Integral de linha - Line integral

Em matemática , uma integral de linha é uma integral em que a função a ser integrada é avaliada ao longo de uma curva . Os termos integral de caminho , integral de curva e integral curvilínea também são usados; a integral de contorno também é usada, embora seja normalmente reservada para integrais de linha no plano complexo .

A função a ser integrada pode ser um campo escalar ou um campo vetorial . O valor da integral de linha é a soma dos valores do campo em todos os pontos da curva, ponderados por alguma função escalar na curva (comumente comprimento do arco ou, para um campo vetorial, o produto escalar do campo vetorial com um diferencial vetor na curva). Essa ponderação distingue a integral de linha das integrais mais simples definidas em intervalos . Muitas fórmulas simples em física, como a definição de work as , têm análogos naturais contínuos em termos de integrais de linha, neste caso , que calcula o trabalho feito em um objeto se movendo através de um campo elétrico ou gravitacional F ao longo de um caminho . ${\ displaystyle W = \ mathbf {F} \ cdot \ mathbf {s}}$${\ displaystyle \ textstyle W = \ int _ {L} \ mathbf {F} (\ mathbf {s}) \ cdot d \ mathbf {s}}$${\ displaystyle L}$

Cálculo vetorial

Em termos qualitativos, uma integral de linha no cálculo vetorial pode ser considerada uma medida do efeito total de um determinado campo tensorial ao longo de uma determinada curva. Por exemplo, a integral de linha sobre um campo escalar (tensor de classificação 0) pode ser interpretada como a área sob o campo esculpida por uma curva particular. Isso pode ser visualizado como a superfície criada por z = f ( x , y ) e uma curva C no plano xy . A integral de linha de f seria a área da "cortina" criada - quando os pontos da superfície que estão diretamente sobre C são esculpidos.

Integral de linha de um campo escalar

A integral de linha sobre um campo escalar f pode ser considerada como a área sob a curva C ao longo de uma superfície z = f ( x , y ), descrita pelo campo.

Definição

Para algum campo escalar onde , a linha integral ao longo de uma curva suave por partes é definida como ${\ displaystyle f \ dois pontos U \ to \ mathbb {R}}$${\ displaystyle U \ subseteq \ mathbb {R} ^ {n}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {C}} \ subconjunto U}$

${\ displaystyle \ int _ {\ mathcal {C}} f (\ mathbf {r}) \, ds = \ int _ {a} ^ {b} f \ left (\ mathbf {r} (t) \ right) \ left | \ mathbf {r} '(t) \ right | \, dt.}$

onde é uma parametrização bijetiva arbitrária da curva tal que r ( a ) e r ( b ) fornecem os pontos finais de e a < b . Aqui, e no resto do artigo, as barras de valor absoluto denotam a norma (euclidiana) padrão de um vetor. ${\ displaystyle \ mathbf {r} \ dois pontos [a, b] \ para {\ mathcal {C}}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {C}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {C}}}$

A função f é chamada de integrando, a curva é o domínio de integração e o símbolo ds pode ser interpretado intuitivamente como um comprimento de arco elementar . Integrais de linha de campos escalares sobre uma curva não dependem da parametrização escolhida r de . ${\ displaystyle {\ mathcal {C}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {C}}}$${\ displaystyle {\ mathcal {C}}}$

Geometricamente, quando o campo escalar f é definido sobre um plano ( n = 2) , seu gráfico é uma superfície z = f ( x , y ) no espaço, e a integral de linha dá a área da seção transversal (sinalizada) limitada pelo curva e o gráfico de f . Veja a animação à direita. ${\ displaystyle {\ mathcal {C}}}$

Derivação

Para um integral de linha ao longo de um campo escalar, a integral pode ser construído a partir de uma soma de Riemann utilizando as definições acima de F , C e uma parametrização r de C . Isso pode ser feito particionando o intervalo [ a , b ] em n subintervalos [ t _{i −1} , t _i ] de comprimento Δ t = ( b - a ) / n , então r ( t _i ) denota algum ponto, chamá-lo um ponto de amostra, sobre a curva C . Podemos usar o conjunto de pontos de amostra { r ( t _i ): 1 ≤ i ≤ n } para aproximar a curva C por um caminho poligonal , introduzindo um pedaço de linha reta entre cada um dos pontos de amostra r ( t _{i −1} ) e r ( t _i ) . Em seguida, rotulamos a distância entre cada um dos pontos de amostra na curva como Δ s _i . O produto de f ( r ( t _i )) e Δ s _i pode ser associado à área sinalizada de um retângulo com altura e largura de f ( r ( t _i )) e Δ s _i , respectivamente. Tomando o limite da soma dos termos conforme o comprimento das partições se aproxima de zero nos dá

