Teoria de conjuntos - Set theory

Um diagrama de Venn ilustrando a interseção de dois conjuntos .

A teoria dos conjuntos é o ramo da lógica matemática que estuda os conjuntos , que podem ser descritos informalmente como coleções de objetos. Embora objetos de qualquer tipo possam ser agrupados em um conjunto, a teoria dos conjuntos, como um ramo da matemática , preocupa-se principalmente com aqueles que são relevantes para a matemática como um todo.

O estudo moderno da teoria dos conjuntos foi iniciado pelos matemáticos alemães Richard Dedekind e Georg Cantor na década de 1870. Em particular, Georg Cantor é comumente considerado o fundador da teoria dos conjuntos. Os sistemas não formalizados investigados durante esse estágio inicial recebem o nome de teoria ingênua dos conjuntos . Após a descoberta de paradoxos dentro teoria conjunto ingénuo (tais como o paradoxo de Russell , paradoxo de Cantor e Burali-Forti paradoxo ) vários sistemas axiomático foram propostos no início do século XX, dos quais Zermelo-Fraenkel (com ou sem o axioma de escolha ) ainda é o mais conhecido e estudado.

A teoria dos conjuntos é comumente empregada como um sistema fundamental para toda a matemática, particularmente na forma da teoria dos conjuntos de Zermelo-Fraenkel com o axioma da escolha. Além de seu papel fundamental, a teoria dos conjuntos também fornece a estrutura para desenvolver uma teoria matemática do infinito e tem várias aplicações em ciência da computação (como na teoria da álgebra relacional ), filosofia e semântica formal . Seu apelo fundamental, junto com seus paradoxos , suas implicações para o conceito de infinito e suas múltiplas aplicações, tornaram a teoria dos conjuntos uma área de grande interesse para lógicos e filósofos da matemática . A pesquisa contemporânea na teoria dos conjuntos cobre uma vasta gama de tópicos, que vão desde a estrutura da reta dos números reais ao estudo da consistência de grandes cardeais .

História

Tópicos matemáticos normalmente surgem e evoluem por meio de interações entre muitos pesquisadores. A teoria dos conjuntos, no entanto, foi fundada por um único artigo em 1874 por Georg Cantor : " Sobre uma propriedade da coleção de todos os números algébricos reais ".

Desde o século 5 aC, começando com o matemático grego Zenão de Elea no Ocidente e os primeiros matemáticos indianos no Oriente, os matemáticos lutaram com o conceito de infinito . Especialmente notável é a obra de Bernard Bolzano na primeira metade do século XIX. A compreensão moderna do infinito começou em 1870-1874 e foi motivada pelo trabalho de Cantor em análise real . Um encontro de 1872 entre Cantor e Richard Dedekind influenciou o pensamento de Cantor e culminou no artigo de 1874 de Cantor.

O trabalho de Cantor inicialmente polarizou os matemáticos de sua época. Enquanto Karl Weierstrass e Dedekind apoiaram Cantor, Leopold Kronecker , agora visto como o fundador do construtivismo matemático , não o fez. A teoria dos conjuntos cantoriana acabou se generalizando devido à utilidade dos conceitos cantorianos, como a correspondência um a um entre os conjuntos, sua prova de que existem mais números reais do que inteiros e o "infinito dos infinitos" (" paraíso de Cantor ") resultante da operação do conjunto de potência . Esta utilidade da teoria dos conjuntos levou ao artigo "Mengenlehre", contribuído em 1898 por Arthur Schoenflies para a enciclopédia de Klein .

A próxima onda de empolgação na teoria dos conjuntos veio por volta de 1900, quando foi descoberto que algumas interpretações da teoria dos conjuntos cantoriana davam origem a várias contradições, chamadas de antinomias ou paradoxos . Bertrand Russell e Ernst Zermelo encontraram independentemente o paradoxo mais simples e mais conhecido, agora chamado de paradoxo de Russell : considere "o conjunto de todos os conjuntos que não são membros de si mesmos", o que leva a uma contradição, uma vez que deve ser um membro de si mesmo e não um membro de si mesmo. Em 1899, o próprio Cantor colocou a questão "Qual é o número cardinal do conjunto de todos os conjuntos?", E obteve um paradoxo relacionado. Russell usou seu paradoxo como tema em sua revisão de 1903 da matemática continental em seus Princípios de Matemática . Em vez do conjunto de termos , Russell usou o termo Classe , que posteriormente foi usado de forma mais técnica.

