n º root - nth root

Em matemática , uma n- ésima raiz de um número x é um número r que, quando elevado à potência n , resulta em  x :

onde n é um número inteiro positivo , às vezes chamado de grau da raiz. Uma raiz de grau 2 é chamada de raiz quadrada e uma raiz de grau 3, uma raiz cúbica . Raízes de grau mais elevado são referidos usando números ordinais, como no quarto raiz , raiz XX , etc. O cálculo de um n th raiz é uma extracção da raiz .

Por exemplo, 3 é uma raiz quadrada de 9, já que 3 2 = 9, e −3 também é uma raiz quadrada de 9, já que (−3) 2 = 9.

Qualquer número diferente de zero considerado como um número complexo tem n diferentes complexos n º raízes, incluindo as reais ones (no máximo dois). O n º raiz de 0 é zero para todos os inteiros positivos n , uma vez que 0 n = 0 . Em particular, se n é par e x é um número real positivo, uma de suas n- ésimas raízes é real e positiva, uma é negativa e as outras (quando n > 2 ) são números complexos não reais ; se n for par e x for um número real negativo, nenhuma das n- ésimas raízes é real. Se n for ímpar e x for real, uma n- ésima raiz é real e tem o mesmo sinal de x , enquanto as outras ( n - 1 ) raízes não são reais. Finalmente, se x não for real, nenhuma de suas n- ésimas raízes é real.

As raízes dos números reais são geralmente escritas usando o símbolo radical ou raiz , denotando a raiz quadrada positiva de x se x for positivo; para as raízes mais elevadas, denota o verdadeiro n º raiz, se n for ímpar, eo positivo n º raiz, se n é mesmo e x é positivo. Nos outros casos, o símbolo não é comumente usado como sendo ambíguo. Na expressão , o inteiro n é chamado de índice e x é chamado de radicando .

Quando as n- ésimas raízes complexas são consideradas, geralmente é útil escolher uma das raízes, chamada raiz principal , como um valor principal . A escolha comum é escolher o principal n º raiz de x como o n º raiz, com a maior parte real, e, quando há dois (para x real e negativa), aquela com um positivo parte imaginária . Isso faz com que o n ° de raiz uma função que é real e positivo para x real e positivo, e é contínuo em todo o plano complexo , excepto para os valores de x que são reais e negativo.

Uma dificuldade com esta escolha é que, para um número real negativo e um índice ímpar, o principal n º raiz não é o real. Por exemplo, tem três raízes cúbicas , e A raiz cúbica real é e a raiz cúbica principal é

Uma raiz não resolvida, especialmente aquela que usa o símbolo radical, às vezes é chamada de surd ou radical . Qualquer expressão que contenha um radical, seja uma raiz quadrada, uma raiz cúbica ou uma raiz superior, é chamada de expressão radical e, se não contiver funções transcendentais ou números transcendentais , é chamada de expressão algébrica .

As raízes também podem ser definidas como casos especiais de exponenciação , onde o expoente é uma fração :

As raízes são usadas para determinar o raio de convergência de uma série de potências com o teste de raiz . Os n º raízes de 1 são chamadas raízes da unidade e desempenham um papel fundamental em várias áreas da matemática, como a teoria dos números , teoria das equações , e transformada de Fourier .

História

Um termo antigo para a operação de recolha n th raízes é radicação .

Definição e notação

As quatro raízes 4 de -1,
nenhuma das quais é real
As três raízes terceiras de -1,
uma das quais é um real negativo

Uma n th raiz de um número x , onde n é um número inteiro positivo, é qualquer um dos n real ou números complexos r cujo n th poder é x :

Cada positivo número real x tem um único positivo n º raiz, o chamado princípio n º raiz , que é escrito . Para n igual a 2, isso é chamado de raiz quadrada principal e on é omitido. O n th raiz também pode ser representada utilizando exponenciação como x 1 / n .

