Resolução de equação - Equation solving

${\ displaystyle {\ overset {} {\ underset {} {x = {\ frac {-b \ pm {\ sqrt {b ^ {2} -4ac}}} {2a}}}}}}$

A fórmula quadrática , a solução simbólica da equação quadrática ax ² + bx + c = 0

Um exemplo de uso do método Newton-Raphson para resolver numericamente a equação f ( x ) = 0

Em matemática , resolver uma equação é encontrar suas soluções , que são os valores ( números , funções , conjuntos , etc.) que cumprem a condição declarada pela equação , consistindo geralmente em duas expressões relacionadas por um sinal de igual . Ao buscar uma solução, uma ou mais variáveis são designadas como incógnitas . Uma solução é uma atribuição de valores às variáveis ​​desconhecidas que torna verdadeira a igualdade na equação. Em outras palavras, uma solução é um valor ou uma coleção de valores (um para cada incógnita) tal que, quando substituída pelas incógnitas, a equação se torna uma igualdade . A solução de uma equação é freqüentemente chamada de raiz da equação, particularmente, mas não apenas para equações polinomiais . O conjunto de todas as soluções de uma equação é seu conjunto de soluções .

Uma equação pode ser resolvida numericamente ou simbolicamente. Resolver uma equação numericamente significa que apenas números são admitidos como soluções. Resolver uma equação simbolicamente significa que as expressões podem ser usadas para representar as soluções.

Por exemplo, a equação x + y = 2 x - 1 é resolvida para o x desconhecido pela expressão x = y + 1 , porque substituir y + 1 por x na equação resulta em ( y + 1) + y = 2 ( y + 1) - 1 , uma afirmação verdadeira. Também é possível tomar a variável y como a incógnita, e então a equação é resolvida por y = x - 1 . Ou x e y podem ser tratados como incógnitas e, portanto, há muitas soluções para a equação; uma solução simbólica é ( x , y ) = ( a + 1, a ) , onde a variável a pode assumir qualquer valor. Instanciar uma solução simbólica com números específicos fornece uma solução numérica; por exemplo, a = 0 dá ( x , y ) = (1, 0) (ou seja, x = 1, y = 0 ) e a = 1 dá ( x , y ) = (2, 1) .

A distinção entre variáveis ​​conhecidas e variáveis ​​desconhecidas é geralmente feita na formulação do problema, por frases como "uma equação em x e y " ou "resolva para x e y ", que indicam as incógnitas, aqui x e y . No entanto, é comum reservar x , y , z , ... para denotar as incógnitas e usar a , b , c , ... para denotar as variáveis ​​conhecidas, que costumam ser chamadas de parâmetros . Normalmente, esse é o caso ao considerar equações polinomiais , como equações quadráticas . No entanto, para alguns problemas, todas as variáveis ​​podem assumir qualquer uma das funções.

Dependendo do contexto, resolver uma equação pode consistir em encontrar qualquer solução (basta encontrar uma única solução), todas as soluções, ou uma solução que satisfaça outras propriedades, como pertencer a um determinado intervalo . Quando a tarefa é encontrar a solução que é a melhor sob algum critério, este é um problema de otimização . Resolver um problema de otimização geralmente não é referido como "resolução de equação", pois, geralmente, os métodos de resolução começam a partir de uma solução particular para encontrar uma solução melhor e repetir o processo até encontrar, eventualmente, a melhor solução.

Visão geral

Uma forma geral de uma equação é

${\ displaystyle f \ left (x_ {1}, \ dots, x_ {n} \ right) = c,}$

onde f é uma função , x ₁ , ..., x _n são as incógnitas e c é uma constante. Suas soluções são os elementos da imagem inversa

${\ displaystyle f ^ {- 1} (c) = {\ bigl \ {} (a_ {1}, \ dots, a_ {n}) \ in D \ mid f \ left (a_ {1}, \ dots, a_ {n} \ right) = c {\ bigr \}},}$

onde D é o domínio da função f . O conjunto de soluções pode ser o conjunto vazio (não há soluções), um singleton (há exatamente uma solução), finito ou infinito (há infinitas soluções).

Por exemplo, uma equação como

${\ displaystyle 3x + 2y = 21z,}$

com incógnitas x , y e z , pode ser colocado na forma acima subtraindo 21 z de ambos os lados da equação, para obter

${\ displaystyle 3x + 2y-21z = 0}$

Neste caso específico, não há apenas uma solução, mas um conjunto infinito de soluções, que podem ser escritas usando a notação do construtor de conjunto como

${\ displaystyle {\ bigl \ {} (x, y, z) \ mid 3x + 2y-21z = 0 {\ bigr \}}.}$

Uma solução particular é x = 0, y = 0, z = 0 . Duas outras soluções são x = 3, y = 6, z = 1 e x = 8, y = 9, z = 2 . Existe um plano único no espaço tridimensional que passa pelos três pontos com essas coordenadas , e esse plano é o conjunto de todos os pontos cujas coordenadas são soluções da equação.