Em 1906, o conjunto de termos apareceu no livro Theory of Sets of Points, do marido e da esposa William Henry Young e Grace Chisholm Young , publicado pela Cambridge University Press .

O ímpeto da teoria dos conjuntos foi tal que o debate sobre os paradoxos não levou ao seu abandono. O trabalho de Zermelo em 1908 e o trabalho de Abraham Fraenkel e Thoralf Skolem em 1922 resultaram no conjunto de axiomas ZFC , que se tornou o conjunto de axiomas mais comumente usado para a teoria dos conjuntos. O trabalho de analistas , como o de Henri Lebesgue , demonstrou a grande utilidade matemática da teoria dos conjuntos, que desde então se tornou parte integrante da matemática moderna. A teoria dos conjuntos é comumente usada como um sistema fundamental, embora em algumas áreas - como geometria algébrica e topologia algébrica - a teoria das categorias seja considerada uma base preferencial.

Conceitos básicos e notação

Teoria dos conjuntos começa com um fundamentais relação binária entre um objeto o e um conjunto A . Se o for um membro (ou elemento ) de A , a notação oA será usada. Um conjunto é descrito listando os elementos separados por vírgulas, ou por uma propriedade de caracterização de seus elementos, entre colchetes {}. Uma vez que os conjuntos são objetos, a relação de pertinência também pode relacionar conjuntos.

Uma relação binária derivada entre dois conjuntos é a relação de subconjunto, também chamada de inclusão de conjunto . Se todos os membros do conjunto Um são também membros do conjunto B , então A é um subconjunto de B , denotado UmB . Por exemplo, {1, 2} é um subconjunto de {1, 2, 3} e, portanto, é {2}, mas {1, 4} não é. Como está implícito nesta definição, um conjunto é um subconjunto de si mesmo. Para os casos em que essa possibilidade é inadequada ou faria sentido ser rejeitada, o termo subconjunto adequado é definido. Um é chamado de um subconjunto próprio de B se e somente se A é um subconjunto de B , mas A não é igual a B . Além disso, 1, 2 e 3 são membros (elementos) do conjunto {1, 2, 3} , mas não são subconjuntos dele; e, por sua vez, os subconjuntos, como {1} , não são membros do conjunto {1, 2, 3} .

Assim como a aritmética apresenta operações binárias em números , a teoria dos conjuntos apresenta operações binárias em conjuntos. A seguir está uma lista parcial deles:

  • A união dos conjuntos A e B , denotados AB , é o conjunto de todos os objetos que são membros de A , ou B , ou ambos. Por exemplo, a união de {1, 2, 3} e {2, 3, 4} é o conjunto {1, 2, 3, 4} .
  • Intersecção dos conjuntos A e B , denotado AB , é o conjunto de todos os objetos que são membros de ambos A e B . Por exemplo, a interseção de {1, 2, 3} e {2, 3, 4} é o conjunto {2, 3} .
  • Set diferença de L e A , denotada L \ A , é o conjunto de todos os membros da U que não são membros de A . A diferença do conjunto {1, 2, 3} \ {2, 3, 4} é {1} , enquanto, inversamente, a diferença do conjunto {2, 3, 4} \ {1, 2, 3} é {4} . Quando A é um subconjunto de L , a diferença do conjunto L \ A também é chamado de complemento de A em U . Nesse caso, se a escolha de U for clara no contexto, a notação A c às vezes é usada em vez de U \ A , particularmente se U for um conjunto universal como no estudo dos diagramas de Venn .
  • A diferença simétrica dos conjuntos A e B , denotada AB ou AB , é o conjunto de todos os objetos que são membros de exatamente um de A e B (elementos que estão em um dos conjuntos, mas não em ambos). Por exemplo, para os conjuntos {1, 2, 3} e {2, 3, 4} , o conjunto de diferenças simétricas é {1, 4} . É a diferença de conjunto da união e da interseção, ( AB ) \ ( AB ) ou ( A \ B ) ∪ ( B \ A ) .
  • Produto cartesiano de A e B , denotado Um × B , é o conjunto cujos membros são todos os possíveis pares ordenados ( um , b ) , em que um é um membro de um e b é um membro de B . Por exemplo, o produto cartesiano de {1, 2} e {vermelho, branco} é {(1, vermelho), (1, branco), (2, vermelho), (2, branco)}.
  • Jogo da potência de um conjunto A , denotada, é o conjunto cujos membros são todos os possíveis subconjuntos de A . Por exemplo, o conjunto de potência de {1, 2} é {{}, {1}, {2}, {1, 2}} .

