Teste integral para convergência - Integral test for convergence

O teste integral aplicado à série harmônica . Como a área sob a curva

y = 1 / x

para

x \in [1, \infty)

é infinita, a área total dos retângulos também deve ser infinita.

Em matemática , o teste integral para convergência é um método usado para testar séries infinitas de termos monótonos para convergência . Foi desenvolvido por Colin Maclaurin e Augustin-Louis Cauchy e às vezes é conhecido como teste Maclaurin-Cauchy .

Declaração do teste

Considere um inteiro $N$ e uma função $f$ definida no intervalo ilimitado $[N, \infty)$ , no qual é monótona decrescente . Então a série infinita

{\ displaystyle \ sum _ {n = N} ^ {\ infty} f (n)}

converge para um número real se e somente se a integral imprópria

{\ displaystyle \ int _ {N} ^ {\ infty} f (x) \, dx}

é finito. Em particular, se a integral diverge, a série também diverge .

Observação

Se a integral imprópria for finita, a prova também fornece os limites inferior e superior

{\ displaystyle \ int _ {N} ^ {\ infty} f (x) \, dx \ leq \ sum _ {n = N} ^ {\ infty} f (n) \ leq f (N) + \ int _ {N} ^ {\ infty} f (x) \, dx}

( 1 )

para a série infinita.

Observe que se a função está aumentando, então a função está diminuindo e o teorema acima se aplica. ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle -f}$

Prova

A prova usa basicamente o teste de comparação , comparando o termo $f (n)$ com a integral de $f$ nos intervalos $[n - 1, n)$ e $[n, n + 1)$ , respectivamente.

A função monótona é contínua em quase todos os lugares . Para mostrar isso, vamos . Para cada , existe pela densidade de um para que . Observe que este conjunto contém um intervalo aberto não vazio precisamente se for descontínuo em . Podemos nos identificar exclusivamente como o número racional que tem o menor índice em uma enumeração e satisfaz a propriedade acima. Como é monótono , define um mapeamento injetivo e, portanto, é contável . Segue-se que é contínuo em quase todos os lugares . Isso é suficiente para a integrabilidade de Riemann . ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle D = \ {x \ in [N, \ infty) \ mid f {\ text {é descontínuo em}} x \}}$ ${\ displaystyle x \ in D}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$ ${\ displaystyle c (x) \ in \ mathbb {Q}}$ ${\ displaystyle c (x) \ in \ left [\ lim _ {y \ downarrow x} f (y), \ lim _ {y \ uparrow x} f (y) \ right]}$ ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle c (x)}$ ${\ displaystyle \ mathbb {N} \ to \ mathbb {Q}}$ ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle c: D \ to \ mathbb {Q}, x \ mapsto c (x)}$ ${\ displaystyle D}$ ${\ displaystyle f}$

Uma vez que $f$ é uma função decrescente monótona, sabemos que

{\ displaystyle f (x) \ leq f (n) \ quad {\ text {para todos}} x \ in [n, \ infty)}

e

{\ displaystyle f (n) \ leq f (x) \ quad {\ text {para todos}} x \ in [N, n].}

Portanto, para cada inteiro $n \geq N$ ,

{\ displaystyle \ int _ {n} ^ {n + 1} f (x) \, dx \ leq \ int _ {n} ^ {n + 1} f (n) \, dx = f (n)}

( 2 )

e, para cada número inteiro $n \geq N + 1$ ,

{\ displaystyle f (n) = \ int _ {n-1} ^ {n} f (n) \, dx \ leq \ int _ {n-1} ^ {n} f (x) \, dx.}

( 3 )

Pela soma de todo $n$ de $N$ a algum inteiro maior $M$ , obtemos de ( 2 )

{\ displaystyle \ int _ {N} ^ {M + 1} f (x) \, dx = \ sum _ {n = N} ^ {M} \ underbrace {\ int _ {n} ^ {n + 1} f (x) \, dx} _ {\ leq \, f (n)} \ leq \ sum _ {n = N} ^ {M} f (n)}

e de ( 3 )

