Desigualdade (matemática) - Inequality (mathematics)
Em matemática , uma desigualdade é uma relação que faz uma comparação não igual entre dois números ou outras expressões matemáticas. É usado com mais freqüência para comparar dois números na reta numérica por seu tamanho. Existem várias notações diferentes usadas para representar diferentes tipos de desigualdades:
- A notação a < b significa que a é menor que b .
- A notação a > b significa que a é maior que b .
Em ambos os casos, a não é igual a b . Essas relações são conhecidas como desigualdades estritas , o que significa que a é estritamente menor ou estritamente maior que b . A equivalência é excluída.
Em contraste com as desigualdades estritas, existem dois tipos de relações de desigualdade que não são estritas:
- A notação a ≤ b ou a ⩽ b significa que a é menor ou igual a b (ou, equivalentemente, no máximo b , ou não maior que b ).
- A notação a ≥ b ou a ⩾ b significa que a é maior ou igual a b (ou, equivalentemente, pelo menos b , ou não menor que b ).
A relação "não maior que" também pode ser representada por a ≯ b , o símbolo para "maior que" dividido ao meio por uma barra, "não". O mesmo é verdadeiro para "não menos que" e a ≮ b .
A notação a ≠ b significa que a não é igual ab , e às vezes é considerada uma forma de desigualdade estrita. Não quer dizer que um seja maior do que o outro; não requer nem mesmo um e b para ser membro de um conjunto ordenado .
Nas ciências da engenharia, o uso menos formal da notação é afirmar que uma quantidade é "muito maior" do que outra, normalmente em várias ordens de magnitude . Isso implica que o valor menor pode ser desprezado com pouco efeito sobre a precisão de uma aproximação (como no caso do limite ultrarelativístico em física).
- A notação a ≪ b significa que a é muito menor que b . (Na teoria da medida , no entanto, essa notação é usada para continuidade absoluta , um conceito não relacionado.)
- A notação a ≫ b significa que a é muito maior que b .
Em todos os casos acima, quaisquer dois símbolos que se espelhem são simétricos; a < b e b > a são equivalentes, etc.
Propriedades na linha numérica
As desigualdades são regidas pelas seguintes propriedades . Todas essas propriedades também são válidas se todas as desigualdades não estritas (≤ e ≥) forem substituídas por suas desigualdades estritas correspondentes (<e>) e - no caso de aplicação de uma função - as funções monotônicas são limitadas a funções estritamente monotônicas .
Conversar
As relações ≤ e ≥ são inversas entre si , o que significa que para quaisquer números reais a e b :
- a ≤ b e b ≥ a são equivalentes.
Transitividade
A propriedade transitiva da desigualdade afirma que, para quaisquer números reais a , b , c :
- Se a ≤ b e b ≤ c , então a ≤ c .
Se qualquer uma das premissas for uma desigualdade estrita, então a conclusão é uma desigualdade estrita:
- Se um ≤ b e b < c , em seguida, um < c .
- Se a < b e b ≤ c , então a < c .
Adição e subtração
Uma constante comum c pode ser adicionada ou subtraída de ambos os lados de uma desigualdade. Portanto, para quaisquer números reais a , b , c :
- Se a ≤ b , então a + c ≤ b + c e a - c ≤ b - c .
Em outras palavras, a relação de desigualdade é preservada sob adição (ou subtração) e os números reais são um grupo ordenado sob adição.
Multiplicação e divisão
As propriedades que lidam com multiplicação e divisão afirmam que, para quaisquer números reais, a , b e c diferente de zero :
- Se um ≤ b e c > 0, então ac ≤ bc e um / c ≤ b / c .
- Se um ≤ b e c <0, então ac ≥ bc e um / c ≥ b / c .
Em outras palavras, a relação de desigualdade é preservada sob multiplicação e divisão com constante positiva, mas é revertida quando uma constante negativa está envolvida. De maneira mais geral, isso se aplica a um campo ordenado . Para obter mais informações, consulte § Campos ordenados .
