História do cálculo - History of calculus

Cálculo , conhecido em sua história inicial como cálculo infinitesimal , é uma disciplina matemática focada em limites , continuidade , derivadas , integrais e séries infinitas . Isaac Newton e Gottfried Wilhelm Leibniz desenvolveram independentemente a teoria do cálculo infinitesimal no final do século XVII. No final do século 17, tanto Leibniz quanto Newton alegaram que o outro havia roubado sua obra, e a controvérsia do cálculo Leibniz-Newton continuou até a morte de Leibniz em 1716.

Pioneiros do cálculo

Ancestral

Arquimedes usou o método de exaustão para calcular a área dentro de um círculo

O período antigo introduziu algumas das ideias que levaram ao cálculo integral , mas não parece ter desenvolvido essas ideias de forma rigorosa e sistemática. Cálculos de volumes e áreas, um objetivo do cálculo integral, podem ser encontrados no papiro egípcio de Moscou (c. 1820 aC), mas as fórmulas são fornecidas apenas para números concretos, algumas são aproximadamente verdadeiras e não são derivadas por dedução raciocínio. Os babilônios podem ter descoberto a regra trapezoidal ao fazer observações astronômicas de Júpiter .

Desde a era da matemática grega , Eudoxus (c. 408–355 AC) usou o método da exaustão , que prenuncia o conceito de limite, para calcular áreas e volumes, enquanto Arquimedes (c. 287–212 AC) desenvolveu esta ideia ainda mais , inventando heurísticas que se assemelham aos métodos de cálculo integral. Os matemáticos gregos também são creditados com um uso significativo de infinitesimais . Demócrito é a primeira pessoa registrada a considerar seriamente a divisão de objetos em um número infinito de seções transversais, mas sua incapacidade de racionalizar seções transversais discretas com inclinação suave de um cone o impediu de aceitar a ideia. Aproximadamente ao mesmo tempo, Zenão de Elea desacreditou os infinitesimais ainda mais por sua articulação dos paradoxos que eles criam.

Arquimedes desenvolveu esse método ainda mais, enquanto também inventava métodos heurísticos que se assemelham aos conceitos modernos de alguma forma em seu The Quadrature of the Parabola , The Method e On the Sphere and Cylinder . Não se deve pensar que os infinitesimais foram colocados em bases rigorosas durante esse tempo, entretanto. Somente quando ela foi suplementada por uma prova geométrica apropriada, os matemáticos gregos aceitaram uma proposição como verdadeira. Não foi até o século 17 que o método foi formalizado por Cavalieri como o método dos indivisíveis e eventualmente incorporado por Newton em uma estrutura geral de cálculo integral . Arquimedes foi o primeiro a encontrar a tangente a uma curva diferente de um círculo, em um método semelhante ao cálculo diferencial. Enquanto estudava a espiral, ele separou o movimento de um ponto em dois componentes, um componente de movimento radial e um componente de movimento circular, e então continuou a somar os dois movimentos componentes juntos, encontrando assim a tangente à curva. Os pioneiros do cálculo, como Isaac Barrow e Johann Bernoulli, foram estudantes diligentes de Arquimedes; ver, por exemplo, CS Roero (1983).

O método da exaustão foi reinventado na China por Liu Hui no século 4 dC para encontrar a área de um círculo. No século 5, Zu Chongzhi estabeleceu um método que mais tarde seria chamado de princípio de Cavalieri para encontrar o volume de uma esfera .

Medieval

No Oriente Médio islâmico , o matemático árabe do século 11 Ibn al-Haytham (Alhazen) derivou uma fórmula para a soma das quartas potências . Ele usou os resultados para realizar o que hoje seria chamado de integração , onde as fórmulas para as somas dos quadrados inteiros e das quartas potências permitiam calcular o volume de um parabolóide . No século 12, o matemático persa Sharaf al-Dīn al-Tūsī descobriu a derivada dos polinômios cúbicos . Seu Tratado de Equações desenvolveu conceitos relacionados ao cálculo diferencial , como a função derivada e os máximos e mínimos das curvas, a fim de resolver equações cúbicas que podem não ter soluções positivas.

