Principia Mathematica -Principia Mathematica

A página de título do Principia Mathematica encurtado para ✸56

✸54,43 : "Desta proposição seguir-se-á, quando a adição aritmética foi definida, que 1 + 1 = 2." - Volume I, 1ª edição, p. 379 (p. 362 na 2ª edição; p. 360 na versão resumida). (A prova está realmente concluída no Volume II, 1ª edição, página 86 , acompanhada pelo comentário, "A proposição acima é ocasionalmente útil." Eles continuam a dizer "É usada pelo menos três vezes, em ✸113.66 e ✸120.123 .472. ")

O Principia Mathematica (frequentemente abreviado como PM ) é uma obra de três volumes sobre os fundamentos da matemática escrita pelos matemáticos Alfred North Whitehead e Bertrand Russell e publicada em 1910, 1912 e 1913. Em 1925-1927, apareceu em uma segunda edição com uma importante introdução ao Second Edition , uma Apêndice a que substituiu ✸9 e totalmente novo Anexo B e Anexo C . PM não deve ser confundido com The Principles of Mathematics, de Russell, de 1903 . PM foi originalmente concebido como uma sequência dos Princípios de Russell de 1903 , mas como PM afirma, isso se tornou uma sugestão impraticável por razões práticas e filosóficas: "O presente trabalho foi originalmente concebido por nós para ser incluído em um segundo volume de Princípios de Matemática . .. Mas à medida que avançávamos, tornou-se cada vez mais evidente que o assunto é muito mais amplo do que havíamos suposto; além disso, em muitas questões fundamentais que haviam sido deixadas obscuras e duvidosas no trabalho anterior, agora chegamos ao que acreditamos para ser soluções satisfatórias. "

PM , de acordo com sua introdução, tinha três objetivos: (1) analisar o máximo possível as idéias e métodos da lógica matemática e minimizar o número de noções e axiomas primitivos e regras de inferência ; (2) para expressar precisamente proposições matemáticas em lógica simbólica usando a notação mais conveniente que a expressão precisa permite; (3) para resolver os paradoxos que atormentaram a lógica e a teoria dos conjuntos na virada do século 20, como o paradoxo de Russell .

Este terceiro objetivo motivou a adoção da teoria dos tipos em MP . A teoria dos tipos adota restrições gramaticais nas fórmulas que excluem a compreensão irrestrita de classes, propriedades e funções. O efeito disso é que fórmulas como permitiriam a compreensão de objetos como o conjunto de Russell revelam-se malformadas: elas violam as restrições gramaticais do sistema de PM .

Não há dúvida de que o PM é de grande importância na história da matemática e da filosofia: como observou Irvine , ele despertou o interesse pela lógica simbólica e avançou o assunto ao popularizá-lo; mostrou os poderes e capacidades da lógica simbólica; e mostrou como os avanços na filosofia da matemática e na lógica simbólica podiam andar de mãos dadas com uma tremenda fecundidade. Na verdade, PM foi em parte causado por um interesse no lógico , a visão na qual todas as verdades matemáticas são verdades lógicas. Foi em parte graças aos avanços feitos no PM que, apesar de seus defeitos, numerosos avanços na meta-lógica foram feitos, incluindo os teoremas da incompletude de Gödel .

Por tudo isso, as notações PM não são amplamente utilizadas hoje: provavelmente a principal razão para isso é que os matemáticos em prática tendem a assumir que a Fundação de fundo é uma forma do sistema da teoria dos conjuntos de Zermelo-Fraenkel . No entanto, o interesse acadêmico, histórico e filosófico em PM é grande e contínuo: por exemplo, a Biblioteca Moderna colocou-o em 23º lugar em uma lista dos 100 melhores livros de não-ficção em inglês do século XX. Existem também vários artigos sobre o trabalho na Stanford Encyclopedia of Philosophy, revisada por pares, e pesquisadores acadêmicos continuam trabalhando com Principia , seja pela razão histórica de compreender o texto ou seus autores, ou por razões matemáticas de compreensão ou desenvolvimento da lógica de Principia sistema.

Âmbito das fundações estabelecidas

Os Principia cobriam apenas a teoria dos conjuntos , números cardinais , números ordinais e números reais . Teoremas mais profundos da análise real não foram incluídos, mas no final do terceiro volume estava claro para os especialistas que uma grande quantidade de matemática conhecida poderia, em princípio, ser desenvolvida no formalismo adotado. Também estava claro o quão demorado seria esse desenvolvimento.

Um quarto volume sobre os fundamentos da geometria havia sido planejado, mas os autores admitiram a exaustão intelectual após a conclusão do terceiro.

Base teórica

Como observado na crítica à teoria de Kurt Gödel (abaixo), ao contrário de uma teoria formalista , a teoria "lógica" do PM não tem "declaração precisa da sintaxe do formalismo". Além disso, na teoria, é quase imediatamente observável que as interpretações (no sentido da teoria do modelo ) são apresentadas em termos de valores de verdade para o comportamento dos símbolos "⊢" (afirmação da verdade), "~" (não lógico) e "V" (OR inclusivo lógico).

Valores de verdade : PM incorpora as noções de "verdade" e "falsidade" na noção de "proposição primitiva". Uma teoria formalista crua (pura) não forneceria o significado dos símbolos que formam uma "proposição primitiva" - os próprios símbolos poderiam ser absolutamente arbitrários e desconhecidos. A teoria especificaria apenas como os símbolos se comportam com base na gramática da teoria . Então, mais tarde, por atribuição de "valores", um modelo especificaria uma interpretação do que as fórmulas estão dizendo. Assim, no símbolo formal de Kleene definido abaixo, a "interpretação" do que os símbolos comumente significam e, por implicação, como eles acabam sendo usados, é dada entre parênteses, por exemplo, "¬ (não)". Mas esta não é uma teoria formalista pura.

Construção contemporânea de uma teoria formal

Lista de proposições referidas por nomes

A seguinte teoria formalista é oferecida como contraste com a teoria lógica da PM . Um sistema formal contemporâneo seria construído da seguinte forma:

1. Símbolos usados : Este conjunto é o conjunto inicial e outros símbolos podem aparecer, mas apenas por definição a partir desses símbolos iniciais. Um conjunto inicial pode ser o seguinte conjunto derivado de Kleene 1952: símbolos lógicos : "→" (implica, IF-THEN e "⊃"), "&" (e), "V" (ou), "¬" ( não), "∀" (para todos), "∃" (existe); símbolo de predicado "=" (igual); símbolos de função "+" (adição aritmética), "∙" (multiplicação aritmética), "'" (sucessor); símbolo individual "0" (zero); variáveis " a ", " b ", " c ", etc .; e parênteses "(" e ")".
2. Sequências de símbolos : A teoria construirá "sequências" desses símbolos por concatenação (justaposição).
3. Regras de formação : a teoria especifica as regras de sintaxe (regras de gramática) geralmente como uma definição recursiva que começa com "0" e especifica como construir strings aceitáveis ​​ou "fórmulas bem formadas" (wffs). Isso inclui uma regra para "substituição" de strings para os símbolos chamados "variáveis".
4. Regra (s) de transformação : os axiomas que especificam os comportamentos dos símbolos e sequências de símbolos.
5. Regra de inferência, distanciamento, modus ponens : a regra que permite à teoria "separar" uma "conclusão" das "premissas" que levaram a ela e, posteriormente, descartar as "premissas" (símbolos à esquerda da linha │, ou símbolos acima da linha se horizontal). Se este não fosse o caso, a substituição resultaria em cadeias cada vez mais longas que precisam ser transportadas. Na verdade, após a aplicação do modus ponens, nada resta senão a conclusão, o resto desaparece para sempre.

