Função inversa - Inverse function

Uma função

f

e seu inverso

f -1

. Como

f

mapeia

a

para 3, o inverso

f -1

mapeia 3 de volta para

a

.

Em matemática , uma função inversa (ou anti-função ) é uma função que "inverte" outra função: se a função $f$ aplicada a uma entrada $x$ fornece um resultado de $y$ , então, aplicando sua função inversa $g$ para $y, você$ obtém o resultado $x$ , ou seja, $g (y) = x$ se e somente se $f (x) = y$ . A função inversa de $f$ também é denotada como . ${\ displaystyle f ^ {- 1}}$

Como exemplo, considere a função de valor real de uma variável real dada por $f (x) = 5 x - 7$ . Pensando nisso como um procedimento passo a passo (ou seja, pegue um número $x$ , multiplique-o por 5 e, em seguida, subtraia 7 do resultado), para reverter isso e obter $x$ de algum valor de saída, digamos $y$ , desfazeríamos cada etapa na ordem inversa. Nesse caso, significa adicionar 7 a $y$ e, em seguida, dividir o resultado por 5. Na notação funcional , esta função inversa seria dada por,

{\ displaystyle g (y) = {\ frac {y + 7} {5}}.}

Com $y = 5 x - 7$ temos que $f (x) = y$ e $g (y) = x$ .

Nem todas as funções têm funções inversas. Aqueles que o fazem são chamados de invertíveis . Para que uma função $f : X \to Y$ tenha uma inversa, ela deve ter a propriedade de que para cada $y$ em $Y$ , há exatamente um $x$ em $X$ tal que $f (x) = y$ . Esta propriedade garante que uma função $g : Y \to X$ exista com a relação necessária com $f$ .

Definições

Se

f

mapeia

X

para

Y

, em seguida,

f -1

mapeia

Y

volta para

X

.

Deixe $f$ ser uma função cujo domínio é o conjunto $X$ , e cujo codomain é o conjunto $Y$ . Então $f$ é invertível se existe uma função $g$ com domínio $Y$ e codomínio $X$ , com a propriedade:

{\ displaystyle f (x) = y \, \, \ Leftrightarrow \, \, g (y) = x.}

Se $f$ é invertível, então a função $g$ é única , o que significa que existe exatamente uma função $g que$ satisfaz essa propriedade. Além disso, também segue que os intervalos de $g$ e $f são$ iguais aos seus respectivos codomínios. A função $g$ é chamado o inverso de $M$ , e é geralmente indicada como $f -1$ , uma notação introduzido por John Frederick William Herschel em 1813.

Dito de outra forma, uma função, considerada como uma relação binária , tem uma inversa se e somente se a relação inversa é uma função no codomínio $Y$ , caso em que a relação inversa é a função inversa.

Nem todas as funções têm um inverso. Para que uma função seja inversa, cada elemento $y \in Y$ deve corresponder a no máximo um $x \in X$ ; uma função $f$ com essa propriedade é chamada de um para um ou injeção . Se $f -1$ é para ser uma função em $Y$ , em seguida, cada elemento $y \in Y$ deve corresponder a alguns $x \in X$ . As funções com esta propriedade são chamadas de sobreposições . Essa propriedade é satisfeita por definição se $Y$ for a imagem de $f$ , mas pode não ser válida em um contexto mais geral. Para ser invertível, uma função deve ser tanto uma injeção quanto uma sobreposição. Essas funções são chamadas de bijeções . O inverso de uma injeção $f$ $:$ $X$ $\to$ $Y$ que não é uma bijeção (ou seja, não é uma sobreposição), é apenas uma função parcial em $Y$ , o que significa que para algum $y$ $\in$ $Y$ , $f$ $-1$ $($ $y$ $)$ é indefinido. Se uma função $f$ é invertível, então tanto ela quanto sua função inversa $f$ $-1$ são bijeções.

