Divergência - Divergence

Um campo vetorial com vetores divergentes, um campo vetorial com vetores convergentes e um campo vetorial com vetores paralelos que não divergem nem convergem
A divergência de diferentes campos vetoriais. A divergência de vetores do ponto (x, y) é igual à soma da derivada parcial em relação a x do componente x e a derivada parcial em relação a y do componente y naquele apontar:

No cálculo vetorial , a divergência é um operador vetorial que opera em um campo vetorial , produzindo um campo escalar que fornece a quantidade da fonte do campo vetorial em cada ponto. Mais tecnicamente, a divergência representa a densidade de volume do fluxo externo de um campo vetorial de um volume infinitesimal em torno de um determinado ponto.

Como exemplo, considere o ar à medida que é aquecido ou resfriado. A velocidade do ar em cada ponto define um campo vetorial. Enquanto o ar é aquecido em uma região, ele se expande em todas as direções e, portanto, o campo de velocidade aponta para fora dessa região. A divergência do campo de velocidade naquela região teria, portanto, um valor positivo. Enquanto o ar é resfriado e, portanto, se contrai, a divergência da velocidade tem um valor negativo.

Interpretação física da divergência

Em termos físicos, a divergência de um campo vetorial é a extensão em que o fluxo do campo vetorial se comporta como uma fonte em um determinado ponto. É uma medida local de sua "saída" - a extensão em que há mais vetores de campo saindo de uma região infinitesimal do espaço do que entrando nela. Um ponto no qual o fluxo está saindo tem divergência positiva e é freqüentemente chamado de "fonte" do campo. Um ponto no qual o fluxo é direcionado para dentro tem divergência negativa e é freqüentemente chamado de "sumidouro" do campo. Quanto maior o fluxo de campo através de uma pequena superfície envolvendo um determinado ponto, maior será o valor da divergência naquele ponto. Um ponto em que há fluxo zero através de uma superfície envolvente tem divergência zero.

A divergência de um campo vetorial é frequentemente ilustrada usando o exemplo do campo de velocidade de um fluido, um líquido ou gás. Um gás em movimento tem uma velocidade , uma velocidade e uma direção, em cada ponto que pode ser representada por um vetor , então a velocidade do gás forma um campo vetorial . Se um gás for aquecido, ele se expandirá. Isso causará um movimento líquido de partículas de gás para fora em todas as direções. Qualquer superfície fechada do gás envolverá o gás que está se expandindo, então haverá um fluxo de gás para fora através da superfície. Portanto, o campo de velocidade terá divergência positiva em todos os lugares. Da mesma forma, se o gás for resfriado, ele se contrairá. Haverá mais espaço para partículas de gás em qualquer volume, de modo que a pressão externa do fluido causará um fluxo líquido de volume de gás para dentro através de qualquer superfície fechada. Portanto, o campo de velocidade tem divergência negativa em todos os lugares. Em contraste, em um gás a uma temperatura e pressão constantes, o fluxo líquido de gás de qualquer superfície fechada é zero. O gás pode estar se movendo, mas a taxa de volume do gás fluindo para qualquer superfície fechada deve ser igual à taxa de volume que flui para fora, então o fluxo líquido é zero. Assim, a velocidade do gás tem divergência zero em todos os lugares. Um campo que tem divergência zero em todos os lugares é chamado de solenoidal .

Se o gás for aquecido apenas em um ponto ou pequena região, ou se um pequeno tubo for introduzido, o qual fornecerá uma fonte de gás adicional em um ponto, o gás se expandirá, empurrando as partículas de fluido ao seu redor para fora em todas as direções. Isso causará um campo de velocidade externo por todo o gás, centralizado no ponto aquecido. Qualquer superfície fechada envolvendo o ponto aquecido terá um fluxo de partículas de gás saindo dela, portanto, há divergência positiva naquele ponto. No entanto, qualquer superfície fechada que não envolva o ponto terá uma densidade constante de gás em seu interior, de modo que tantas partículas de fluido entram quanto saem do volume, portanto, o fluxo líquido para fora do volume é zero. Portanto, a divergência em qualquer outro ponto é zero.

