Totalmente inapropriado - Improper integral

Uma integral imprópria de primeiro tipo. A integral pode precisar ser definida em um domínio ilimitado.

Uma integral de Riemann imprópria de segundo tipo. A integral pode deixar de existir por causa de uma assíntota vertical na função.

Em análise matemática , uma integral imprópria é o limite de uma integral definida como um ponto final do (s) intervalo (s) de integração se aproxima de um número real especificado ou infinito positivo ou negativo ; ou, em alguns casos, quando ambos os terminais se aproximam dos limites. Essa integral é freqüentemente escrita simbolicamente como uma integral definida padrão, em alguns casos com o infinito como limite de integração.

Especificamente, uma integral imprópria é um limite da forma:

${\ displaystyle \ lim _ {b \ to \ infty} \ int _ {a} ^ {b} f (x) \, dx, \ quad \ lim _ {a \ to - \ infty} \ int _ {a} ^ {b} f (x) \, dx}$

ou

${\ displaystyle \ lim _ {c \ to b ^ {-}} \ int _ {a} ^ {c} f (x) \ dx, \ quad \ lim _ {c \ to a ^ {+}} \ int _ {c} ^ {b} f (x) \ dx}$

em que um leva um limite em um ou outro (ou às vezes ambos) endpoints ( Apostol 1967 , §10.23).

Por abuso de notação , integrais impróprios são freqüentemente escritos simbolicamente apenas como integrais definidos padrão, talvez com infinito entre os limites da integração. Quando a integral definida existe (no sentido da integral de Riemann ou da integral de Lebesgue mais avançada ), essa ambigüidade é resolvida porque as integrais próprias e impróprias coincidem em valor.

Freqüentemente, é possível calcular valores para integrais impróprios, mesmo quando a função não é integrável no sentido convencional (como uma integral de Riemann , por exemplo) por causa de uma singularidade na função ou porque um dos limites de integração é infinito.

Exemplos

A definição original da integral de Riemann não se aplica a uma função como no intervalo [1, ∞) , porque neste caso o domínio de integração é ilimitado . No entanto, a integral de Riemann pode muitas vezes ser estendida por continuidade , definindo a integral imprópria em vez de um limite${\ displaystyle 1 / {x ^ {2}}}$

${\ displaystyle \ int _ {1} ^ {\ infty} {\ frac {dx} {x ^ {2}}} = \ lim _ {b \ to \ infty} \ int _ {1} ^ {b} { \ frac {dx} {x ^ {2}}} = \ lim _ {b \ to \ infty} \ left (- {\ frac {1} {b}} + {\ frac {1} {1}} \ direita) = 1.}$

A definição restrita da integral de Riemann também não cobre a função no intervalo [0, 1] . O problema aqui é que o integrando é ilimitado no domínio de integração (a definição requer que tanto o domínio de integração quanto o integrando sejam limitados). No entanto, a integral imprópria existe se entendida como o limite ${\ textstyle 1 / {\ sqrt {x}}}$

${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {1} {\ frac {dx} {\ sqrt {x}}} = \ lim _ {a \ to 0 ^ {+}} \ int _ {a} ^ {1 } {\ frac {dx} {\ sqrt {x}}} = \ lim _ {a \ to 0 ^ {+}} \ left (2-2 {\ sqrt {a}} \ right) = 2.}$

A integral imprópria tem intervalos ilimitados para domínio e intervalo.
${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {dx} {(x + 1) {\ sqrt {x}}}} = \ pi}$

