Limite (matemática) - Limit (mathematics)

Em matemática , um limite é o valor que uma função (ou sequência ) se aproxima quando a entrada (ou índice) se aproxima de algum valor . Os limites são essenciais para cálculo e análise matemática e são usados ​​para definir continuidade , derivadas e integrais .

O conceito de limite de uma sequência é mais generalizado para o conceito de limite de uma rede topológica e está intimamente relacionado ao limite e ao limite direto na teoria das categorias .

Nas fórmulas, o limite de uma função é geralmente escrito como

ou
Tenentex  →  c f ( x ) = L ,

e é lido como "o limite de f de x quando x se aproxima de c é igual a L ". O fato de que uma função f se aproxima do limite L conforme x se aproxima de c às vezes é denotado por uma seta para a direita (→ ou ), como em

que diz " de tende a como tende a ".

Limite de uma função

Sempre que um ponto x está dentro de uma distância δ de C , o valor de f ( x ) está dentro de uma distância ε de L .
Para todo x > S , o valor f ( x ) é dentro de uma distância ε de L .

Suponha que f é uma função real e c é um número real . Falando intuitivamente, a expressão

significa que f ( x ) pode ser tornado tão próximo de L quanto desejado, tornando x suficientemente próximo de c . Nesse caso, a equação acima pode ser lida como "o limite de f de x , quando x se aproxima de c , é L ".

Augustin-Louis Cauchy em 1821, seguido por Karl Weierstrass , formalizou a definição do limite de uma função que ficou conhecida como (ε, δ) -definição de limite . A definição usa ε (a letra grega minúscula épsilon ) para representar qualquer pequeno número positivo, de modo que " f ( x ) torna-se arbitrariamente próximo de L " significa que f ( x ) eventualmente encontra-se no intervalo ( L - ε , L + ε ) , que também pode ser escrito usando o sinal de valor absoluto como | f ( x ) - L | < ε . A frase "conforme x se aproxima de c " indica então que nos referimos aos valores de x , cuja distância de c é menor do que algum número positivo δ (a letra grega minúscula delta ) - isto é, valores de x dentro de qualquer um ( c - δ , c ) ou ( c , c + δ ) , que pode ser expresso com 0 <| x - c | < δ . A primeira desigualdade significa que a distância entre x e c é maior que 0 e que xc , enquanto a segunda indica que x está dentro da distância δ de c .

A definição acima de um limite é verdadeiro mesmo que F ( c ) ≠ L . Na verdade, a função f não precisa nem mesmo ser definida em c .

Por exemplo, se

então f (1) não é definido (ver formas indeterminadas ), mas à medida que x se move arbitrariamente perto de 1, f ( x ) se aproxima correspondentemente de 2:

f (0,9) f (0,99) f (0,999) f (1,0) f (1.001) f (1.01) f (1,1)
1.900 1.990 1.999 Indefinido 2.001 2.010 2.100

Assim, f ( x ) pode ser arbitrariamente próximo do limite de 2 - apenas tornando x suficientemente próximo de 1 .

Em outras palavras,

Isso também pode ser calculado algebricamente, como para todos os números reais x ≠ 1 .

Agora, como x + 1 é contínuo em x em 1, podemos inserir 1 para x , levando à equação

Além dos limites em valores finitos, as funções também podem ter limites no infinito. Por exemplo, considere a função

Onde:
  • f (100) = 1.9900
  • f (1000) = 1.9990
  • f (10.000) = 1.9999

À medida que x se torna extremamente grande, o valor de f ( x ) se aproxima de 2 , e o valor de f ( x ) pode ser aproximado de 2 como se poderia desejar - tornando x suficientemente grande. Portanto, neste caso, o limite de f ( x ) conforme x se aproxima do infinito é 2 , ou em notação matemática,

Limite de uma sequência

Considere a seguinte sequência: 1,79, 1,799, 1,7999, ... Pode-se observar que os números estão "se aproximando" de 1,8, o limite da sequência.

Formalmente, suponha que um 1 , a 2 , ... é uma seqüência de números reais . Pode-se afirmar que o número real L é o limite desta sequência, a saber:

que é lido como

"O limite de a n quando n se aproxima do infinito é igual a L "

se e apenas se

Para todo número real ε > 0 , existe um número natural N tal que para todo n > N , temos | a n - L | < ε .

Intuitivamente, isso significa que, eventualmente, todos os elementos da sequência se aproximam arbitrariamente do limite, já que o valor absoluto | a n - L | é a distância entre um n e L . Nem toda sequência tem um limite; se sim, então é chamado de convergente ; se não, então é divergente . Pode-se mostrar que uma seqüência convergente possui apenas um limite.

O limite de uma sequência e o limite de uma função estão intimamente relacionados. Por um lado, o limite conforme n se aproxima do infinito de uma sequência { a n } é simplesmente o limite no infinito de uma função a ( n ) - definida nos números naturais { n } . Por outro lado, se X é o domínio de uma função f ( x ) e se o limite quando n se aproxima do infinito de f ( x n ) é L para cada sequência arbitrária de pontos { x n } em { X - { x 0 }} que converge para x 0 , em seguida, o limite da função f ( x ) como x abordagens x 0 é L . Uma dessas sequências seria { x 0 + 1 / n } .

Limite como "parte padrão"

Na análise não-padrão (que envolve uma hiperreal alargamento do sistema número), o limite de uma sequência pode ser expressa como a parte padrão do valor da extensão natural da sequência em um infinito hypernatural índice n = H . Assim,

Aqui, a função de parte padrão "st" arredonda cada número hiperreal finito para o número real mais próximo (a diferença entre eles é infinitesimal ). Isso formaliza a intuição natural de que para valores "muito grandes" do índice, os termos na sequência estão "muito próximos" do valor limite da sequência. Por outro lado, a parte padrão de um hiperreal representado na construção ultrapower por uma sequência de Cauchy , é simplesmente o limite dessa sequência:

Nesse sentido, pegar o limite e pegar a parte padrão são procedimentos equivalentes.

Convergência e ponto fixo

Uma definição formal de convergência pode ser declarada como segue. Suponha que como vai de para é uma sequência que converge para , com para todos . Se constantes positivas e existem com

então, como vai de para converge para de ordem , com constante de erro assintótica .

Dada uma função com um ponto fixo , existe uma boa lista de verificação para verificar a convergência da sequência .

  1. Primeiro verifique se p é realmente um ponto fixo:
  2. Verifique a convergência linear. Comece encontrando . Se…
então há convergência linear
série diverge
então há pelo menos convergência linear e talvez algo melhor, a expressão deve ser verificada para convergência quadrática
  1. Se for descoberto que há algo melhor do que linear, a expressão deve ser verificada para convergência quadrática. Comece encontrando se ...
então há convergência quadrática, desde que seja contínua
então há algo ainda melhor do que a convergência quadrática
não existe então há convergência que é melhor do que linear, mas ainda não quadrática

Computabilidade do limite

Os limites podem ser difíceis de calcular. Existem expressões de limite cujo módulo de convergência é indecidível . Na teoria da recursão , o lema do limite prova que é possível codificar problemas indecidíveis usando limites.

Veja também

Notas

Referências

links externos

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