Para valores até mesmo de n , números positivos também têm um negativo n º raiz, enquanto números negativos não têm um verdadeiro n º raiz. Para valores ímpares de n , todo número negativo x tem uma raiz n- ésima real negativa . Por exemplo, −2 tem uma 5ª raiz real, mas −2 não tem nenhuma 6ª raiz real.

Todo número diferente de zero x , real ou complexo , tem n número complexo diferente n- ésimas raízes. (No caso de x ser real, essa contagem inclui quaisquer n- ésimas raízes reais .) A única raiz complexa de 0 é 0.

O n º raízes de quase todos os números (todos os inteiros, exceto o n º poderes, e todos os números racionais, exceto os quocientes de dois n º poderes) são irracionais . Por exemplo,

Todas as n- ésimas raízes de inteiros são números algébricos .

O termo surd remonta a al-Khwārizmī (c. 825), que se referia aos números racionais e irracionais como audíveis e inaudíveis , respectivamente. Isso mais tarde levou a palavra árabe " أصم " ( asamm , que significa "surdo" ou "mudo") para número irracional sendo traduzida para o latim como "surdus" (que significa "surdo" ou "mudo"). Gérard de Cremona (c. 1150), Fibonacci (1202) e, em seguida, Robert Recorde (1551), todos usaram o termo para se referir a raízes irracionais não resolvidas , ou seja, expressões da forma em que e são numerais inteiros e a expressão inteira denota um número irracional. Os números irracionais quadráticos , ou seja, os números irracionais da forma também são conhecidos como "surds quadráticos".

Raízes quadradas

O gráfico .

A raiz quadrada de um número x é um número r que, quando ao quadrado , torna-se x :

Todo número real positivo tem duas raízes quadradas, uma positiva e outra negativa. Por exemplo, as duas raízes quadradas de 25 são 5 e −5. A raiz quadrada positiva também é conhecida como raiz quadrada principal e é denotada por um sinal radical:

Como o quadrado de cada número real não é negativo, os números negativos não têm raízes quadradas reais. No entanto, para cada número real negativo, existem duas raízes quadradas imaginárias . Por exemplo, as raízes quadradas de −25 são 5 i e −5 i , onde i representa um número cujo quadrado é −1 .

Raízes cúbicas

O gráfico .

A raiz cúbica de um número x é um número r cujo cubo é x :

Cada número real x tem exatamente uma raiz cúbica real, escrita . Por exemplo,

e

Cada número real tem duas raízes cúbicas complexas adicionais .

Identidades e propriedades

Expressando o grau de um n º raiz na sua forma expoente, como em , faz com que seja mais fácil de manipular poderes e raízes. Se for um número real não negativo ,

Cada número não negativo tem exatamente um verdadeiro não negativo n º raiz, e assim as regras para operações com surds envolvendo radicands não negativos e são simples dentro dos números reais:

Subtilezas pode ocorrer quando se toma o n ° de raízes negativo ou números complexos . Por exemplo:

mas, sim,

Como a regra se aplica estritamente a radicandos reais não negativos, sua aplicação leva à desigualdade na primeira etapa acima.

Forma simplificada de uma expressão radical

Uma expressão radical não aninhada é considerada em forma simplificada se

  1. Não há nenhum fator do radical que possa ser escrito como uma potência maior ou igual ao índice.
  2. Não há frações sob o sinal radical.
  3. Não há radicais no denominador.

Por exemplo, para escrever a expressão radical de forma simplificada, podemos proceder da seguinte forma. Primeiro, procure um quadrado perfeito sob o sinal de raiz quadrada e remova-o:

Em seguida, há uma fração sob o sinal de radical, que mudamos da seguinte maneira:

Finalmente, removemos o radical do denominador da seguinte forma:

Quando há um denominador envolvendo números, sempre é possível encontrar um fator pelo qual multiplicar o numerador e o denominador para simplificar a expressão. Por exemplo, usando a fatoração da soma de dois cubos :

Simplificar as expressões radicais envolvendo radicais aninhados pode ser bastante difícil. Não é óbvio, por exemplo, que:

O acima pode ser derivado por meio de:

Let , com coprime p e q e inteiros positivos. Então é racional se e somente se ambos e forem inteiros, o que significa que ambos p e q são n- ésimas potências de algum inteiro.