${\ displaystyle I = \ lim _ {\ Delta s_ {i} \ to 0} \ sum _ {i = 1} ^ {n} f (\ mathbf {r} (t_ {i})) \, \ Delta s_ {eu}.}$

Pelo teorema do valor médio , a distância entre os pontos subsequentes na curva é

${\ displaystyle \ Delta s_ {i} = \ left | \ mathbf {r} (t_ {i} + \ Delta t) - \ mathbf {r} (t_ {i}) \ right | \ approx \ left | \ mathbf {r} '(t_ {i}) \ right | \ Delta t.}$

Substituir isso na soma de Riemann acima resulta

${\ displaystyle I = \ lim _ {\ Delta t \ to 0} \ sum _ {i = 1} ^ {n} f (\ mathbf {r} (t_ {i})) \ left | \ mathbf {r} '(t_ {i}) \ right | \ Delta t}$

que é a soma de Riemann para o integral

${\ displaystyle I = \ int _ {a} ^ {b} f (\ mathbf {r} (t)) \ left | \ mathbf {r} '(t) \ right | dt.}$

Integral de linha de um campo vetorial

Definição

Para um campo vetorial F : U ⊆ R ⁿ → R ⁿ , a integral de linha ao longo de uma curva suave por partes C ⊂ U , na direção de r , é definida como

${\ displaystyle \ int _ {C} \ mathbf {F} (\ mathbf {r}) \ cdot \, d \ mathbf {r} = \ int _ {a} ^ {b} \ mathbf {F} (\ mathbf {r} (t)) \ cdot \ mathbf {r} '(t) \, dt}$

onde · é o produto de pontos , e R : [ a , b ] → C é um bijective parametrização da curva C de tal modo que r ( um ) e r ( b ) dar os pontos de extremidade de C .

Uma integral de linha de um campo escalar é, portanto, uma integral de linha de um campo vetorial, onde os vetores são sempre tangenciais à linha.

Integrais de linha de campos vetoriais são independentes da parametrização r em valor absoluto , mas dependem de sua orientação . Especificamente, uma reversão na orientação da parametrização muda o sinal da integral de linha.

Do ponto de vista da geometria diferencial , a integral de linha de um campo vetorial ao longo de uma curva é a integral da forma 1 correspondente sob o isomorfismo musical (que leva o campo vetorial ao campo covetor correspondente ), sobre a curva considerada como imersa 1-manifold.

Derivação

A trajetória de uma partícula (em vermelho) ao longo de uma curva dentro de um campo vetorial. Começando a partir de um , a partícula traça o caminho C ao longo do campo de vectores F . O produto escalar (linha verde) de seu vetor tangente (seta vermelha) e o vetor campo (seta azul) define uma área sob uma curva, que é equivalente à integral da linha do caminho. (Clique na imagem para obter uma descrição detalhada.)

A integral de linha de um campo vetorial pode ser derivada de uma maneira muito semelhante ao caso de um campo escalar, mas desta vez com a inclusão de um produto escalar. Novamente usando as definições acima de F , C e sua parametrização r ( t ) , construímos a integral a partir de uma soma de Riemann . Particionamos o intervalo [ a , b ] (que é o intervalo dos valores do parâmetro t ) em n intervalos de comprimento Δ t = ( b - a ) / n . Supondo que t _i seja o i ésimo ponto em [ a , b ] , então r ( t _i ) nos dá a posição do i ésimo ponto na curva. No entanto, em vez de calcular as distâncias entre os pontos subsequentes, precisamos calcular seus vetores de deslocamento , Δ r _i . Como antes, avaliando F em todos os pontos na curva e tomando o produto de pontos com cada vector de deslocamento dá-nos a infinitesimal contribuição de cada partição de F em C . Deixando o tamanho das partições ir para zero nos dá uma soma

${\ displaystyle I = \ lim _ {\ Delta t \ to 0} \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ mathbf {F} (\ mathbf {r} (t_ {i})) \ cdot \ Delta \ mathbf {r} _ {i}}$

Pelo teorema do valor médio , vemos que o vetor de deslocamento entre pontos adjacentes na curva é

${\ displaystyle \ Delta \ mathbf {r} _ {i} = \ mathbf {r} (t_ {i} + \ Delta t) - \ mathbf {r} (t_ {i}) \ approx \ mathbf {r} ' (t_ {i}) \, \ Delta t.}$

Substituir isso na soma de Riemann acima resulta

${\ displaystyle I = \ lim _ {\ Delta t \ to 0} \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ mathbf {F} (\ mathbf {r} (t_ {i})) \ cdot \ mathbf {r} '(t_ {i}) \, \ Delta t,}$

que é a soma de Riemann para a integral definida acima.