Outra convenção é usada na definição de funções, conhecida como definição de "conjunto teórico" ou "gráfico" usando pares ordenados , o que torna o codomínio e a imagem da função o mesmo. Sob essa convenção, todas as funções são sobrejetivas, portanto, bijetividade e injetividade são as mesmas. Os autores que usam esta convenção podem usar a frase que uma função é invertível se e somente se for uma injeção. As duas convenções não precisam causar confusão, contanto que seja lembrado que, nessa convenção alternativa, o codomínio de uma função é sempre considerado a imagem da função.

Exemplo: funções quadrada e raiz quadrada

A função $f : R \to [0, \infty)$ dada por $f (x) = x 2$ não é injetiva, uma vez que cada resultado possível y (exceto 0) corresponde a dois pontos de partida diferentes em $X$ - um positivo e um negativo, e assim esta função não é invertível. Com esse tipo de função, é impossível deduzir uma entrada (única) de sua saída. Essa função é chamada de não injetiva ou, em alguns aplicativos, de perda de informações.

Se o domínio da função for restrito aos reais não negativos, ou seja, a função é redefinida para ser $f : [0, \infty) \to [0, \infty)$ com a mesma regra de antes, então a função é bijetiva e, portanto, invertível. A função inversa aqui é chamada de função de raiz quadrada (positiva) .

Inversos e composição

Se $f$ é uma função invertível com domínio $X$ e codomínio $Y$ , então

{\ displaystyle f ^ {- 1} \ left (\, f (x) \, \ right) = x}

, para todos ; e , para todos .

{\ displaystyle x \ in X}

{\ displaystyle f \ left (\, f ^ {- 1} (y) \, \ right) = y}

{\ displaystyle y \ in Y.}

Usando a composição de funções , podemos reescrever essa declaração da seguinte maneira:

{\ displaystyle f ^ {- 1} \ circ f = \ operatorname {id} _ {X}}

e

{\ displaystyle f \ circ f ^ {- 1} = \ operatorname {id} _ {Y},}

onde $id X$ é a função de identidade no conjunto $X$ ; ou seja, a função que deixa seu argumento inalterado. Na teoria das categorias , esta afirmação é usada como a definição de um morfismo inverso .

Considerar a composição da função ajuda a entender a notação $f -1$ . A composição repetida de uma função com ela mesma é chamada de iteração . Se $f$ for aplicado $n$ vezes, começando com o valor $x$ , isso é escrito como $f n (x)$ ; então $f 2 (x) = f (f (x))$ , etc. Como $f -1 (f (x)) = x$ , compondo $f -1$ e $f n$ resulta em $f n -1$ , "desfazendo" o efeito de um aplicação de $f$ .

Notação

Embora a notação $f -1 (x)$ possa ser mal compreendida, $(f (x)) -1$ certamente denota o inverso multiplicativo de $f (x)$ e não tem nada a ver com a função inversa de $f$ .

Mantendo a notação geral, alguns autores ingleses usam expressões como $sin -1 (x)$ para denotar o inverso da função seno aplicada a $x$ (na verdade, um inverso parcial ; veja abaixo). Outros autores acham que isso pode ser confundido com a notação para o inverso multiplicativo de $sin (x)$ , que pode ser denotado como $(sin (x)) -1$ . Para evitar qualquer confusão, uma função trigonométrica inversa é freqüentemente indicada pelo prefixo " arco " (para o latim arcus ). Por exemplo, o inverso da função seno é normalmente chamado de função arco seno , escrito como $arcsin (x)$ . Da mesma forma, o inverso de uma função hiperbólica é indicado pelo prefixo " ar " (para o latim ārea ). Por exemplo, o inverso da função seno hiperbólica é normalmente escrito como $arsinh (x)$ . Outras funções especiais inversas às vezes são prefixadas com o prefixo "inv", se a ambigüidade da notação $f -1$ deve ser evitada.

Propriedades

Visto que uma função é um tipo especial de relação binária , muitas das propriedades de uma função inversa correspondem a propriedades de relações inversas .

