Valor absoluto - Absolute value


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O gráfico da função valor absoluto para números reais
O valor absoluto de um número pode ser pensado como a sua distância do zero.

Em matemática , o valor absoluto ou módulo | x | de um número real  x é a não-negativo valor de  x sem consideração com seu sinal . Ou seja, | x | = X para um positivos  x , | x | = - x por negativos  x (caso em que - x é positivo), e | 0 | = 0 . Por exemplo, o valor absoluto de 3 é 3, e o valor absoluto de -3 também é 3. O valor absoluto de um número pode ser pensada como a sua distância a partir de zero.

Generalizações do valor absoluto para números reais ocorrem em uma ampla variedade de configurações matemáticas. Por exemplo, um valor absoluto também é definida para os números complexos , os quatérnions , anéis ordenadas , campos e espaços vector . O valor absoluto está intimamente relacionado com as noções de magnitude , distância , e norma em vários contextos matemáticos e físicos.

Terminologia e notação

Em 1806, Jean-Robert Argand introduziu o termo módulo , ou seja, unidade de medida , em Francês, especificamente para o complexo valor absoluto, e foi emprestado para o Inglês em 1866 como o equivalente Latin módulo . O termo valor absoluto foi usada neste sentido a partir de pelo menos 1806 em francês e 1857 em Inglês. A notação | x | , Com uma barra vertical em cada lado, foi introduzido por Karl Weierstrass em 1841. Outros nomes para valor absoluto incluem valor numérico e magnitude . Em linguagens de programação e pacotes de software computacionais, o valor absoluto de x é geralmente representado por abs ( x ), ou uma expressão similar.

A notação barra vertical também aparece num número de outros contextos matemáticos: por exemplo, quando aplicado a um conjunto, que indica a sua cardinalidade ; quando aplicado a uma matriz , que indica a sua determinante . As barras verticais indicam o valor absoluto apenas para objetos algébricos para a qual a noção de um valor absoluto é definido, nomeadamente um elemento de uma álgebra divisão normed como um número real, número complexo, quaternion. Um intimamente relacionada mas distinta notação é a utilização de barras verticais, quer para a norma euclidiana ou norma sup de um vector em , embora barras verticais duplas com subscritos ( e , respectivamente) são uma notação mais comum e menos ambíguo.

Definição e propriedades

Numeros reais

Para qualquer número real  x , o valor absoluto ou módulo de  x é denotada por | x | (uma barra vertical em cada lado da quantidade) e é definida como

O valor absoluto de  x é, portanto, sempre, quer positiva ou nula , mas nunca negativa : quando x em si é negativa ( x <0 ), então o seu valor absoluto é necessariamente positivo ( | x | = - x > 0 ).

A partir de uma geometria analítica ponto de vista, o valor absoluto de um número real é que o número de distância de zero ao longo da linha de número real , e mais geralmente o valor absoluto da diferença de dois números reais é a distância entre eles. Na verdade, a noção de um resumo função de distância em matemática pode ser vista como uma generalização do valor absoluto da diferença (veja "Distância" abaixo).

Desde o símbolo de raiz quadrada representa o único positivo raiz quadrada (quando aplicado a um número positivo), segue-se que

é equivalente à definição acima, e pode ser utilizado como uma definição alternativa do valor absoluto de números reais.

O valor absoluto tem as seguintes quatro propriedades fundamentais ( a , b são números reais), que são utilizados para a generalização deste conceito a outros domínios:

Não negatividade
Positivo-definiteness
multiplicatividade
Sub aditividade , especificamente a desigualdade triangular

Não negatividade, definida positiva, e multiplicatividade são prontamente evidentes a partir da definição. Para ver de que sub aditividade detém, primeira nota que uma das duas alternativas de tomar s ou como -1 ou +1 garantias de que agora, uma vez e , segue-se que, o que for o valor de s , um tem de tudo real . Consequentemente, como desejado. (Para uma generalização desse argumento para números complexos, consulte "Prova da desigualdade do triângulo para números complexos" abaixo.)