Algumas idéias sobre cálculo apareceram mais tarde na matemática indiana , na escola de astronomia e matemática de Kerala . Madhava de Sangamagrama no século 14, e mais tarde matemáticos da escola de Kerala, declararam componentes do cálculo como a série de Taylor e aproximações de séries infinitas . No entanto, eles não foram capazes de combinar muitas ideias diferentes sob os dois temas unificadores da derivada e da integral , mostrar a conexão entre as duas e transformar o cálculo na poderosa ferramenta de solução de problemas que temos hoje.

O estudo matemático da continuidade foi revivido no século 14 pelos Calculadores de Oxford e colaboradores franceses como Nicole Oresme . Eles provaram o " teorema da velocidade média de Merton ": que um corpo uniformemente acelerado viaja a mesma distância que um corpo com velocidade uniforme cuja velocidade é a metade da velocidade final do corpo acelerado.

Início da era moderna

No século 17, os matemáticos europeus Isaac Barrow , René Descartes , Pierre de Fermat , Blaise Pascal , John Wallis e outros discutiram a ideia de uma derivada . Em particular, em Methodus ad disquirendam maximam et minima e em De tangentibus linearum curvarum , Fermat desenvolveu um método de adequação para determinar máximos, mínimos e tangentes a várias curvas que estava intimamente relacionado com a diferenciação. Isaac Newton escreveria mais tarde que suas primeiras idéias sobre cálculo vieram diretamente da "maneira de Fermat de desenhar tangentes".

Do lado integral, Cavalieri desenvolveu seu método dos indivisíveis nas décadas de 1630 e 1640, fornecendo uma forma mais moderna do método grego antigo de exaustão e computando a fórmula da quadratura de Cavalieri , a área sob as curvas x n de grau superior, que antes tinha só foi calculado para a parábola, por Arquimedes. Torricelli estendeu este trabalho para outras curvas, como a ciclóide , e então a fórmula foi generalizada para potências fracionárias e negativas por Wallis em 1656. Em um tratado de 1659, Fermat é creditado com um truque engenhoso para avaliar a integral de qualquer função de potência diretamente. Fermat também obteve uma técnica para encontrar os centros de gravidade de várias figuras planas e sólidas, o que influenciou o trabalho posterior em quadratura. James Gregory , influenciado pelas contribuições de Fermat para tangência e quadratura, foi então capaz de provar uma versão restrita do segundo teorema fundamental do cálculo em meados do século XVII. A primeira prova completa do teorema fundamental do cálculo foi dada por Isaac Barrow .

Área sombreada de uma medida quadrada unitária quando x = 2,71828 ... A descoberta do número de Euler e, e sua exploração com funções e x e logaritmo natural, completou a teoria de integração para cálculo de funções racionais.

Um pré-requisito para o estabelecimento de um cálculo de funções de uma variável real envolvia encontrar uma antiderivada para a função racional. Este problema pode ser formulado como quadratura da hipérbole retangular xy = 1. Em 1647 Gregoire de Saint-Vincent notou que a função necessária F satisfeita de modo que uma seqüência geométrica se tornasse, sob F , uma seqüência aritmética . AA de Sarasa associou esse recurso a algoritmos contemporâneos chamados logaritmos, que economizavam aritmética convertendo multiplicações em adições. Portanto, F foi inicialmente conhecido como o logaritmo hiperbólico . Depois de Euler explorado e = 2,71828 ..., e F foi identificada como a função inversa da função exponencial , tornou-se o logaritmo natural , satisfazendo

A primeira prova do teorema de Rolle foi dada por Michel Rolle em 1691 usando métodos desenvolvidos pelo matemático holandês Johann van Waveren Hudde . O teorema do valor médio em sua forma moderna foi declarado por Bernard Bolzano e Augustin-Louis Cauchy (1789-1857) também após a fundação do cálculo moderno. Contribuições importantes também foram feitas por Barrow , Huygens e muitos outros.