Definição

A divergência em um ponto x é o limite da razão do fluxo através da superfície S i (setas vermelhas) para o volume para qualquer sequência de regiões fechadas V 1 , V 2 , V 3 , ... incluindo x que se aproxima do volume zero:

A divergência de um campo vetorial F ( x ) em um ponto x 0 é definida como o limite da razão da integral de superfície de F fora da superfície de um volume fechado V envolvendo x 0 para o volume de V , conforme V encolhe para zero

\ oiint

onde | V | é o volume de V , S ( V ) é o limite de V e é a unidade externa normal a essa superfície. Pode-se mostrar que o limite acima sempre converge para o mesmo valor para qualquer sequência de volumes que contenha x 0 e se aproxime do volume zero. O resultado, div F , é uma função escalar de x .

Uma vez que esta definição é livre de coordenadas, ela mostra que a divergência é a mesma em qualquer sistema de coordenadas . No entanto, não é frequentemente usado para calcular a divergência; quando o campo vetorial é fornecido em um sistema de coordenadas, as definições de coordenadas abaixo são muito mais simples de usar.

Um campo vetorial com divergência zero em todos os lugares é chamado de solenoidal - nesse caso, qualquer superfície fechada não tem fluxo líquido através dela.

Definição em coordenadas

Coordenadas cartesianas

Em coordenadas cartesianas tridimensionais, a divergência de um campo vetorial continuamente diferenciável é definida como a função escalar avaliada:

Embora expresso em termos de coordenadas, o resultado é invariável sob rotações , como sugere a interpretação física. Isso ocorre porque o traço da matriz Jacobiana de um campo vetorial N- dimensional F no espaço N- dimensional é invariante sob qualquer transformação linear invertível.

A notação comum para a divergência ∇ · F é um mnemônico conveniente, onde o ponto denota uma operação que lembra o produto escalar : pegue os componentes do operador (ver del ), aplique-os aos componentes correspondentes de F e some os resultados. Como aplicar um operador é diferente de multiplicar os componentes, isso é considerado um abuso de notação .

Coordenadas cilíndricas

Para um vetor expresso em coordenadas cilíndricas de unidade local como

onde e a é o vetor unitário na direção a , a divergência é

O uso de coordenadas locais é vital para a validade da expressão. Se considerarmos x o vector de posição e as funções de r ( x ) , θ ( x ) , e z ( x ) , que atribua a correspondente mundial cilíndrico de coordenadas para um vector, em geral , e . Em particular, se considerarmos a função de identidade F ( x ) = x , descobrimos que:

.

Coordenadas esféricas

Em coordenadas esféricas , com θ o ângulo com o eixo z e φ a rotação em torno do eixo z , e F novamente escrito em coordenadas de unidade local, a divergência é

Campo tensor

Seja A um campo tensor de segunda ordem continuamente diferenciável, definido como segue:

a divergência no sistema de coordenadas cartesianas é um campo tensorial de primeira ordem e pode ser definida de duas maneiras:

e

Nós temos

Se o tensor é simétrico A ij = A ji então . Por causa disso, frequentemente na literatura as duas definições (e os símbolos div e ) são usadas indistintamente (especialmente em equações mecânicas onde a simetria tensorial é assumida).

Expressões de em coordenadas cilíndricas e esféricas são dadas no artigo del em coordenadas cilíndricas e esféricas .

Coordenadas gerais

Usando a notação de Einstein , podemos considerar a divergência nas coordenadas gerais , que escrevemos como x 1 ,…, x i ,…, x n , onde n é o número de dimensões do domínio. Aqui, o índice superior se refere ao número da coordenada ou componente, então x 2 se refere ao segundo componente, e não à quantidade x ao quadrado. A variável de índice i é usada para se referir a um componente arbitrário, como x i . A divergência pode então ser escrita por meio da fórmula de Voss - Weyl , como:

onde é o coeficiente local do elemento de volume e F i são os componentes de F em relação à base covariante não normalizada local (às vezes escrita como ) . A notação de Einstein implica soma sobre i , uma vez que aparece como um índice superior e inferior.