Inverso aditivo
A propriedade para o inverso aditivo afirma que para quaisquer números reais a e b :
- Se a ≤ b , então - a ≥ - b .
Multiplicativo inverso
Se ambos os números forem positivos, então a relação de desigualdade entre os inversos multiplicativos é oposta àquela entre os números originais. Mais especificamente, para quaisquer números reais diferentes de zero a e b que sejam positivos (ou ambos negativos ):
- Se a ≤ b , então 1/uma ≥ 1/b.
Todos os casos para os sinais de um e b também podem ser escritos em notação acorrentado , como segue:
- Se 0 < a ≤ b , então1/uma ≥ 1/b > 0.
- Se a ≤ b <0, então 0>1/uma ≥ 1/b.
- Se a <0 < b , então1/uma <0 < 1/b.
Aplicar uma função a ambos os lados
Qualquer função monotonicamente crescente , por sua definição, pode ser aplicada a ambos os lados de uma desigualdade sem quebrar a relação de desigualdade (desde que ambas as expressões estejam no domínio daquela função). No entanto, a aplicação de uma função monotonicamente decrescente a ambos os lados de uma desigualdade significa que a relação de desigualdade seria invertida. As regras para o inverso aditivo e o inverso multiplicativo para números positivos são exemplos de aplicação de uma função decrescente monotonicamente.
Se a desigualdade é estrita ( a < b , a > b ) e a função é estritamente monotônica, então a desigualdade permanece estrita. Se apenas uma dessas condições for estrita, a desigualdade resultante não será estrita. Na verdade, as regras para inversos aditivos e multiplicativos são exemplos de aplicação de uma função decrescente estritamente monotônica.
Alguns exemplos dessa regra são:
- Elevar ambos os lados de uma desigualdade a uma potência n > 0 - (equiv,. N , quando <0) a e b são números reais positivos:
- 0 ≤ a ≤ b ⇔ 0 ≤ a n ≤ b n .
- 0 ≤ a ≤ b ⇔ a - n ≥ b - n ≥ 0.
- Tomando o logaritmo natural em ambos os lados de uma desigualdade, quando a e b são números reais positivos:
- 0 < a ≤ b ⇔ ln ( a ) ≤ ln ( b ).
- 0 < a < b ⇔ ln ( a ) <ln ( b ).
- (isso é verdade porque o logaritmo natural é uma função estritamente crescente.)
Definições formais e generalizações
Uma ordem parcial (não estrita) é uma relação binária ≤ sobre um conjunto P que é reflexivo , antissimétrico e transitivo . Ou seja, para todos a , b e c em P , deve satisfazer as três seguintes cláusulas:
- a ≤ a ( reflexividade )
- se a ≤ b e b ≤ a , então a = b ( antissimetria )
- se a ≤ b e b ≤ c , então a ≤ c ( transitividade )
Um conjunto com uma ordem parcial é chamado de conjunto parcialmente ordenado . Esses são os axiomas básicos que todo tipo de ordem deve satisfazer. Outros axiomas que existem para outras definições de ordens em um conjunto P incluem:
- Para cada um e b em P , um ≤ b ou b ≤ um ( ordem total ).
- Para todos um e b em P para o qual um < b , existe um c de P de tal modo que uma < c < b ( pedido densa ).
- Cada subconjunto não vazio de P com um limite superior tem um limite superior mínimo (supremo) em P ( propriedade do limite superior mínimo ).
Campos ordenados
Se ( F , +, ×) é um campo e ≤ é uma ordem total em F , então ( F , +, ×, ≤) é chamado de campo ordenado se e somente se:
- a ≤ b implica a + c ≤ b + c ;
- 0 ≤ a e 0 ≤ b implica 0 ≤ a × b .
Ambos ( Q , +, ×, ≤) e ( R , +, ×, ≤) são campos ordenados , mas ≤ não pode ser definido para tornar ( C , +, ×, ≤) um campo ordenado , porque −1 é o quadrado de i e, portanto, seria positivo.