Newton e Leibniz

Isaac Newton
Gottfried Leibniz
Veja também: Controvérsia do cálculo de Leibniz – Newton

Antes de Newton e Leibniz , a palavra “cálculo” se referia a qualquer corpo da matemática, mas nos anos seguintes, “cálculo” se tornou um termo popular para um campo da matemática com base em seus insights. Newton e Leibniz, com base neste trabalho, desenvolveram de forma independente a teoria circundante do cálculo infinitesimal no final do século XVII. Além disso, Leibniz trabalhou muito no desenvolvimento de notações e conceitos consistentes e úteis. Newton forneceu algumas das aplicações mais importantes da física, especialmente do cálculo integral . O objetivo desta seção é examinar as investigações de Newton e Leibniz no campo em desenvolvimento do cálculo infinitesimal. Importância específica será dada à justificativa e aos termos descritivos que eles usaram na tentativa de entender o cálculo como eles próprios o conceberam.

Em meados do século 17, a matemática europeia mudou seu principal repositório de conhecimento. Em comparação com o século passado, que manteve a matemática helenística como ponto de partida para a pesquisa, Newton, Leibniz e seus contemporâneos cada vez mais se voltaram para as obras de pensadores mais modernos. A Europa havia se tornado o lar de uma florescente comunidade matemática e, com o advento de bases institucionais e organizacionais aprimoradas, um novo nível de organização e integração acadêmica estava sendo alcançado. É importante ressaltar, no entanto, que faltou formalismo à comunidade; em vez disso, consistia em uma massa desordenada de vários métodos, técnicas, notações , teorias e paradoxos .

Newton chegou ao cálculo como parte de suas investigações em física e geometria . Ele via o cálculo como a descrição científica da geração de movimento e magnitudes . Em comparação, Leibniz se concentrou no problema da tangente e passou a acreditar que o cálculo era uma explicação metafísica da mudança. É importante ressaltar que o núcleo de seu insight foi a formalização das propriedades inversas entre o integral e o diferencial de uma função . Essa percepção foi antecipada por seus predecessores, mas eles foram os primeiros a conceber o cálculo como um sistema no qual uma nova retórica e termos descritivos foram criados. Suas descobertas exclusivas residem não apenas em sua imaginação, mas também em sua capacidade de sintetizar os insights ao seu redor em um processo algorítmico universal, formando assim um novo sistema matemático.

Newton

Newton não concluiu nenhuma publicação definitiva formalizando seu cálculo fluxional ; em vez disso, muitas de suas descobertas matemáticas foram transmitidas por correspondência, papéis menores ou como aspectos embutidos em suas outras compilações definitivas, como os Principia e Opticks . Newton iria começar seu treinamento matemático como o herdeiro escolhido de Isaac Barrow em Cambridge . Sua aptidão foi reconhecida cedo e ele aprendeu rapidamente as teorias atuais. Em 1664, Newton deu sua primeira contribuição importante ao avançar o teorema binomial , que ele estendeu para incluir expoentes fracionários e negativos . Newton conseguiu expandir a aplicabilidade do teorema binomial aplicando a álgebra das quantidades finitas em uma análise de séries infinitas . Ele mostrou vontade de ver as séries infinitas não apenas como dispositivos aproximados, mas também como formas alternativas de expressar um termo.