Singularidade

Se uma função inversa existe para uma determinada função $f$ , então ela é única. Isso ocorre porque a função inversa deve ser a relação inversa, que é completamente determinada por $f$ .

Simetria

Existe uma simetria entre uma função e sua inversa. Especificamente, se $f$ é uma função invertível com domínio $X$ e codomínio $Y$ , então seu inverso $f -1$ tem domínio $Y$ e imagem $X$ , e o inverso de $f -1$ é a função original $f$ . Em símbolos, para as funções $f : X \to Y$ e $f -1 : Y \to X$ ,

{\ displaystyle f ^ {- 1} \ circ f = \ operatorname {id} _ {X}}

e

{\ displaystyle f \ circ f ^ {- 1} = \ operatorname {id} _ {Y}.}

Esta afirmação é uma consequência da implicação de que para $f$ ser invertível, deve ser bijetivo. A natureza involutória do inverso pode ser expressa de forma concisa por

{\ displaystyle \ left (f ^ {- 1} \ right) ^ {- 1} = f.}

O inverso de

g

\circ

f

é

f

-1

\circ

g

-1

.

O inverso de uma composição de funções é dado por

{\ displaystyle (g \ circ f) ^ {- 1} = f ^ {- 1} \ circ g ^ {- 1}.}

Note que a ordem de $g$ e $F$ foram invertidos; para desfazer $f$ seguido de $g$ , devemos primeiro desfazer $g$ e, em seguida, desfazer $f$ .

Por exemplo, seja $f (x) = 3 x$ e seja $g (x) = x + 5$ . Então, a composição $g$ $\circ$ $f$ é a função que primeiro multiplica por três e depois adiciona cinco,

{\ displaystyle (g \ circ f) (x) = 3x + 5.}

Para reverter esse processo, devemos primeiro subtrair cinco e, em seguida, dividir por três,

{\ displaystyle (g \ circ f) ^ {- 1} (x) = {\ tfrac {1} {3}} (x-5).}

Esta é a composição $(f -1 \circ g -1) (x)$ .

Autoinversos

Se $X$ for um conjunto, a função de identidade em $X$ será seu próprio inverso:

{\ displaystyle {\ operatorname {id} _ {X}} ^ {- 1} = \ operatorname {id} _ {X}.}

De modo mais geral, uma função $f$ $:$ $X$ $\to$ $X$ é igual ao seu próprio inverso, se e somente se a composição $f$ $\circ$ $f$ é igual a $id$ $X$ . Essa função é chamada de involução .

Inversos em cálculo

O cálculo de variável única se preocupa principalmente com funções que mapeiam números reais em números reais. Essas funções costumam ser definidas por meio de fórmulas , como:

{\ displaystyle f (x) = (2x + 8) ^ {3}.}

Uma função sobrejetiva $f$ dos números reais para os números reais possui uma inversa, desde que seja um para um. Ou seja, o gráfico de $y = f (x)$ tem, para cada valor $y$ possível , apenas um valor $x$ correspondente e, portanto, passa no teste da linha horizontal .

A tabela a seguir mostra várias funções padrão e seus inversos:

Função $f (x)$	$F$ $-1$ inverso $($ $y$ $)$	Notas
$x + a$	$y - a$
$a - x$	$a - y$
$mx$	$y$ / $m$	$m \neq 0$
1/ $x$ (ou seja, $x -1$ )	1/ $y$ (ou seja, $y -1$ )	$x, y \neq 0$
$x 2$	√ $y$ (ou seja, $y 1/2$ )	$x, y \geq 0$ apenas
$x 3$	³ √ $y$ (isto $y 1/3$ )	nenhuma restrição em $x$ e $y$
$x p$	^$p$ √ $y$ (ou seja, $y 1 / p$ )	$x, y \geq 0$ se $p$ for par; inteiro $p > 0$
$2 x$	$lb y$	$y > 0$
$e x$	$ln y$	$y > 0$
$10 x$	$log y$	$y > 0$
$a x$	$log a y$	$y > 0$ e $a > 0$
$x e x$	$W (y)$	$x \geq -1$ e $y \geq -1 / e$
funções trigonométricas	funções trigonométricas inversas	várias restrições (consulte a tabela abaixo)
funções hiperbólicas	funções hiperbólicas inversas	várias restrições