O coeficiente de volume ρ é uma função da posição que depende do sistema de coordenadas. Nas coordenadas cartesianas, cilíndricas e esféricas, usando as mesmas convenções de antes, temos ρ = 1 , ρ = r e ρ = r 2 sen θ , respectivamente. O volume também pode ser expresso como , onde g ab é o tensor métrico . O determinante aparece porque fornece a definição invariante apropriada do volume, dado um conjunto de vetores. Como o determinante é uma grandeza escalar que não depende dos índices, estes podem ser suprimidos por escrito . O valor absoluto é usado para lidar com o caso geral em que o determinante pode ser negativo, como em espaços pseudo-Riemannianos. A razão para a raiz quadrada é um pouco sutil: ela evita efetivamente a contagem dupla quando se passa das coordenadas curvas para as cartesianas e vice-versa. O volume (o determinante) também pode ser entendido como o Jacobiano da transformação das coordenadas cartesianas em curvilíneas, que para n = 3.

Algumas convenções esperam que todos os elementos de base local sejam normalizados para o comprimento da unidade, como foi feito nas seções anteriores. Se escrevermos para a base normalizada e para os componentes de F em relação a ela, temos que

usando uma das propriedades do tensor métrico. Pontilhando ambos os lados da última igualdade com o elemento contravariante , podemos concluir isso . Após a substituição, a fórmula se torna:

Veja § Em coordenadas curvilíneas para uma discussão mais aprofundada.

Propriedades

As propriedades a seguir podem ser derivadas das regras comuns de diferenciação do cálculo . Mais importante ainda, a divergência é um operador linear , ou seja,

para todos os campos vetoriais F e G e todos os números reais a e b .

Existe uma regra de produto do seguinte tipo: se φ é uma função com valor escalar e F é um campo vetorial, então

ou em notação mais sugestiva

Outra regra de produto para o produto vetorial de dois campos de vetor F e G em três dimensões envolve o curl e se lê da seguinte forma:

ou

O Laplaciano de um campo escalar é a divergência do gradiente do campo :

A divergência da onda de qualquer campo vetorial (em três dimensões) é igual a zero:

Se um campo vectorial F com divergência zero é definida em uma esfera em R 3 , então existe algum campo de vectores L na bola com F = onda L . Para regiões em R 3 mais topologicamente complicadas do que isso, a última afirmação pode ser falsa (ver lema de Poincaré ). O grau de falha da verdade da afirmação, medido pela homologia do complexo da cadeia

serve como um bom quantificação da complicação da região subjacente L . Esses são os primórdios e as principais motivações da cohomologia de de Rham .

Teorema de decomposição

Pode ser mostrado que qualquer fluxo estacionário v ( r ) que é duas vezes continuamente diferenciável em R 3 e desaparece suficientemente rápido para | r | → ∞ pode ser decomposto exclusivamente em uma parte irrotacional E ( r ) e uma parte livre de fonte B ( r ) . Além disso, essas partes são explicitamente determinadas pelas respectivas densidades de fonte (veja acima) e densidades de circulação (veja o artigo Curl ):

Para a parte irrotacional, temos

com

A parte livre de fonte, B , pode ser escrita de forma semelhante: basta substituir o potencial escalar Φ ( r ) por um potencial vetorial A ( r ) e os termos −∇Φ por + ∇ × A , e a densidade da fonte div v pela densidade de circulação ∇ × v .

Este "teorema da decomposição" é um subproduto do caso estacionário da eletrodinâmica . É um caso especial da decomposição de Helmholtz mais geral , que também funciona em dimensões maiores do que três.

Em dimensões arbitrárias

A divergência de um campo vetorial pode ser definida em qualquer número de dimensões. Se

em um sistema de coordenadas euclidianas com coordenadas x 1 , x 2 , ..., x n , definir

No caso de uma dimensão, F se reduz a uma função regular e a divergência se reduz à derivada.

Para qualquer n , a divergência é um operador linear e satisfaz a "regra do produto"

para qualquer função com valor escalar φ .