Muitos dos insights críticos de Newton ocorreram durante os anos de peste de 1665-1666, que ele mais tarde descreveu como "o auge da minha era para invenções e matemática e filosofia [natural] mais do que em qualquer momento desde então." Foi durante seu isolamento induzido pela peste que a primeira concepção escrita do cálculo fluxionário foi registrada no não publicado De Analysi per Aequationes Numero Terminorum Infinitas . Neste artigo, Newton determinou a área sob uma curva calculando primeiro uma taxa momentânea de mudança e depois extrapolando a área total. Começou por raciocínio sobre uma indefinidamente pequeno triângulo cuja área é uma função de x e y . Ele então raciocinou que o aumento infinitesimal na abcissa criará uma nova fórmula onde x = x + o ( o mais importante, o é a letra, não o dígito 0). Ele então recalculou a área com o auxílio do teorema binomial, removeu todas as quantidades contendo a letra o e reformulou uma expressão algébrica para a área. Significativamente, Newton então “apagaria” as quantidades contendo o porque os termos “multiplicado por ele não serão nada em relação ao resto”.

Nesse ponto, Newton começou a perceber a propriedade central da inversão. Ele criou uma expressão para a área sob uma curva considerando um aumento momentâneo em um ponto. Com efeito, o teorema fundamental do cálculo foi incorporado em seus cálculos. Embora sua nova formulação oferecesse um potencial incrível, Newton estava bem ciente de suas limitações lógicas na época. Ele admite que "os erros não devem ser desconsiderados na matemática, não importa o quão pequenos" e que o que ele alcançou foi "explicado rapidamente em vez de demonstrado com precisão".

Em um esforço para dar ao cálculo uma explicação e estrutura mais rigorosas, Newton compilou em 1671 o Methodus Fluxionum et Serierum Infinitarum . Neste livro, o empirismo estrito de Newton moldou e definiu seu cálculo fluxional. Ele explorou movimento instantâneo e infinitesimais informalmente. Ele usou a matemática como uma ferramenta metodológica para explicar o mundo físico. A base do cálculo revisado de Newton tornou-se a continuidade; como tal, ele redefiniu seus cálculos em termos de movimento contínuo. Para Newton, as magnitudes variáveis ​​não são agregados de elementos infinitesimais, mas são geradas pelo fato indiscutível do movimento. Como acontece com muitas de suas obras, Newton atrasou a publicação. Methodus Fluxionum não foi publicado até 1736.

Newton tentou evitar o uso do infinitesimal, formando cálculos baseados em proporções de mudanças. No Methodus Fluxionum ele definiu a taxa de mudança gerada como uma fluxão , que ele representou por uma letra pontilhada, e a quantidade gerada ele definiu como um fluente . Por exemplo, se e são fluentes, então e são suas respectivas fluxões. Este cálculo revisado de razões continuou a ser desenvolvido e foi afirmado com maturidade no texto De Quadratura Curvarum de 1676, onde Newton veio a definir a derivada atual como a razão final de mudança, que ele definiu como a razão entre incrementos evanescentes (a razão de fluxões ) puramente no momento em questão. Essencialmente, a proporção final é a proporção à medida que os incrementos desaparecem no nada. É importante ressaltar que Newton explicou a existência da razão última apelando para o movimento;

"Pois velocidade final significa que, com a qual o corpo é movido, nem antes de chegar ao seu último lugar, quando o movimento cessa nem depois, mas no próprio instante em que chega ... a razão última das quantidades evanescentes é para ser compreendido, a proporção das quantidades não antes de desaparecerem, não depois, mas com as quais desaparecem ”

Newton desenvolveu seu cálculo fluxional em uma tentativa de evitar o uso informal de infinitesimais em seus cálculos.