{\ displaystyle \ sum _ {n = N} ^ {M} f (n) \ leq f (N) + \ sum _ {n = N + 1} ^ {M} \ underbrace {\ int _ {n-1 } ^ {n} f (x) \, dx} _ {\ geq \, f (n)} = f (N) + \ int _ {N} ^ {M} f (x) \, dx.}

Combinar essas duas estimativas produz

{\ displaystyle \ int _ {N} ^ {M + 1} f (x) \, dx \ leq \ sum _ {n = N} ^ {M} f (n) \ leq f (N) + \ int _ {N} ^ {M} f (x) \, dx.}

Deixando $M$ tender para o infinito, seguem-se os limites em ( 1 ) e o resultado.

Formulários

A série harmônica

{\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n}}}

diverge porque, usando o logaritmo natural , sua antiderivada e o teorema fundamental do cálculo , obtemos

{\ displaystyle \ int _ {1} ^ {M} {\ frac {1} {n}} \, dn = \ ln n {\ Bigr |} _ {1} ^ {M} = \ ln M \ to \ infty \ quad {\ text {for}} M \ to \ infty.}

Pelo contrário, a série

{\ displaystyle \ zeta (1+ \ varepsilon) = \ sum _ {x = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {x ^ {1+ \ varepsilon}}}}

(cf. função zeta de Riemann ) converge para todo $ε > 0$ , porque pela regra de potência

{\ displaystyle \ int _ {1} ^ {M} {\ frac {1} {x ^ {1+ \ varepsilon}}} \, dx = \ left .- {\ frac {1} {\ varepsilon x ^ { \ varejpsilon}}} \ right | _ {1} ^ {M} = {\ frac {1} {\ varejpsilon}} \ left (1 - {\ frac {1} {M ^ {\ varepsilon}}} \ right ) \ leq {\ frac {1} {\ varepsilon}} <\ infty \ quad {\ text {para todos}} M \ geq 1.}

De ( 1 ) obtemos a estimativa superior

{\ displaystyle \ zeta (1+ \ varepsilon) = \ sum _ {x = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {x ^ {1+ \ varepsilon}}} \ leq {\ frac {1+ \ varejpsilon} {\ varepsilon}},}

que pode ser comparado com alguns dos valores particulares da função zeta de Riemann .

Limite entre divergência e convergência

Os exemplos acima envolvendo a série harmônica levantam a questão, se existem sequências monótonas tais que $f (n)$ diminui para 0 mais rápido do que $1 / n,$ mas mais lento do que $1 / n 1+ ε$ no sentido de que

{\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} {\ frac {f (n)} {1 / n}} = 0 \ quad {\ text {and}} \ quad \ lim _ {n \ to \ infty } {\ frac {f (n)} {1 / n ^ {1+ \ varepsilon}}} = \ infty}

para todo $ε > 0$ , e se a série correspondente de $f (n)$ ainda diverge. Assim que essa sequência for encontrada, uma pergunta semelhante pode ser feita com $f (n)$ assumindo o papel de $1 / n$ e assim por diante. Dessa forma, é possível investigar a fronteira entre divergência e convergência de séries infinitas.

Usando o teste integral de convergência, pode-se mostrar (veja abaixo) que, para cada número natural $k$ , a série

{\ displaystyle \ sum _ {n = N_ {k}} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n \ ln (n) \ ln _ {2} (n) \ cdots \ ln _ {k-1 } (n) \ ln _ {k} (n)}}}

( 4 )

ainda diverge (cf. prova de que a soma dos recíprocos dos primos diverge para $k = 1$ ), mas

{\ displaystyle \ sum _ {n = N_ {k}} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n \ ln (n) \ ln _ {2} (n) \ cdots \ ln _ {k-1 } (n) (\ ln _ {k} (n)) ^ {1+ \ varejpsilon}}}}