As teorias contemporâneas geralmente especificam como seu primeiro axioma o clássico ou modus ponens ou "a regra do desapego":

A , A ⊃ B │ B

O símbolo "│" é geralmente escrito como uma linha horizontal, aqui "⊃" significa "implica". Os símbolos A e B são "substitutos" para strings; essa forma de notação é chamada de "esquema axiomático" (ou seja, há um número contável de formas específicas que a notação pode assumir). Isso pode ser lido de maneira semelhante a IF-THEN, mas com uma diferença: a seqüência de símbolos fornecida IF A e A implica B THEN B (e retenha apenas B para uso posterior). Mas os símbolos não têm "interpretação" (por exemplo, nenhuma "tabela de verdade" ou "valores de verdade" ou "funções de verdade") e o modus ponens procede mecanicamente, apenas pela gramática.

Construção

A teoria do PM tem semelhanças significativas e diferenças semelhantes com uma teoria formal contemporânea. Kleene afirma que "esta dedução da matemática da lógica foi oferecida como axiomática intuitiva. Os axiomas foram concebidos para serem acreditados, ou pelo menos para serem aceitos como hipóteses plausíveis a respeito do mundo". Na verdade, ao contrário de uma teoria formalista que manipula símbolos de acordo com regras gramaticais, PM introduz a noção de "valores de verdade", ou seja, verdade e falsidade no sentido do mundo real , e a "afirmação da verdade" quase imediatamente como o quinto e o sexto elemento na estrutura da teoria ( PM 1962: 4-36):

1. Variáveis
2. Usos de várias letras
3. As funções fundamentais das proposições : "a Função Contraditória" simbolizada por "~" e a "Soma Lógica ou Função Disjuntiva" simbolizada por "∨" sendo tomadas como implicação primitiva e lógica definida (o exemplo a seguir também é usado para ilustrar 9. Definição abaixo ) como
   p ⊃ q . = . ~ p ∨ q Df . ( PM 1962: 11)
   e produto lógico definido como
   p . q . = . ~ (~ p ∨ ~ q ) Df . ( PM 1962: 12)
4. Equivalência : Equivalência lógica , não equivalência aritmética: "≡" dada como uma demonstração de como os símbolos são usados, isto é, "Assim, ' p ≡ q ' representa '( p ⊃ q ) . ( Q ⊃ p )'." ( PM 1962: 7). Observe que para discutir uma notação PM identifica uma "meta" -notação com "[espaço] ... [espaço]":
   A equivalência lógica aparece novamente como uma definição :
   p ≡ q . = . ( p ⊃ q ) . ( q ⊃ p ) ( PM 1962: 12),
   Observe o aparecimento de parênteses. Este uso gramatical não é especificado e aparece esporadicamente; os parênteses desempenham um papel importante nas cadeias de símbolos, por exemplo, a notação "( x )" para o "∀ x " contemporâneo .
5. Valores de verdade : "O 'valor de verdade' de uma proposição é verdade se for verdadeira, e falsidade se for falsa" (esta frase é devida a Gottlob Frege ) ( PM 1962: 7).
6. Afirmação-sinal : " '⊦ . P pode ser lido 'é verdade que' ... assim '⊦ : p . ⊃ . Q ' significa 'é verdade que p implica q ', enquanto' ⊦ . P . ⊃⊦ . q 'significa' p é verdadeiro, portanto q é verdade' a primeira delas não envolve necessariamente a verdade qualquer um. p ou de q , enquanto o segundo envolve a verdade de ambos"( PM 1962, 92).
7. Inferência : a versão PM do modus ponens . “[Se] '⊦ . P ' e '⊦ ( p ⊃ q )' ocorreram, então '⊦ . Q ' ocorrerá se for desejado registrá-lo. O processo de inferência não pode ser reduzido a símbolos. Seu único registro é a ocorrência de '⊦ . Q ' [em outras palavras, os símbolos à esquerda desaparecem ou podem ser apagados] "( PM 1962: 9).
8. O uso de pontos
9. Definições : usam o sinal "=" com "Df" na extremidade direita.
10. Resumo das declarações anteriores : breve discussão das idéias primitivas "~ p " e " p ∨ q " e "⊦" prefixadas a uma proposição.
11. Proposições primitivas : os axiomas ou postulados. Isso foi modificado significativamente na segunda edição.
12. Funções proposicionais : a noção de "proposição" foi significativamente modificada na segunda edição, incluindo a introdução de proposições "atômicas" ligadas por signos lógicos para formar proposições "moleculares" e o uso de substituição de proposições moleculares em proposições atômicas ou moleculares para criar novas expressões.
13. A gama de valores e variação total
14. Afirmação ambígua e a variável real : Esta e as duas seções seguintes foram modificadas ou abandonadas na segunda edição. Em particular, a distinção entre os conceitos definidos nas seções 15. Definição e a variável real e 16 Proposições conectando variáveis ​​reais e aparentes foi abandonada na segunda edição.
15. Implicação formal e equivalência formal
16. Identidade
17. Aulas e relações
18. Várias funções descritivas das relações
19. Funções descritivas plurais
20. Aulas de unidade

Ideias primitivas

Cf. PM 1962: 90-94, para a primeira edição:

• (1) proposições elementares .
• (2) proposições elementares de funções .
• (3) Afirmação : introduz as noções de "verdade" e "falsidade".
• (4) Afirmação de uma função proposicional .
• (5) Negação : "Se p é qualquer proposição, a proposição" não- p ", ou" p é falsa ", será representada por" ~ p "".
• (6) Disjunção : "Se p e q são quaisquer proposições, a proposição" p ou q , ou seja, "ou p é verdadeiro ou q é verdadeiro", onde as alternativas não devem ser mutuamente exclusivas, será representada por " p ∨ q "".
• (cf. seção B)

Proposições primitivas

A primeira edição (ver discussão relativa à segunda edição, abaixo) começa com uma definição do sinal "⊃"

✸1.01 . p ⊃ q . = . ~ p ∨ q . Df .

✸1.1 . Tudo o que está implícito em uma proposição elementar verdadeira é verdadeiro. Pp modus ponens

( ✸1.11 foi abandonado na segunda edição.)

✸1.2 . ⊦ : p ∨ p . ⊃ . p . Princípio da tautologia Pp

✸1.3 . ⊦ : q . ⊃ . p ∨ q . Princípio de adição Pp

✸1.4 . ⊦ : p ∨ q . ⊃ . q ∨ pág . Princípio de permutação Pp

✸1.5 . ⊦ : p ∨ ( q ∨ r ) . ⊃ . q ∨ ( p ∨ r ). Princípio associativo Pp

✸1.6 . ⊦ :. q ⊃ r . ⊃ : p ∨ q . ⊃ . p ∨ r . Princípio de soma de Pp

✸1.7 . Se p é uma proposição elementar, ~ p é uma proposição elementar. Pp

✸1,71 . Se p e q são proposições elementares, p ∨ q é uma proposição elementar. Pp

✸1,72 . Se φ p e ψ p são funções proposicionais elementares que tomam proposições elementares como argumentos, φ p ∨ ψ p é uma proposição elementar. Pp

Junto com a "Introdução à Segunda Edição", o Apêndice A da segunda edição abandona toda a seção ✸9 . Isso inclui seis proposições primitivas de ✸9 a ✸9.15 junto com os Axiomas de redutibilidade.