Conjuntos de soluções

O conjunto de solução da equação x ²/4+ y ² = 1 forma uma elipse quando interpretada como um conjunto de pares de coordenadas cartesianas .

O conjunto de soluções de um determinado conjunto de equações ou desigualdades é o conjunto de todas as suas soluções, sendo uma solução uma tupla de valores, um para cada incógnita , que satisfaz todas as equações ou desigualdades. Se o conjunto de soluções estiver vazio, então não há valores das incógnitas que satisfaçam simultaneamente todas as equações e desigualdades.

Para um exemplo simples, considere a equação

${\ displaystyle x ^ {2} = 2.}$

Essa equação pode ser vista como uma equação diofantina , ou seja, uma equação para a qual apenas soluções inteiras são buscadas. Nesse caso, o conjunto solução é o conjunto vazio , já que 2 não é o quadrado de um inteiro. No entanto, se buscarmos soluções reais , existem duas soluções, √ 2 e - √ 2 ; em outras palavras, o conjunto solução é { √ 2 , - √ 2 } .

Quando uma equação contém várias incógnitas, e quando se tem várias equações com mais incógnitas do que equações, o conjunto de soluções costuma ser infinito. Nesse caso, as soluções não podem ser listadas. Para representá-los, muitas vezes é útil uma parametrização , que consiste em expressar as soluções em termos de algumas das incógnitas ou variáveis ​​auxiliares. Isso sempre é possível quando todas as equações são lineares .

Tais conjuntos de soluções infinitas pode, naturalmente, ser interpretado como geométricas formas, tais como linhas , curvas (ver foto), planos , e mais geralmente variedades algébricas ou múltiplas . Em particular, a geometria algébrica pode ser vista como o estudo de conjuntos de solução de equações algébricas .

Métodos de solução

Os métodos para resolver equações geralmente dependem do tipo de equação, tanto do tipo de expressão na equação quanto do tipo de valor que pode ser assumido pelas incógnitas. A variedade de tipos de equações é grande, assim como os métodos correspondentes. Apenas alguns tipos específicos são mencionados abaixo.

Em geral, dada uma classe de equações, pode não haver nenhum método sistemático conhecido ( algoritmo ) que funcione garantidamente. Isso pode ser devido à falta de conhecimento matemático; alguns problemas só foram resolvidos após séculos de esforço. Mas isso também reflete que, em geral, esse método não pode existir: alguns problemas são considerados insolúveis por um algoritmo, como o décimo problema de Hilbert , que se mostrou insolúvel em 1970.

Para várias classes de equações, algoritmos foram encontrados para resolvê-los, alguns dos quais foram implementados e incorporados em sistemas de álgebra de computador , mas muitas vezes não requerem tecnologia mais sofisticada do que lápis e papel. Em alguns outros casos, métodos heurísticos são conhecidos e geralmente são bem-sucedidos, mas não garantem que levem ao sucesso.

Força bruta, tentativa e erro, suposição inspirada

Se o conjunto de solução de uma equação é restrito a um conjunto finito (como é o caso das equações na aritmética modular , por exemplo), ou pode ser limitado a um número finito de possibilidades (como é o caso de algumas equações diofantinas ), o O conjunto de soluções pode ser encontrado por força bruta , ou seja, testando cada um dos valores possíveis ( soluções candidatas ). Pode ser que o número de possibilidades a serem consideradas, embora finito, seja tão grande que uma busca exaustiva não seja praticamente viável; isso é, de fato, um requisito para métodos de criptografia fortes .

Tal como acontece com todos os tipos de solução de problemas , tentativa e erro podem às vezes produzir uma solução, em particular onde a forma da equação, ou sua semelhança com outra equação com uma solução conhecida, pode levar a uma "suposição inspirada" na solução. Se uma estimativa, quando testada, falha em ser uma solução, a consideração da maneira como falha pode levar a uma estimativa modificada.

Álgebra elementar

Equações envolvendo funções racionais lineares ou simples de uma única incógnita de valor real, digamos x , como

${\ displaystyle 8x + 7 = 4x + 35 \ quad {\ text {or}} \ quad {\ frac {4x + 9} {3x + 4}} = 2 \ ,,}$

pode ser resolvido usando os métodos de álgebra elementar .

Sistemas de equações lineares

Sistemas menores de equações lineares podem ser resolvidos da mesma forma por métodos de álgebra elementar. Para resolver sistemas maiores, são usados ​​algoritmos baseados na álgebra linear .

Equações polinomiais

Equações polinomiais de grau até quatro podem ser resolvidas exatamente usando métodos algébricos, dos quais a fórmula quadrática é o exemplo mais simples. Equações polinomiais com um grau de cinco ou superior requerem em métodos numéricos gerais (veja abaixo) ou funções especiais, como radicais Bring , embora alguns casos específicos possam ser resolvidos algebricamente, por exemplo

${\ displaystyle 4x ^ {5} -x ^ {3} -3 = 0}$

(usando o teorema da raiz racional ), e

${\ displaystyle x ^ {6} -5x ^ {3} + 6 = 0 \ ,,}$

(usando a substituição x = z ^{1 ⁄ 3} , que simplifica isso para uma equação quadrática em z ).