Relação com a derivada externa

Pode-se expressar a divergência como um caso particular da derivada externa , que assume uma forma 2 para uma forma 3 em R 3 . Defina as duas formas atuais como

Ele mede a quantidade de "material" que flui através de uma superfície por unidade de tempo em um "fluido de material" de densidade ρ = 1 dxdydz em movimento com velocidade local F . Seu derivado externo dj é então dado por

onde está o produto de cunha .

Assim, a divergência do campo vetorial F pode ser expressa como:

Aqui, o sobrescrito é um dos dois isomorfismos musicais e é o operador estrela de Hodge . Quando a divergência é escrita desta forma, o operador é referido como codiferencial . Trabalhar com as duas formas atuais e a derivada externa geralmente é mais fácil do que trabalhar com o campo vetorial e a divergência, porque, ao contrário da divergência, a derivada externa comuta com uma mudança do sistema de coordenadas (curvilíneo).

Em coordenadas curvilíneas

A expressão apropriada é mais complicada em coordenadas curvilíneas . A divergência de um campo vetorial se estende naturalmente a qualquer variedade diferenciável de dimensão n que tem uma forma volumétrica (ou densidade ) µ , por exemplo, uma variedade Riemanniana ou Lorentziana . Generalizando a construção de um dois-forma para um campo de vectores em R 3 , em tal um colector de um vector do campo X define uma ( n - 1) -forma j = i X μ obtido por contratação X com μ . A divergência é então a função definida por

A divergência pode ser definida em termos da derivada de Lie como

Isso significa que a divergência mede a taxa de expansão de uma unidade de volume (um elemento de volume ) à medida que ela flui com o campo vetorial.

Em uma variedade pseudo-Riemanniana , a divergência com relação ao volume pode ser expressa em termos da conexão de Levi-Civita :

onde a segunda expressão é a contração do campo vetorial com valor 1 X com ele mesmo e a última expressão é a expressão coordenada tradicional do cálculo de Ricci .

Uma expressão equivalente sem usar uma conexão é

onde g é a métrica e denota a derivada parcial em relação à coordenada x a . A raiz quadrada da (valor absoluto do determinante da) métrica aparece porque a divergência deve ser escrita com a concepção correta do volume . Em coordenadas curvilíneas, os vetores de base não são mais ortonormais; o determinante codifica a idéia correta de volume neste caso. Ele aparece duas vezes, aqui, uma vez, para que o possa ser transformado em "espaço plano" (onde as coordenadas são realmente ortonormais), e mais uma vez para que também seja transformado em "espaço plano", para que finalmente, a divergência "comum" pode ser escrito com o conceito "comum" de volume no espaço plano ( ou seja, unidade de volume, ou seja , um, ou seja , não escrito). A raiz quadrada aparece no denominador, porque a derivada se transforma de forma oposta ( contravariante ) ao vetor (que é covariante ). Essa ideia de chegar a um "sistema de coordenadas planas" onde cálculos locais podem ser feitos de maneira convencional é chamada de vielbein . Uma maneira diferente de ver isso é observar que a divergência é o codiferencial disfarçado. Ou seja, a divergência corresponde à expressão com o diferencial e a estrela de Hodge . A estrela de Hodge, por sua construção, faz com que a forma volumétrica apareça em todos os lugares certos.

A divergência de tensores

A divergência também pode ser generalizada para tensores . Na notação de Einstein , a divergência de um vetor contravariante F μ é dada por

onde μ denota a derivada covariante . Nesse cenário geral, a formulação correta da divergência é reconhecer que ela é uma codiferencial ; as propriedades apropriadas seguem a partir daí.

De forma equivalente, alguns autores definem a divergência de um tensor misto usando o isomorfismo musical : se T for a ( p , q ) - tensor ( p para o vetor contravariante eq para o covariante), então definimos a divergência de T para ser o ( p , q - 1) -tensor

isto é, pegamos o traçado sobre os dois primeiros índices covariantes da derivada covariante. O símbolo se refere ao isomorfismo musical .

Veja também

Notas

Citações

Referências

links externos