A teoria revisada é dificultada pela introdução do traço de Sheffer ("|") para simbolizar "incompatibilidade" (ou seja, se ambas as proposições elementares p e q são verdadeiras, seu "traço" p | q é falso), a lógica contemporânea NAND (não-AND). Na teoria revisada, a Introdução apresenta a noção de "proposição atômica", um "dado" que "pertence à parte filosófica da lógica". Estes não têm partes que são proposições e não contêm as noções "todos" ou "alguns". Por exemplo: "isto é vermelho" ou "isto é anterior a isso". Essas coisas podem existir ad finitum , ou seja, até mesmo uma "enumeração infinita" delas para substituir a "generalidade" (ou seja, a noção de "para todos"). O PM então "avança [s] para as proposições moleculares" que estão todas ligadas pelo "golpe". As definições fornecem equivalências para "~", "∨", "⊃" e " . ".

A nova introdução define "proposições elementares" como posições atômicas e moleculares juntas. Em seguida, substitui todas as proposições primitivas ✸1.2 a ✸1.72 por uma única proposição primitiva enquadrada em termos do traço:

"Se p , q , r são proposições elementares, dados p e p | ( q | r ), podemos inferir r . Esta é uma proposição primitiva."

A nova introdução mantém a notação para "existe" (agora reformulado como "às vezes verdadeiro") e "para todos" (reformulado como "sempre verdadeiro"). O Apêndice A reforça a noção de "matriz" ou "função predicativa" (uma "ideia primitiva", PM 1962: 164) e apresenta quatro novas proposições Primitivas como ✸8.1 – ✸8.13 .

✸88 . Axioma multiplicativo

✸120 . Axioma do infinito

Tipos ramificados e o axioma da redutibilidade

Na teoria dos tipos simples, os objetos são elementos de vários "tipos" disjuntos. Os tipos são construídos implicitamente da seguinte maneira. Se τ ₁ , ..., τ _m são tipos, então há um tipo (τ ₁ , ..., τ _m ) que pode ser pensado como a classe de funções proposicionais de τ ₁ , ..., τ _m ( que na teoria dos conjuntos é essencialmente o conjunto de subconjuntos de τ ₁ × ... × τ _m ). Em particular, há um tipo () de proposições e pode haver um tipo ι (iota) de "indivíduos" a partir dos quais outros tipos são construídos. A notação de Russell e Whitehead para construir tipos a partir de outros tipos é bastante complicada, e a notação aqui se deve a Church .

Na teoria dos tipos ramificados de PM, todos os objetos são elementos de vários tipos ramificados desconexos. Os tipos ramificados são construídos implicitamente da seguinte maneira. Se τ ₁ , ..., τ _m , σ ₁ , ..., σ _n são tipos ramificados, então, como na teoria dos tipos simples, há um tipo (τ ₁ , ..., τ _m , σ ₁ , ... , σ _n ) de funções proposicionais "predicativas" de τ ₁ , ..., τ _m , σ ₁ , ..., σ _n . No entanto, também existem tipos ramificados (τ ₁ , ..., τ _m | σ ₁ , ..., σ _n ) que podem ser pensados ​​como as classes de funções proposicionais de τ ₁ , ... τ _m obtidas a partir de funções proposicionais do tipo (τ ₁ , ..., τ _m , σ ₁ , ..., σ _n ) quantificando sobre σ ₁ , ..., σ _n . Quando n = 0 (portanto não há σs), essas funções proposicionais são chamadas de funções predicativas ou matrizes. Isso pode ser confuso porque a prática matemática atual não distingue entre funções predicativas e não predicativas e, em qualquer caso, PM nunca define exatamente o que uma "função predicativa" realmente é: isso é considerado uma noção primitiva.

Russell e Whitehead descobriram que é impossível desenvolver matemática mantendo a diferença entre funções predicativas e não predicativas, então eles introduziram o axioma da redutibilidade , dizendo que para cada função não predicativa existe uma função predicativa que assume os mesmos valores. Na prática, este axioma significa essencialmente que os elementos do tipo (τ ₁ , ..., τ _m | σ ₁ , ..., σ _n ) podem ser identificados com os elementos do tipo (τ ₁ , ..., τ _m ), que faz com que a hierarquia de tipos ramificados se reduza à teoria de tipos simples. (Estritamente falando, isso não é totalmente correto, porque PM permite que duas funções proposicionais sejam diferentes, mesmo se elas assumirem os mesmos valores em todos os argumentos; isso difere da prática matemática atual, onde normalmente se identifica duas dessas funções.)

Na teoria dos conjuntos de Zermelo, pode-se modelar a teoria dos tipos ramificados de PM da seguinte maneira. Escolhe-se um conjunto ι para ser o tipo de indivíduo. Por exemplo, ι pode ser o conjunto de números naturais, ou o conjunto de átomos (em uma teoria de conjuntos com átomos) ou qualquer outro conjunto em que alguém esteja interessado. Então, se τ ₁ , ..., τ _m são tipos, o tipo (τ ₁ , ..., τ _m ) é o conjunto de potências do produto τ ₁ × ... × τ _m , que também pode ser pensado informalmente como o conjunto de funções (predicativas proposicionais) deste produto para a 2 -element set {true, false}. O tipo ramificado (τ ₁ , ..., τ _m | σ ₁ , ..., σ _n ) pode ser modelado como o produto do tipo (τ ₁ , ..., τ _m , σ ₁ , ... , σ _n ) com o conjunto de sequências de n quantificadores (∀ ou ∃) indicando qual quantificador deve ser aplicado a cada variável σ _i . (Pode-se variar ligeiramente, permitindo que os σs sejam quantificados em qualquer ordem, ou permitindo que ocorram antes de alguns dos τs, mas isso faz pouca diferença, exceto para a contabilidade.)

Notação

Um autor observa que "A notação nessa obra foi substituída pelo desenvolvimento subsequente da lógica durante o século 20, a ponto de o iniciante ter dificuldade em ler PM"; embora muito do conteúdo simbólico possa ser convertido em notação moderna, a própria notação original é "um assunto de disputa acadêmica", e alguma notação "incorpora doutrinas lógicas substantivas de modo que não pode simplesmente ser substituída pelo simbolismo contemporâneo".

Kurt Gödel foi duramente crítico da notação:

"É de lamentar que esta primeira apresentação abrangente e completa de uma lógica matemática e a derivação da matemática a partir dela [seja] tão carente de precisão formal nos fundamentos (contidos em ✸1 – ✸21 de Principia [ie , seções ✸1 – ✸5 (lógica proposicional), ✸8-14 (lógica de predicado com identidade / igualdade), ✸20 (introdução à teoria dos conjuntos) e ✸21 (introdução à teoria das relações)]) que representa neste respeitar um considerável retrocesso em relação a Frege. O que falta, acima de tudo, é um enunciado preciso da sintaxe do formalismo. As considerações sintáticas são omitidas mesmo nos casos em que são necessárias para a coerência das provas ".

Isso se reflete no exemplo abaixo dos símbolos " p ", " q ", " r " e "⊃" que podem ser formados na string " p ⊃ q ⊃ r ". PM requer uma definição do que esta sequência de símbolos significa em termos de outros símbolos; nos tratamentos contemporâneos, as "regras de formação" (regras sintáticas que levam a "fórmulas bem formadas") teriam evitado a formação dessa cadeia.

Fonte da notação : Capítulo I "Explicações preliminares de idéias e notações" começa com a fonte das partes elementares da notação (os símbolos = ⊃≡ − ΛVε e o sistema de pontos):

"A notação adotada no presente trabalho é baseada na de Peano , e as seguintes explicações são, em certa medida, modeladas naquelas que ele prefixa em seu Formulario Mathematico [isto é, Peano 1889]. Seu uso de pontos como colchetes é adotado, e o mesmo acontece com muitos de seus símbolos "( PM 1927: 4).

