Função implícita - Implicit function

Em matemática , uma equação implícita é uma relação da forma R ( x ₁ ,…, x _n ) = 0 , onde R é uma função de várias variáveis ​​(geralmente um polinômio ). Por exemplo, a equação implícita do círculo unitário é x ² + y ² - 1 = 0 .

Uma função implícita é uma função que é definida por uma equação implícita, que relaciona uma das variáveis, considerada como o valor da função, com as outras consideradas como os argumentos . Por exemplo, a equação x ² + y ² - 1 = 0 do círculo unitário define y como uma função implícita de x se −1 ≤ x ≤ 1 e restringe y a valores não negativos.

O teorema da função implícita fornece condições sob as quais alguns tipos de relações definem uma função implícita, a saber, relações definidas como a função indicadora do conjunto zero de alguma função multivariada continuamente diferenciável .

Exemplos

Funções inversas

Um tipo comum de função implícita é uma função inversa . Nem todas as funções têm uma função inversa exclusiva. Se g é uma função de x que tem um inverso único, então a função inversa de g , chamada g ⁻¹ , é a função única dando uma solução da equação

${\ displaystyle y = g (x)}$

para x em termos de y . Esta solução pode então ser escrita como

${\ displaystyle x = g ^ {- 1} (y) \ ,.}$

Definir g ⁻¹ como o inverso de g é uma definição implícita. Para algumas funções g , g ⁻¹ ( y ) pode ser escrito explicitamente como uma expressão de forma fechada - por exemplo, se g ( x ) = 2 x - 1 , então g ⁻¹ ( y ) = 1/2( y + 1) . No entanto, isso geralmente não é possível, ou apenas introduzindo uma nova notação (como no exemplo de log do produto abaixo).

Intuitivamente, uma função inversa é obtida de g trocando os papéis das variáveis ​​dependentes e independentes.

Exemplo: O log do produto é uma função implícita que fornece a solução para x da equação y - xe ^x = 0 .

Funções algébricas

Uma função algébrica é uma função que satisfaz uma equação polinomial cujos coeficientes são polinômios. Por exemplo, uma função algébrica em uma variável x dá uma solução para y de uma equação

${\ displaystyle a_ {n} (x) y ^ {n} + a_ {n-1} (x) y ^ {n-1} + \ cdots + a_ {0} (x) = 0 \ ,,}$

onde os coeficientes a _i ( x ) são funções polinomiais de x . Esta função algébrica pode ser escrita como o lado direito da solução da equação y = f ( x ) . Escrito assim, f é uma função implícita com múltiplos valores .

As funções algébricas desempenham um papel importante na análise matemática e na geometria algébrica . Um exemplo simples de uma função algébrica é dado pelo lado esquerdo da equação do círculo unitário:

${\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} -1 = 0 \ ,.}$

Resolver para y fornece uma solução explícita:

${\ displaystyle y = \ pm {\ sqrt {1-x ^ {2}}} \,}$

Mas mesmo sem especificar esta solução explícita, é possível referir-se à solução implícita da equação do círculo unitário como y = f ( x ) , onde f é a função implícita multivalorada.

Embora soluções explícitas possam ser encontradas para equações que são quadráticas , cúbicas e quárticas em y , o mesmo não é em geral verdadeiro para equações quínticas e de grau superior, como

${\ displaystyle y ^ {5} + 2y ^ {4} -7y ^ {3} + 3y ^ {2} -6y-x = 0 \ ,.}$

No entanto, pode-se ainda referir-se à solução implícita y = f ( x ) envolvendo a função implícita multivalorada f .

Ressalvas

Nem toda equação R ( x , y ) = 0 implica um gráfico de uma função de valor único, sendo a equação do círculo um exemplo importante. Outro exemplo é uma função implícita dada por x - C ( y ) = 0 onde C é um polinômio cúbico com uma "saliência" em seu gráfico. Assim, para que uma função implícita seja uma função verdadeira (de valor único), pode ser necessário usar apenas parte do gráfico. Uma função implícita às vezes pode ser definida com sucesso como uma função verdadeira somente depois de "ampliar" em alguma parte do eixo x e "cortar" alguns ramos de função indesejados. Então, uma equação expressando y como uma função implícita das outras variáveis ​​pode ser escrita.

A equação definidora R ( x , y ) = 0 também pode ter outras patologias. Por exemplo, a equação x = 0 não implica uma função f ( x ) fornecendo soluções para y ; é uma linha vertical. Para evitar um problema como esse, várias restrições são frequentemente impostas aos tipos de equações permitidos ou ao domínio . O teorema da função implícita fornece uma maneira uniforme de lidar com esses tipos de patologias.