Alguns conjuntos básicos de importância central são o conjunto de números naturais , o conjunto de números reais e o conjunto vazio - o conjunto único que não contém elementos. O conjunto vazio também é ocasionalmente chamado de conjunto nulo , embora esse nome seja ambíguo e possa levar a várias interpretações.

Alguma ontologia

Um segmento inicial da hierarquia de von Neumann.

Um conjunto é puro se todos os seus membros forem conjuntos, todos os membros de seus membros forem conjuntos e assim por diante. Por exemplo, o conjunto {{}} contendo apenas o conjunto vazio é um conjunto puro não vazio. Na moderna teoria dos conjuntos, é comum restringir a atenção ao universo de von Neumann de conjuntos puros, e muitos sistemas da teoria axiomática dos conjuntos são projetados para axiomatizar apenas os conjuntos puros. Existem muitas vantagens técnicas para esta restrição, e pouca generalidade é perdida, porque essencialmente todos os conceitos matemáticos podem ser modelados por conjuntos puros. Conjuntos no universo de von Neumann são organizados em uma hierarquia cumulativa , com base em quão profundamente seus membros, membros de membros, etc. estão aninhados. Cada conjunto nesta hierarquia é atribuído (por recursão transfinita ) um número ordinal , conhecido como sua classificação. A classificação de um conjunto puro é definida como o menor ordinal estritamente maior do que a classificação de qualquer um de seus elementos. Por exemplo, o conjunto vazio é atribuído à classificação 0, enquanto o conjunto {{}} contendo apenas o conjunto vazio é atribuído à classificação 1. Para cada ordinal , o conjunto é definido para consistir em todos os conjuntos puros com classificação menor que . Todo o universo de von Neumann é denotado  .

Teoria dos conjuntos formalizados

A teoria dos conjuntos elementares pode ser estudada informal e intuitivamente e, portanto, pode ser ensinada nas escolas primárias usando diagramas de Venn . A abordagem intuitiva pressupõe tacitamente que um conjunto pode ser formado a partir da classe de todos os objetos que satisfazem qualquer condição de definição particular. Essa suposição dá origem a paradoxos, dos quais os mais simples e mais conhecidos são o paradoxo de Russell e o paradoxo de Burali-Forti . A teoria dos conjuntos axiomática foi originalmente concebida para livrar a teoria dos conjuntos de tais paradoxos.

Os sistemas mais amplamente estudados da teoria dos conjuntos axiomáticos implicam que todos os conjuntos formam uma hierarquia cumulativa . Esses sistemas vêm em dois sabores, aqueles cuja ontologia consiste em:

Os sistemas acima pode ser modificado para permitir urelemento , objetos que podem ser membros de conjuntos, mas que não são eles próprios conjuntos e não tem quaisquer membros.

Os sistemas de New Foundations de NFU (permitindo urelementos ) e NF (sem eles) não são baseados em uma hierarquia cumulativa. NF e NFU incluem um "conjunto de tudo", em relação ao qual cada conjunto tem um complemento. Nestes sistemas, os urelementos são importantes, porque NF, mas não NFU, produz conjuntos para os quais o axioma de escolha não é válido.

Os sistemas de teoria dos conjuntos construtivos , como CST, CZF e IZF, incorporam seus axiomas de conjuntos na lógica intuicionista em vez da lógica clássica . Ainda outros sistemas aceitam a lógica clássica, mas apresentam uma relação de adesão não padrão. Isso inclui a teoria dos conjuntos aproximados e a teoria dos conjuntos difusos , em que o valor de uma fórmula atômica que incorpora a relação de filiação não é simplesmente Verdadeiro ou Falso . Os modelos de valor booleano de ZFC são um assunto relacionado.

Um enriquecimento de ZFC chamado teoria dos conjuntos internos foi proposto por Edward Nelson em 1977.

Formulários

Muitos conceitos matemáticos podem ser definidos com precisão usando apenas conceitos teóricos definidos. Por exemplo, estruturas matemáticas tão diversas quanto gráficos , variedades , anéis , espaços vetoriais e álgebras relacionais podem ser definidas como conjuntos que satisfazem várias propriedades (axiomáticas). As relações de equivalência e ordem são onipresentes na matemática, e a teoria das relações matemáticas pode ser descrita na teoria dos conjuntos.

