Equação funcional - Functional equation

Em matemática , uma equação funcional é qualquer equação em que o desconhecido representa uma função . Freqüentemente, a equação relaciona o valor de uma função (ou funções) em algum ponto com seus valores em outros pontos. Por exemplo, as propriedades das funções podem ser determinadas considerando os tipos de equações funcionais que elas satisfazem. O termo equação funcional geralmente se refere a equações que não podem ser simplesmente reduzidas a equações algébricas ou diferenciais .

Exemplos

  • A equação funcional
é satisfeito pela função zeta de Riemann . A maiúscula Γ denota a função gama .
  • A função gama é a solução única do seguinte sistema de três equações:
       ( Fórmula de reflexão de Euler )
  • A equação funcional
onde a , b , c , d são inteiros que satisfazem , ou seja, = 1, define f como uma forma modular de ordem k .
  • Exemplos diversos, não necessariamente envolvendo funções padrão ou nomeadas:
( Equação funcional de Cauchy ), satisfeita por mapas lineares
satisfeito por todas as funções exponenciais
, satisfeito por todas as funções logarítmicas
, satisfeito por todas as funções de poder
(equação quadrática ou lei do paralelogramo )
(Jensen)
(d'Alembert)
( Equação de Abel )
( Equação de Schröder ).
( Equação de Böttcher ).
( Equação de Julia ).
( Equação de tradução )
(Levi-Civita),
e o par de equações
( fórmula de adição de seno e fórmula de adição de seno hiperbólica ),
( fórmula de adição de cosseno ),
( fórmula hiperbólica de adição de cosseno ).
mas se escrevermos ƒ ( a ,  b ) em vez de a  ○  b, então a lei associativa se parece mais com uma equação funcional convencional,

Uma característica que todos os exemplos listados acima compartilham é que, em cada caso, duas ou mais funções conhecidas (às vezes multiplicação por uma constante, às vezes adição de duas variáveis, às vezes a função de identidade ) estão dentro do argumento das funções desconhecidas para ser resolvido.

Quando se trata de solicitar todas as soluções, pode ser que as condições da análise matemática devam ser aplicadas; por exemplo, no caso da equação de Cauchy mencionada acima, as soluções que são funções contínuas são as 'razoáveis', enquanto outras soluções que provavelmente não têm aplicação prática podem ser construídas (usando uma base de Hamel para os números reais como espaço vetorial sobre os números racionais ). O teorema de Bohr-Mollerup é outro exemplo bem conhecido.

Solução

Resolver equações funcionais pode ser muito difícil, mas existem alguns métodos comuns para resolvê-las. Por exemplo, na programação dinâmica, uma variedade de métodos de aproximação sucessivos são usados ​​para resolver a equação funcional de Bellman , incluindo métodos baseados em iterações de ponto fixo . Algumas classes de equações funcionais podem ser resolvidas por técnicas assistidas por computador.

Um método principal de resolver equações funcionais elementares é a substituição. Muitas vezes é útil provar a sobrejetividade ou injetividade e provar estranheza ou regularidade , se possível. Também é útil adivinhar as soluções possíveis. A indução é uma técnica útil para usar quando a função é definida apenas para valores racionais ou inteiros.

Uma discussão sobre funções involutórias é tópica. Por exemplo, considere a função

Compondo f consigo mesmo dá a equação funcional de Babbage (1820),

Várias outras funções também satisfazem a equação funcional

Incluindo

e

que inclui os três anteriores como casos ou limites especiais.

Exemplo 1 . Encontre todas as funções f que satisfaçam

para todo x, y ∈ ℝ , assumindo que ƒ é uma função com valor real .

Seja x  =  y  = 0,

Portanto, ƒ (0) 2  = 0 e ƒ (0) = 0.

Agora, vamos y  = - x ,

Um quadrado de um número real não é negativo, e uma soma de números não negativos é zero se e somente se ambos os números forem 0.

Assim ƒ (x) 2  = 0 para todos os x e ƒ ( x ) = 0 é a única solução.

Veja também

Notas

  1. ^ Rassias, Themistocles M. (2000). Equações funcionais e desigualdades . 3300 AA Dordrecht, Holanda: Kluwer Academic Publishers . p. 335. ISBN  0-7923-6484-8.Manutenção CS1: localização ( link )
  2. ^ Hyers, DH; Isac, G .; Rassias, Th. M. (1998). Estabilidade de equações funcionais em várias variáveis . Boston: Birkhäuser Verlag . p. 313 . ISBN  0-8176-4024-X.
  3. ^ Jung, Soon-Mo (2001). Hyers-Ulam-Rassias Stability of Functional Equations in Mathematical Analysis . 35246 US 19 North # 115, Palm Harbor, FL 34684 USA: Hadronic Press, Inc. p. 256. ISBN  1-57485-051-2.Manutenção CS1: localização ( link )
  4. ^ Czerwik, Stephan (2002). Equações funcionais e desigualdades em várias variáveis . PO Box 128, Farrer Road, Singapura 912805: World Scientific Publishing Co. p. 410 . ISBN  981-02-4837-7.Manutenção CS1: localização ( link )
  5. ^ Bellman, R. (1957). Programação Dinâmica, Princeton University Press .
  6. ^ Sniedovich, M. (2010). Programação Dinâmica: Fundamentos e Princípios, Taylor & Francis .
  7. ^ Házy, Átila (2004-03-01). "Resolução de equações funcionais lineares de duas variáveis ​​com computador". Aequationes Mathematicae . 67 (1): 47–62. doi : 10.1007 / s00010-003-2703-9 . ISSN  1420-8903 .
  8. ^ Ritt, JF (1916). "Sobre certas soluções reais da equação funcional de Babbage". The Annals of Mathematics . 17 (3): 113–122. doi : 10.2307 / 2007270 . JSTOR  2007270 .

Referências

links externos