Às vezes, as integrais podem ter duas singularidades onde são impróprias. Considere, por exemplo, a função 1 / (( x + 1) √ x ) integrada de 0 a ∞ (mostrado à direita). No limite inferior, conforme x vai para 0, a função vai para ∞ , e o limite superior é ele próprio ∞ , embora a função vá para 0. Portanto, essa é uma integral duplamente imprópria. Integrado, digamos, de 1 a 3, uma soma de Riemann comum é suficiente para produzir um resultado de π / 6. Para integrar de 1 a ∞ , uma soma de Riemann não é possível. No entanto, qualquer limite superior finito, digamos t (com t > 1 ), fornece um resultado bem definido, 2 arctan ( √ t ) - π / 2 . Isso tem um limite finito à medida que t vai para o infinito, a saber, π / 2. Da mesma forma, a integral de 1/3 a 1 também permite uma soma de Riemann, coincidentemente novamente produzindo π / 6. Substituir 1/3 por um valor positivo arbitrário s (com s <1 ) é igualmente seguro, dando π / 2 - 2 arctan ( √ s ) . Isso também tem um limite finito quando s vai para zero, a saber, π / 2. Combinando os limites dos dois fragmentos, o resultado desta integral imprópria é

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {dx} {(1 + x) {\ sqrt {x}}}} & {} = \ lim _ {s \ a 0 ^ {+}} \ int _ {s} ^ {1} {\ frac {dx} {(1 + x) {\ sqrt {x}}}} + \ lim _ {t \ a \ infty} \ int _ {1} ^ {t} {\ frac {dx} {(1 + x) {\ sqrt {x}}}} \\ & {} = \ lim _ {s \ to 0 ^ {+}} \ left ({\ frac {\ pi} {2}} - 2 \ arctan {\ sqrt {s}} \ right) + \ lim _ {t \ to \ infty} \ left (2 \ arctan {\ sqrt {t }} - {\ frac {\ pi} {2}} \ right) \\ & {} = {\ frac {\ pi} {2}} + \ left (\ pi - {\ frac {\ pi} {2 }} \ right) \\ & {} = \ pi. \ end {alinhado}}}$

Este processo não garante sucesso; um limite pode não existir ou pode ser infinito. Por exemplo, no intervalo limitado de 0 a 1, a integral de 1 / x não converge; e ao longo do intervalo ilimitado de 1 a ∞ a integral de 1 / √ x não converge.

A integral imprópria converge, uma vez que existem os limites esquerdo e direito, embora o integrando seja ilimitado próximo a um ponto interno.
${\ displaystyle \ int _ {- 1} ^ {1} {\ frac {dx} {\ sqrt [{3}] {x ^ {2}}}} = 6}$

Também pode acontecer que um integrando seja ilimitado próximo a um ponto interno, caso em que a integral deve ser dividida naquele ponto. Para a integral como um todo convergir, as integrais de limite em ambos os lados devem existir e devem ser limitadas. Por exemplo:

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} \ int _ {- 1} ^ {1} {\ frac {dx} {\ sqrt [{3}] {x ^ {2}}}} & {} = \ lim _ {s \ to 0} \ int _ {- 1} ^ {- s} {\ frac {dx} {\ sqrt [{3}] {x ^ {2}}}} + \ lim _ {t \ to 0 } \ int _ {t} ^ {1} {\ frac {dx} {\ sqrt [{3}] {x ^ {2}}}} \\ & {} = \ lim _ {s \ to 0} 3 \ left (1 - {\ sqrt [{3}] {s}} \ right) + \ lim _ {t \ a 0} 3 \ left (1 - {\ sqrt [{3}] {t}} \ right ) \\ & {} = 3 + 3 \\ & {} = 6. \ end {alinhado}}}$

Mas a integral semelhante

${\ displaystyle \ int _ {- 1} ^ {1} {\ frac {dx} {x}}}$

não pode ser atribuído um valor desta forma, pois as integrais acima e abaixo de zero não convergem independentemente. (No entanto, consulte o valor principal de Cauchy .)

Convergência do integral

Uma integral imprópria converge se o limite que a define existe. Assim, por exemplo, diz-se que a integral imprópria

${\ displaystyle \ lim _ {t \ to \ infty} \ int _ {a} ^ {t} f (x) \ dx}$

existe e é igual a G se os integrais sob a existir limite para todos suficientemente grande T , e o valor do limite é igual a G .

