Cálculo multivariável - Multivariable calculus

O cálculo multivariado (também conhecido como cálculo multivariado ) é a extensão do cálculo em uma variável ao cálculo com funções de várias variáveis : a diferenciação e integração de funções envolvendo várias variáveis, ao invés de apenas uma.

Operações típicas

Limites e continuidade

Um estudo de limites e continuidade no cálculo multivariável produz muitos resultados contra-intuitivos não demonstrados por funções de variável única. Por exemplo, existem funções escalares de duas variáveis ​​com pontos em seu domínio que fornecem limites diferentes quando abordadas por caminhos diferentes. Por exemplo, a função

Gráfico da função f ( x , y ) = ( x ⁴y) / ( x 4 + y 2 )

aproxima-se de zero sempre que o ponto é aproximado ao longo das linhas que passam pela origem ( ). No entanto, quando a origem é aproximada ao longo de uma parábola , o valor da função tem um limite de . Visto que seguir caminhos diferentes em direção ao mesmo ponto resulta em valores limites diferentes, um limite geral não existe lá.

A continuidade em cada argumento não sendo suficiente para a continuidade multivariada também pode ser vista no exemplo a seguir. Em particular, para uma função com valor real com dois parâmetros com valor real,, continuidade de in para fixo e continuidade de in para fixo não implica continuidade de .

Considerar

É fácil verificar que essa função é zero por definição no limite e fora do quadrilátero . Além disso, as funções definidas para constantes e e por

e

são contínuos. Especificamente,

para todos os x e y .

No entanto, a sequência (para natural ) converge para , tornando a função descontínua em . Aproximar-se da origem não paralelamente ao eixo - e - revela essa descontinuidade.

Continuidade da composição da função

Se é contínua em e é uma única função variável contínua em, então a função composta definida por é contínua em

Para exemplos, e

Propriedades de funções contínuas

Se e forem ambos contínuos em então

(i) são contínuos em

(ii) é contínuo para qualquer constante c .

(iii) é contínuo no ponto

(iv) é contínuo em se

(v) é contínuo em

Diferenciação parcial

A derivada parcial generaliza a noção da derivada para dimensões superiores. Uma derivada parcial de uma função multivariável é uma derivada em relação a uma variável com todas as outras variáveis ​​mantidas constantes.

Derivadas parciais podem ser combinadas de maneiras interessantes para criar expressões mais complicadas da derivada. No cálculo vetorial , o operador del ( ) é usado para definir os conceitos de gradiente , divergência e curvatura em termos de derivadas parciais. Uma matriz de derivadas parciais, a matriz Jacobiana , pode ser usada para representar a derivada de uma função entre dois espaços de dimensão arbitrária. A derivada pode então ser entendida como uma transformação linear que varia diretamente de ponto a ponto no domínio da função.

As equações diferenciais contendo derivadas parciais são chamadas de equações diferenciais parciais ou PDEs. Essas equações são geralmente mais difíceis de resolver do que as equações diferenciais ordinárias , que contêm derivadas em relação a apenas uma variável.

Integração múltipla

A integral múltipla expande o conceito da integral para funções de qualquer número de variáveis. Integrais duplos e triplos podem ser usados ​​para calcular áreas e volumes de regiões no plano e no espaço. O teorema de Fubini garante que uma integral múltipla pode ser avaliada como uma integral repetida ou integral iterada , desde que o integrando seja contínuo em todo o domínio de integração.

A integral de superfície e a integral de linha são usadas para integrar em coletores curvos , como superfícies e curvas .

Teorema fundamental do cálculo em dimensões múltiplas

No cálculo de variável única, o teorema fundamental do cálculo estabelece uma ligação entre a derivada e a integral. A ligação entre a derivada e a integral no cálculo multivariável é concretizada pelos teoremas integrais do cálculo vetorial:

Em um estudo mais avançado de cálculo multivariável, é visto que esses quatro teoremas são encarnações específicas de um teorema mais geral, o teorema de Stokes generalizado , que se aplica à integração de formas diferenciais sobre variedades .

Aplicações e usos

Técnicas de cálculo multivariável são usadas para estudar muitos objetos de interesse no mundo material. Em particular,

Tipo de funções Técnicas aplicáveis
Curvas Osculating circle.svg
para
Comprimentos de curvas, integrais de linha e curvatura .
Superfícies Helicoid.svg
para
Áreas de superfícies, integrais de superfície , fluxo através de superfícies e curvatura.
Campos escalares Surface-plot.png Máximos e mínimos, multiplicadores de Lagrange , derivadas direcionais , conjuntos de níveis .
Campos vetoriais Vector field.svg Qualquer uma das operações de cálculo vetorial, incluindo gradiente , divergência e ondulação .

O cálculo multivariável pode ser aplicado para analisar sistemas determinísticos que possuem vários graus de liberdade . Funções com variáveis ​​independentes correspondentes a cada um dos graus de liberdade são freqüentemente usadas para modelar esses sistemas, e o cálculo multivariável fornece ferramentas para caracterizar a dinâmica do sistema .

O cálculo multivariado é usado no controle ideal de sistemas dinâmicos de tempo contínuo . É usado na análise de regressão para derivar fórmulas para estimar relações entre vários conjuntos de dados empíricos .

O cálculo multivariável é usado em muitos campos das ciências naturais e sociais e da engenharia para modelar e estudar sistemas de alta dimensão que exibem comportamento determinístico. Em economia , por exemplo, a escolha do consumidor em relação a uma variedade de bens e a escolha do produtor em relação a vários insumos para usar e produtos para produzir são modeladas com cálculo multivariado. Os analistas quantitativos em finanças também costumam usar cálculos multivariados para prever tendências futuras no mercado de ações .

Os sistemas não determinísticos ou estocásticos podem ser estudados usando um tipo diferente de matemática, como o cálculo estocástico .

Veja também

Referências

links externos