Fórmula para o inverso

Uma abordagem para encontrar uma fórmula para $f -1$ , se houver, é resolver a equação $y = f (x)$ para $x$ . Por exemplo, se $f$ é a função

{\ displaystyle f (x) = (2x + 8) ^ {3}}

então devemos resolver a equação $y = (2 x + 8) 3$ para $x$ :

{\ displaystyle {\ begin {alinhados} y & = (2x + 8) ^ {3} \\ {\ sqrt [{3}] {y}} & = 2x + 8 \\ {\ sqrt [{3}] { y}} - 8 & = 2x \\ {\ dfrac {{\ sqrt [{3}] {y}} - 8} {2}} & = x. \ end {alinhado}}}

Assim, a função inversa $f -1$ é dada pela fórmula

{\ displaystyle f ^ {- 1} (y) = {\ frac {{\ sqrt [{3}] {y}} - 8} {2}}.}

Às vezes, o inverso de uma função não pode ser expresso por uma fórmula com um número finito de termos. Por exemplo, se $f$ é a função

{\ displaystyle f (x) = x- \ sin x,}

então $f$ é uma bijeção e, portanto, possui uma função inversa $f -1$ . A fórmula para este inverso tem um número infinito de termos:

{\ displaystyle f ^ {- 1} (y) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {y ^ {n / 3}} {n!}} \ lim _ {\ theta \ para 0} \ left ({\ frac {\ mathrm {d} ^ {\, n-1}} {\ mathrm {d} \ theta ^ {\, n-1}}} \ left ({\ frac {\ theta} {\ sqrt [{3}] {\ theta - \ sin (\ theta)}}} \ right) ^ {n} \ right).}

Gráfico do inverso

Os gráficos de

y = f (x)

e

y = f -1 (x)

. A linha pontilhada é

y = x

.

Se $f$ for invertível, o gráfico da função

{\ displaystyle y = f ^ {- 1} (x)}

é o mesmo que o gráfico da equação

{\ displaystyle x = f (y).}

Esta é idêntica à equação $y = f (x)$ que define o gráfico de $f$ , excepto que os papéis de $x$ e $y$ foram invertidos. Assim, o gráfico de $f -1$ pode ser obtido a partir do gráfico de $f$ por comutação das posições do $x$ e $y$ eixos. Isso é equivalente a refletir o gráfico ao longo da linha $y = x$ .

Inversos e derivados

Uma função contínua $f$ é invertível em seu intervalo (imagem) se e somente se estiver estritamente aumentando ou diminuindo (sem máximos ou mínimos locais ). Por exemplo, a função

{\ displaystyle f (x) = x ^ {3} + x}

é invertível, pois a derivada $f ' (x) = 3 x 2 + 1$ é sempre positiva.

Se a função $F$ é diferenciável em um intervalo de $I$ e $F '$ $($ $x$ $) \neq 0$ para cada $x$ $\in$ $I$ , então o inverso $f$ $-1$ é diferenciável em $f$ $($ $I$ $)$ . Se $y$ $=$ $f$ $($ $x$ $)$ , a derivada do inverso é dada pelo teorema da função inversa ,

{\ displaystyle \ left (f ^ {- 1} \ right) ^ {\ prime} (y) = {\ frac {1} {f '\ left (x \ right)}}.}

Usando a notação de Leibniz, a fórmula acima pode ser escrita como

{\ displaystyle {\ frac {dx} {dy}} = {\ frac {1} {dy / dx}}.}

Este resultado segue a regra da cadeia (consulte o artigo sobre funções inversas e diferenciação ).

