Quase em todos os lugares - Almost everywhere

Um exemplo simples de medida atribui a uma sub-região do retângulo a fração da área geométrica que ocupa. Então, o limite do retângulo tem medida 0, enquanto seu interior tem medida 1. Quase todos os pontos do retângulo são pontos internos , mas o interior tem um complemento não vazio .

Na teoria da medida (um ramo da análise matemática ), uma propriedade é válida em quase todos os lugares se, em um sentido técnico, o conjunto para o qual a propriedade é válida ocupa quase todas as possibilidades. A noção de "quase em todos os lugares" é uma noção que acompanha o conceito de medida zero e é análoga à noção de quase com certeza na teoria da probabilidade .

Mais especificamente, uma propriedade é válida em quase todos os lugares se ela é válida para todos os elementos em um conjunto, exceto um subconjunto de medida zero, ou de forma equivalente, se o conjunto de elementos para os quais a propriedade é válida for conull . Nos casos em que a medida não está completa , é suficiente que o conjunto esteja contido em um conjunto de medida zero. Ao discutir conjuntos de números reais , a medida de Lebesgue é geralmente assumida, a menos que indicado de outra forma.

O termo quase em todos os lugares é abreviado como ae ; na literatura mais antiga, pp é usado, para representar a expressão francesa equivalente presque partout .

Um conjunto com compasso total é aquele cujo complemento é de compasso zero. Na teoria da probabilidade, os termos quase certo , quase certo e quase sempre se referem a eventos com probabilidade 1 não incluindo necessariamente todos os resultados. Esses são exatamente os conjuntos de medidas completas em um espaço de probabilidade.

Ocasionalmente, em vez de dizer que uma propriedade é válida em quase todos os lugares, diz-se que a propriedade é válida para quase todos os elementos (embora o termo quase todos também possa ter outros significados).

Definição

Se for um espaço medido , diz-se que uma propriedade se mantém em quase todos os lugares, se houver um conjunto com , e todos tiverem a propriedade . Outra forma comum de expressar a mesma coisa é dizer que "quase todos os satisfaz ponto ", ou que "para quase todos , segura". ${\ displaystyle (X, \ Sigma, \ mu)}$ ${\ displaystyle P}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle N \ in \ Sigma}$ ${\ displaystyle \ mu (N) = 0}$ ${\ displaystyle x \ in X \ setminus N}$ ${\ displaystyle P}$ ${\ displaystyle P \,}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle P (x)}$

É não necessário que o conjunto tem medida 0; pode não pertencer a . Pela definição acima, é suficiente que esteja contido em algum conjunto que seja mensurável e tenha medida 0. ${\ displaystyle \ {x \ in X: \ neg P (x) \}}$ ${\ displaystyle \ Sigma}$ ${\ displaystyle \ {x \ in X: \ neg P (x) \}}$ ${\ displaystyle N}$

Propriedades

Se a propriedade vale em quase todos os lugares e implica propriedade , então a propriedade vale em quase todos os lugares. Isso decorre da monotonicidade das medidas. ${\ displaystyle P}$ ${\ displaystyle Q}$ ${\ displaystyle Q}$
Se for uma sequência finita ou contável de propriedades, cada uma das quais se mantém em quase todos os lugares, então sua conjunção se mantém em quase todos os lugares. Isso decorre da subaditividade contável das medidas. ${\ displaystyle (P_ {n})}$ ${\ displaystyle \ forall nP_ {n}}$
Em contraste, se for uma família incontável de propriedades, cada uma das quais se mantendo em quase todos os lugares, então sua conjunção não necessariamente se aplica em quase todos os lugares. Por exemplo, se é medida de Lebesgue em e é a propriedade de não ser igual a (isto é, é verdadeiro se e somente se ), então cada um se aplica a quase todos os lugares, mas a conjunção não se aplica a nenhum lugar. ${\ displaystyle (P_ {x}) _ {x \ in \ mathbf {R}}}$ ${\ displaystyle \ forall xP_ {x}}$ ${\ displaystyle \ mu}$ ${\ displaystyle X = \ mathbf {R}}$ ${\ displaystyle P_ {x}}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle P_ {x} (y)}$ ${\ displaystyle y \ neq x}$ ${\ displaystyle P_ {x}}$ ${\ displaystyle \ forall xP_ {x}}$

Como consequência das duas primeiras propriedades, muitas vezes é possível raciocinar sobre "quase todos os pontos" de um espaço de medida como se fosse um ponto comum, em vez de uma abstração. Isso geralmente é feito implicitamente em argumentos matemáticos informais. No entanto, deve-se ter cuidado com esse modo de raciocínio por causa do terceiro item acima: a quantificação universal sobre inúmeras famílias de enunciados é válida para pontos comuns, mas não para "quase todos os pontos".