PM mudou o Ɔ de Peano para ⊃ e também adotou alguns dos símbolos posteriores de Peano, como ℩ e ι, e a prática de Peano de virar as letras de cabeça para baixo.

PM adota o sinal de afirmação "⊦" do Begriffsschrift de Frege de 1879 :

"(I) pode ser lido 'é verdade que'"

Assim, para afirmar uma proposição p PM escreve:

"⊦ . P. " ( PM 1927: 92)

(Observe que, como no original, o ponto esquerdo é quadrado e de tamanho maior que o ponto à direita.)

A maior parte do resto da notação em PM foi inventada por Whitehead.

Uma introdução à notação da "Seção A Lógica Matemática" (fórmulas ✸1 – ✸5.71)

Os pontos de PM são usados ​​de maneira semelhante aos parênteses. Cada ponto (ou ponto múltiplo) representa um parêntese esquerdo ou direito ou o símbolo lógico ∧. Mais de um ponto indica a "profundidade" dos parênteses, por exemplo, " . ", " : " Ou " :. ", " :: ". No entanto, a posição do parêntese direito ou esquerdo correspondente não é indicada explicitamente na notação, mas deve ser deduzida de algumas regras que são complexas e às vezes ambíguas. Além disso, quando os pontos representam um símbolo lógico ∧, seus operandos esquerdo e direito devem ser deduzidos usando regras semelhantes. Primeiro, deve-se decidir com base no contexto se os pontos representam um parêntese esquerdo ou direito ou um símbolo lógico. Em seguida, deve-se decidir a que distância está o outro parêntese correspondente: aqui, prossegue-se até encontrar um número maior de pontos, ou o mesmo número de pontos próximos com "força" igual ou maior, ou o fim da linha. Os pontos próximos aos sinais ⊃, ≡, ∨, = Df têm maior força do que os pontos próximos a ( x ), (∃ x ) e assim por diante, que têm maior força do que os pontos indicando um produto lógico ∧.

Exemplo 1. A linha

✸ 3.4 . ⊢ : p . q . ⊃ . p ⊃ q

corresponde a

⊢ ((p ∧ q) ⊃ (p ⊃ q)).

Os dois pontos juntos imediatamente após o sinal de afirmação indicam que o que é afirmado é a linha inteira: como há dois deles, seu alcance é maior do que qualquer um dos pontos à sua direita. Eles são substituídos por um parêntese esquerdo onde estão os pontos e um parêntese direito no final da fórmula, assim:

⊢ (p . Q . ⊃ . P q ⊃).

(Na prática, esses parênteses mais externos, que encerram uma fórmula inteira, são geralmente suprimidos.) O primeiro dos pontos únicos, situado entre duas variáveis ​​proposicionais, representa a conjunção. Pertence ao terceiro grupo e tem o escopo mais estreito. Aqui, ele é substituído pelo símbolo moderno para a conjunção "∧", assim

⊢ (p ∧ q . ⊃ . P ⊃ q).

Os dois pontos únicos restantes marcam o conectivo principal de toda a fórmula. Eles ilustram a utilidade da notação de ponto para selecionar os conectivos que são relativamente mais importantes do que os que os rodeiam. O da esquerda do "⊃" é substituído por um par de parênteses, o da direita vai onde está o ponto e o da esquerda vai o mais à esquerda possível sem cruzar um grupo de pontos de maior força, em neste caso, os dois pontos que seguem o sinal de afirmação, portanto

⊢ ((p ∧ q) ⊃ . P ⊃ q)

O ponto à direita do "⊃" é substituído por um parêntese esquerdo que vai onde está o ponto e um parêntese direito que vai o mais para a direita que pode sem ir além do escopo já estabelecido por um grupo de pontos de maior force (neste caso, os dois pontos que seguiram o sinal de afirmação). Assim, o parêntese direito que substitui o ponto à direita do "⊃" é colocado na frente do parêntese direito que substituiu os dois pontos após o sinal de asserção, assim

⊢ ((p ∧ q) ⊃ (p ⊃ q)).

Exemplo 2, com pontos duplos, triplos e quádruplos:

✸9.521 . ⊢:: (∃x). φx. ⊃. q: ⊃:. (∃x). φx. v. r: ⊃. qvr

apoia

((((∃x) (φx)) ⊃ (q)) ⊃ ((((∃x) (φx)) v (r)) ⊃ (qvr)))

Exemplo 3, com um ponto duplo indicando um símbolo lógico (do volume 1, página 10):

p ⊃ q : q ⊃ r .⊃. p ⊃ r

apoia

( p ⊃ q ) ∧ (( q ⊃ r ) ⊃ ( p ⊃ r ))

onde o ponto duplo representa o símbolo lógico ∧ e pode ser visto como tendo a maior prioridade como um único ponto não lógico.

Posteriormente na seção ✸14 , os colchetes "[]" aparecem, e nas seções ✸20 e seguintes, os colchetes "{}" aparecem. Se esses símbolos têm significados específicos ou são apenas para esclarecimento visual, não está claro. Infelizmente, o único ponto (mas também " : ", " :. ", " :: ", etc.) também é usado para simbolizar "produto lógico" (E lógico contemporâneo frequentemente simbolizado por "&" ou "∧").

A implicação lógica é representada pelo "Ɔ" de Peano simplificado para "⊃", a negação lógica é simbolizada por um til alongado, isto é, "~" (contemporâneo "~" ou "¬"), o OR lógico por "v". O símbolo "=" junto com "Df" é usado para indicar "é definido como", enquanto nas seções ✸13 e seguintes, "=" é definido como (matematicamente) "idêntico a", ou seja, "igualdade" matemática contemporânea ( cf. discussão na seção ✸13 ). A equivalência lógica é representada por "≡" (contemporâneo "se e somente se"); funções proposicionais "elementares" são escritas da maneira habitual, por exemplo, " f ( p )", mas posteriormente o sinal de função aparece diretamente antes da variável sem parênteses, por exemplo, "φ x ", "χ x ", etc.

Exemplo, PM apresenta a definição de "produto lógico" da seguinte forma:

✸3.01 . p . q . = . ~ (~ p v ~ q ) Df .

onde " p . q " é o produto lógico de p e q .

✸3.02 . p ⊃ q ⊃ r . = . p ⊃ q . q ⊃ r Df .

Esta definição serve apenas para abreviar as provas.

Tradução das fórmulas em símbolos contemporâneos : vários autores usam símbolos alternativos, portanto, nenhuma tradução definitiva pode ser fornecida. No entanto, por causa de críticas como a de Kurt Gödel a seguir, os melhores tratamentos contemporâneos serão muito precisos no que diz respeito às "regras de formação" (a sintaxe) das fórmulas.

A primeira fórmula pode ser convertida em simbolismo moderno da seguinte forma:

( p & q ) = _df (~ (~ p v ~ q ))

alternadamente

( p & q ) = _df (¬ (¬ p v ¬ q ))

alternadamente

( p ∧ q ) = _df (¬ (¬ p v ¬ q ))

etc.

A segunda fórmula pode ser convertida da seguinte forma:

( p → q → r ) = _df ( p → q ) & ( q → r )

Mas observe que isso não é (logicamente) equivalente a ( p → ( q → r )) nem a (( p → q ) → r ), e esses dois também não são logicamente equivalentes.

Uma introdução à notação da "Seção B Teoria das Variáveis ​​Aparentes" (fórmulas ✸8 – ✸14.34)

Essas seções dizem respeito ao que agora é conhecido como lógica de predicado e lógica de predicado com identidade (igualdade).