Também é possível que uma integral imprópria divirta para o infinito. Nesse caso, pode-se atribuir o valor de ∞ (ou −∞) à integral. Por exemplo

${\ displaystyle \ lim _ {b \ to \ infty} \ int _ {1} ^ {b} {\ frac {dx} {x}} = \ infty.}$

No entanto, outras integrais impróprias podem simplesmente divergir em nenhuma direção particular, como

${\ displaystyle \ lim _ {b \ to \ infty} \ int _ {1} ^ {b} x \ sin (x) \, dx,}$

que não existe, mesmo como um número real estendido . Isso é chamado de divergência por oscilação.

Uma limitação da técnica de integração inadequada é que o limite deve ser considerado em relação a um ponto de extremidade de cada vez. Assim, por exemplo, uma integral imprópria da forma

${\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} f (x) \, dx}$

pode ser definido tomando dois limites separados; para saber

${\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} f (x) \, dx = \ lim _ {a \ to - \ infty} \ lim _ {b \ to \ infty} \ int _ {a } ^ {b} f (x) \, dx}$

desde que o limite duplo seja finito. Também pode ser definido como um par de integrais impróprios distintos de primeiro tipo:

${\ displaystyle \ lim _ {a \ to - \ infty} \ int _ {a} ^ {c} f (x) \, dx + \ lim _ {b \ to \ infty} \ int _ {c} ^ {b } f (x) \, dx}$

onde c é qualquer ponto conveniente para iniciar a integração. Esta definição também se aplica quando uma dessas integrais for infinita, ou ambas se tiverem o mesmo sinal.

Um exemplo de integral imprópria em que ambos os pontos finais são infinitos é a integral gaussiana . Um exemplo que avalia até o infinito é . Mas não se pode nem mesmo definir outras integrais deste tipo sem ambigüidade, como , uma vez que o limite duplo é infinito e o método de duas integrais ${\ textstyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} e ^ {- x ^ {2}} \, dx = {\ sqrt {\ pi}}}$${\ textstyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} e ^ {x} \, dx}$${\ textstyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x \, dx}$

${\ displaystyle \ lim _ {a \ to - \ infty} \ int _ {a} ^ {c} x \, dx + \ lim _ {b \ to \ infty} \ int _ {c} ^ {b} x \ , dx}$

rendimentos . Neste caso, pode-se, no entanto, definir uma integral imprópria no sentido do valor principal de Cauchy : ${\ displaystyle \ infty - \ infty}$

${\ displaystyle \ operatorname {pv} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x \, dx = \ lim _ {b \ to \ infty} \ int _ {- b} ^ {b} x \, dx = 0.}$

As questões que devemos abordar ao determinar uma integral imprópria são:

• O limite existe?
• O limite pode ser calculado?

A primeira questão é uma questão de análise matemática . O segundo pode ser tratado por técnicas de cálculo, mas também em alguns casos por integração de contornos , transformadas de Fourier e outros métodos mais avançados.

Tipos de integrais

Existe mais de uma teoria de integração . Do ponto de vista do cálculo, a teoria integral de Riemann é geralmente assumida como a teoria padrão. Ao usar integrais impróprios, pode importar qual teoria de integração está em jogo.