O teorema da função inversa pode ser generalizado para funções de várias variáveis. Especificamente, uma função multivariável diferenciável $f$ $:$ $R$ $n$ $\to$ $R$ $n$ é invertível na vizinhança de um ponto $p$ , desde que a matriz Jacobiana de $f$ em $p$ seja invertível . Nesse caso, o Jacobiano de $f$ $-1$ em $f$ $($ $p$ $)$ é a matriz inversa do Jacobiano de $f$ em $p$ .

Exemplos do mundo real

Seja $f$ a função que converte uma temperatura em graus Celsius em uma temperatura em graus Fahrenheit , ${\ displaystyle F = f (C) = {\ tfrac {9} {5}} C + 32;}$ então sua função inversa converte graus Fahrenheit em graus Celsius, ${\ displaystyle C = f ^ {- 1} (F) = {\ tfrac {5} {9}} (F-32),}$ Desde a ${\ displaystyle {\ begin {alinhados} f ^ {- 1} (f (C)) = {} & f ^ {- 1} \ left ({\ tfrac {9} {5}} C + 32 \ right) = {\ tfrac {5} {9}} \ left (({\ tfrac {9} {5}} C + 32) -32 \ right) = C, \\ & {\ text {para cada valor de}} C , {\ text {and}} \\ [6pt] f \ left (f ^ {- 1} (F) \ right) = {} & f \ left ({\ tfrac {5} {9}} (F-32 ) \ right) = {\ tfrac {9} {5}} \ left ({\ tfrac {5} {9}} (F-32) \ right) + 32 = F, \\ & {\ text {para cada valor de}} F. \ end {alinhado}}}$
Suponha que $f$ atribua a cada filho de uma família seu ano de nascimento. Uma função inversa produziria qual criança nasceu em um determinado ano. No entanto, se a família tiver filhos nascidos no mesmo ano (por exemplo, gêmeos ou trigêmeos, etc.), a saída não pode ser conhecida quando a entrada é o ano de nascimento comum. Da mesma forma, se for dado um ano em que nenhuma criança nasceu, a criança não pode ser nomeada. Mas se cada criança nasceu em um ano separado, e se restringirmos a atenção aos três anos em que a criança nasceu, então temos uma função inversa. Por exemplo, ${\ displaystyle {\ begin {align} f ({\ text {Allan}}) & = 2005, \ quad & f ({\ text {Brad}}) & = 2007, \ quad & f ({\ text {Cary}} ) & = 2001 \\ f ^ {- 1} (2005) & = {\ text {Allan}}, \ quad & f ^ {- 1} (2007) & = {\ text {Brad}}, \ quad & f ^ {-1} (2001) & = {\ text {Cary}} \ end {alinhado}}}$
Seja $R$ a função que leva a um aumento percentual de $x$ de alguma quantidade e $F$ a função que produz uma queda percentual de $x$ . Aplicado a $ 100 com $x$ = 10%, descobrimos que a aplicação da primeira função seguida da segunda não restaura o valor original de $ 100, demonstrando o fato de que, apesar das aparências, essas duas funções não são inversas uma da outra.
A fórmula para calcular o pH de uma solução é pH = -log10 [H +]. Em muitos casos, precisamos encontrar a concentração de ácido a partir de uma medição de pH. A função inversa [H +] = 10 ^ -pH é usada.

Generalizações

Inversos parciais

A raiz quadrada de

x

é um inverso parcial

af (x) = x 2

.

Mesmo se uma função $f$ não é um-para-um, que pode ser possível definir uma inverso parcial do $f$ por restringir o domínio. Por exemplo, a função

{\ displaystyle f (x) = x ^ {2}}

não é um para um, uma vez que $x 2 = (- x) 2$ . No entanto, a função torna-se um-para-um se restringirmos ao domínio $x$ $\geq 0$ , caso em que

{\ displaystyle f ^ {- 1} (y) = {\ sqrt {y}}.}

(Se, em vez disso, restringirmos ao domínio $x$ $\leq 0$ , então o inverso é o negativo da raiz quadrada de $y$ .) Alternativamente, não há necessidade de restringir o domínio se nos contentarmos com o inverso sendo uma função multivalorada :

{\ displaystyle f ^ {- 1} (y) = \ pm {\ sqrt {y}}.}

O inverso desta função cúbica possui três ramos.

