Limite (matemática) - Limit (mathematics)
Em matemática , um limite é o valor que uma função (ou sequência ) se aproxima quando a entrada (ou índice) se aproxima de algum valor . Os limites são essenciais para cálculo e análise matemática e são usados para definir continuidade , derivadas e integrais .
O conceito de limite de uma sequência é mais generalizado para o conceito de limite de uma rede topológica e está intimamente relacionado ao limite e ao limite direto na teoria das categorias .
Nas fórmulas, o limite de uma função é geralmente escrito como
-
- ou
- f ( x ) = L ,
e é lido como "o limite de f de x quando x se aproxima de c é igual a L ". O fato de que uma função f se aproxima do limite L conforme x se aproxima de c às vezes é denotado por uma seta para a direita (→ ou ), como em
que diz " de tende a como tende a ".
Limite de uma função
Suponha que f é uma função real e c é um número real . Falando intuitivamente, a expressão
significa que f ( x ) pode ser tornado tão próximo de L quanto desejado, tornando x suficientemente próximo de c . Nesse caso, a equação acima pode ser lida como "o limite de f de x , quando x se aproxima de c , é L ".
Augustin-Louis Cauchy em 1821, seguido por Karl Weierstrass , formalizou a definição do limite de uma função que ficou conhecida como (ε, δ) -definição de limite . A definição usa ε (a letra grega minúscula épsilon ) para representar qualquer pequeno número positivo, de modo que " f ( x ) torna-se arbitrariamente próximo de L " significa que f ( x ) eventualmente encontra-se no intervalo ( L - ε , L + ε ) , que também pode ser escrito usando o sinal de valor absoluto como | f ( x ) - L | < ε . A frase "conforme x se aproxima de c " indica então que nos referimos aos valores de x , cuja distância de c é menor do que algum número positivo δ (a letra grega minúscula delta ) - isto é, valores de x dentro de qualquer um ( c - δ , c ) ou ( c , c + δ ) , que pode ser expresso com 0 <| x - c | < δ . A primeira desigualdade significa que a distância entre x e c é maior que 0 e que x ≠ c , enquanto a segunda indica que x está dentro da distância δ de c .
A definição acima de um limite é verdadeiro mesmo que F ( c ) ≠ L . Na verdade, a função f não precisa nem mesmo ser definida em c .
Por exemplo, se
então f (1) não é definido (ver formas indeterminadas ), mas à medida que x se move arbitrariamente perto de 1, f ( x ) se aproxima correspondentemente de 2:
f (0,9) | f (0,99) | f (0,999) | f (1,0) | f (1.001) | f (1.01) | f (1,1) |
1.900 | 1.990 | 1.999 | Indefinido | 2.001 | 2.010 | 2.100 |
Assim, f ( x ) pode ser arbitrariamente próximo do limite de 2 - apenas tornando x suficientemente próximo de 1 .
Em outras palavras,
Isso também pode ser calculado algebricamente, como para todos os números reais x ≠ 1 .
Agora, como x + 1 é contínuo em x em 1, podemos inserir 1 para x , levando à equação
Além dos limites em valores finitos, as funções também podem ter limites no infinito. Por exemplo, considere a função
- f (100) = 1.9900
- f (1000) = 1.9990
- f (10.000) = 1.9999
À medida que x se torna extremamente grande, o valor de f ( x ) se aproxima de 2 , e o valor de f ( x ) pode ser aproximado de 2 como se poderia desejar - tornando x suficientemente grande. Portanto, neste caso, o limite de f ( x ) conforme x se aproxima do infinito é 2 , ou em notação matemática,
Limite de uma sequência
Considere a seguinte sequência: 1,79, 1,799, 1,7999, ... Pode-se observar que os números estão "se aproximando" de 1,8, o limite da sequência.
Formalmente, suponha que um 1 , a 2 , ... é uma seqüência de números reais . Pode-se afirmar que o número real L é o limite desta sequência, a saber:
que é lido como
- "O limite de a n quando n se aproxima do infinito é igual a L "
se e apenas se
- Para todo número real ε > 0 , existe um número natural N tal que para todo n > N , temos | a n - L | < ε .