Exemplos

Se f : R → R é uma função integrável de Lebesgue e quase em todos os lugares, então ${\ displaystyle f (x) \ geq 0}$
${\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} f (x) \, dx \ geq 0}$
para todos os números reais com igualdade se e somente se quase em todos os lugares. ${\ displaystyle a <b}$ ${\ displaystyle f (x) = 0}$
Se f : [ a , b ] → R é uma função monotônica , então f é diferenciável em quase todos os lugares.
Se f : R → R é Lebesgue mensurável e
${\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} | f (x) | \, dx <\ infty}$

para todos os números reais , então existe um conjunto E (dependendo de f ) tal que, se x está em E , a média de Lebesgue ${\ displaystyle a <b}$

${\ displaystyle {\ frac {1} {2 \ epsilon}} \ int _ {x- \ epsilon} ^ {x + \ epsilon} f (t) \, dt}$
converge para f ( x ) conforme diminui para zero. O conjunto E é chamado de conjunto de Lebesgue de f . Pode-se provar que seu complemento tem medida zero. Em outras palavras, a média de Lebesgue de f converge para f em quase todos os lugares. ${\ displaystyle \ epsilon}$
Uma função limitada f : [ a , b ] → R é Riemann integrável se e somente se for contínua em quase todos os lugares.
Como curiosidade, a expansão decimal de quase todos os números reais no intervalo [0, 1] contém o texto completo das peças de Shakespeare , codificadas em ASCII ; da mesma forma, para todas as outras sequências de dígitos finitos, consulte Número normal .

Definição usando ultrafiltros

Fora do contexto da análise real, a noção de uma propriedade verdadeira em quase todos os lugares às vezes é definida em termos de um ultrafiltro . Um ultrafiltro em um conjunto X é uma coleção máxima F de subconjuntos de X tais que:

Se U ∈ F e U ⊆ V, então V ∈ F
A interseção de quaisquer dois conjuntos em F está em F
O conjunto vazio não está em F

Uma propriedade P de pontos em X detém quase todos os lugares, em relação a um ultrafiltro F , se o conjunto de pontos para os quais P detém está em F .

Por exemplo, uma construção do sistema numérico hiperreal define um número hiperreal como uma classe de equivalência de sequências que são iguais em quase todos os lugares, conforme definido por um ultrafiltro.

A definição de quase todos os lugares em termos de ultrafiltros está intimamente relacionada à definição em termos de medidas, pois cada ultrafiltro define uma medida finitamente aditiva tomando apenas os valores 0 e 1, onde um conjunto tem medida 1 se e somente se for incluído no ultrafiltro.

Veja também

Função de Dirichlet , uma função igual a 0 em quase todos os lugares.

Referências

^ ^a ^b "O glossário definitivo do jargão matemático superior - quase" . Math Vault . 01/08/2019 . Página visitada em 2019-11-19 .
^ Weisstein, Eric W. "Quase em todo lugar" . mathworld.wolfram.com . Página visitada em 2019-11-19 .
^ Halmos, Paul R. (1974). Teoria da medida . Nova York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-90088-8 .
^ "Definição de quase todos os lugares | Dicionário.com" . www.dictionary.com . Página visitada em 2019-11-19 .
^ Ursell, HD (1932-01-01). "Sobre a convergência quase em toda parte das séries de Rademacher e das somas de Bochnerfejér de uma função quase periódica no sentido de Stepanoff" . Proceedings of the London Mathematical Society . s2-33 (1): 457–466. doi : 10.1112 / plms / s2-33.1.457 . ISSN 0024-6115 .
^ "Propriedades que mantêm quase todos os lugares - Mathonline" . mathonline.wikidot.com . Página visitada em 2019-11-19 .

Bibliografia

Billingsley, Patrick (1995). Probabilidade e medida (3ª ed.). Nova York: John Wiley & Sons. ISBN 0-471-00710-2 .

[:0-1] "O glossário definitivo do jargão matemático superior - quase" . Math Vault . 01/08/2019 . Página visitada em 2019-11-19 .

[2] Weisstein, Eric W. "Quase em todo lugar" . mathworld.wolfram.com . Página visitada em 2019-11-19 .

[3] Halmos, Paul R. (1974). Teoria da medida . Nova York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-90088-8 .

[4] "Definição de quase todos os lugares | Dicionário.com" . www.dictionary.com . Página visitada em 2019-11-19 .

[5] Ursell, HD (1932-01-01). "Sobre a convergência quase em toda parte das séries de Rademacher e das somas de Bochnerfejér de uma função quase periódica no sentido de Stepanoff" . Proceedings of the London Mathematical Society . s2-33 (1): 457–466. doi : 10.1112 / plms / s2-33.1.457 . ISSN 0024-6115 .

[6] "Propriedades que mantêm quase todos os lugares - Mathonline" . mathonline.wikidot.com . Página visitada em 2019-11-19 .

Languages

In other projects