Às vezes, esse inverso de vários valores é chamado de inverso completo de $f$ , e as porções (como √ $x$ e - √ $x$ ) são chamadas de ramos . O ramo mais importante de uma função multivalorada (por exemplo, a raiz quadrada positiva) é chamado de ramo principal , e seu valor em $y$ é chamado de valor principal de $f -1 (y)$ .

Para uma função contínua na linha real, uma ramificação é necessária entre cada par de extremos locais . Por exemplo, o inverso de uma função cúbica com um máximo local e um mínimo local tem três ramificações (veja a imagem ao lado).

O arco seno é um inverso parcial da função seno .

Essas considerações são particularmente importantes para definir os inversos das funções trigonométricas . Por exemplo, a função seno não é um para um, uma vez que

{\ displaystyle \ sin (x + 2 \ pi) = \ sin (x)}

para cada $x$ real (e mais geralmente $sin (x + 2 π n) = sin (x)$ para cada inteiro $n$ ). No entanto, o seno é um-para-um no intervalo $[- π / 2, π / 2]$ , e o inverso parcial correspondente é chamado de arco seno . Este é considerado o ramo principal do seno inverso, portanto, o valor principal do seno inverso está sempre entre - $π$ /2 e $π$ /2. A tabela a seguir descreve o ramo principal de cada função trigonométrica inversa:

função	Faixa de valor principal usual
arcsin	$- π / 2 \leq sin -1 (x) \leq π / 2$
arccos	$0 \leq cos -1 (x) \leq π$
Arctan	$- π / 2 <tan -1 (x) < π / 2$
Arccot	$0 <cot -1 (x) < π$
arcsec	$0 \leq seg -1 (x) \leq π$
arccsc	$- π / 2 \leq csc -1 (x) \leq π / 2$

Inversos esquerdo e direito

Os inversos da esquerda e da direita não são necessariamente iguais. Se $g$ é um inverso à esquerda para $f$ , então $g$ pode ou não ser um inverso à direita para $f$ ; e se $g$ é um inverso à direita para $f$ , então $g$ não é necessariamente um inverso à esquerda para $f$ . Por exemplo, seja $f : R \to [0, \infty)$ denote o mapa de quadratura, de modo que $f (x) = x 2$ para todo $x$ em $R$ , e seja $g : [0, \infty) \to R$ denote o mapa de raiz quadrada, tal que $g (x) =$ √ $x$ para todo $x \geq 0$ . Então $f (g (x)) = x$ para todo $x$ em $[0, \infty)$ ; ou seja, $g$ é um inverso à direita de $f$ . No entanto, $g$ não é um inverso à esquerda $af$ , visto que, por exemplo, $g (f (-1)) = 1 \neq -1$ .

Inversos à esquerda

Se $f : X \to Y$ , um inverso à esquerda para $f$ (ou retração de $f$ ) é uma função $g$ $:$ $Y$ $\to$ $X de$ modo que compor $f$ com $g$ da esquerda dá a função de identidade:

{\ displaystyle g \ circ f = \ operatorname {id} _ {X}.}

Ou seja, a função $g$ satisfaz a regra

Se então

{\ displaystyle f (x) = y}

{\ displaystyle g (y) = x.}

Assim, $g$ deve ser igual ao inverso de $f$ na imagem de $f$ , mas pode assumir quaisquer valores para elementos de $Y que$ não estão na imagem.

Uma função $f$ é injetiva se e somente se ela tem um inverso à esquerda ou é a função vazia.

Se

g

é o inverso à esquerda de

f

, então

f

é injetivo. Se

f (x) = f (y)

, então .