• NB: Como resultado de críticas e avanços, a segunda edição de PM (1927) substitui o ✸9 por um novo ✸8 (Apêndice A). Esta nova seção elimina a distinção da primeira edição entre variáveis ​​reais e aparentes e elimina "a ideia primitiva de 'afirmação de uma função proposicional'. Para aumentar a complexidade do tratamento, o ✸8 introduz a noção de substituir uma" matriz ", e o derrame Sheffer :

• Matriz : No uso contemporâneo, a matriz de PM é (pelo menos para funções proposicionais ), uma tabela de verdade , ou seja, todos os valores de verdade de uma função proposicional ou predicada.
• Traço de Sheffer : É o NAND lógico contemporâneo (NÃO-AND), ou seja, "incompatibilidade", significando:

"Dadas duas proposições p e q , então ' p | q ' significa" a proposição p é incompatível com a proposição q ", isto é, se ambas as proposições p e q forem avaliadas como verdadeiras, então e somente então p | q será avaliada como falsa." Após a seção ✸8, o traço Sheffer não tem uso.

Seção ✸10: Os "operadores" existenciais e universais : PM adiciona "( x )" para representar o simbolismo contemporâneo "para todo x ", ou seja, "∀ x ", e usa um E serifado reverso para representar "existe um x ", ou seja," (Ǝx) ", ou seja, o contemporâneo" ∃x ". A notação típica seria semelhante à seguinte:

"( x ) . φ x " significa "para todos os valores da variável x , a função φ avalia como verdadeira"

"(Ǝ x ) . Φ x " significa "para algum valor da variável x , a função φ avalia como verdadeira"

Seções ✸10, ✸11, ✸12: Propriedades de uma variável estendida a todos os indivíduos : a seção ✸10 introduz a noção de "uma propriedade" de uma "variável". PM dá o exemplo: φ é uma função que indica "é um grego", e ψ indica "é um homem" e χ indica "é um mortal", essas funções se aplicam a uma variável x . PM agora pode escrever e avaliar:

( x ) . ψ x

A notação acima significa "para todo x , x é um homem". Dada uma coleção de indivíduos, pode-se avaliar a fórmula acima quanto à verdade ou falsidade. Por exemplo, dada a coleção restrita de indivíduos {Sócrates, Platão, Russell, Zeus}, o acima é avaliado como "verdadeiro" se permitirmos que Zeus seja um homem. Mas falha para:

( x ) . φ x

porque Russell não é grego. E falha para

( x ) . χ x

porque Zeus não é mortal.

Equipado com esta notação, PM pode criar fórmulas para expressar o seguinte: "Se todos os gregos são homens e se todos os homens são mortais, então todos os gregos são mortais". ( PM 1962: 138)

( x ) . φ x ⊃ ψ x : ( x ) . ψ x ⊃ χ x : ⊃ : ( x ) . φ x ⊃ χ x

Outro exemplo: a fórmula:

✸10.01 . (Ǝ x ) . φ x . = . ~ ( x ) . ~ φ x Df .

significa "Os símbolos que representam a afirmação 'Existe pelo menos um x que satisfaz a função φ' é definido pelos símbolos que representam a afirmação 'Não é verdade que, dados todos os valores de x , não há valores de x satisfazendo φ'".

Os simbolismos ⊃ _x e "≡ _x " aparecem em ✸10,02 e ✸10,03 . Ambos são abreviações de universalidade (ou seja, para todos) que vinculam a variável x ao operador lógico. A notação contemporânea teria simplesmente usado parênteses fora do sinal de igualdade ("="):

✸10,02 φ x ⊃ _x ψ x . = . ( x ) . φ x ⊃ ψ x Df

Notação contemporânea: ∀ x (φ ( x ) → ψ ( x )) (ou uma variante)

✸10,03 φ x ≡ _x ψ x . = . ( x ) . φ x ≡ ψ x Df

Notação contemporânea: ∀ x (φ ( x ) ↔ ψ ( x )) (ou uma variante)

PM atribui o primeiro simbolismo a Peano.

A seção ✸11 aplica este simbolismo a duas variáveis. Assim, as seguintes notações: ⊃ _x , ⊃ _y , ⊃ _{x, y} podem aparecer em uma única fórmula.

A seção ✸12 reintroduz a noção de "matriz" ( tabela verdade contemporânea ), a noção de tipos lógicos e, em particular, as noções de funções e proposições de primeira e segunda ordem .

O novo simbolismo "φ ! X " representa qualquer valor de uma função de primeira ordem. Se um circunflexo "＾" for colocado sobre uma variável, então este é um valor "individual" de y , significando que " ŷ " indica "indivíduos" (por exemplo, uma linha em uma tabela verdade); essa distinção é necessária devido à natureza matricial / extensional das funções proposicionais.

Agora equipado com a noção de matriz, PM pode afirmar seu controverso axioma de redutibilidade : uma função de uma ou duas variáveis ​​(duas sendo suficientes para o uso de PM ) onde todos os seus valores são dados (ou seja, em sua matriz) é (logicamente) equivalente ("≡") a alguma função "predicativa" das mesmas variáveis. A definição de uma variável é dada abaixo como uma ilustração da notação ( PM 1962: 166-167):

✸12,1 ⊢ : (Ǝ f ) : φ x . ≡ _x . f ! x Pp ;

Pp é uma "proposição primitiva" ("Proposições assumidas sem prova") ( PM 1962: 12, isto é, "axiomas" contemporâneos), somando-se aos 7 definidos na seção ✸1 (começando com ✸1.1 modus ponens ). Estas devem ser distinguidas das "idéias primitivas" que incluem o sinal de asserção "⊢", negação "~", lógico OU "V", as noções de "proposição elementar" e "função proposicional elementar"; estes estão tão próximos quanto PM chega às regras de formação notacional, ou seja, sintaxe .

Isso significa: "Afirmamos a verdade do seguinte: Existe uma função f com a propriedade de que: dados todos os valores de x , suas avaliações na função φ (ou seja, resultando em sua matriz) é logicamente equivalente a algum f avaliado naqueles mesmos valores de x . (e vice-versa, portanto, equivalência lógica) ". Em outras palavras: dada uma matriz determinada pela propriedade φ aplicada à variável x , existe uma função f que, quando aplicada ax, é logicamente equivalente à matriz. Ou: toda matriz φ x pode ser representada por uma função f aplicada a x , e vice-versa.

✸13: O operador de identidade "=" : Esta é uma definição que usa o sinal de duas maneiras diferentes, conforme observado pela citação de PM :

✸13.01 . x = y . = : (φ) : φ ! x . ⊃ . φ ! y Df

meios:

"Esta definição afirma que x e y devem ser chamados de idênticos quando toda função predicativa satisfeita por x também é satisfeita por y ... Observe que o segundo sinal de igualdade na definição acima é combinado com" Df "e, portanto, não é realmente o mesmo símbolo que o sinal de igualdade que é definido. "

O sinal diferente de "≠" aparece como uma definição em ✸13.02 .

✸14: Descrições :

"Uma descrição é uma frase da forma" o termo y que satisfaz φ ŷ , onde φ ŷ é alguma função satisfeita por um e apenas um argumento. "

Deste PM emprega dois novos símbolos, um "E" para a frente e um iota invertido "℩". Aqui está um exemplo:

✸14.02 . E ! (℩ y ) (φ y ) . = : (Ǝ b ) : φ y . ≡ _y . y = b Df .