Série infinita

O radical ou raiz pode ser representado pela série infinita :

com . Essa expressão pode ser derivada da série binomial .

Computando as raízes principais

Usando o método de Newton

O n º raiz de um número A pode ser calculado com o método de Newton . Comece com uma estimativa inicial x 0 e, em seguida, itere usando a relação de recorrência

até que a precisão desejada seja alcançada. Por exemplo, para encontrar a quinta raiz de 34, inserimos n = 5, A = 34 e x 0 = 2 (estimativa inicial). As primeiras 5 iterações são, aproximadamente:
x 0 = 2
x 1 = 2,025
x 2 = 2,024397817
x 3 = 2,024397458
x 4 = 2,024397458
A aproximação x 4 tem precisão de 25 casas decimais.

O método de Newton pode ser modificado para produzir vários fracção contínua generalizada para o n ° de raiz. Por exemplo,

Cálculo dígito a dígito das raízes principais de números decimais (base 10)

Triângulo de Pascal exibição .

Com base no cálculo dígito a dígito de uma raiz quadrada , pode-se ver que a fórmula usada aqui , ou , segue um padrão envolvendo o triângulo de Pascal. Para o n ° de raiz de um número é definido como o valor de elemento de fila de triângulo de Pascal tal que , podemos reescrever a expressão como . Por conveniência, chame o resultado desta expressão . Usando essa expressão mais geral, qualquer raiz principal positiva pode ser calculada, dígito a dígito, da seguinte maneira.

Escreva o número original na forma decimal. Os números são escritos de forma semelhante ao algoritmo de divisão longa e, como na divisão longa, a raiz será escrita na linha acima. Agora separe os dígitos em grupos de dígitos igualando a raiz sendo tirada, começando do ponto decimal e indo para a esquerda e para a direita. A vírgula decimal da raiz ficará acima da vírgula decimal do radical. Um dígito da raiz aparecerá acima de cada grupo de dígitos do número original.

Começando com o grupo de dígitos mais à esquerda, execute o seguinte procedimento para cada grupo:

  1. Começando pela esquerda, abaixe o grupo mais significativo (mais à esquerda) de dígitos ainda não usados ​​(se todos os dígitos foram usados, escreva "0" o número de vezes necessário para fazer um grupo) e escreva-os à direita do resto da etapa anterior (na primeira etapa, não haverá resto). Em outras palavras, multiplique o restante por e adicione os dígitos do próximo grupo. Este será o valor atual c .
  2. Encontre p e x , da seguinte forma:
    • Deixe ser a parte da raiz encontrada até o momento , ignorando qualquer vírgula decimal. (Para a primeira etapa, ).
    • Determine o maior dígito de tal forma que .
    • Coloque o dígito como o próximo dígito da raiz, ou seja, acima do grupo de dígitos que você acabou de baixar. Assim, o próximo p será o antigo p vezes 10 mais x .
  3. Subtraia de para formar um novo resto.
  4. Se o resto for zero e não houver mais dígitos para diminuir, o algoritmo foi encerrado. Caso contrário, volte para a etapa 1 para outra iteração.

Exemplos

Encontre a raiz quadrada de 152,2756.

          1  2. 3  4 
       /
     \/  01 52.27 56
         01                   100·1·00·12 + 101·2·01·11     ≤      1   <   100·1·00·22   + 101·2·01·21         x = 1
         01                      y = 100·1·00·12   + 101·2·01·12   =  1 +    0   =     1
         00 52                100·1·10·22 + 101·2·11·21     ≤     52   <   100·1·10·32   + 101·2·11·31         x = 2
         00 44                   y = 100·1·10·22   + 101·2·11·21   =  4 +   40   =    44
            08 27             100·1·120·32 + 101·2·121·31   ≤    827   <   100·1·120·42  + 101·2·121·41        x = 3
            07 29                y = 100·1·120·32  + 101·2·121·31  =  9 +  720   =   729
               98 56          100·1·1230·42 + 101·2·1231·41 ≤   9856   <   100·1·1230·52 + 101·2·1231·51       x = 4
               98 56             y = 100·1·1230·42 + 101·2·1231·41 = 16 + 9840   =  9856
               00 00          Algorithm terminates: Answer is 12.34

Encontre a raiz cúbica de 4192 até o centésimo mais próximo.