{\ displaystyle g (f (x)) = g (f (y)) = x = y}

Se

f: X \to Y

é injetiva,

f

é a função vazia (

X = \emptyset

) ou tem um inverso à esquerda

g: Y \to X

(

X \neq \emptyset)

, que pode ser construído da seguinte forma: para todo

y \in Y

, se

y

está na imagem de

f

(existe

x \in X

tal que

f (x) = y

), seja

g (y) = x

(

x

é único porque

f

é injetivo); de outra forma, deixar

g (y)

ser um elemento arbitrário de

X

. Para todo

x \in X

,

f (x)

está na imagem de

f

, então

g (f (x)) = x

por cima, então

g

é o inverso à esquerda de

f

.

Na matemática clássica, toda função injetiva $f$ com um domínio não vazio tem necessariamente um inverso à esquerda; no entanto, isso pode falhar na matemática construtiva . Por exemplo, um inverso à esquerda da inclusão ${0,1} \to R$ do conjunto de dois elementos nos reais viola a indecomponibilidade ao dar uma retração da reta real ao conjunto ${0,1}$ .

Inversos à direita

Exemplo de inverso à direita com função sobrejetiva não injetiva

Um inverso à direita para $f$ (ou seção de $f$ ) é uma função $h$ $:$ $Y$ $\to$ $X$ tal que

{\ displaystyle f \ circ h = \ operatorname {id} _ {Y}.}

Ou seja, a função $h$ satisfaz a regra

Se então

{\ displaystyle \ displaystyle h (y) = x}

{\ displaystyle \ displaystyle f (x) = y.}

Assim, $h (y)$ pode ser qualquer um dos elementos de $X$ mapeados para $y$ em $f$ .

Uma função $f$ tem um inverso à direita se e somente se é sobrejetora (embora construir tal inverso em geral exija o axioma da escolha ).

Se

h

é o inverso à direita de

f

, então

f

é sobrejetora. Para todos , existe isso .

{\ displaystyle y \ in Y}

{\ displaystyle x = h (y)}

{\ displaystyle f (x) = f (h (y)) = y}

Se

f

é sobrejetiva,

f

tem um inverso direito

h

, que pode ser construído da seguinte maneira: para todos , há pelo menos um tal que (porque

f

é sobrejetivo), então escolhemos um para ser o valor de

h (y)

.

{\ displaystyle y \ in Y}

{\ displaystyle x \ in X}

{\ displaystyle f (x) = y}

Inversos de dois lados

Um inverso que é um inverso à esquerda e à direita (um inverso de dois lados ), se existir, deve ser único. Na verdade, se uma função tem um inverso à esquerda e um inverso à direita, ambos são o mesmo inverso bilateral, portanto, pode ser chamado de inverso .

Se é uma inversa esquerda e um inverso direito de , para todos , .

{\ displaystyle g}

{\ displaystyle h}

{\ displaystyle f}

{\ displaystyle y \ in Y}

{\ displaystyle g (y) = g (f (h (y)) = h (y)}

Uma função tem um inverso bilateral se e somente se for bijetiva.

Uma função bijetiva

f

é injetiva, então tem um inverso à esquerda (se

f

é a função vazia, é seu próprio inverso à esquerda).

f

é sobrejetora, portanto, tem o inverso à direita. Acima, o inverso da esquerda e da direita são iguais.

{\ displaystyle f \ colon \ emptyset \ to \ emptyset}

Se

f

tem um inverso bilateral

g

, então

g

é o inverso à esquerda e o inverso à direita de

f

, então

f

é injetivo e sobrejetivo.

Pré-imagens

Se $f : X \to Y$ for qualquer função (não necessariamente invertível), a pré - imagem (ou imagem inversa ) de um elemento $y$ $\in$ $Y$ , é o conjunto de todos os elementos de $X$ que mapeiam para $y$ :

{\ displaystyle f ^ {- 1} (\ {y \}) = \ left \ {x \ in X: f (x) = y \ right \}.}

A pré-imagem de $y$ pode ser considerada a imagem de $y$ sob o inverso total (de vários valores) da função $f$ .

