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Integração por
Em matemática , o teste de Dirichlet é um método de teste para a convergência de uma série . Recebeu o nome de seu autor Peter Gustav Lejeune Dirichlet e foi publicado postumamente no Journal de Mathématiques Pures et Appliquées em 1862.
Declaração
O teste afirma que se é uma sequência de números reais e uma sequência de números complexos que satisfazem
{
uma
n
}
{\ displaystyle \ {a_ {n} \}}
{
b
n
}
{\ displaystyle \ {b_ {n} \}}
{
uma
n
}
{\ displaystyle \ {a_ {n} \}}
é monotônico
lim
n
→
∞
uma
n
=
0
{\ displaystyle \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} a_ {n} = 0}
|
∑
n
=
1
N
b
n
|
≤
M
{\ displaystyle \ left | \ sum _ {n = 1} ^ {N} b_ {n} \ right | \ leq M}
para cada número inteiro positivo N
onde M é alguma constante, então a série
∑
n
=
1
∞
uma
n
b
n
{\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} a_ {n} b_ {n}}
converge.
Prova
Deixe e .
S
n
=
∑
k
=
1
n
uma
k
b
k
{\ displaystyle S_ {n} = \ sum _ {k = 1} ^ {n} a_ {k} b_ {k}}
B
n
=
∑
k
=
1
n
b
k
{\ displaystyle B_ {n} = \ sum _ {k = 1} ^ {n} b_ {k}}
Do somatório por partes , temos isso . Uma vez que é limitado por M e , o primeiro desses termos se aproxima de zero, como .
S
n
=
uma
n
B
n
+
∑
k
=
1
n
-
1
B
k
(
uma
k
-
uma
k
+
1
)
{\ displaystyle S_ {n} = a_ {n} B_ {n} + \ sum _ {k = 1} ^ {n-1} B_ {k} (a_ {k} -a_ {k + 1})}
B
n
{\ displaystyle B_ {n}}
uma
n
→
0
{\ displaystyle a_ {n} \ rightarrow 0}
uma
n
B
n
→
0
{\ displaystyle a_ {n} B_ {n} \ a 0}
n
→
∞
{\ displaystyle n \ to \ infty}
Temos, para cada k , . Mas, se estiver diminuindo,
|
B
k
(
uma
k
-
uma
k
+
1
)
|
≤
M
|
uma
k
-
uma
k
+
1
|
{\ displaystyle | B_ {k} (a_ {k} -a_ {k + 1}) | \ leq M | a_ {k} -a_ {k + 1} |}
{
uma
n
}
{\ displaystyle \ {a_ {n} \}}
∑
k
=
1
n
M
|
uma
k
-
uma
k
+
1
|
=
∑
k
=
1
n
M
(
uma
k
-
uma
k
+
1
)
=
M
∑
k
=
1
n
(
uma
k
-
uma
k
+
1
)
{\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {n} M | a_ {k} -a_ {k + 1} | = \ sum _ {k = 1} ^ {n} M (a_ {k} -a_ {k + 1}) = M \ sum _ {k = 1} ^ {n} (a_ {k} -a_ {k + 1})}
,
o qual é uma soma telescópica , que é igual e, portanto, se aproxima como . Assim, converge. E, se estiver aumentando,
M
(
uma
1
-
uma
n
+
1
)
{\ displaystyle M (a_ {1} -a_ {n + 1})}
M
uma
1
{\ displaystyle Ma_ {1}}
n
→
∞
{\ displaystyle n \ to \ infty}
∑
k
=
1
∞
M
(
uma
k
-
uma
k
+
1
)
{\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} M (a_ {k} -a_ {k + 1})}
{
uma
n
}
{\ displaystyle \ {a_ {n} \}}
∑
k
=
1
n
M
|
uma
k
-
uma
k
+
1
|
=
-
∑
k
=
1
n
M
(
uma
k
-
uma
k
+
1
)
=
-
M
∑
k
=
1
n
(
uma
k
-
uma
k
+
1
)
{\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {n} M | a_ {k} -a_ {k + 1} | = - \ sum _ {k = 1} ^ {n} M (a_ {k} - a_ {k + 1}) = - M \ sum _ {k = 1} ^ {n} (a_ {k} -a_ {k + 1})}
,
que é novamente uma soma telescópica, que é igual e, portanto, se aproxima como . Assim, novamente, converge.
-
M
(
uma
1
-
uma
n
+
1
)
{\ displaystyle -M (a_ {1} -a_ {n + 1})}
-
M
uma
1
{\ displaystyle -Ma_ {1}}
n
→
∞
{\ displaystyle n \ to \ infty}
∑
k
=
1
∞
M
(
uma
k
-
uma
k
+
1
)
{\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} M (a_ {k} -a_ {k + 1})}
Portanto, converge também pelo teste de comparação direta . A série converge, também, pelo teste de convergência absoluta . Daí converge.
∑
k
=
1
∞
|
B
k
(
uma
k
-
uma
k
+
1
)
|
{\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} | B_ {k} (a_ {k} -a_ {k + 1}) |}
∑
k
=
1
∞
B
k
(
uma
k
-
uma
k
+
1
)
{\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} B_ {k} (a_ {k} -a_ {k + 1})}
S
n
{\ displaystyle S_ {n}}
Formulários
Um caso particular do teste de Dirichlet é o teste de série alternada mais comumente usado para o caso
b
n
=
(
-
1
)
n
⟹
|
∑
n
=
1
N
b
n
|
≤
1
{\ displaystyle b_ {n} = (- 1) ^ {n} \ Longrightarrow \ left | \ sum _ {n = 1} ^ {N} b_ {n} \ right | \ leq 1.}
Outro corolário é que converge sempre que há uma seqüência decrescente que tende a zero.
∑
n
=
1
∞
uma
n
pecado
n
{\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} a_ {n} \ sin n}
{
uma
n
}
{\ displaystyle \ {a_ {n} \}}
Integrais impróprios
Uma declaração análoga para convergência de integrais impróprios é provada usando integração por partes. Se a integral de uma função f é uniformemente limitada em todos os intervalos, eg é uma função não negativa monotonicamente decrescente, então a integral de fg é uma integral imprópria convergente.
Notas
Referências
Hardy, GH, A Course of Pure Mathematics , nona edição, Cambridge University Press, 1946. (pp. 379-380).
Voxman, William L., Advanced Calculus: An Introduction to Modern Analysis , Marcel Dekker, Inc., New York, 1981. (§8.B.13-15)
ISBN 0-8247-6949-X .
links externos
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