Isso tem o significado:

"O y satisfazendo φ ŷ existe", que vale quando, e somente quando φ ŷ é satisfeito por um valor de y e por nenhum outro valor. "( PM 1967: 173-174)

Introdução à notação da teoria das classes e relações

O texto salta da seção ✸14 diretamente para as seções fundamentais ✸20 TEORIA GERAL DAS CLASSES e ✸21 TEORIA GERAL DAS RELAÇÕES . As "relações" são conhecidas na teoria contemporânea dos conjuntos como conjuntos de pares ordenados . As seções ✸20 e ✸22 apresentam muitos dos símbolos ainda em uso contemporâneo. Estes incluem os símbolos "ε", "⊂", "∩", "∪", "-", "Λ" e "V": "ε" significa "é um elemento de" ( PM 1962: 188); "⊂" ( ✸22.01 ) significa "está contido em", "é um subconjunto de"; "∩" ( ✸22.02 ) significa a interseção (produto lógico) de classes (conjuntos); "∪" ( ✸22.03 ) significa a união (soma lógica) de classes (conjuntos); "-" ( ✸22.03 ) significa negação de uma classe (conjunto); "Λ" significa a classe nula; e "V" significa a classe ou universo universal do discurso.

Letras gregas pequenas (exceto "ε", "ι", "π", "φ", "ψ", "χ" e "θ") representam classes (por exemplo, "α", "β", "γ "," δ ", etc.) ( PM 1962: 188):

x ε α

"O uso de uma única letra no lugar de símbolos como ẑ (φ z ) ou ẑ (φ ! Z ) é praticamente indispensável, pois, caso contrário, a notação rapidamente se torna insuportavelmente complicada. Assim, ' x ε α' significará ' x é um membro da classe α '". ( PM 1962: 188)

α ∪ –α = V

A união de um conjunto e seu inverso é o conjunto universal (completo).

α ∩ –α = Λ

A interseção de um conjunto e seu inverso é o conjunto nulo (vazio).

Quando aplicados às relações na seção ✸23 CÁLCULO DAS RELAÇÕES , os símbolos "⊂", "∩", "∪" e "-" adquirem um ponto: por exemplo: "⊍", "∸".

A noção e notação de "uma classe" (conjunto) : Na primeira edição PM afirma que nenhuma nova ideia primitiva é necessária para definir o que se entende por "uma classe", e apenas duas novas "proposições primitivas" chamadas de axiomas de redutibilidade para classes e relações respectivamente ( PM 1962: 25). Mas antes que essa noção possa ser definida, PM sente que é necessário criar uma notação peculiar " ẑ (φ z )" que ele chama de "objeto fictício". ( PM 1962: 188)

⊢ : x ε ẑ (φ z ) . ≡ . (φ x )

"ie, ' x é um membro da classe determinada por (φ ẑ )' é [logicamente] equivalente a ' x satisfaz (φ ẑ ),' ou a '(φ x ) é verdadeiro.'". ( PM 1962: 25)

Pelo menos PM pode dizer ao leitor como esses objetos fictícios se comportam, porque "Uma classe é totalmente determinada quando sua associação é conhecida, isto é, não pode haver duas classes diferentes com a mesma associação" ( PM 1962: 26). Isso é simbolizado pela seguinte igualdade (semelhante ao ✸13.01 acima:

ẑ (φ z ) = ẑ (ψ z ) . ≡ : ( x ) : φ x . ≡ . ψ x

"Esta última é a característica distintiva das classes, e nos justifica tratar ẑ (ψ z ) como a classe determinada por [a função] ψ ẑ ." ( PM 1962: 188)

Talvez o acima possa ser esclarecido pela discussão das aulas na Introdução à Segunda Edição , que descarta o Axioma da Redutibilidade e o substitui pela noção: "Todas as funções das funções são extensionais" ( PM 1962: xxxix), ou seja,

φ x ≡ _x ψ x . ⊃ . ( x ) : ƒ (φ ẑ ) ≡ ƒ (ψ ẑ ) ( PM 1962: xxxix)

Isso tem o significado razoável de que "IF para todos os valores de x os valores de verdade das funções φ e ψ de x são [logicamente] equivalentes, ENTÃO a função ƒ de um dado φ ẑ e ƒ de ψ ẑ são [logicamente] equivalentes . " PM afirma que isso é "óbvio":

"Isso é óbvio, uma vez que φ só pode ocorrer em ƒ (φ ẑ ) pela substituição dos valores de φ por p, q, r, ... em uma função [lógica-], e, se φ x ≡ ψ x , a substituição de φ x por p em uma função [lógica] dá o mesmo valor de verdade para a função de verdade que a substituição de ψ x . Consequentemente, não há mais nenhuma razão para distinguir entre classes de funções, pois temos, em virtude do acima,

φ x ≡ _x ψ x . ⊃ . ( x ) . φ ẑ = . ψ ẑ ".

Observe a mudança para o sinal de igualdade "=" à direita. PM prossegue afirmando que continuará a se agarrar à notação " ẑ (φ z )", mas isso é meramente equivalente a φ ẑ , e esta é uma classe. (todas as citações: PM 1962: xxxix).

Consistência e críticas

De acordo com os "Fundamentos lógicos da matemática" de Carnap , Russell queria uma teoria que pudesse ser plausivelmente considerada como derivando toda a matemática de axiomas puramente lógicos. No entanto, Principia Mathematica exigia, além dos axiomas básicos da teoria dos tipos, três outros axiomas que pareciam não ser verdadeiros como meras questões de lógica, a saber, o axioma do infinito , o axioma da escolha e o axioma da redutibilidade . Como os dois primeiros eram axiomas existenciais, Russell formulou afirmações matemáticas dependendo deles como condicionais. Mas a redutibilidade era necessária para garantir que as declarações formais até mesmo expressassem adequadamente declarações de análise real, de modo que declarações que dependessem dela não pudessem ser reformuladas como condicionais. Frank P. Ramsey tentou argumentar que a ramificação de Russell da teoria dos tipos era desnecessária, de modo que a redutibilidade pudesse ser removida, mas esses argumentos pareciam inconclusivos.

Além do status dos axiomas como verdades lógicas , pode-se fazer as seguintes perguntas sobre qualquer sistema como o PM:

• se uma contradição pode ser derivada dos axiomas (a questão da inconsistência ), e
• se existe uma afirmação matemática que não pode ser provada nem refutada no sistema (a questão da completude ).

A própria lógica proposicional era conhecida por ser consistente, mas a mesma não havia sido estabelecida para os axiomas da teoria dos conjuntos de Principia . (Veja o segundo problema de Hilbert .) Russell e Whitehead suspeitaram que o sistema em PM está incompleto: por exemplo, eles apontaram que não parece poderoso o suficiente para mostrar que o cardeal ℵ _ω existe. No entanto, pode-se perguntar se alguma extensão axiomatizável recursivamente dela é completa e consistente.

Gödel 1930, 1931

Em 1930, o teorema da completude de Gödel mostrou que a própria lógica de predicados de primeira ordem era completa em um sentido muito mais fraco - isto é, qualquer sentença que não seja provável de um determinado conjunto de axiomas deve realmente ser falsa em algum modelo dos axiomas. No entanto, este não é o sentido mais forte de completude desejado para Principia Mathematica, uma vez que um determinado sistema de axiomas (como os de Principia Mathematica) pode ter muitos modelos, em alguns dos quais uma dada afirmação é verdadeira e em outros dos quais essa afirmação é falso, de modo que a afirmação é deixada indecisa pelos axiomas.

Os teoremas da incompletude de Gödel lançam luz inesperada sobre essas duas questões relacionadas.

O primeiro teorema da incompletude de Gödel mostrou que nenhuma extensão recursiva de Principia poderia ser consistente e completa para declarações aritméticas. (Como mencionado acima, o próprio Principia já era conhecido por ser incompleto para algumas declarações não aritméticas.) De acordo com o teorema, dentro de todo sistema lógico recursivo suficientemente poderoso (como Principia ), existe uma declaração G que essencialmente lê, "O afirmação G não pode ser provada. " Tal afirmação é uma espécie de Catch-22 : se G é provável, então é falsa, e o sistema é, portanto, inconsistente; e se G não é demonstrável, então é verdade, e o sistema está, portanto, incompleto.

