Singleton (matemática) - Singleton (mathematics)
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Em matemática , um singleton , também conhecido como conjunto de unidades , é um conjunto com exatamente um elemento. Por exemplo, o conjunto { null } é um singleton contendo o elemento null .
O termo também é usado para uma 1- tupla (uma sequência com um membro).
Propriedades
Dentro da estrutura da teoria dos conjuntos de Zermelo-Fraenkel , o axioma da regularidade garante que nenhum conjunto é um elemento de si mesmo. Isso implica que um singleton é necessariamente distinto do elemento que contém, portanto, 1 e {1} não são a mesma coisa, e o conjunto vazio é distinto do conjunto que contém apenas o conjunto vazio. Um conjunto como {{1, 2, 3}} é um singleton, pois contém um único elemento (que é um conjunto, no entanto, não um singleton).
Um conjunto é um singleton se e somente se sua cardinalidade for 1 . Na construção teórica dos conjuntos de von Neumann dos números naturais , o número 1 é definido como o singleton {0}.
Na teoria dos conjuntos axiomáticos , a existência de singletons é uma consequência do axioma do emparelhamento : para qualquer conjunto A , o axioma aplicado a A e A afirma a existência de { A , A }, que é o mesmo que o singleton { A } (uma vez que contém A , e nenhum outro conjunto, como um elemento).
Se A é qualquer conjunto e S é qualquer coisa única, então existe precisamente uma função de A a S , a função de envio de todos os elementos de A para o único elemento de S . Assim, todo singleton é um objeto terminal na categoria de conjuntos .
Um singleton tem a propriedade de que cada função dele para qualquer conjunto arbitrário é injetiva. O único conjunto não singleton com esta propriedade é o conjunto vazio .
A sequência de números inteiros de Bell conta o número de partições de um conjunto ( OEIS : A000110 ), se os singletons forem excluídos, os números serão menores ( OEIS : A000296 ).
Na teoria da categoria
Estruturas construídas em singletons muitas vezes servem como objetos terminais ou objetos zero de várias categorias :
- A declaração acima mostra que os conjuntos singleton são precisamente os objetos terminais na categoria Conjunto de conjuntos . Nenhum outro conjunto é terminal.
- Qualquer singleton admite uma estrutura espacial topológica única (ambos os subconjuntos são abertos). Esses espaços topológicos singleton são objetos terminais na categoria de espaços topológicos e funções contínuas . Nenhum outro espaço é terminal nessa categoria.
- Qualquer singleton admite uma estrutura de grupo única (o elemento único servindo como elemento de identidade ). Esses grupos singleton são objetos zero na categoria de grupos e homomorfismos de grupo . Nenhum outro grupo é terminal nessa categoria.
Definição por funções de indicador
Seja S uma classe definida por uma função indicadora
Então S é chamado de singleton se e somente se houver algum y ∈ X tal que para todo x ∈ X ,
Definição em Principia Mathematica
A seguinte definição foi introduzida por Whitehead e Russell
- ' Df.
O símbolo ' denota o singleton e denota a classe de objetos idênticos a aka . Isso ocorre como uma definição na introdução, o que, em alguns lugares, simplifica o argumento no texto principal, onde ocorre como proposição 51.01 (p.357 ibid.). A proposição é posteriormente usada para definir o número cardinal 1 como
- ' Df.
Ou seja, 1 é a classe dos singletons. Esta é a definição 52.01 (p.363 ibid.)
Veja também
Referências
- ^ a b Stoll, Robert (1961). Conjuntos, teorias lógicas e axiomáticas . WH Freeman and Company. pp. 5-6.
- ^ Whitehead, Alfred North; Bertrand Russell (1910). Principia Mathematica . Vol. I. p. 37