Homomorfismo de grupo - Group homomorphism

Imagem de um homomorfismo de grupo ( h ) de G (esquerda) a H (direita). O oval menor dentro de H é a imagem de h . N é o núcleo de H e aN é uma classe lateral de N .

Estrutura algébrica → Teoria de grupos Teoria de grupos
Noções básicas Subgrupo Subgrupo normal Grupo de quociente Produto (semi) direto Homomorfismos de grupo núcleo imagem soma direta produto de coroa simples finito infinito contínuo multiplicativo aditivo cíclico abeliano diédrico nilpotente solucionável Glossário da teoria dos grupos Lista de tópicos de teoria de grupo
Grupos finitos Classificação de grupos finitos simples cíclico alternando Tipo de mentira esporádico Teorema de Cauchy Teorema de Lagrange Teoremas de Sylow Teorema de Hall p-grupo Grupo abeliano elementar Grupo Frobenius Multiplicador Schur Grupo simétrico S n Klein quatro grupos V Grupo diédrico D n Quaternion grupo Q Grupo dicíclico Dic n
Grupos discretos Treliças Inteiros ( Z ) Grupo livre Grupos modulares PSL (2, Z ) SL (2, Z ) Grupo aritmético Malha Grupo hiperbólico
Grupos topológicos e de Lie Solenóide Círculo GL linear geral ( n ) SL linear especial ( n ) Ortogonal O ( n ) E Euclidiano ( n ) SO ortogonal especial ( n ) Unitária U ( n ) SU unitário especial ( n ) Sp simplético ( n ) G 2 F 4 E 6 E 7 E 8 Lorentz Poincaré Conforme Difeomorfismo Laço Grupo de Lie dimensional infinito O (∞) SU (∞) Sp (∞)
Grupos algébricos Grupo algébrico linear Grupo redutor Variedade abeliana Curva elíptica
v t e

Em matemática , dados dois grupos , ( G , ∗) e ( H , ·), um homomorfismo de grupo de ( G , ∗) a ( H , ·) é uma função h  : G → H tal que para todos u e v em G detém isso

${\ displaystyle h (u * v) = h (u) \ cdot h (v)}$

onde o grupo operação no lado esquerdo da equação é a de L e no lado direito do que H .

A partir dessa propriedade, pode-se deduzir que h mapeia o elemento de identidade e _G de G para o elemento de identidade e _H de H ,

${\ displaystyle h (e_ {G}) = e_ {H}}$

e também mapeia inversos para inversos no sentido de que

${\ displaystyle h \ left (u ^ {- 1} \ right) = h (u) ^ {- 1}. \,}$

Portanto, pode-se dizer que h "é compatível com a estrutura do grupo".

Notações mais antigas para o homomorfismo h ( x ) podem ser x ^h ou x _h , embora isso possa ser confundido como um índice ou um índice geral. Na teoria dos autômatos , às vezes os homomorfismos são escritos à direita de seus argumentos sem parênteses, de modo que h ( x ) torna-se simplesmente xh .

Em áreas da matemática onde se considera grupos dotados de estrutura adicional, um homomorfismo às vezes significa um mapa que respeita não apenas a estrutura do grupo (como acima), mas também a estrutura extra. Por exemplo, um homomorfismo de grupos topológicos muitas vezes precisa ser contínuo.

Intuição

O propósito de definir um homomorfismo de grupo é criar funções que preservem a estrutura algébrica. Uma definição equivalente de homomorfismo de grupo é: A função h  : G → H é um homomorfismo de grupo se sempre

a ∗ b = c   temos   h ( a ) ⋅ h ( b ) = h ( c ).

Em outras palavras, o grupo H em algum sentido tem uma estrutura algébrica semelhante a G e o homomorfismo h preserva isso.

Tipos

Monomorfismo

Um homomorfismo de grupo que é injetivo (ou, um-para-um); ou seja, preserva a distinção.

Epimorfismo

Um homomorfismo de grupo que é sobrejetivo (ou, sobre); ou seja, atinge todos os pontos do codomínio.

Isomorfismo

Um homomorfismo de grupo que é bijetivo ; ou seja, injetivo e sobrejetivo. Seu inverso também é um homomorfismo de grupo. Nesse caso, os grupos G e H são chamados de isomórficos ; eles diferem apenas na notação de seus elementos e são idênticos para todos os fins práticos.

Endomorfismo

Um homomorfismo, h : G → G ; o domínio e o codomínio são iguais. Também chamado de um endomorfismo de G .

Automorfismo

Um endomorfismo que é bijetivo e, portanto, um isomorfismo. O conjunto de todas as automorphisms de um grupo G , com composição funcional como o funcionamento, forma-se um grupo, o grupo automorphism de L . É denotado por Aut ( G ). Como exemplo, o grupo de automorfismo de ( Z , +) contém apenas dois elementos, a transformação de identidade e a multiplicação com -1; é isomorfa a Z / 2 Z .