Equações diofantinas

Nas equações diofantinas, as soluções devem ser inteiras . Em alguns casos, uma abordagem de força bruta pode ser usada, conforme mencionado acima. Em alguns outros casos, em particular se a equação estiver em uma incógnita, é possível resolver a equação para incógnitas com valores racionais (ver teorema da raiz Racional ) e, em seguida, encontrar soluções para a equação de Diofantina restringindo o conjunto de soluções a inteiro- soluções valiosas. Por exemplo, a equação polinomial

${\ displaystyle 2x ^ {5} -5x ^ {4} -x ^ {3} -7x ^ {2} + 2x + 3 = 0 \,}$

tem como soluções racionais x = -1/2e x = 3 e, portanto, vista como uma equação diofantina, tem a solução única x = 3 .

Em geral, entretanto, as equações diofantinas estão entre as mais difíceis de resolver.

Funções inversas

No caso simples de uma função de uma variável, digamos, h ( x ) , podemos resolver uma equação da forma h ( x ) = c para alguma constante c considerando o que é conhecido como a função inversa de h .

Dada uma função h  : A → B , a função inversa, denotada h ⁻¹ e definida como h ⁻¹  : B → A , é uma função tal que

${\ displaystyle h ^ {- 1} {\ bigl (} h (x) {\ bigr)} = h {\ bigl (} h ^ {- 1} (x) {\ bigr)} = x \ ,.}$

Agora, se aplicarmos a função inversa a ambos os lados de h ( x ) = c , onde c é um valor constante em B , obtemos

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} h ^ {- 1} {\ bigl (} h (x) {\ bigr)} & = h ^ {- 1} (c) \\ x & = h ^ {- 1} (c) \\\ fim {alinhado}}}$

e encontramos a solução para a equação. No entanto, dependendo da função, o inverso pode ser difícil de ser definido, ou pode não ser uma função em todo o conjunto B (apenas em algum subconjunto) e ter muitos valores em algum ponto.

Se apenas uma solução for suficiente, em vez do conjunto de soluções completo, é realmente suficiente se apenas a identidade funcional

${\ displaystyle h \ left (h ^ {- 1} (x) \ right) = x}$

detém. Por exemplo, a projeção π ₁  : R ² → R definido por π ₁ ( x , y ) = x não tem pós-inverso, mas tem um π pré-inverso^-1
₁definido por π^-1
₁( x ) = ( x , 0) . Na verdade, a equação π ₁ ( x , y ) = c é resolvida por

${\ displaystyle (x, y) = \ pi _ {1} ^ {- 1} (c) = (c, 0).}$

Exemplos de funções inversas incluem o n ° de raiz (inverso de x ⁿ ); o logaritmo (inverso de a ^x ); as funções trigonométricas inversas ; e a função W de Lambert (inversa de xe ^x ).

Fatoração

Se a expressão do lado esquerdo de uma equação P = 0 pode ser fatorada como P = QR , o conjunto solução da solução original consiste na união dos conjuntos solução das duas equações Q = 0 e R = 0 . Por exemplo, a equação

${\ displaystyle \ tan x + \ cot x = 2}$

pode ser reescrito, usando a identidade tan x cot x = 1 como

${\ displaystyle {\ frac {\ tan ^ {2} x-2 \ tan x + 1} {\ tan x}} = 0,}$

que pode ser fatorado em

${\ displaystyle {\ frac {\ left (\ tan x-1 \ right) ^ {2}} {\ tan x}} = 0.}$

As soluções são, portanto, as soluções da equação tan x = 1 e, portanto, o conjunto

${\ displaystyle x = {\ tfrac {\ pi} {4}} + k \ pi, \ quad k = 0, \ pm 1, \ pm 2, \ ldots.}$

Métodos numéricos

Com equações mais complicadas em números reais ou complexos , métodos simples para resolver equações podem falhar. Freqüentemente, algoritmos de localização de raízes como o método de Newton-Raphson podem ser usados ​​para encontrar uma solução numérica para uma equação, que, para algumas aplicações, pode ser inteiramente suficiente para resolver alguns problemas.

Equações matriciais

Equações envolvendo matrizes e vetores de números reais podem ser resolvidas com o uso de métodos de álgebra linear .

Equações diferenciais

Há um vasto corpo de métodos para resolver vários tipos de equações diferenciais , tanto numérica quanto analiticamente . Uma classe particular de problema que pode ser considerada pertencente aqui é a integração , e os métodos analíticos para resolver esse tipo de problema agora são chamados de integração simbólica . Soluções de equações diferenciais podem ser implícitas ou explícitas .

Veja também

• Soluções estranhas e ausentes
• Equações simultâneas
• Coeficientes de equação
• Resolvendo as equações geodésicas
• Unificação (ciência da computação) - resolução de equações envolvendo expressões simbólicas

Referências