Leibniz

Leibniz: Nova methodus pro maximis et minimis , Acta Eruditorum, Leipzig, outubro de 1684. Primeira página da publicação de Leibniz sobre o cálculo diferencial.
Gráficos referenciados no artigo de Leibniz de 1684

Embora Newton tenha começado o desenvolvimento de seu cálculo fluxional em 1665-1666, suas descobertas só circularam amplamente mais tarde. Nos anos seguintes, Leibniz também se esforçou para criar seu cálculo. Em comparação com Newton, que começou a estudar matemática bem cedo, Leibniz começou seus estudos rigorosos de matemática com um intelecto maduro. Ele era um polímata , e seus interesses intelectuais e realizações envolviam metafísica , direito , economia , política , lógica e matemática . A fim de compreender o raciocínio de Leibniz em cálculo, seu histórico deve ser mantido em mente. Particularmente, sua metafísica que descreveu o universo como uma monadologia , e seus planos de criar uma lógica formal precisa por meio da qual, "um método geral em que todas as verdades da razão seriam reduzidas a uma espécie de cálculo."

Em 1672, Leibniz conheceu o matemático Huygens, que convenceu Leibniz a dedicar um tempo significativo ao estudo da matemática. Por 1673 tinham progredido para ler Pascal ‘s Traité des Sinus du Quarte Cercle e foi durante sua grande parte autodidata pesquisa que Leibniz disse que 'uma luz ligada'. Como Newton, Leibniz via a tangente como uma proporção, mas a declarou simplesmente como a proporção entre ordenadas e abscissas . Ele continuou esse raciocínio para argumentar que a integral era de fato a soma das ordenadas para intervalos infinitesimais na abcissa; com efeito, a soma de um número infinito de retângulos. A partir dessas definições, a relação inversa ou diferencial tornou-se clara e Leibniz rapidamente percebeu o potencial de formar todo um novo sistema de matemática. Enquanto Newton ao longo de sua carreira usou várias abordagens, além de uma abordagem usando infinitesimais , Leibniz fez disso a pedra angular de sua notação e cálculo.

Nos manuscritos de 25 de outubro a 11 de novembro de 1675, Leibniz registrou suas descobertas e experiências com várias formas de notação. Ele estava perfeitamente ciente dos termos notacionais usados ​​e seus planos anteriores para formar um simbolismo lógico preciso tornaram-se evidentes. Eventualmente, Leibniz denotou os incrementos infinitesimais de abscissas e ordenadas dx e dy , e a soma de infinitamente muitos retângulos infinitesimalmente finos como um s longo (∫), que se tornou o símbolo integral presente .

Embora a notação de Leibniz seja usada pela matemática moderna, sua base lógica era diferente da atual. Leibniz abraçou os infinitesimais e escreveu extensivamente para "não fazer do infinitamente pequeno um mistério, como fez Pascal". Segundo Gilles Deleuze , os zeros de Leibniz "são nada, mas não são nada absolutos, são nada respectivamente" (citando o texto de Leibniz "A justificação do cálculo dos infinitesimais pelo cálculo da álgebra ordinária"). Alternativamente, ele os define como "menos do que qualquer quantidade dada". Para Leibniz, o mundo era um agregado de pontos infinitesimais e a falta de provas científicas de sua existência não o incomodava. Infinitesimais para Leibniz eram quantidades ideais de um tipo diferente de números apreciáveis. A verdade da continuidade foi provada pela própria existência. Para Leibniz, o princípio da continuidade e, portanto, a validade de seu cálculo, estava assegurado. Trezentos anos após o trabalho de Leibniz, Abraham Robinson mostrou que o uso de quantidades infinitesimais no cálculo poderia ter uma base sólida.

Legado

A ascensão do cálculo se destaca como um momento único na matemática. Cálculo é a matemática do movimento e da mudança e, como tal, sua invenção exigiu a criação de um novo sistema matemático. É importante ressaltar que Newton e Leibniz não criaram o mesmo cálculo e não conceberam o cálculo moderno. Embora ambos estivessem envolvidos no processo de criação de um sistema matemático para lidar com quantidades variáveis, sua base elementar era diferente. Para Newton, a mudança era uma quantidade variável ao longo do tempo e para Leibniz era a diferença que variava ao longo de uma sequência de valores infinitamente próximos. Notavelmente, os termos descritivos que cada sistema criou para descrever a mudança eram diferentes.