A teoria dos conjuntos também é um sistema fundamental promissor para grande parte da matemática. Desde a publicação do primeiro volume de Principia Mathematica , tem-se afirmado que a maioria (ou mesmo todos) os teoremas matemáticos podem ser derivados usando um conjunto de axiomas adequadamente projetado para a teoria dos conjuntos, acrescido de muitas definições, usando a lógica de primeira ou segunda ordem . Por exemplo, as propriedades dos números naturais e reais podem ser derivadas dentro da teoria dos conjuntos, pois cada sistema numérico pode ser identificado com um conjunto de classes de equivalência sob uma relação de equivalência adequada cujo campo é algum conjunto infinito .

A teoria dos conjuntos como base para a análise matemática , topologia , álgebra abstrata e matemática discreta também é incontroversa; os matemáticos aceitam (em princípio) que os teoremas nessas áreas podem ser derivados das definições relevantes e dos axiomas da teoria dos conjuntos. No entanto, permanece que poucas derivações completas de teoremas matemáticos complexos da teoria dos conjuntos foram formalmente verificadas, uma vez que tais derivações formais são frequentemente muito mais longas do que as provas de linguagem natural que os matemáticos comumente apresentam. Um projeto de verificação, Metamath , inclui derivações escritas por humanos e verificadas por computador de mais de 12.000 teoremas a partir da teoria dos conjuntos ZFC , lógica de primeira ordem e lógica proposicional .

Áreas de estudo

A teoria dos conjuntos é uma área importante de pesquisa em matemática, com muitos subcampos inter-relacionados.

Teoria dos conjuntos combinatórios

A teoria dos conjuntos combinatórios diz respeito a extensões de combinatória finita para conjuntos infinitos. Isso inclui o estudo da aritmética cardinal e o estudo das extensões do teorema de Ramsey , como o teorema Erdős – Rado . A teoria dos conjuntos de extensão dupla (DEST) é uma teoria dos conjuntos axiomática proposta por Andrzej Kisielewicz que consiste em duas relações de pertinência separadas no universo dos conjuntos.

Teoria dos conjuntos descritivos

A teoria descritiva dos conjuntos é o estudo de subconjuntos da linha real e, mais geralmente, subconjuntos de espaços poloneses . Ele começa com o estudo das classes de pontos na hierarquia do Borel e se estende ao estudo de hierarquias mais complexas, como a hierarquia projetiva e a hierarquia Wadge . Muitas propriedades de conjuntos de Borel podem ser estabelecidas em ZFC, mas provar que essas propriedades valem para conjuntos mais complicados requer axiomas adicionais relacionados à determinação e grandes cardinais.

O campo da teoria de conjuntos descritiva efetiva é entre a teoria de conjuntos e a teoria de recursão . Inclui o estudo de pointclasses de face de luz e está intimamente relacionado à teoria hiperaritmética . Em muitos casos, os resultados da teoria dos conjuntos descritivos clássicos têm versões eficazes; em alguns casos, novos resultados são obtidos provando primeiro a versão efetiva e depois estendendo-a ("relativizando") para torná-la mais amplamente aplicável.

Uma área de pesquisa recente diz respeito às relações de equivalência de Borel e relações de equivalência definíveis mais complicadas . Isso tem aplicações importantes para o estudo de invariantes em muitos campos da matemática.

Teoria dos conjuntos difusos

Na teoria dos conjuntos, como Cantor definiu e Zermelo e Fraenkel axiomatizaram, um objeto é membro de um conjunto ou não. Na teoria dos conjuntos difusos, essa condição foi relaxada por Lotfi A. Zadeh, de modo que um objeto tem um grau de participação em um conjunto, um número entre 0 e 1. Por exemplo, o grau de participação de uma pessoa no conjunto de "pessoas altas" é mais flexível do que uma simples resposta sim ou não e pode ser um número real, como 0,75.

Teoria do modelo interno

Um modelo interno da teoria dos conjuntos de Zermelo – Fraenkel (ZF) é uma classe transitiva que inclui todos os ordinais e satisfaz todos os axiomas de ZF. O exemplo canônico é o universo construtível L desenvolvido por Gödel. Uma razão pela qual o estudo de modelos internos é de interesse é que ele pode ser usado para provar resultados de consistência. Por exemplo, pode ser mostrado que independentemente de um modelo V de ZF satisfazer a hipótese do contínuo ou o axioma de escolha , o modelo interno L construído dentro do modelo original irá satisfazer tanto a hipótese do contínuo generalizado quanto o axioma de escolha. Assim, a suposição de que ZF é consistente (tem pelo menos um modelo) implica que ZF junto com esses dois princípios é consistente.