Diferenciação implícita

No cálculo , um método chamado diferenciação implícita faz uso da regra da cadeia para diferenciar funções definidas implicitamente.

Para diferenciar uma função implícita y ( x ) , definida por uma equação R ( x , y ) = 0 , geralmente não é possível resolvê-la explicitamente para y e então diferenciar. Em vez disso, pode-se totalmente diferenciada R ( x , y ) = 0 com respeito a x e y e depois resolver a equação linear resultante durantetingir/dxpara obter explicitamente a derivada em termos de x e y . Mesmo quando é possível resolver explicitamente a equação original, a fórmula resultante da diferenciação total é, em geral, muito mais simples e fácil de usar.

Exemplos

Exemplo 1

Considerar

${\ displaystyle y + x + 5 = 0 \ ,.}$

Esta equação é fácil de resolver para y , dando

${\ displaystyle y = -x-5 \ ,,}$

onde o lado direito é a forma explícita da função y ( x ) . A diferenciação então dátingir/dx= -1 .

Alternativamente, pode-se diferenciar totalmente a equação original:

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {dy} {dx}} + {\ frac {dx} {dx}} + {\ frac {d} {dx}} (5) & = 0 \ ,; \\ [6px] {\ frac {dy} {dx}} + 1 + 0 & = 0 \,. \ End {alinhado}}}$

Resolvendo para tingir/dx dá

${\ displaystyle {\ frac {dy} {dx}} = - 1 \ ,,}$

a mesma resposta obtida anteriormente.

Exemplo 2

Um exemplo de uma função implícita para a qual a diferenciação implícita é mais fácil do que usar a diferenciação explícita é a função y ( x ) definida pela equação

${\ displaystyle x ^ {4} + 2y ^ {2} = 8 \,}$

Para diferenciar isso explicitamente em relação ax , é preciso primeiro obter

${\ displaystyle y (x) = \ pm {\ sqrt {\ frac {8-x ^ {4}} {2}}} \ ,,}$

e, em seguida, diferencie essa função. Isso cria duas derivadas: uma para y ≥ 0 e outra para y <0 .

É substancialmente mais fácil diferenciar implicitamente a equação original:

${\ displaystyle 4x ^ {3} + 4y {\ frac {dy} {dx}} = 0 \ ,,}$

dando

${\ displaystyle {\ frac {dy} {dx}} = {\ frac {-4x ^ {3}} {4y}} = - {\ frac {x ^ {3}} {y}} \ ,.}$

Exemplo 3

Freqüentemente, é difícil ou impossível resolver explicitamente para y , e a diferenciação implícita é o único método viável de diferenciação. Um exemplo é a equação

${\ displaystyle y ^ {5} -y = x \ ,.}$

É impossível expressar algebricamente y explicitamente como uma função de x e, portanto, não se pode encontrartingir/dxpor diferenciação explícita. Usando o método implícito,tingir/dx pode ser obtido diferenciando a equação para obter

${\ displaystyle 5y ^ {4} {\ frac {dy} {dx}} - {\ frac {dy} {dx}} = {\ frac {dx} {dx}} \ ,,}$

Onde dx/dx= 1 . Fatorartingir/dx mostra que

${\ displaystyle \ left (5y ^ {4} -1 \ right) {\ frac {dy} {dx}} = 1 \ ,,}$

que produz o resultado

${\ displaystyle {\ frac {dy} {dx}} = {\ frac {1} {5y ^ {4} -1}} \ ,,}$

que é definido para

${\ displaystyle y \ neq \ pm {\ frac {1} {\ sqrt [{4}] {5}}} \ quad {\ text {and}} \ quad y \ neq \ pm {\ frac {i} { \ sqrt [{4}] {5}}} \,}$

Fórmula geral para derivada de função implícita

Se R ( x , y ) = 0 , a derivada da função implícita y ( x ) é dada por

${\ displaystyle {\ frac {dy} {dx}} = - {\ frac {\, {\ frac {\ parcial R} {\ parcial x}} \,} {\ frac {\ parcial R} {\ parcial y }}} = - {\ frac {R_ {x}} {R_ {y}}} \ ,,}$

onde R _x e R _y indicam as derivadas parciais de R em relação a x e y .

A fórmula acima vem do uso da regra da cadeia generalizada para obter a derivada total - em relação a x - de ambos os lados de R ( x , y ) = 0 :

${\ displaystyle {\ frac {\ partial R} {\ partial x}} {\ frac {dx} {dx}} + {\ frac {\ partial R} {\ partial y}} {\ frac {dy} {dx }} = 0 \ ,,}$

por isso

${\ displaystyle {\ frac {\ parcial R} {\ parcial x}} + {\ frac {\ parcial R} {\ parcial y}} {\ frac {dy} {dx}} = 0 \ ,,}$

que, quando resolvido para tingir/dx, fornece a expressão acima.