• Para a integral de Riemann (ou a integral de Darboux , que é equivalente a ela), a integração imprópria é necessária tanto para intervalos ilimitados (uma vez que não se pode dividir o intervalo em muitos subintervalos finitos de comprimento finito) e para funções ilimitadas com integral finita (uma vez que, supondo que é ilimitado acima, então a integral superior será infinita, mas a integral inferior será finita).
• A integral de Lebesgue lida diferentemente com domínios ilimitados e funções ilimitadas, de modo que freqüentemente uma integral que só existe como uma integral de Riemann imprópria existirá como uma integral de Lebesgue (própria), como . Por outro lado, também há integrais que têm uma integral de Riemann imprópria, mas não têm uma integral de Lebesgue (adequada), como . A teoria de Lebesgue não vê isso como uma deficiência: do ponto de vista da teoria da medida , e não pode ser definida de forma satisfatória. Em algumas situações, entretanto, pode ser conveniente empregar integrais de Lebesgue impróprios como é o caso, por exemplo, ao definir o valor principal de Cauchy . A integral de Lebesgue é mais ou menos essencial no tratamento teórico da transformada de Fourier , com uso generalizado de integrais sobre toda a linha real.${\ textstyle \ int _ {1} ^ {\ infty} {\ frac {dx} {x ^ {2}}}}$${\ textstyle \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {\ sin x} {x}} \, dx}$${\ textstyle \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {\ sin x} {x}} \, dx = \ infty - \ infty}$
• Para a integral de Henstock-Kurzweil , a integração imprópria não é necessária , e isso é visto como uma força da teoria: ela abrange todas as funções integráveis ​​de Lebesgue e integráveis ​​de Riemann impróprias.

Integrais de Riemann e integrais de Lebesgue impróprios

figura 1

Figura 2

Em alguns casos, o integral

${\ displaystyle \ int _ {a} ^ {c} f (x) \ dx}$

pode ser definida como uma integral (uma integral de Lebesgue , por exemplo) sem referência ao limite

${\ displaystyle \ lim _ {b \ to c ^ {-}} \ int _ {a} ^ {b} f (x) \, dx}$

mas não pode ser computado de outra forma convenientemente. Isso geralmente acontece quando a função f sendo integrada de a a c tem uma assíntota vertical em c , ou se c  = ∞ (veja as Figuras 1 e 2). Em tais casos, a integral de Riemann imprópria permite calcular a integral de Lebesgue da função. Especificamente, o seguinte teorema é válido ( Apostol 1974 , Teorema 10.33):

• Se uma função f é Riemann integrável em [ a , b ] para todo b  ≥  a , e as integrais parciais

${\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} | f (x) | \, dx}$

são limitados como b  → ∞, então as integrais de Riemann impróprias

${\ displaystyle \ int _ {a} ^ {\ infty} f (x) \, dx, \ quad {\ mbox {e}} \ int _ {a} ^ {\ infty} | f (x) | \, dx}$

ambos existem. Além disso, f é Lebesgue integrável em [ a , ∞), e sua integral de Lebesgue é igual a sua integral de Riemann imprópria.

Por exemplo, o integral

${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {dx} {1 + x ^ {2}}}}$

pode ser interpretado alternativamente como a integral imprópria

${\ displaystyle \ lim _ {b \ to \ infty} \ int _ {0} ^ {b} {\ frac {dx} {1 + x ^ {2}}} = \ lim _ {b \ to \ infty} \ arctan {b} = {\ frac {\ pi} {2}},}$

ou pode ser interpretado como uma integral de Lebesgue sobre o conjunto (0, ∞). Uma vez que esses dois tipos de integral concordam, é possível escolher o primeiro método para calcular o valor da integral, mesmo que, em última análise, deseje considerá-la uma integral de Lebesgue. Assim, integrais impróprios são ferramentas claramente úteis para obter os valores reais de integrais.

Em outros casos, entretanto, uma integral de Lebesgue entre pontos finais finitos pode nem mesmo ser definida, porque as integrais das partes positiva e negativa de f são ambas infinitas, mas a integral de Riemann imprópria ainda pode existir. Tais casos são integrais "apropriadamente impróprios", isto é, seus valores não podem ser definidos exceto como tais limites. Por exemplo,

${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {\ sin (x)} {x}} \, dx}$

não pode ser interpretado como uma integral de Lebesgue, uma vez que

${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} \ left | {\ frac {\ sin (x)} {x}} \ right | \, dx = \ infty.}$

Mas, no entanto, é integrável entre quaisquer dois pontos finais finitos, e sua integral entre 0 e ∞ é geralmente entendida como o limite da integral: ${\ displaystyle f (x) = {\ frac {\ sin (x)} {x}}}$

${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {\ sin (x)} {x}} \, dx = \ lim _ {b \ to \ infty} \ int _ {0} ^ { b} {\ frac {\ sin (x)} {x}} \, dx = {\ frac {\ pi} {2}}.}$

Singularidades

Pode-se falar das singularidades de uma integral imprópria, ou seja, aqueles pontos da reta de número real estendida em que os limites são usados.