O estudo de modelos internos é comum no estudo da determinação e grandes cardinais , especialmente quando se considera axiomas como o axioma da determinação que contradizem o axioma da escolha. Mesmo que um modelo fixo da teoria dos conjuntos satisfaça o axioma da escolha, é possível que um modelo interno falhe em satisfazer o axioma da escolha. Por exemplo, a existência de cardinais suficientemente grandes implica que existe um modelo interno que satisfaz o axioma da determinação (e, portanto, não satisfaz o axioma da escolha).

Grandes cardeais

Um cardeal grande é um número cardinal com uma propriedade extra. Muitas dessas propriedades são estudadas, incluindo cardeais inacessíveis , cardeais mensuráveis e muitos mais. Essas propriedades normalmente implicam que o número cardinal deve ser muito grande, com a existência de um cardeal com a propriedade especificada não provável na teoria dos conjuntos de Zermelo-Fraenkel .

Determinação

Determinação se refere ao fato de que, sob suposições apropriadas, certos jogos de dois jogadores com informações perfeitas são determinados desde o início, no sentido de que um jogador deve ter uma estratégia vencedora. A existência dessas estratégias tem consequências importantes na teoria descritiva dos conjuntos, pois a suposição de que uma classe mais ampla de jogos é determinada frequentemente implica que uma classe mais ampla de conjuntos terá uma propriedade topológica. O axioma da determinação (AD) é um importante objeto de estudo; embora incompatível com o axioma de escolha, AD implica que todos os subconjuntos da linha real são bem comportados (em particular, mensuráveis ​​e com a propriedade de conjunto perfeito). AD pode ser usado para provar que os graus Wadge têm uma estrutura elegante.

Forçando

Paul Cohen inventou o método de forçar enquanto procurava um modelo de ZFC no qual a hipótese do contínuo falha, ou um modelo de ZF no qual o axioma da escolha falha. Forçar é adjacente a algum modelo dado de conjuntos adicionais de teoria de conjuntos, a fim de criar um modelo maior com propriedades determinadas (ou seja, "forçadas") pela construção e pelo modelo original. Por exemplo, a construção de Cohen junta subconjuntos adicionais dos números naturais sem alterar nenhum dos números cardinais do modelo original. Forçar também é um dos dois métodos para provar consistência relativa por métodos finitísticos, o outro método sendo os modelos de valor booleano .

Invariantes cardeais

Um invariante cardinal é uma propriedade da linha real medida por um número cardinal. Por exemplo, um invariante bem estudado é a menor cardinalidade de uma coleção de magros conjuntos de reais cuja união é toda a linha real. Esses são invariantes no sentido de que quaisquer dois modelos isomórficos da teoria dos conjuntos devem fornecer o mesmo cardinal para cada invariante. Muitos invariantes cardinais foram estudados, e as relações entre eles são freqüentemente complexas e relacionadas aos axiomas da teoria dos conjuntos.

Topologia teórica de conjuntos

A topologia de conjuntos estuda questões de topologia geral que são de natureza teórica de conjuntos ou que requerem métodos avançados de teoria de conjuntos para sua solução. Muitos desses teoremas são independentes de ZFC, exigindo axiomas mais fortes para sua demonstração. Um problema famoso é a questão normal do espaço de Moore , uma questão de topologia geral que foi objeto de intensa pesquisa. A resposta à questão normal do espaço de Moore foi finalmente provada ser independente do ZFC.

Objeções à teoria dos conjuntos

Desde o início da teoria dos conjuntos, alguns matemáticos objetaram a ela como uma base para a matemática . A objeção mais comum à teoria dos conjuntos, expressa por Kronecker nos primeiros anos da teoria dos conjuntos, começa com a visão construtivista de que a matemática está vagamente relacionada à computação. Se essa visão for aceita, então o tratamento de conjuntos infinitos, tanto na teoria dos conjuntos ingênua quanto na axiomática, introduz na matemática métodos e objetos que não são computáveis ​​mesmo em princípio. A viabilidade do construtivismo como fundamento substituto para a matemática foi grandemente aumentada pelo influente livro Foundations of Constructive Analysis de Errett Bishop .

Outra objeção levantada por Henri Poincaré é que definir conjuntos usando os esquemas de axioma de especificação e substituição , bem como o axioma de conjunto de poder , introduz a impredicatividade , um tipo de circularidade , nas definições de objetos matemáticos. O escopo da matemática fundada predicativamente, embora menor do que a teoria comumente aceita de Zermelo-Fraenkel, é muito maior do que a da matemática construtiva, a ponto de Solomon Feferman ter dito que "todas as análises cientificamente aplicáveis ​​podem ser desenvolvidas [usando a predicativa métodos]".