Além de ser um campo ordenado, R também possui a propriedade do limite superior mínimo . Na verdade, R pode ser definido como o único campo ordenado com essa qualidade.
Notação encadeada
A notação a < b < c significa " a < b e b < c ", da qual, pela propriedade de transitividade acima, também segue que a < c . Pelas leis acima, pode-se adicionar ou subtrair o mesmo número a todos os três termos, ou multiplicar ou dividir todos os três termos pelo mesmo número diferente de zero e reverter todas as desigualdades se esse número for negativo. Portanto, por exemplo, a < b + e < c é equivalente a a - e < b < c - e .
Essa notação pode ser generalizada para qualquer número de termos: por exemplo, a 1 ≤ a 2 ≤ ... ≤ a n significa que a i ≤ a i +1 para i = 1, 2, ..., n - 1. Por transitividade, essa condição é equivalente a a i ≤ a j para qualquer 1 ≤ i ≤ j ≤ n .
Ao resolver desigualdades usando notação encadeada, é possível e às vezes necessário avaliar os termos independentemente. Por exemplo, para resolver a inequação 4 x <2 x + 1 ≤ 3 x + 2, não é possível isolar x em qualquer parte da inequação por meio de adição ou subtração. Em vez disso, as desigualdades devem ser resolvidas independentemente, resultando em x <1/2 e x ≥ −1 respectivamente, que podem ser combinados na solução final −1 ≤ x <1/2.
Ocasionalmente, a notação encadeada é usada com desigualdades em diferentes direções, caso em que o significado é a conjunção lógica das desigualdades entre termos adjacentes. Por exemplo, o condiction definição de um poset ziguezague é escrito como um 1 < um 2 > um 3 < um 4 > um 5 < um 6 > .... A notação de cadeia mista é usada com mais frequência com relações compatíveis, como <, =, ≤. Por exemplo, a < b = c ≤ d significa que a < b , b = c e c ≤ d . Essa notação existe em algumas linguagens de programação , como Python . Em contraste, em linguagens de programação que fornecem uma ordem no tipo de resultados de comparação, como C , mesmo cadeias homogêneas podem ter um significado completamente diferente.
Desigualdades acentuadas
Uma desigualdade é considerada aguda , se não puder ser relaxada e ainda assim ser válida em geral. Formalmente, uma desigualdade universalmente quantificada φ é chamada de acentuada se, para cada desigualdade universalmente quantificada válida ψ , se ψ ⇒ φ for mantida , então ψ ⇔ φ também será válida. Por exemplo, a desigualdade ∀ a ∈ ℝ . a 2 ≥ 0 é nítido, enquanto a desigualdade ∀ a ∈ ℝ. a 2 ≥ −1 não é nítido.
Desigualdades entre meios
Existem muitas desigualdades entre os meios. Por exemplo, para quaisquer números positivos a 1 , a 2 , ..., a n temos H ≤ G ≤ A ≤ Q , onde
( média harmônica ), ( média geométrica ), ( média aritmética ), ( média quadrática ).
Desigualdade de Cauchy-Schwarz
A desigualdade de Cauchy-Schwarz afirma que, para todos os vetores u e v de um espaço produto interno é verdade que
onde está o produto interno . Exemplos de produtos internos incluem o produto escalar real e complexo ; No espaço euclidiano R n com o produto interno padrão, a desigualdade de Cauchy-Schwarz é
Desigualdades de poder
Uma " desigualdade de poder " é uma desigualdade que contém termos da forma a b , onde a e b são números positivos reais ou expressões variáveis. Eles costumam aparecer em exercícios de olimpíadas matemáticas .
Exemplos
- Para qualquer x real ,
- Se x > 0 e p > 0, então
- No limite de p → 0, os limites superior e inferior convergem para ln ( x ).