Historicamente, houve muito debate sobre se foi Newton ou Leibniz quem primeiro "inventou" o cálculo. Esse argumento, a controvérsia do cálculo de Leibniz e Newton , envolvendo Leibniz, que era alemão, e o inglês Newton, levou a uma cisão na comunidade matemática europeia que durou mais de um século. Leibniz foi o primeiro a publicar suas investigações; no entanto, está bem estabelecido que Newton havia começado seu trabalho vários anos antes de Leibniz e já havia desenvolvido uma teoria das tangentes na época em que Leibniz se interessou pela questão. Não se sabe o quanto isso pode ter influenciado Leibniz. As acusações iniciais foram feitas por estudantes e simpatizantes dos dois grandes cientistas na virada do século, mas a partir de 1711 ambos se envolveram pessoalmente, acusando-se mutuamente de plágio .

A disputa de prioridades teve o efeito de separar os matemáticos de língua inglesa dos da Europa continental por muitos anos. Somente na década de 1820, devido aos esforços da Sociedade Analítica , o cálculo analítico leibniziano tornou-se aceito na Inglaterra. Hoje, tanto Newton quanto Leibniz recebem crédito por desenvolver de forma independente os fundamentos do cálculo. É Leibniz, no entanto, quem tem o crédito de dar à nova disciplina o nome que hoje é conhecida: "cálculo". O nome de Newton para isso era "a ciência dos fluentes e fluxões ".

O trabalho de Newton e Leibniz é refletido na notação usada hoje. Newton introduziu a notação para a derivada de uma função f . Leibniz introduziu o símbolo da integral e escreveu a derivada de uma função y da variável x as , ambas ainda em uso.

Desde a época de Leibniz e Newton, muitos matemáticos contribuíram para o desenvolvimento contínuo do cálculo. Uma das primeiras e mais completas obras sobre cálculo infinitesimal e integral foi escrita em 1748 por Maria Gaetana Agnesi .

Maria Gaetana Agnesi

Métodos operacionais

Artigo principal: Cálculo operacional

Antoine Arbogast (1800) foi o primeiro a separar o símbolo da operação do da quantidade em uma equação diferencial. François-Joseph Servois (1814) parece ter sido o primeiro a dar regras corretas sobre o assunto. Charles James Hargreave (1848) aplicou esses métodos em suas memórias sobre equações diferenciais, e George Boole os empregou livremente. Hermann Grassmann e Hermann Hankel fizeram grande uso da teoria, o primeiro no estudo de equações , o último em sua teoria dos números complexos .

Cálculo de variações

O cálculo das variações pode ser dito para começar com um problema de Johann Bernoulli (1696). Imediatamente ocupou a atenção de Jakob Bernoulli, mas Leonhard Euler primeiro elaborou o assunto. Suas contribuições começaram em 1733, e seu Elementa Calculi Variationum deu à ciência seu nome. Joseph Louis Lagrange contribuiu extensivamente para a teoria, e Adrien-Marie Legendre (1786) estabeleceu um método, não inteiramente satisfatório, para a discriminação de máximos e mínimos. Para essa discriminação, Brunacci (1810), Carl Friedrich Gauss (1829), Siméon Denis Poisson (1831), Mikhail Vasilievich Ostrogradsky (1834) e Carl Gustav Jakob Jacobi (1837) estiveram entre os contribuintes. Uma importante obra geral é a de Sarrus (1842) que foi condensada e melhorada por Augustin Louis Cauchy (1844). Outros valiosos tratados e memórias foram escritos por Strauch (1849), Jellett (1850), Otto Hesse (1857), Alfred Clebsch (1858) e Carll (1885), mas talvez a obra mais importante do século seja a de Karl Weierstrass . Seu curso sobre a teoria pode ser considerado o primeiro a colocar o cálculo em uma base firme e rigorosa.