Independência de caminho

Se um campo vetorial F é o gradiente de um campo escalar G (ou seja, se F é conservador ), isto é,

${\ displaystyle \ mathbf {F} = \ nabla G,}$

então, pela regra da cadeia multivariável, a derivada da composição de G e r ( t ) é

${\ displaystyle {\ frac {dG (\ mathbf {r} (t))} {dt}} = \ nabla G (\ mathbf {r} (t)) \ cdot \ mathbf {r} '(t) = \ mathbf {F} (\ mathbf {r} (t)) \ cdot \ mathbf {r} '(t)}$

que passa a ser o integrando da integral de linha de F em r ( t ). Segue-se, dado um caminho C , que

${\ displaystyle \ int _ {C} \ mathbf {F} (\ mathbf {r}) \ cdot \, d \ mathbf {r} = \ int _ {a} ^ {b} \ mathbf {F} (\ mathbf {r} (t)) \ cdot \ mathbf {r} '(t) \, dt = \ int _ {a} ^ {b} {\ frac {dG (\ mathbf {r} (t))} {dt }} \, dt = G (\ mathbf {r} (b)) - G (\ mathbf {r} (a)).}$

Em outras palavras, a integral de F sobre C depende apenas dos valores de G nos pontos r ( b ) e r ( a ) e, portanto, é independente do caminho entre eles. Por esse motivo, uma integral de linha de um campo vetorial conservativo é chamada de independente de caminho .

Formulários

A integral de linha tem muitos usos na física. Por exemplo, o trabalho feito numa viagem de partícula numa curva C dentro de um campo de força representada como um vector de campo F é o integral de linha de F em C .

Fluxo em uma curva

Para um campo vetorial , F ( x , y ) = ( P ( x , y ), Q ( x , y )) , a integral de linha em uma curva C ⊂ U , também chamada de integral de fluxo , é definida em termos de um parametrização suave por partes r : [ a , b ] → C , r ( t ) = ( x ( t ), y ( t )) , como: ${\ displaystyle \ mathbf {F} \ dois pontos U \ subseteq \ mathbb {R} ^ {2} \ to \ mathbb {R} ^ {2}}$

${\ displaystyle \ int _ {C} \ mathbf {F} (\ mathbf {r}) \ cdot d \ mathbf {r} ^ {\ perp} = \ int _ {a} ^ {b} {\ begin {bmatrix } P {\ big (} x (t), y (t) {\ big)} \\ Q {\ big (} x (t), y (t) {\ big)} \ end {bmatrix}} \ cdot {\ begin {bmatrix} y '(t) \\ - x' (t) \ end {bmatrix}} ~ dt = \ int _ {a} ^ {b} -Q ~ dx + P ~ dy.}$

Aqui • é o produto escalar e é a perpendicular no sentido horário do vetor velocidade . ${\ displaystyle \ mathbf {r} '(t) ^ {\ perp} = (y' (t), - x '(t))}$${\ displaystyle \ mathbf {r} '(t) = (x' (t), y '(t))}$

O fluxo é calculado em um sentido orientado: a curva C tem uma direção direta especificada de r ( a ) para r ( b ) , e o fluxo é contado como positivo quando F ( r ( t )) está no lado horário do vetor de velocidade de avanço r ' ( t ) .

Integral de linha complexa

Na análise complexa , a integral de linha é definida em termos de multiplicação e adição de números complexos. Suponha que U seja um subconjunto aberto do plano complexo C , f  : U → C é uma função e é uma curva de comprimento finito, parametrizada por γ : [ a , b ] → L , onde γ ( t ) = x ( t ) + iy ( t ) . A integral de linha ${\ displaystyle L \ subset U}$

${\ displaystyle \ int _ {L} f (z) \, dz}$

pode ser definido subdividindo o intervalo [ a , b ] em a = t ₀ < t ₁ <... < t _n = be considerando a expressão

${\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {n} f (\ gamma (t_ {k})) \, [\ gamma (t_ {k}) - \ gamma (t_ {k-1})] = \ sum _ {k = 1} ^ {n} f (\ gamma _ {k}) \, \ Delta \ gamma _ {k}.}$

A integral é então o limite desta soma de Riemann à medida que os comprimentos dos intervalos de subdivisão se aproximam de zero.