Teorema da função implícita

O círculo unitário pode ser definido implicitamente como o conjunto de pontos ( x , y ) que satisfazem x ² + y ² = 1 . Em torno do ponto A , y pode ser expresso como uma função implícita y ( x ) . (Ao contrário de muitos casos, aqui esta função pode ser explicitada como g ₁ ( x ) = √ 1 - x ^2. ) Essa função não existe em torno do ponto B , onde o espaço tangente é vertical.

Seja R ( x , y ) uma função diferenciável de duas variáveis ​​e ( a , b ) um par de números reais tais que R ( a , b ) = 0 . Se∂ R/∂ y≠ 0 , então R ( x , y ) = 0 define uma função implícita que é diferenciável em alguma vizinhança pequena o suficiente de ( a , b ) ; em outras palavras, existe uma função diferenciável f que é definida e diferenciável em alguma vizinhança de a , tal que R ( x , f ( x )) = 0 para x nesta vizinhança.

A condição ∂ R/∂ y≠ 0 significa que ( a , b ) é um ponto regular da curva implícita da equação implícita R ( x , y ) = 0 onde a tangente não é vertical.

Em uma linguagem menos técnica, funções implícitas existem e podem ser diferenciadas, se a curva tiver uma tangente não vertical.

Em geometria algébrica

Considere uma relação da forma R ( x ₁ ,…, x _n ) = 0 , onde R é um polinômio multivariável. O conjunto dos valores das variáveis ​​que satisfazem esta relação é denominado curva implícita se n = 2 e superfície implícita se n = 3 . As equações implícitas são a base da geometria algébrica , cujos temas básicos de estudo são as soluções simultâneas de várias equações implícitas cujos lados esquerdos são polinômios. Esses conjuntos de soluções simultâneas são chamados de conjuntos algébricos afins .

Em equações diferenciais

As soluções de equações diferenciais geralmente aparecem expressas por uma função implícita.

Aplicações em economia

Taxa marginal de substituição

Na economia , quando o ajuste do nível de R ( x , y ) = 0 é uma curva de indiferença para as quantidades x e y consumido de dois produtos, o valor absoluto do derivado implícitotingir/dxé interpretado como a taxa marginal de substituição dos dois bens: quanto mais de y se deve receber para ser indiferente à perda de uma unidade de  x .

Taxa marginal de substituição técnica

Da mesma forma, às vezes o conjunto de níveis R ( L , K ) é uma isoquanta mostrando várias combinações de quantidades utilizadas L de trabalho e K de capital físico, cada uma das quais resultaria na produção da mesma quantidade dada de produto de algum bem. Neste caso, o valor absoluto da derivada implícitadK/dLé interpretado como a taxa marginal de substituição técnica entre os dois fatores de produção: quanto mais capital a empresa deve usar para produzir a mesma quantidade de produto com uma unidade de trabalho a menos.

Otimização

Freqüentemente, na teoria econômica , alguma função, como uma função de utilidade ou de lucro , deve ser maximizada em relação a um vetor de escolha x, mesmo que a função objetivo não tenha sido restrita a nenhuma forma funcional específica. O teorema da função implícita garante que as condições de primeira ordem da otimização definem uma função implícita para cada elemento do vetor ótimo x * do vetor de escolha x . Quando o lucro está sendo maximizado, normalmente as funções implícitas resultantes são a função de demanda de trabalho e as funções de oferta de vários bens. Quando a utilidade está sendo maximizada, normalmente as funções implícitas resultantes são a função de oferta de trabalho e as funções de demanda para vários bens.

Além disso, a influência dos parâmetros do problema em x * - as derivadas parciais da função implícita - pode ser expressa como derivadas totais do sistema de condições de primeira ordem encontrado usando a diferenciação total .

Veja também

Referências

Leitura adicional

• Binmore, KG (1983). "Funções implícitas" . Cálculo . Nova York: Cambridge University Press. pp. 198–211. ISBN 0-521-28952-1.
• Rudin, Walter (1976). Princípios de Análise Matemática . Boston: McGraw-Hill . pp.  223–228 . ISBN 0-07-054235-X.
• Simon, Carl P .; Blume, Lawrence (1994). "Funções implícitas e seus derivados" . Matemática para Economistas . Nova York: WW Norton. pp. 334–371. ISBN 0-393-95733-0.

links externos

• "Diferenciação implícita, o que está acontecendo aqui?" . 3Blue1Brown . Essence of Calculus. 3 de maio de 2017 - via YouTube .