Imagem e kernel

Definimos o kernel de h como o conjunto de elementos em G que são mapeados para a identidade em H

${\ displaystyle \ operatorname {ker} (h) \ equiv \ left \ {u \ in G \ colon h (u) = e_ {H} \ right \}.}$

e a imagem de h para ser

${\ displaystyle \ operatorname {im} (h) \ equiv h (G) \ equiv \ left \ {h (u) \ dois pontos u \ in G \ right \}.}$

O núcleo e a imagem de um homomorfismo podem ser interpretados como uma medida de quão perto está de ser um isomorfismo. O primeiro teorema do isomorfismo afirma que a imagem de um homomorfismo de grupo, h ( G ), é isomórfica ao grupo quociente G / ker h .

O kernel de h é um subgrupo normal de G e a imagem de h é um subgrupo de H :

${\ displaystyle {\ begin {alinhado} h \ left (g ^ {- 1} \ circ u \ circ g \ right) & = h (g) ^ {- 1} \ cdot h (u) \ cdot h (g ) \\ & = h (g) ^ {- 1} \ cdot e_ {H} \ cdot h (g) \\ & = h (g) ^ {- 1} \ cdot h (g) = e_ {H} . \ end {alinhado}}}$

Se e somente se ker ( h ) = { e _G }, o homomorfismo, h , é um monomorfismo de grupo ; ou seja, h é injetivo (um para um). A injeção fornece diretamente que existe um elemento único no kernel, e um elemento único no kernel fornece injeção:

${\ displaystyle {\ begin {align} && h (g_ {1}) & = h (g_ {2}) \\\ Leftrightarrow && h (g_ {1}) \ cdot h (g_ {2}) ^ {- 1} & = e_ {H} \\\ Leftrightarrow && h \ left (g_ {1} \ circ g_ {2} ^ {- 1} \ right) & = e_ {H}, \ \ operatorname {ker} (h) = \ {e_ {G} \} \\\ Rightarrow && g_ {1} \ circ g_ {2} ^ {- 1} & = e_ {G} \\\ Leftrightarrow && g_ {1} & = g_ {2} \ end {alinhado }}}$

Exemplos

• Considere o grupo cíclico Z / 3 Z = {0, 1, 2} e o grupo de inteiros Z com adição. O mapa h  : Z → Z / 3 Z com h ( u ) = u mod 3 é um homomorfismo de grupo. É sobrejetivo e seu núcleo consiste em todos os inteiros que são divisíveis por 3.

• O mapa exponencial produz um homomorfismo de grupo do grupo de números reais R com adição ao grupo de números reais diferentes de zero R * com multiplicação. O kernel é {0} e a imagem consiste nos números reais positivos.
• O mapa exponencial também produz um homomorfismo de grupo do grupo de números complexos C com adição ao grupo de números complexos diferentes de zero C * com multiplicação. Este mapa é sobrejetivo e possui o kernel {2π ki  : k ∈ Z }, como pode ser visto pela fórmula de Euler . Campos como R e C que têm homomorfismos de seu grupo aditivo para seu grupo multiplicativo são, portanto, chamados de campos exponenciais .

A categoria dos grupos

Se h  : L → H e K  : H → K são homomorphisms grupo, então é assim k ∘ h  : L → K . Isso mostra que a classe de todos os grupos, junto com os homomorfismos de grupo como morfismos, forma uma categoria .

Homomorfismos de grupos abelianos

Se G e H são grupos abelianos (ou seja, comutativos), então o conjunto Hom ( G , H ) de todos os homomorfismos de grupo de G a H é ele próprio um grupo abeliano: a soma h + k de dois homomorfismos é definida por

( H + k ) ( u ) = h ( L ) + K ( u ) para todo u em L .

A comutatividade de H é necessária para provar que h + k é novamente um homomorfismo de grupo.

A adição de homomorfismos é compatível com a composição de homomorfismos no seguinte sentido: se f está em Hom ( K , G ) , h , k são elementos de Hom ( G , H ) , e g está em Hom ( H , L ) , então

( h + k ) ∘ f = ( h ∘ f ) + ( k ∘ f )    e    g ∘ ( h + k ) = ( g ∘ h ) + ( g ∘ k ) .

Uma vez que a composição é associativa , esta mostra que o fim conjunto ( L ) de todos os endomorfismos de um grupo abeliano forma um anel , o anel endomorfismo de L . Por exemplo, o anel endomorfismo do grupo que consiste em abeliano a soma directa de m cópias de Z / n Z é isomorfo para o anel de m -by- m matrizes com entradas em Z / N Z . A compatibilidade acima também mostra que a categoria de todos os grupos abelianos com homomorfismos de grupo forma uma categoria pré - aditiva ; a existência de somas diretas e grãos bem comportados torna esta categoria o exemplo prototípico de uma categoria abeliana .

Veja também

Referências

• Dummit, DS; Foote, R. (2004). Abstract Algebra (3ª ed.). Wiley. pp. 71-72. ISBN   978-0-471-43334-7 .
• Lang, Serge (2002), Algebra , Graduate Texts in Mathematics , 211 (revisado, terceira edição), Nova York: Springer-Verlag, ISBN   978-0-387-95385-4 , MR   1878556 , Zbl   0984.00001

links externos

• Rowland, Todd & Weisstein, Eric W. "Group Homomorphism" . MathWorld .