Da mesma forma, se $S$ for qualquer subconjunto de $Y$ , a pré-imagem de $S$ , denotada , é o conjunto de todos os elementos de $X$ que mapeiam para $S$ : ${\ displaystyle f ^ {- 1} (S)}$

{\ displaystyle f ^ {- 1} (S) = \ left \ {x \ in X: f (x) \ in S \ right \}.}

Por exemplo, tome uma função $f : R \to R$ , onde $f : x \mapsto x 2$ . Esta função não é invertível pelos motivos discutidos em § Exemplo: Funções quadradas e de raiz quadrada . No entanto, as pré-imagens podem ser definidas para subconjuntos do codomínio:

{\ displaystyle f ^ {- 1} (\ left \ {1,4,9,16 \ right \}) ​​= \ left \ {- 4, -3, -2, -1,1,2,3,4 \direito\}}

A pré-imagem de um único elemento $y$ $\in$ $Y$ - um conjunto singleton ${$ $y$ $}$ - às vezes é chamada de fibra de $y$ . Quando $Y$ é o conjunto de números reais, é comum referir-se a $f$ $-1$ $({$ $y$ $})$ como um conjunto de níveis .

Veja também

Teorema de inversão de Lagrange , fornece a expansão em série de Taylor da função inversa de uma função analítica
Integral de funções inversas
Transformada inversa de Fourier
Computação reversível

Notas

Referências

Bibliografia

Briggs, William; Cochran, Lyle (2011). Variável única de cálculo / transcendental precoce . Addison-Wesley . ISBN 978-0-321-66414-3.
Devlin, Keith J. (2004). Sets, Functions, and Logic / An Introduction to Abstract Mathematics (3 ed.). Chapman & Hall / CRC Mathematics . ISBN 978-1-58488-449-1.
Fletcher, Peter; Patty, C. Wayne (1988). Fundamentos da Matemática Superior . PWS-Kent. ISBN 0-87150-164-3.
Lay, Steven R. (2006). Análise / com uma introdução à prova (4 ed.). Pearson / Prentice Hall . ISBN 978-0-13-148101-5.
Smith, Douglas; Eggen, Maurice; Santo André, Richard (2006). A Transition to Advanced Mathematics (6 ed.). Thompson Brooks / Cole . ISBN 978-0-534-39900-9.
Thomas, Jr., George Brinton (1972). Cálculo e geometria analítica Parte 1: Funções de uma variável e geometria analítica (edição alternativa). Addison-Wesley .
Wolf, Robert S. (1998). Prova, lógica e conjectura / A caixa de ferramentas do matemático . WH Freeman and Co. ISBN 978-0-7167-3050-7.

Leitura adicional

Amazigo, John C .; Rubenfeld, Lester A. (1980). "Funções implícitas; Jacobianos; Funções inversas". Cálculo Avançado e suas Aplicações à Engenharia e Ciências Físicas . Nova York: Wiley. pp. 103 -120. ISBN 0-471-04934-4.
Binmore, Ken G. (1983). "Funções inversas". Cálculo . Nova York: Cambridge University Press . pp. 161–197. ISBN 0-521-28952-1.
Spivak, Michael (1994). Cálculo (3 ed.). Publique ou pereça. ISBN 0-914098-89-6.
Stewart, James (2002). Cálculo (5 ed.). Brooks Cole . ISBN 978-0-534-39339-7.

links externos

"Inverse function" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]

Languages

In other projects

Função inversa - Inverse function

Conteúdo

Definições

Exemplo: funções quadrada e raiz quadrada

Inversos e composição

Notação

Propriedades

Singularidade

Simetria

Autoinversos

Inversos em cálculo

Fórmula para o inverso

Gráfico do inverso

Inversos e derivados

Exemplos do mundo real

Generalizações

Inversos parciais

Inversos esquerdo e direito

Inversos à esquerda

Inversos à direita

Inversos de dois lados

Pré-imagens

Veja também

Notas

Referências

Bibliografia

Leitura adicional

links externos