        1   6.  1   2   4
 3  /
  \/  004 192.000 000 000
      004                      100·1·00·13    +  101·3·01·12   + 102·3·02·11    ≤          4  <  100·1·00·23     + 101·3·01·22    + 102·3·02·21     x = 1
      001                         y = 100·1·00·13   + 101·3·01·12   + 102·3·02·11   =   1 +      0 +          0   =          1
      003 192                  100·1·10·63    +  101·3·11·62   + 102·3·12·61    ≤       3192  <  100·1·10·73     + 101·3·11·72    + 102·3·12·71     x = 6
      003 096                     y = 100·1·10·63   + 101·3·11·62   + 102·3·12·61   = 216 +  1,080 +      1,800   =      3,096
          096 000              100·1·160·13   + 101·3·161·12   + 102·3·162·11   ≤      96000  <  100·1·160·23   + 101·3·161·22   + 102·3·162·21    x = 1
          077 281                 y = 100·1·160·13  + 101·3·161·12  + 102·3·162·11  =   1 +    480 +     76,800   =     77,281
          018 719 000          100·1·1610·23  + 101·3·1611·22  + 102·3·1612·21  ≤   18719000  <  100·1·1610·33  + 101·3·1611·32  + 102·3·1612·31   x = 2
              015 571 928         y = 100·1·1610·23 + 101·3·1611·22 + 102·3·1612·21 =   8 + 19,320 + 15,552,600   = 15,571,928
              003 147 072 000  100·1·16120·43 + 101·3·16121·42 + 102·3·16122·41 ≤ 3147072000  <  100·1·16120·53 + 101·3·16121·52 + 102·3·16122·51  x = 4
                               The desired precision is achieved:
                               The cube root of 4192 is about 16.12

Cálculo logarítmico

A principal n- ésima raiz de um número positivo pode ser calculada usando logaritmos . A partir da equação que define r como um n th raiz de x , ou seja, com x positivo e, por conseguinte, o seu principal raiz r também positiva, uma toma logaritmos de ambos os lados (qualquer base do logaritmo vai fazer) para se obter

A raiz r é recuperada com o antilog :

(Nota: Essa fórmula mostra b elevado à potência do resultado da divisão, não b multiplicado pelo resultado da divisão.)

Para o caso em que x é negativo e n é ímpar, existe uma raiz real r que também é negativa. Isso pode ser encontrado multiplicando primeiro ambos os lados da equação definidora por −1 para obter e, em seguida, procedendo como antes para encontrar | r |, e usando r = - | r | .

Construtibilidade geométrica

Os antigos matemáticos gregos sabiam como usar o compasso e a régua para construir um comprimento igual à raiz quadrada de um dado comprimento, quando uma linha auxiliar de comprimento unitário é fornecida. Em 1837 Pierre Wantzel provou que um n th raiz de um determinado comprimento não pode ser construído, se n não é uma potência de dois.

Raízes complexas

Todo número complexo diferente de 0 tem n n- ésimas raízes diferentes .

Raízes quadradas

As raízes quadradas de i

As duas raízes quadradas de um número complexo são sempre negativas uma da outra. Por exemplo, as raízes quadradas de −4 são 2 i e −2 i , e as raízes quadradas de i são

Se expressarmos um número complexo na forma polar, a raiz quadrada pode ser obtida tomando a raiz quadrada do raio e dividindo o ângulo pela metade:

Uma raiz principal de um número complexo pode ser escolhida de várias maneiras, por exemplo

que introduz um corte de ramo no plano complexo ao longo do eixo real positivo com a condição 0 ≤  θ  <2 π , ou ao longo do eixo real negativo com - π  <  θ  ≤  π .