- Se x > 0, então
- Se x > 0, então
- Se x , y , z > 0, então
- Para quaisquer números reais distintos a e b ,
- Se x , y > 0 e 0 < p <1, então
- Se x , y , z > 0, então
- Se a , b > 0, então
- Se a , b > 0, então
- Se a , b , c > 0, então
- Se a , b > 0, então
Desigualdades bem conhecidas
Os matemáticos costumam usar desigualdades para limitar as quantidades para as quais as fórmulas exatas não podem ser calculadas facilmente. Algumas desigualdades são usadas com tanta frequência que têm nomes:
- Desigualdade de Azuma
- A desigualdade de Bernoulli
- Desigualdade de Bell
- Desigualdade de Boole
- Desigualdade de Cauchy-Schwarz
- Desigualdade de Chebyshev
- Desigualdade de Chernoff
- Desigualdade de Cramér-Rao
- Desigualdade de Hoeffding
- Desigualdade de Hölder
- Desigualdade de meios aritméticos e geométricos
- A desigualdade de Jensen
- Desigualdade de Kolmogorov
- A desigualdade de Markov
- Desigualdade de Minkowski
- Desigualdade de Nesbitt
- Desigualdade de Pedoe
- Desigualdade de Poincaré
- A desigualdade de Samuelson
- Desigualdade triangular
Números complexos e desigualdades
O conjunto de números complexos ℂ com suas operações de adição e multiplicação é um campo , mas é impossível definir qualquer relação ≤ para que (ℂ, +, ×, ≤) se torne um campo ordenado . Para tornar (ℂ, +, ×, ≤) um campo ordenado , ele teria que satisfazer as duas propriedades a seguir:
- se a ≤ b , então a + c ≤ b + c ;
- se 0 ≤ a e 0 ≤ b , então 0 ≤ ab .
Como ≤ é uma ordem total , para qualquer número a , 0 ≤ a ou a ≤ 0 (nesse caso, a primeira propriedade acima implica que 0 ≤ - a ). Em qualquer dos casos 0 ≤ a 2 ; isso significa que i 2 > 0 e 1 2 > 0 ; então −1> 0 e 1> 0 , o que significa (−1 + 1)> 0; contradição.
No entanto, uma operação ≤ pode ser definida de modo a satisfazer apenas a primeira propriedade (a saber, "se a ≤ b , então a + c ≤ b + c "). Às vezes, a definição de ordem lexicográfica é usada:
-
a ≤ b , se
- Re ( a ) <Re ( b ) , ou
- Re ( a ) = Re ( b ) e Im ( a ) ≤ Im ( b )
Pode-se facilmente provar que para esta definição a ≤ b implica a + c ≤ b + c .
Desigualdades de vetor
Relações de desigualdade semelhantes às definidas acima também podem ser definidas para vetores de coluna . Se deixarmos os vetores (significando que e , onde e são números reais para ), podemos definir as seguintes relações:
- , se para .
- , se para .
- , se para e .
- , se para .
Da mesma forma, podemos definir relações para , , e . Essa notação é consistente com a usada por Matthias Ehrgott em Otimização de multicritério (ver referências).
A propriedade de tricotomia (conforme declarado acima ) não é válida para relacionamentos de vetores. Por exemplo, quando e , não existe uma relação de desigualdade válida entre esses dois vetores. No entanto, para o resto das propriedades mencionadas, existe uma propriedade paralela para desigualdades vetoriais.
Sistemas de desigualdades
Os sistemas de desigualdades lineares podem ser simplificados pela eliminação de Fourier-Motzkin .
A decomposição algébrica cilíndrica é um algoritmo que permite testar se um sistema de equações e desigualdades polinomiais possui soluções e, caso existam, descrevê-las. A complexidade desse algoritmo é duplamente exponencial no número de variáveis. É um domínio ativo de pesquisa para projetar algoritmos que são mais eficientes em casos específicos.
Veja também
- Relação binária
- Parênteses (matemática) , para o uso de sinais ‹e› semelhantes como colchetes
- Inclusão (teoria dos conjuntos)
- Inequação
- Intervalo (matemática)
- Lista de desigualdades
- Lista de desigualdades de triângulo
- Conjunto parcialmente ordenado
- Operadores relacionais , usados em linguagens de programação para denotar desigualdade
Referências
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Fontes
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