Integrais

Niels Henrik Abel parece ter sido o primeiro a considerar de uma maneira geral a questão de quais equações diferenciais podem ser integradas em uma forma finita com o auxílio de funções ordinárias, uma investigação estendida por Liouville . Cauchy logo assumiu a teoria geral de determinação de integrais definidas , e o assunto foi proeminente durante o século XIX. Integrais de Frullani , o trabalho de David Bierens de Haan na teoria e suas tabelas elaboradas, as palestras de Lejeune Dirichlet incorporadas no tratado de Meyer e numerosas memórias de Legendre , Poisson , Plana , Raabe , Sohncke , Schlömilch , Elliott , Leudesdorf e Kronecker está entre as contribuições dignas de nota.

As integrais de Euler foram primeiro estudadas por Euler e posteriormente investigadas por Legendre, por quem foram classificadas como integrais de Euler da primeira e segunda espécies, da seguinte forma:

embora essas não fossem as formas exatas do estudo de Euler.

Se n for um número inteiro positivo :

mas a integral converge para todos os reais positivos e define uma continuação analítica da função fatorial para todo o plano complexo, exceto para os pólos em zero e os inteiros negativos. A ela Legendre atribuiu o símbolo , que agora é chamada de função gama . Além de ser analítico sobre reais positivos ℝ + ,   também desfruta da propriedade definidora única que   é convexa , o que justifica esteticamente esta continuação analítica da função fatorial sobre qualquer outra continuação analítica. Para o assunto, Lejeune Dirichlet contribuiu com um importante teorema (Liouville, 1839), elaborado por Liouville , Catalan , Leslie Ellis e outros. Raabe (1843-44), Bauer (1859) e Gudermann (1845) escreveram sobre a avaliação de e . A grande mesa de Legendre apareceu em 1816.

Formulários

A aplicação do cálculo infinitesimal a problemas de física e astronomia foi contemporânea à origem da ciência. Ao longo de todo o século 18, essas aplicações foram multiplicadas, até que, no seu fim, Laplace e Lagrange trouxeram toda a gama do estudo das forças para o reino da análise. A Lagrange (1773) devemos a introdução da teoria do potencial na dinâmica, embora o nome " função potencial " e a memória fundamental do assunto se devam a Green (1827, impresso em 1828). O nome " potencial " deve-se a Gauss (1840), e a distinção entre potencial e função potencial a Clausius . Com seu desenvolvimento estão ligados os nomes de Lejeune Dirichlet , Riemann , von Neumann , Heine , Kronecker , Lipschitz , Christoffel , Kirchhoff , Beltrami e muitos dos principais físicos do século.

É impossível neste lugar entrar na grande variedade de outras aplicações de análise para problemas físicos. Entre eles estão as investigações de Euler sobre acordes vibrantes; Sophie Germain nas membranas elásticas; Poisson, Lamé , Saint-Venant e Clebsch sobre a elasticidade dos corpos tridimensionais; Fourier na difusão de calor ; Fresnel na luz ; Maxwell , Helmholtz e Hertz sobre eletricidade ; Hansen, Hill e Gyldén na astronomia ; Maxwell em harmônicos esféricos ; Lord Rayleigh na acústica ; e as contribuições de Lejeune Dirichlet, Weber , Kirchhoff , F. Neumann , Lord Kelvin , Clausius , Bjerknes , MacCullagh e Fuhrmann para a física em geral. Os trabalhos de Helmholtz devem ser especialmente mencionados, uma vez que ele contribuiu para as teorias da dinâmica, eletricidade, etc., e trouxe seus grandes poderes analíticos para apoiar os axiomas fundamentais da mecânica, bem como aqueles da matemática pura.

Além disso, o cálculo infinitesimal foi introduzido nas ciências sociais, começando com a economia neoclássica . Hoje, é uma ferramenta valiosa na economia dominante.

Veja também

Notas

Leitura adicional

links externos