Valor principal de Cauchy

Considere a diferença de valores de dois limites:

${\ displaystyle \ lim _ {a \ to 0 ^ {+}} \ left (\ int _ {- 1} ^ {- a} {\ frac {dx} {x}} + \ int _ {a} ^ { 1} {\ frac {dx} {x}} \ right) = 0,}$

${\ displaystyle \ lim _ {a \ to 0 ^ {+}} \ left (\ int _ {- 1} ^ {- a} {\ frac {dx} {x}} + \ int _ {2a} ^ { 1} {\ frac {dx} {x}} \ right) = - \ ln 2.}$

O primeiro é o valor principal de Cauchy da expressão de outra forma mal definida

${\ displaystyle \ int _ {- 1} ^ {1} {\ frac {dx} {x}} {\} \ left ({\ mbox {which}} \ {\ mbox {dá}} \ - \ infty + \ infty \ right).}$

Da mesma forma, temos

${\ displaystyle \ lim _ {a \ to \ infty} \ int _ {- a} ^ {a} {\ frac {2x \, dx} {x ^ {2} +1}} = 0,}$

mas

${\ displaystyle \ lim _ {a \ to \ infty} \ int _ {- 2a} ^ {a} {\ frac {2x \, dx} {x ^ {2} +1}} = - \ ln 4.}$

O primeiro é o valor principal da expressão de outra forma mal definida

${\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {\ frac {2x \, dx} {x ^ {2} +1}} {\} \ left ({\ mbox {which}} \ { \ mbox {dá}} \ - \ infty + \ infty \ right).}$

Todos os limites acima são casos da forma indeterminada ∞ - ∞.

Essas patologias não afetam as funções "integráveis ​​de Lebesgue", ou seja, funções cujas integrais cujos valores absolutos são finitos.

Somabilidade

Uma integral imprópria pode divergir no sentido de que o limite que a define pode não existir. Nesse caso, existem definições mais sofisticadas do limite que podem produzir um valor convergente para a integral imprópria. Esses são chamados de métodos de soma .

Um método de soma , popular na análise de Fourier , é o da soma de Cesàro . O integral

${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} f (x) \, dx}$

Cesàro é somavel (C, α) se

${\ displaystyle \ lim _ {\ lambda \ to \ infty} \ int _ {0} ^ {\ lambda} \ left (1 - {\ frac {x} {\ lambda}} \ right) ^ {\ alpha} f (x) \ dx}$

existe e é finito ( Titchmarsh 1948 , §1.15). O valor desse limite, caso exista, é a soma (C, α) da integral.

Uma integral é (C, 0) somada precisamente quando existe como uma integral imprópria. No entanto, existem integrais que são (C, α) somados para α> 0 que falham em convergir como integrais impróprios (no sentido de Riemann ou Lebesgue). Um exemplo é o integral

${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} \ sin x \, dx}$

que deixa de existir como uma integral imprópria, mas é (C, α ) somatória para cada α  > 0. Esta é uma versão integral da série de Grandi .

Integrais impróprios multivariáveis

A integral imprópria também pode ser definida para funções de várias variáveis. A definição é um pouco diferente, dependendo se se requer integração sobre um domínio ilimitado, como , ou se está integrando uma função com singularidades, como . ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$${\ displaystyle f (x, y) = \ log \ left (x ^ {2} + y ^ {2} \ right)}$

Integrais impróprios em domínios arbitrários

Se é uma função não negativa que é Riemann integrável sobre cada cubo compacto da forma , para , então a integral imprópria de f over é definida como o limite ${\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$${\ displaystyle [-a, a] ^ {n}}$${\ displaystyle a> 0}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$

${\ displaystyle \ lim _ {a \ to \ infty} \ int _ {[- a, a] ^ {n}} f,}$

desde que exista.