Intuitivamente, isso significa que, eventualmente, todos os elementos da sequência se aproximam arbitrariamente do limite, já que o valor absoluto | a n - L | é a distância entre um n e L . Nem toda sequência tem um limite; se sim, então é chamado de convergente ; se não, então é divergente . Pode-se mostrar que uma seqüência convergente possui apenas um limite.
O limite de uma sequência e o limite de uma função estão intimamente relacionados. Por um lado, o limite conforme n se aproxima do infinito de uma sequência { a n } é simplesmente o limite no infinito de uma função a ( n ) - definida nos números naturais { n } . Por outro lado, se X é o domínio de uma função f ( x ) e se o limite quando n se aproxima do infinito de f ( x n ) é L para cada sequência arbitrária de pontos { x n } em { X - { x 0 }} que converge para x 0 , em seguida, o limite da função f ( x ) como x abordagens x 0 é L . Uma dessas sequências seria { x 0 + 1 / n } .
Limite como "parte padrão"
Na análise não-padrão (que envolve uma hiperreal alargamento do sistema número), o limite de uma sequência pode ser expressa como a parte padrão do valor da extensão natural da sequência em um infinito hypernatural índice n = H . Assim,
Aqui, a função de parte padrão "st" arredonda cada número hiperreal finito para o número real mais próximo (a diferença entre eles é infinitesimal ). Isso formaliza a intuição natural de que para valores "muito grandes" do índice, os termos na sequência estão "muito próximos" do valor limite da sequência. Por outro lado, a parte padrão de um hiperreal representado na construção ultrapower por uma sequência de Cauchy , é simplesmente o limite dessa sequência:
Nesse sentido, pegar o limite e pegar a parte padrão são procedimentos equivalentes.
Convergência e ponto fixo
Uma definição formal de convergência pode ser declarada como segue. Suponha que como vai de para é uma sequência que converge para , com para todos . Se constantes positivas e existem com
então, como vai de para converge para de ordem , com constante de erro assintótica .
Dada uma função com um ponto fixo , existe uma boa lista de verificação para verificar a convergência da sequência .
- Primeiro verifique se p é realmente um ponto fixo:
- Verifique a convergência linear. Comece encontrando . Se…
então há convergência linear | |
série diverge | |
então há pelo menos convergência linear e talvez algo melhor, a expressão deve ser verificada para convergência quadrática |
- Se for descoberto que há algo melhor do que linear, a expressão deve ser verificada para convergência quadrática. Comece encontrando se ...
então há convergência quadrática, desde que seja contínua | |
então há algo ainda melhor do que a convergência quadrática | |
não existe | então há convergência que é melhor do que linear, mas ainda não quadrática |
Computabilidade do limite
Os limites podem ser difíceis de calcular. Existem expressões de limite cujo módulo de convergência é indecidível . Na teoria da recursão , o lema do limite prova que é possível codificar problemas indecidíveis usando limites.
Veja também
-
Análise assintótica : um método para descrever o comportamento limitante
- Notação Big O : usada para descrever o comportamento limitante de uma função quando o argumento tende para um valor particular ou infinito
- Limite de Banach definido no espaço de Banach que estende os limites usuais.
- Sequência de Cauchy
- Convergência de variáveis aleatórias
- Matriz convergente
- Limite na teoria da categoria
-
Limite de uma função
- Limite unilateral : qualquer um dos dois limites das funções de uma variável real x , quando x se aproxima de um ponto de cima ou de baixo
- Lista de limites : lista de limites para funções comuns
- Teorema do aperto : encontra o limite de uma função por meio da comparação com duas outras funções
- Ponto limite
- Limite definido
- Limite superior e limite inferior
- Modos de convergência
- Taxa de convergência : a taxa na qual uma sequência convergente se aproxima de seu limite
Notas
Referências
- Apostol, Tom M. (1974), Mathematical Analysis (2ª ed.), Menlo Park: Addison-Wesley , LCCN 72011473
links externos
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