\ & = uv + u \ cdot dv + v \ cdot du + du \ cdot dv-uv \ \ & = u \ cdot dv + v \ cdot du + du \ cdot dv \\ & = u \ cdot dv + v \ cdot du \, \! \ end {alinhado}}}$

Desde a

${\ displaystyle du \, dv = u'v '(dx) ^ {2} = 0.}$

Generalizações

Produto de mais de dois fatores

A regra do produto pode ser generalizada para produtos de mais de dois fatores. Por exemplo, para três fatores, temos

${\ displaystyle {\ frac {d (uvw)} {dx}} = {\ frac {du} {dx}} vw + u {\ frac {dv} {dx}} w + uv {\ frac {dw} { dx}}.}$

Para uma coleção de funções , temos ${\ displaystyle f_ {1}, \ dots, f_ {k}}$

${\ displaystyle {\ frac {d} {dx}} \ left [\ prod _ {i = 1} ^ {k} f_ {i} (x) \ right] = \ sum _ {i = 1} ^ {k } \ left (\ left ({\ frac {d} {dx}} f_ {i} (x) \ right) \ prod _ {j = 1, j \ neq i} ^ {k} f_ {j} (x ) \ right) = \ left (\ prod _ {i = 1} ^ {k} f_ {i} (x) \ right) \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {k} {\ frac {f '_ {i} (x)} {f_ {i} (x)}} \ right).}$

A derivada logarítmica fornece uma expressão mais simples da última forma, bem como uma prova direta que não envolve qualquer recursão . A derivada logarítmica de uma função f , denotada aqui Logder ( f ) , é a derivada do logaritmo da função. Segue que

${\ displaystyle \ operatorname {Logder} (f) = {\ frac {f '} {f}}.}$

Usando que o logaritmo de um produto é a soma dos logaritmos dos fatores, a regra da soma para derivados dá imediatamente

${\ displaystyle \ operatorname {Logder} (f_ {1} \ cdots f_ {k}) = \ sum _ {i = 1} ^ {k} \ operatorname {Logder} (f_ {i}).}$

A última expressão acima da derivada de um produto é obtida multiplicando ambos os membros desta equação pelo produto do ${\ displaystyle f_ {i}.}$

Derivadas superiores

Também pode ser generalizado para a regra geral de Leibniz para a n- ésima derivada de um produto de dois fatores, expandindo simbolicamente de acordo com o teorema binomial :

${\ displaystyle d ^ {n} (uv) = \ sum _ {k = 0} ^ {n} {n \ escolha k} \ cdot d ^ {(nk)} (u) \ cdot d ^ {(k) } (v).}$

Aplicado em um ponto específico x , a fórmula acima fornece:

${\ displaystyle (uv) ^ {(n)} (x) = \ sum _ {k = 0} ^ {n} {n \ escolha k} \ cdot u ^ {(nk)} (x) \ cdot v ^ {(k)} (x).}$

Além disso, para a n- ésima derivada de um número arbitrário de fatores:

${\ displaystyle \ left (\ prod _ {i = 1} ^ {k} f_ {i} \ right) ^ {(n)} = \ sum _ {j_ {1} + j_ {2} + \ cdots + j_ {k} = n} {n \ escolha j_ {1}, j_ {2}, \ ldots, j_ {k}} \ prod _ {i = 1} ^ {k} f_ {i} ^ {(j_ {i })}.}$

Derivadas parciais superiores

Para derivadas parciais , temos

${\ displaystyle {\ parcial ^ {n} \ over \ parcial x_ {1} \, \ cdots \, \ parcial x_ {n}} (uv) = \ sum _ {S} {\ parcial ^ {| S |} u \ over \ prod _ {i \ in S} \ parcial x_ {i}} \ cdot {\ partial ^ {n- | S |} v \ over \ prod _ {i \ not \ in S} \ parcial x_ { eu}}}$

onde o índice S percorre todos os 2 ⁿ subconjuntos de {1, ..., n } e | S | é a cardinalidade de S . Por exemplo, quando n = 3 ,