( 5 )

converge para todo $ε > 0$ . Aqui $ln k$ denota a composição $k$ -fold do logaritmo natural definido recursivamente por

{\ displaystyle \ ln _ {k} (x) = {\ begin {cases} \ ln (x) & {\ text {for}} k = 1, \\\ ln (\ ln _ {k-1} ( x)) & {\ text {for}} k \ geq 2. \ end {cases}}}

Além disso, $N k$ denota o menor número natural, de modo que a composição $k-$ vezes é bem definida e $ln k (N k) \geq 1$ , ou seja,

{\ displaystyle N_ {k} \ geq \ underbrace {e ^ {e ^ {\ cdot ^ {\ cdot ^ {e}}}}} _ {k \ e '{\ text {s}}} = e \ uparrow \ uparrow k}

usando tetration ou notação de seta para cima de Knuth .

Para ver a divergência da série ( 4 ) usando o teste integral, observe que pela aplicação repetida da regra da cadeia

{\ displaystyle {\ frac {d} {dx}} \ ln _ {k + 1} (x) = {\ frac {d} {dx}} \ ln (\ ln _ {k} (x)) = { \ frac {1} {\ ln _ {k} (x)}} {\ frac {d} {dx}} \ ln _ {k} (x) = \ cdots = {\ frac {1} {x \ ln (x) \ cdots \ ln _ {k} (x)}},}

por isso

{\ displaystyle \ int _ {N_ {k}} ^ {\ infty} {\ frac {dx} {x \ ln (x) \ cdots \ ln _ {k} (x)}} = \ ln _ {k + 1} (x) {\ bigr |} _ {N_ {k}} ^ {\ infty} = \ infty.}

Para ver a convergência da série ( 5 ), observe que pela regra de potência , a regra da cadeia e o resultado acima

{\ displaystyle - {\ frac {d} {dx}} {\ frac {1} {\ varepsilon (\ ln _ {k} (x)) ^ {\ varepsilon}}} = {\ frac {1} {( \ ln _ {k} (x)) ^ {1+ \ varepsilon}}} {\ frac {d} {dx}} \ ln _ {k} (x) = \ cdots = {\ frac {1} {x \ ln (x) \ cdots \ ln _ {k-1} (x) (\ ln _ {k} (x)) ^ {1+ \ varepsilon}}},}

por isso

{\ displaystyle \ int _ {N_ {k}} ^ {\ infty} {\ frac {dx} {x \ ln (x) \ cdots \ ln _ {k-1} (x) (\ ln _ {k} (x)) ^ {1+ \ varepsilon}}} = - {\ frac {1} {\ varepsilon (\ ln _ {k} (x)) ^ {\ varepsilon}}} {\ biggr |} _ {N_ {k}} ^ {\ infty} <\ infty}

e ( 1 ) fornece limites para a série infinita em ( 5 ).

Veja também

Referências

Knopp, Konrad , "Infinite Sequences and Series", Dover Publications , Inc., New York, 1956. (§ 3.3) ISBN 0-486-60153-6
Whittaker, ET, e Watson, GN, A Course in Modern Analysis , quarta edição, Cambridge University Press, 1963. (§ 4.43) ISBN 0-521-58807-3
Ferreira, Jaime Campos, Ed Calouste Gulbenkian, 1987, ISBN 972-31-0179-3

^ Brown, AB (setembro de 1936). "Prova da Condição de Lebesgue para Integrabilidade Riemann". The American Mathematical Monthly . 43 (7): 396–398. doi : 10.2307 / 2301737 . ISSN 0002-9890 . JSTOR 2301737 .

[1] Brown, AB (setembro de 1936). "Prova da Condição de Lebesgue para Integrabilidade Riemann". The American Mathematical Monthly . 43 (7): 396–398. doi : 10.2307 / 2301737 . ISSN 0002-9890 . JSTOR 2301737 .

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