Ludwig Wittgenstein condenou a teoria dos conjuntos filosoficamente por suas conotações de platonismo matemático . Ele escreveu que "a teoria dos conjuntos está errada", uma vez que se baseia no "absurdo" do simbolismo fictício, tem "idiomas perniciosos" e que é absurdo falar sobre "todos os números". Wittgenstein identificou a matemática com a dedução humana algorítmica; a necessidade de uma base segura para a matemática parecia, para ele, absurda. Além disso, uma vez que o esforço humano é necessariamente finito, a filosofia de Wittgenstein exigia um compromisso ontológico com o construtivismo radical e o finitismo . Enunciados metamatemáticos - que, para Wittgenstein, incluíam qualquer enunciado que quantificasse sobre domínios infinitos e, portanto, quase todas as teorias de conjuntos modernas - não são matemáticas. Poucos filósofos modernos adotaram os pontos de vista de Wittgenstein após um erro espetacular em Remarks on the Foundations of Mathematics : Wittgenstein tentou refutar os teoremas da incompletude de Gödel depois de ter lido apenas o abstrato. Como os revisores Kreisel , Bernays , Dummett e Goodstein apontaram, muitas de suas críticas não se aplicavam ao artigo por completo. Só recentemente filósofos como Crispin Wright começaram a reabilitar os argumentos de Wittgenstein.

Os teóricos das categorias propuseram a teoria dos topos como uma alternativa à tradicional teoria axiomática dos conjuntos. A teoria de Topos pode interpretar várias alternativas a essa teoria, como construtivismo , teoria dos conjuntos finitos e teoria dos conjuntos computáveis . Topoi também fornece um cenário natural para forçar e discutir a independência de escolha de ZF, além de fornecer a estrutura para topologia inútil e espaços de Pedra .

Uma área ativa de pesquisa são os fundamentos univalentes e relacionados com a teoria do tipo de homotopia . Dentro da teoria dos tipos de homotopia, um conjunto pode ser considerado como um tipo de homotopia 0, com propriedades universais de conjuntos surgindo das propriedades indutivas e recursivas de tipos indutivos superiores . Princípios como o axioma da escolha e a lei do terceiro excluído podem ser formulados de uma maneira correspondente à formulação clássica na teoria dos conjuntos ou talvez em um espectro de maneiras distintas exclusivas da teoria dos tipos. Alguns desses princípios podem ser comprovados como consequência de outros princípios. A variedade de formulações desses princípios axiomáticos permite uma análise detalhada das formulações necessárias para derivar vários resultados matemáticos.

Teoria dos conjuntos na educação matemática

À medida que a teoria dos conjuntos ganhou popularidade como base para a matemática moderna, tem havido suporte para a ideia de introduzir os fundamentos da teoria dos conjuntos ingênua no início da educação matemática .

Nos Estados Unidos, na década de 1960, o experimento New Math tinha como objetivo ensinar teoria dos conjuntos básicos, entre outros conceitos abstratos, para alunos do ensino fundamental, mas foi recebido com muitas críticas. Os programas de matemática nas escolas europeias seguiram esta tendência e, atualmente, incluem a disciplina em diferentes níveis em todos os anos. Os diagramas de Venn são amplamente empregados para explicar os relacionamentos teóricos dos conjuntos básicos para alunos do ensino fundamental (embora John Venn os tenha originalmente concebido como parte de um procedimento para avaliar a validade das inferências na lógica do termo ).

A teoria dos conjuntos é usada para apresentar aos alunos os operadores lógicos (NOT, AND, OR) e a descrição semântica ou de regra ( definição técnica intensional ) dos conjuntos (por exemplo, "meses começando com a letra A "), que podem ser úteis ao aprender programação de computador , já que a lógica booleana é usada em várias linguagens de programação . Da mesma forma, conjuntos e outros objetos semelhantes a coleções, como multiconjuntos e listas , são tipos de dados comuns em ciência da computação e programação .

Além disso, os conjuntos são comumente referidos no ensino de matemática quando se fala sobre diferentes tipos de números ( N , Z , R , ...), e quando se define uma função matemática como uma relação de um conjunto (o domínio ) para outro definir (o intervalo ).

Veja também

Notas

Referências

Leitura adicional

links externos