Axiomas de probabilidade - Probability axioms
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Os axiomas de Kolmogorov são os fundamentos da teoria da probabilidade introduzida por Andrey Kolmogorov em 1933. Esses axiomas permanecem centrais e têm contribuições diretas para a matemática, as ciências físicas e os casos de probabilidade do mundo real. Uma abordagem alternativa para formalizar a probabilidade, favorecida por alguns bayesianos , é dada pelo teorema de Cox .
Axiomas
As suposições quanto à configuração dos axiomas podem ser resumidas da seguinte forma: Seja (Ω, F , P ) um espaço de medida com sendo a probabilidade de algum evento E , e . Em seguida, (Ω, F , P ) é um espaço de probabilidade , com espaço amostra Ω, espaço evento F e medida de probabilidade P .
Primeiro axioma
A probabilidade de um evento é um número real não negativo:
onde fica o espaço do evento. Segue-se que é sempre finito, em contraste com a teoria de medida mais geral . As teorias que atribuem probabilidade negativa relaxam o primeiro axioma.
Segundo axioma
Este é o pressuposto da medida unitária : que a probabilidade de que pelo menos um dos eventos elementares em todo o espaço amostral ocorra é 1
Terceiro axioma
Esta é a suposição de σ-aditividade :
- Qualquer sequência contável de conjuntos disjuntos (sinônimo de eventos mutuamente exclusivos ) satisfaz
Alguns autores consideram espaços de probabilidade meramente finitos aditivos , caso em que é necessário apenas uma álgebra de conjuntos , em vez de uma σ-álgebra . Distribuições de quase-probabilidade em geral relaxam o terceiro axioma.
Consequências
Dos axiomas de Kolmogorov , pode-se deduzir outras regras úteis para estudar probabilidades. As provas dessas regras são um procedimento muito perspicaz que ilustra o poder do terceiro axioma e sua interação com os dois axiomas restantes. Quatro dos corolários imediatos e suas provas são mostrados abaixo:
Monotonicidade
Se A for um subconjunto ou igual a B, então a probabilidade de A é menor ou igual à probabilidade de B.
Prova de monotonicidade
Para verificar a propriedade de monotonicidade, definimos e , onde e para . A partir das propriedades do conjunto vazio ( ), é fácil ver que os conjuntos são disjuntos e pares . Portanto, obtemos do terceiro axioma que
Visto que, pelo primeiro axioma, o lado esquerdo desta equação é uma série de números não negativos, e como converge para o qual é finito, obtemos e .
A probabilidade do conjunto vazio
Em alguns casos, não é o único evento com probabilidade 0.
Prova de probabilidade do conjunto vazio
Conforme mostrado na prova anterior ,. Esta afirmação pode ser provada por contradição: se então o lado esquerdo é infinito;
Se tivermos uma contradição, porque o lado esquerdo é infinito enquanto deve ser finito (do primeiro axioma). Assim ,. Mostramos isso como um subproduto da prova de monotonicidade .
A regra do complemento
Prova da regra do complemento
Dados e são mutuamente exclusivos e que :
... (pelo axioma 3)
e, ... (pelo axioma 2)
O limite numérico
Decorre imediatamente da propriedade de monotonicidade que
Prova do limite numérico
Dada a regra do complemento e axioma 1 :
Outras consequências
Outra propriedade importante é:
Isso é chamado de lei da probabilidade da adição ou regra da soma. Ou seja, a probabilidade de que um evento em A ou B vai acontecer é a soma da probabilidade de um evento em A e a probabilidade de um evento em B , menos a probabilidade de um evento que está em ambos A e B . A prova disso é a seguinte:
Em primeiro lugar,
- ... (por Axiom 3)
Então,
- (por ).
Também,
e a eliminação de ambas as equações nos dá o resultado desejado.
Uma extensão da lei da adição a qualquer número de conjuntos é o princípio de inclusão-exclusão .
Definir B para o complemento A c de A na lei de adição dá
Ou seja, a probabilidade de que qualquer evento não aconteça (ou o complemento do evento ) é 1 menos a probabilidade de que aconteça .
Exemplo simples: cara ou coroa
Considere um único lançamento de moeda e suponha que a moeda cairá cara (H) ou coroa (T) (mas não ambos). Nenhuma suposição é feita sobre se a moeda é justa.
Podemos definir:
Os axiomas de Kolmogorov implicam que:
A probabilidade de nem cara nem coroa é 0.
A probabilidade de ambos cabeças ou caudas, é um.
A soma da probabilidade de cara e a probabilidade de coroa é 1.
Veja também
- Álgebra Borel
- Probabilidade Condicional
- Design totalmente probabilístico
- Estatísticas intuitivas
- Quasiprobabilidade
- Teoria dos conjuntos - Ramo da matemática que estuda conjuntos
- σ-álgebra
Referências
Leitura adicional
- DeGroot, Morris H. (1975). Probabilidade e estatística . Leitura: Addison-Wesley. pp. 12–16 . ISBN 0-201-01503-X.
- McCord, James R .; Moroney, Richard M. (1964). "Probabilidade axiomática" . Introdução à Teoria das Probabilidades . Nova York: Macmillan. pp. 13–28 .
- Definição formal de probabilidade no sistema de Mizar e a lista de teoremas formalmente comprovados sobre isso.