Uma função em um domínio arbitrário A em é estendida a uma função em zero fora de A : ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ displaystyle {\ tilde {f}}}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$

${\ displaystyle {\ tilde {f}} (x) = {\ begin {cases} f (x) & x \ in A \\ 0 & x \ not \ in A \ end {cases}}}$

A integral de Riemann de uma função sobre um domínio limitado A é então definida como a integral da função estendida sobre um cubo contendo A : ${\ displaystyle {\ tilde {f}}}$${\ displaystyle [-a, a] ^ {n}}$

${\ displaystyle \ int _ {A} f = \ int _ {[- a, a] ^ {n}} {\ tilde {f}}.}$

De forma mais geral, se A é ilimitado, a integral de Riemann imprópria sobre um domínio arbitrário em é definida como o limite: ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$

${\ displaystyle \ int _ {A} f = \ lim _ {a \ to \ infty} \ int _ {A \ cap [-a, a] ^ {n}} f = \ lim _ {a \ to \ infty } \ int _ {[- a, a] ^ {n}} {\ tilde {f}}.}$

Integrais impróprios com singularidades

Se f é uma função não negativa que é ilimitada em um domínio A , então a integral imprópria de f é definida pelo truncamento de f em algum ponto de corte M , integrando a função resultante e, em seguida, tomando o limite conforme M tende ao infinito. Isso é para , definir . Então defina ${\ displaystyle M> 0}$${\ displaystyle f_ {M} = \ min \ {f, M \}}$

${\ displaystyle \ int _ {A} f = \ lim _ {M \ to \ infty} \ int _ {A} f_ {M}}$

desde que este limite exista.

Funções com valores positivos e negativos

Essas definições se aplicam a funções que não são negativas. Uma função mais geral f pode ser decomposta como uma diferença de sua parte positiva e parte negativa , então ${\ displaystyle f _ {+} = \ max \ {f, 0 \}}$${\ displaystyle f _ {-} = \ max \ {- f, 0 \}}$

${\ displaystyle f = f _ {+} - f _ {-}}$

com e ambas as funções não negativas. A função f tem uma integral de Riemann imprópria se cada uma das e tem uma, caso em que o valor dessa integral imprópria é definido por ${\ displaystyle f _ {+}}$${\ displaystyle f _ {-}}$${\ displaystyle f _ {+}}$${\ displaystyle f _ {-}}$

${\ displaystyle \ int _ {A} f = \ int _ {A} f _ {+} - \ int _ {A} f _ {-}.}$

Para existir neste sentido, a integral imprópria converge necessariamente de forma absoluta, uma vez que

${\ displaystyle \ int _ {A} | f | = \ int _ {A} f _ {+} + \ int _ {A} f _ {-}.}$

Notas

Bibliografia

• Apostol, T (1974), Análise matemática , Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-00288-1.
• Apostol, T (1967), Calculus, Vol. 1 (2ª ed.), Jon Wiley & Sons.
• Autar Kaw, Egwu Kalu (2008), Numerical Methods with Applications (1ª ed.), Autarkaw.com
• Titchmarsh, E (1948), Introdução à teoria das integrais de Fourier (2ª ed.), New York, NY: Chelsea Pub. Co. (publicado em 1986), ISBN 978-0-8284-0324-5.
• Cooper, Jeffery (2005), Análise de trabalho , Gulf Professional
• Ghorpade, Sudhir; Limaye, Balmohan (2010), Um curso em cálculo e análise multivariável , Springer

links externos

• Métodos Numéricos para Resolver Integrais Impróprios no Holistic Numerical Methods Institute