Usando o primeiro (último) ramo, corte os mapas de raiz quadrada principais no meio plano com a parte imaginária (real) não negativa. O último corte de ramo é pressuposto em softwares matemáticos como Matlab ou Scilab .

Raízes de unidade

As três terceiras raízes de 1

O número 1 tem n diferentes n- ésimas raízes no plano complexo, a saber

Onde

Essas raízes estão uniformemente espaçadas em torno do círculo unitário no plano complexo, em ângulos que são múltiplos de . Por exemplo, as raízes quadradas da unidade são 1 e −1, e as quartas raízes da unidade são 1 ,, −1 e .

nas raízes

Representação geométrica da 2ª à 6ª raízes de um número complexo z , na forma polar re onde r = | z  | e φ = arg z . Se z for real, φ = 0 ou π . As raízes principais são mostradas em preto.

Cada número complexo possui n diferentes n- ésimas raízes no plano complexo. Estes são

onde η é uma única n ésima raiz, e 1,  ωω 2 , ...  ω n −1 são as n ésimas raízes da unidade. Por exemplo, as quatro quartas raízes diferentes de 2 são

Na forma polar, um único n th raiz pode ser encontrada pela fórmula

Aqui, r é a magnitude (o módulo, também chamado de valor absoluto ) do número cuja raiz deve ser obtida; se o número puder ser escrito como a + bi, então . Além disso, o ângulo é formado como um pivô na origem no sentido anti-horário a partir do eixo horizontal positivo para um raio que vai da origem ao número; tem as propriedades que e

Assim, encontrar n- ésimas raízes no plano complexo pode ser segmentado em duas etapas. Primeiro, a magnitude de todas as n- ésimas raízes é a n- ésima raiz da magnitude do número original. Em segundo lugar, o ângulo entre o eixo horizontal positivo e um raio a partir da origem a um dos n th raízes é , onde é o ângulo definido do mesmo modo para o número cuja raiz está a ser feita. Além disso, todas as n das n- ésimas raízes estão em ângulos igualmente espaçados umas das outras.

Se n for par, as n- ésimas raízes de um número complexo , das quais existe um número par, vêm em pares inversos aditivos , de modo que se um número r 1 for uma das n- ésimas raízes então r 2 = - r 1 é outro. Isto é porque o aumento coeficiente deste último -1 para o n ° de energia para ainda n produz 1: isto é, (- r 1 ) n = (-1) n × r 1 n = r 1 n .

Tal como acontece com as raízes quadradas, a fórmula acima não define uma função contínua ao longo de todo o plano complexo, mas em vez disso, tem um corte de ramo em pontos onde θ  /  n é descontínuo.

Resolvendo polinômios

Certa vez, conjeturou-se que todas as equações polinomiais poderiam ser resolvidas algebricamente (ou seja, que todas as raízes de um polinômio poderiam ser expressas em termos de um número finito de radicais e operações elementares ). No entanto, embora isso seja verdade para polinômios de terceiro grau ( cúbicos ) e polinômios de quarto grau ( quárticos ), o teorema de Abel-Ruffini (1824) mostra que isso não é verdade em geral quando o grau é 5 ou maior. Por exemplo, as soluções da equação

não pode ser expresso em termos de radicais. ( cf. equação quíntica )

A prova da irracionalidade para não-perfeito n º potência x

Suponha que isso seja racional. Ou seja, ele pode ser reduzido a uma fração , onde a e b são inteiros sem um fator comum.

Isso significa isso .

Como x é um número inteiro e deve compartilhar um fator comum se . Isso significa que se , não está na forma mais simples. Portanto, b deve ser igual a 1.

Desde e , .

Isso significa que e, portanto ,. Isso implica que é um número inteiro. Desde x não é um perfeito n º poder, isso é impossível. Portanto, é irracional.

Veja também

Referências

links externos