Se a parametrização γ é continuamente diferenciável , a integral de linha pode ser avaliada como uma integral de uma função de uma variável real:

${\ displaystyle \ int _ {L} f (z) \, dz = \ int _ {a} ^ {b} f (\ gamma (t)) \ gamma '(t) \, dt.}$

Quando L é uma curva fechada (os pontos inicial e final coincidem), a integral de linha é freqüentemente indicada, às vezes, referida na engenharia como uma integral cíclica . ${\ textstyle \ oint _ {L} f (z) \, dz,}$

A integral de linha em relação ao diferencial complexo conjugado é definida como sendo ${\ displaystyle {\ overline {dz}}}$

${\ displaystyle \ int _ {L} f (z) {\ overline {dz}}: = {\ overline {\ int _ {L} {\ overline {f (z)}} \, dz}} = \ int _ {a} ^ {b} f (\ gamma (t)) {\ overline {\ gamma '(t)}} \, dt.}$

As integrais de linha de funções complexas podem ser avaliadas usando uma série de técnicas. O mais direto é dividir em partes reais e imaginárias, reduzindo o problema de avaliar duas integrais de linha com valor real. O teorema da integral de Cauchy pode ser usado para igualar a integral de linha de uma função analítica à mesma integral em uma curva mais conveniente. Também implica que em uma curva fechada envolvendo uma região onde f ( z ) é analítica sem singularidades , o valor da integral é simplesmente zero, ou no caso de a região incluir singularidades, o teorema do resíduo calcula a integral em termos de singularidades.

Exemplo

Considere a função f ( z ) = 1 / z , e seja o contorno L o círculo unitário no sentido anti-horário em torno de 0, parametrizado por z ( t ) = e ^it com t em [0, 2π] usando o exponencial complexo . Substituindo, encontramos:

${\ displaystyle {\ begin {align} \ oint _ {L} {\ frac {1} {z}} \, dz & = \ int _ {0} ^ {2 \ pi} {\ frac {1} {e ^ {it}}} ie ^ {it} \, dt = i \ int _ {0} ^ {2 \ pi} e ^ {- it} e ^ {it} \, dt \\ & = i \ int _ { 0} ^ {2 \ pi} dt = i (2 \ pi -0) = 2 \ pi i. \ End {alinhado}}}$

Este é um resultado típico da fórmula integral de Cauchy e do teorema do resíduo .

Relação da integral de linha complexa e integral de linha do campo vetorial

Vendo números complexos como vetores bidimensionais , a integral de linha de uma função de valor complexo tem partes reais e complexas iguais à integral de linha e a integral de fluxo do campo vetorial correspondente à função conjugada . Especificamente, se parametrizar L , e corresponde a o campo vetorial então: ${\ displaystyle f (z)}$${\ displaystyle {\ overline {f (z)}}.}$${\ displaystyle \ mathbf {r} (t) = (x (t), y (t))}$${\ displaystyle f (z) = u (z) + iv (z)}$${\ displaystyle \ mathbf {F} (x, y) = {\ overline {f (x + iy)}} = (u (x + iy), - v (x + iy)),}$

${\ displaystyle {\ begin {alinhado} \ int _ {L} f (z) \, dz & = \ int _ {L} (u + iv) (dx + i \, dy) \\ & = \ int _ { L} (u, -v) \ cdot (dx, dy) + i \ int _ {L} (u, -v) \ cdot (dy, -dx) \\ & = \ int _ {L} \ mathbf { F} (\ mathbf {r}) \ cdot d \ mathbf {r} + i \ int _ {L} \ mathbf {F} (\ mathbf {r}) \ cdot d \ mathbf {r} ^ {\ perp} . \ end {alinhado}}}$

Pelo teorema de Cauchy , a integral à esquerda é zero quando é analítica (satisfazendo as equações de Cauchy-Riemann ) para qualquer curva fechada suave L. Correspondentemente, pelo teorema de Green , as integrais à direita são zero quando é irrotacional ( sem ondulação ) e incompressível ( livre de divergência ). Na verdade, as equações de Cauchy-Riemann para são idênticos para o desaparecimento de onda e da divergência para F . ${\ displaystyle f (z)}$${\ displaystyle \ mathbf {F} = {\ overline {f (z)}}}$${\ displaystyle f (z)}$

Pelo teorema de Green , a área de uma região delimitada por uma curva lisa, fechada e positivamente orientada é dada pela integral. Esse fato é usado, por exemplo, na demonstração do teorema da área . ${\ displaystyle L}$${\ displaystyle \ textstyle {\ frac {1} {2i}} \ int _ {L} {\ overline {z}} \, dz.}$

Mecânica quântica

A formulação integral de caminho da mecânica quântica na verdade não se refere a integrais de caminho neste sentido, mas a integrais funcionais , isto é, integrais sobre um espaço de caminhos, de uma função de um caminho possível. No entanto, integrais de caminho, no sentido deste artigo, são importantes na mecânica quântica; por exemplo, a integração de contorno complexo é freqüentemente usada na avaliação de amplitudes de probabilidade na teoria de espalhamento quântico .

Veja também

Referências

links externos

• "Integral over trajectories" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
• Módulos da Khan Academy :
  • "Introdução à linha integral"
  • "Linha Integral Exemplo 1"
  • "Linha Integral Exemplo 2 (parte 1)"
  • "Linha Integral Exemplo 2 (parte 2)"
• Integral do caminho no PlanetMath .
• Integral de linha de um campo vetorial - interativo