O segundo teorema da incompletude de Gödel (1931) mostra que nenhum sistema formal que estende a aritmética básica pode ser usado para provar sua própria consistência. Assim, a afirmação "não há contradições no Principia sistema" não pode ser comprovada no Principia sistema a menos que haja são contradições do sistema (caso em que ele pode ser provado verdadeira e falsa).

Wittgenstein 1919, 1939

Na segunda edição do PM , Russell havia removido seu axioma de redutibilidade para um novo axioma (embora ele não o declare como tal). Gödel 1944: 126 descreve desta forma:

"Essa mudança está conectada com o novo axioma de que as funções podem ocorrer em proposições apenas" por meio de seus valores ", ou seja, extensionalmente ... [isso é] bastante inquestionável, mesmo do ponto de vista construtivo ... desde que os quantificadores sejam sempre restritos a dados definidos pedidos ". Essa mudança de uma postura quase intensional para uma postura totalmente extensional também restringe a lógica de predicados à segunda ordem, ou seja, funções de funções: "Podemos decidir que a matemática deve se limitar a funções de funções que obedecem à suposição acima" ( PM 2 edição p. 401, Apêndice C).

Essa nova proposta teve um resultado terrível. Uma "postura extensional" e restrição a uma lógica de predicado de segunda ordem significa que uma função proposicional estendida a todos os indivíduos, como "Todos os 'x' são azuis" agora tem que listar todos os 'x' que satisfazem (são verdadeiros) a proposição, listando-os em uma conjunção possivelmente infinita: por exemplo, x ₁ ∧ x ₂ ∧. . . ∧ x _n ∧. . .. Ironicamente, essa mudança ocorreu como resultado da crítica de Wittgenstein em seu Tractatus Logico-Philosophicus de 1919 . Conforme descrito por Russell na Introdução à Segunda Edição do PM :

"Há outro curso, recomendado por Wittgenstein † († Tractatus Logico-Philosophicus , * 5.54ff) por razões filosóficas. Este é assumir que as funções das proposições são sempre funções de verdade, e que uma função só pode ocorrer em uma proposição por meio seus valores. [...] [Trabalhando com as consequências] parece que tudo no Vol. I permanece verdadeiro (embora muitas vezes novas provas sejam necessárias); a teoria dos cardinais indutivos e ordinais sobrevive; mas parece que a teoria do infinito As séries dedekindianas e bem ordenadas entram em colapso, de modo que os irracionais, e os números reais em geral, não podem mais ser tratados de forma adequada. Também a prova de Cantor de que 2 ⁿ > n se quebra a menos que n seja finito. " ( PM 2ª edição reimpressa em 1962: xiv, também cf. novo Apêndice C).

Em outras palavras, o fato de que uma lista infinita não pode ser realisticamente especificada significa que o conceito de "número" no sentido infinito (ou seja, o contínuo) não pode ser descrito pela nova teoria proposta na PM Segunda Edição .

Wittgenstein em suas Lectures on the Foundations of Mathematics, Cambridge 1939 criticou Principia por vários motivos, tais como:

• Ele pretende revelar a base fundamental da aritmética. No entanto, são nossas práticas aritméticas diárias, como contar, que são fundamentais; pois se uma discrepância persistente surgisse entre a contagem e os Principia , isso seria tratado como evidência de um erro em Principia (por exemplo, que Principia não caracterizou números ou adição corretamente), não como evidência de um erro na contagem diária.
• Os métodos de cálculo em Principia só podem ser usados ​​na prática com números muito pequenos. Para calcular usando grandes números (por exemplo, bilhões), as fórmulas se tornariam muito longas, e algum método de atalho teria que ser usado, o que sem dúvida dependeria de técnicas cotidianas, como contagem (ou então não fundamental e, portanto, métodos questionáveis, como indução). Portanto, novamente Principia depende de técnicas cotidianas, e não vice-versa.

Wittgenstein, entretanto, admitiu que Principia pode, não obstante, tornar alguns aspectos da aritmética cotidiana mais claros.

Gödel 1944

Em sua lógica matemática de Russell de 1944 , Gödel oferece uma "discussão crítica, mas simpática da ordem lógica das idéias":

"É lamentável que esta primeira apresentação abrangente e completa de uma lógica matemática e a derivação da matemática a partir dela [seja] tão carente de precisão formal nos fundamentos (contidos em * 1- * 21 de Principia ) que representa, a este respeito, um considerável retrocesso em relação a Frege. O que falta, acima de tudo, é um enunciado preciso da sintaxe do formalismo. Considerações sintáticas são omitidas mesmo nos casos em que são necessárias para a força das provas. .. A questão é especialmente duvidosa para a regra de substituição e de substituição de símbolos definidos por seus definiens ... É principalmente a regra de substituição que teria que ser provada "(Gödel 1944: 124)

Conteúdo

Parte I Lógica matemática. Volume I ✸1 a ✸43

Esta seção descreve o cálculo proposicional e de predicado e fornece as propriedades básicas de classes, relações e tipos.

Parte II Prolegômenos para aritmética cardinal. Volume I ✸50 a ✸97

Esta parte cobre várias propriedades das relações, especialmente aquelas necessárias para a aritmética cardinal.

Parte III Aritmética cardinal. Volume II ✸100 a ✸126

Isso cobre a definição e as propriedades básicas dos cardeais. Um cardinal é definido como uma classe de equivalência de classes semelhantes (em oposição a ZFC , onde um cardinal é um tipo especial de ordinal de von Neumann). Cada tipo tem sua própria coleção de cardeais associada a ele, e há uma quantidade considerável de contabilidade necessária para comparar cardeais de diferentes tipos. PM define adição, multiplicação e exponenciação de cardeais e compara diferentes definições de cardinais finitos e infinitos. ✸120,03 é o Axioma do infinito.

Parte IV Relação-aritmética. Volume II ✸150 a ✸186

Um "número de relação" é uma classe de equivalência de relações isomórficas. PM define análogos de adição, multiplicação e exponenciação para relações arbitrárias. A adição e multiplicação é semelhante à definição usual de adição e multiplicação de ordinais em ZFC, embora a definição de exponenciação de relações em PM não seja equivalente à usual usada em ZFC.

Parte V Series. Volume II ✸200 a ✸234 e volume III ✸250 a ✸276

Isso abrange séries, que é o termo da PM para o que agora é chamado de conjunto totalmente ordenado. Em particular, ele cobre séries completas, funções contínuas entre séries com a topologia de ordem (embora, é claro, eles não usem essa terminologia), séries bem ordenadas e séries sem "lacunas" (aquelas com um membro estritamente entre quaisquer dois membros dados) .

Quantidade da Parte VI. Volume III ✸300 a ✸375

Esta seção constrói o anel de inteiros, os campos de números reais e racionais e as "famílias vetoriais", que estão relacionadas aos que agora são chamados de torsores sobre grupos abelianos.

Comparação com a teoria dos conjuntos

Esta seção compara o sistema em PM com os fundamentos matemáticos usuais do ZFC. O sistema de PM é aproximadamente comparável em força com a teoria dos conjuntos de Zermelo (ou mais precisamente uma versão dela em que o axioma de separação tem todos os quantificadores limitados).