${\ displaystyle {\ begin {alinhado} & {\ parcial ^ {3} \ over \ parcial x_ {1} \, \ parcial x_ {2} \, \ parcial x_ {3}} (uv) \\ [6pt] = {} & u \ cdot {\ parcial ^ {3} v \ over \ parcial x_ {1} \, \ parcial x_ {2} \, \ parcial x_ {3}} + {\ parcial u \ parcial \ parcial x_ { 1}} \ cdot {\ parcial ^ {2} v \ over \ parcial x_ {2} \, \ parcial x_ {3}} + {\ parcial u \ over \ parcial x_ {2}} \ cdot {\ parcial ^ {2} v \ over \ parcial x_ {1} \, \ parcial x_ {3}} + {\ parcial u \ over \ parcial x_ {3}} \ cdot {\ parcial ^ {2} v \ parcial \ parcial x_ {1} \, \ parcial x_ {2}} \\ [6pt] & + {\ parcial ^ {2} u \ sobre \ parcial x_ {1} \, \ parcial x_ {2}} \ cdot {\ parcial v \ over \ parcial x_ {3}} + {\ parcial ^ {2} u \ over \ parcial x_ {1} \, \ parcial x_ {3}} \ cdot {\ parcial v \ over \ parcial x_ {2}} + {\ parcial ^ {2} u \ sobre \ parcial x_ {2} \, \ parcial x_ {3}} \ cdot {\ parcial v \ parcial \ parcial x_ {1}} + {\ parcial ^ {3} u \ over \ parcial x_ {1} \, \ parcial x_ {2} \, \ parcial x_ {3}} \ cdot v. \ end {alinhado}}}$

Espaço banach

Suponha que X , Y e Z sejam espaços de Banach (que inclui o espaço euclidiano ) e B  : X × Y → Z é um operador bilinear contínuo . Então B é diferenciável, e sua derivada no ponto ( x , y ) em X × Y é o mapa linear D _{( x , y )} B  : X × Y → Z dado por

${\ displaystyle (D _ {\ left (x, y \ right)} \, B) \ left (u, v \ right) = B \ left (u, y \ right) + B \ left (x, v \ right) ) \ qquad \ forall (u, v) \ em X \ vezes Y.}$

Derivações em álgebra abstrata

Na álgebra abstrata , a regra do produto é usada para definir o que é chamado de derivação , e não vice-versa.

Em cálculo vetorial

A regra de produto se estende à multiplicação escalar , produtos escalares e produtos cruzados de funções vetoriais, como segue.

Para multiplicação escalar: ${\ displaystyle (f \ cdot \ mathbf {g}) '= f' \ cdot \ mathbf {g} + f \ cdot \ mathbf {g} '}$

Para produtos escalares: ${\ displaystyle (\ mathbf {f} \ cdot \ mathbf {g}) '= \ mathbf {f}' \ cdot \ mathbf {g} + \ mathbf {f} \ cdot \ mathbf {g} '}$

Para produtos cruzados: ${\ displaystyle (\ mathbf {f} \ times \ mathbf {g}) '= \ mathbf {f}' \ times \ mathbf {g} + \ mathbf {f} \ times \ mathbf {g} '}$

Existem também análogos para outros análogos da derivada: se f e g são campos escalares, então há uma regra de produto com o gradiente :

$${\ displaystyle \ nabla (f \ cdot g) = \ nabla f \ cdot g + f \ cdot \ nabla g}$$

Formulários

Entre as aplicações da regra do produto está a prova de que

${\ displaystyle {d \ over dx} x ^ {n} = nx ^ {n-1}}$

quando n é um inteiro positivo (esta regra é verdadeira mesmo se n não for positivo ou não for um inteiro, mas a prova disso deve se basear em outros métodos). A prova é por indução matemática no expoente n . Se n  = 0, então x ⁿ é constante e nx ^{n  - 1} = 0. A regra é válida nesse caso porque a derivada de uma função constante é 0. Se a regra for válida para qualquer expoente particular n , então para o próximo valor, n  + 1, nós temos

${\ displaystyle {\ begin {alinhado} {d \ over dx} x ^ {n + 1} & {} = {d \ over dx} \ left (x ^ {n} \ cdot x \ right) \\ [12pt ] & {} = x {d \ sobre dx} x ^ {n} + x ^ {n} {d \ sobre dx} x \ qquad {\ mbox {(a regra do produto é usada aqui)}} \\ [12pt ] & {} = x \ left (nx ^ {n-1} \ right) + x ^ {n} \ cdot 1 \ qquad {\ mbox {(a hipótese de indução é usada aqui)}} \\ [12pt] & {} = (n + 1) x ^ {n}. \ end {alinhado}}}$

Portanto, se a proposição é verdadeira para n , também é verdadeira para  n  + 1 e, portanto, para todo n natural .

Veja também

• Funções inversas e diferenciação

Referências