• O sistema de lógica proposicional e cálculo de predicados em PM é essencialmente o mesmo que o usado agora, exceto que a notação e a terminologia mudaram.
• A diferença mais óbvia entre PM e teoria dos conjuntos é que em PM todos os objetos pertencem a um de vários tipos disjuntos. Isso significa que tudo fica duplicado para cada tipo (infinito): por exemplo, cada tipo tem seus próprios ordinais, cardinais, números reais e assim por diante. Isso resulta em muita contabilidade para relacionar os vários tipos uns com os outros.
• Em ZFC, as funções são normalmente codificadas como conjuntos de pares ordenados. Em funções PM são tratadas de forma bastante diferente. Em primeiro lugar, "função" significa "função proposicional", algo que assume valores verdadeiros ou falsos. Em segundo lugar, as funções não são determinadas por seus valores: é possível ter várias funções diferentes, todas assumindo os mesmos valores (por exemplo, pode-se considerar 2 x +2 e 2 ( x +1) como funções diferentes com base no fato de que os programas de computador para avaliá-los são diferentes). As funções em ZFC fornecidas por conjuntos de pares ordenados correspondem ao que PM chama de "matrizes", e as funções mais gerais em PM são codificadas pela quantificação de algumas variáveis. Em particular, o PM distingue entre funções definidas usando quantificação e funções não definidas usando quantificação, enquanto ZFC não faz essa distinção.
• PM não tem um análogo do axioma de substituição , embora isso seja de pouca importância prática, pois esse axioma é muito pouco usado em matemática fora da teoria dos conjuntos.
• PM enfatiza as relações como um conceito fundamental, ao passo que na prática matemática atual são as funções, e não as relações, que são tratadas como mais fundamentais; por exemplo, a teoria das categorias enfatiza morfismos ou funções em vez de relações. (No entanto, há um análogo de categorias chamadas alegorias que modela relações em vez de funções e é bastante semelhante ao sistema de tipo de PM.)
• Em PM, cardinais são definidos como classes de classes semelhantes, enquanto em ZFC cardinais são ordinais especiais. Em PM, há uma coleção diferente de cardeais para cada tipo, com alguns mecanismos complicados para mover cardeais entre tipos, enquanto em ZFC há apenas 1 tipo de cardeal. Como PM não possui nenhum equivalente do axioma de substituição, não é possível provar a existência de cardinais maiores que than _ω .
• Em PM ordinais são tratados como classes de equivalência de conjuntos bem ordenados e, como acontece com cardinais, há uma coleção diferente de ordinais para cada tipo. No ZFC, há apenas uma coleção de ordinais, geralmente definidos como ordinais de von Neumann . Uma estranha peculiaridade do PM é que eles não têm um ordinal correspondente a 1, o que causa inúmeras complicações desnecessárias em seus teoremas. A definição de exponenciação ordinal α ^β em PM não é equivalente à definição usual em ZFC e tem algumas propriedades indesejáveis: por exemplo, não é contínua em β e não é bem ordenada (portanto, não é nem mesmo ordinal).
• As construções dos números inteiros, racionais e reais em ZFC foram simplificadas consideravelmente ao longo do tempo, desde as construções em PM.

Diferenças entre as edições

Além das correções de erros de impressão, o texto principal do PM não foi alterado entre a primeira e a segunda edições. O texto principal nos Volumes 1 e 2 foi redefinido, para ocupar menos páginas em cada um. Na segunda edição, o Volume 3 não foi zerado, sendo reimpresso fotograficamente com a mesma numeração de páginas; correções ainda foram feitas. O número total de páginas (excluindo os papéis finais) na primeira edição é 1.996; no segundo, 2.000. O Volume 1 tem cinco novas adições:

• Uma introdução de 54 páginas de Russell descrevendo as mudanças que eles teriam feito se tivessem mais tempo e energia. A principal mudança que ele sugere é a remoção do axioma controverso da redutibilidade, embora ele admita que não conhece um substituto satisfatório para ele. Ele também parece mais favorável à ideia de que uma função deve ser determinada por seus valores (como é usual na prática matemática atual).
• Apêndice A, numerado como * 8, 15 páginas, sobre o AVC Sheffer.
• Apêndice B, numerado como * 89, discutindo a indução sem o axioma da redutibilidade.
• Apêndice C, 8 páginas, discutindo funções proposicionais.
• Uma lista de 8 páginas de definições no final, fornecendo um índice muito necessário para as 500 ou mais notações usadas.

Em 1962, Cambridge University Press publicou uma edição em brochura encurtada contendo partes da segunda edição do Volume 1: a nova introdução (e a antiga), o texto principal até * 56 e os Apêndices A e C.

Edições

• Whitehead, Alfred North; Russell, Bertrand (1910), Principia mathematica , 1 (1 ed.), Cambridge: Cambridge University Press, JFM  41.0083.02
• Whitehead, Alfred North; Russell, Bertrand (1912), Principia mathematica , 2 (1 ed.), Cambridge: Cambridge University Press, JFM  43.0093.03
• Whitehead, Alfred North; Russell, Bertrand (1913), Principia mathematica , 3 (1 ed.), Cambridge: Cambridge University Press, JFM  44.0068.01
• Whitehead, Alfred North; Russell, Bertrand (1925), Principia mathematica , 1 (2 ed.), Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 978-0521067911, JFM  51,0046,06
• Whitehead, Alfred North; Russell, Bertrand (1927), Principia mathematica , 2 (2 ed.), Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 978-0521067911, JFM  53,0038,02
• Whitehead, Alfred North; Russell, Bertrand (1927), Principia mathematica , 3 (2 ed.), Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 978-0521067911, JFM  53,0038,02
• Whitehead, Alfred North; Russell, Bertrand (1997) [1962], Principia mathematica to * 56 , Cambridge Mathematical Library, Cambridge: Cambridge University Press, doi : 10.1017 / CBO9780511623585 , ISBN 0-521-62606-4, MR  1700771 , Zbl  0877.01042

A primeira edição foi reimpressa em 2009 pela Merchant Books, ISBN  978-1-60386-182-3 , ISBN  978-1-60386-183-0 , ISBN  978-1-60386-184-7 .

Veja também

• Teoria dos conjuntos axiomáticos
• álgebra booleana
• Linguagem de Processamento de Informação - primeira demonstração computacional de teoremas em PM
• Introdução à Filosofia Matemática

Notas de rodapé

Referências

• Stephen Kleene (1952). Introduction to Metamathematics , 6th Reprint, North-Holland Publishing Company, Amsterdam NY, ISBN  0-7204-2103-9 .
  • Stephen Cole Kleene ; Michael Beeson (2009). Introdução à Metamatemática (edição de brochura). Ishi Press. ISBN 978-0-923891-57-2.
• Ivor Grattan-Guinness (2000). The Search for Mathematical Roots 1870–1940 , Princeton University Press, Princeton NJ, ISBN  0-691-05857-1 .
• Ludwig Wittgenstein (2009), Major Works: Selected Philosophical Writings , HarperrCollins, New York, ISBN  978-0-06-155024-9 . Em particular:

Tractatus Logico-Philosophicus (Viena 1918), publicação original em alemão).

• Editor Jean van Heijenoort (1967). From Frege to Gödel: A Source book in Mathematical Logic, 1879–1931 , 3ª impressão, Harvard University Press, Cambridge MA, ISBN  0-674-32449-8 .
• Michel Weber e Will Desmond (eds.) (2008) Handbook of Whiteheadian Process Thought , Frankfurt / Lancaster, Ontos Verlag, Process Thought X1 & X2.

links externos

• Mídia relacionada a Principia Mathematica no Wikimedia Commons
• Enciclopédia de Filosofia de Stanford :
  • Principia Mathematica - por AD Irvine
  • The Notation in Principia Mathematica - de Bernard Linsky.
• Proposição ✸54.43 em uma notação mais moderna ( Metamat )