Algumas propriedades úteis adicionais são apresentados abaixo. Estes são ou consequências imediatas da definição ou implícitos nas quatro propriedades fundamentais acima.

Idempotência (o valor absoluto do valor absoluto é o valor absoluto)
Uniformidade ( simetria de reflexão do gráfico)
Identidade de indiscerníveis (equivalente a positiva-definiteness)
Desigualdade triangular (equivalente a sub aditividade)
(se ) Preservação da divisão (equivalente a multiplicatividade)
Desigualdade triangular inversa (equivalente a sub aditividade)

Duas outras propriedades úteis referentes desigualdades são:

ou

Estas relações podem ser usados ​​para resolver as desigualdades que envolvem valores absolutos. Por exemplo:

O valor absoluto, como "distância zero", é usado para definir a diferença absoluta entre os números reais arbitrários, o padrão métrica sobre os números reais.

Números complexos

O valor absoluto de um número complexo  é a distância  de desde a origem. Ele também é visto na imagem que e seu
conjugado complexo têm o mesmo valor absoluto. 

Uma vez que os números complexos não são ordenados , a definição dada na parte superior para o valor absoluto real pode não ser diretamente aplicadas a números complexos. No entanto, a interpretação geométrica do valor absoluto de um número real como a sua distância de 0 pode ser generalizada. O valor absoluto de um número complexo é definido pela distância euclidiana do seu ponto correspondente no plano complexo a partir da origem . Isto pode ser calculado usando o teorema de Pitágoras : para qualquer número complexo

onde x e y são números reais, o valor absoluto ou o módulo de  z é denotado | z | e é definido pela

onde Re ( z ) = x e Im ( z ) = y designam as partes real e imaginária da z , respectivamente. Quando o imaginário parte y é zero, isso coincide com a definição do valor absoluto do número real  x .

Quando um número complexo  z é expressa na sua forma polar como

com (e q ∈ arg ( z ) é o argumento (ou fase) de Z ), o seu valor absoluto

.

Uma vez que o produto de qualquer número complexo  z e o seu complexo conjugado  com o mesmo valor absoluto, é sempre o número real não-negativa , o valor absoluto de um número complexo pode ser convenientemente expresso como

assemelhando-se a definição alternativa para reais:

O valor absoluto complexo compartilha as quatro propriedades fundamentais dadas acima para o valor absoluto real.

Na linguagem da teoria do grupo , a propriedade multiplicativa pode ser reformulada da seguinte forma: o valor absoluto é um homomorfismo de grupos do grupo multiplicativo dos números complexos para o grupo sob a multiplicação de números reais positivos .

Importante, a propriedade de sub aditividade ( " desigualdade triangular ") estende-se a qualquer conjunto finito de n  complexos números tão

Esta desigualdade também se aplica a infinitas famílias , desde que a série infinita é absolutamente convergente . Se a integração de Lebesgue é visto como a analógica contínua da soma, então essa desigualdade é analogamente obedecida por, de valor complexas funções mensuráveis quando integrado ao longo de um subconjunto mensurável :

(Isto inclui Riemann-integráveis funções de mais de um intervalo limitado como um caso especial.)

Prova da desigualdade do triângulo complexo

A desigualdade triangular, como determinado por , pode ser demonstrado através da aplicação de três propriedades facilmente verificados dos números complexos: Ou seja, para cada número complexo ,

(I): existe tal que e ;
(ii): .

Além disso, para uma família de números complexos , . Em particular,

(iii): se , em seguida .

Prova de : Escolhade tal forma quee(somados sobre). O seguinte cálculo proporciona ent a desigualdade desejado:

.

É claro a partir desta prova de que a igualdade detém em exatamente se toda a são números não-negativos reais, que por sua vez, ocorre exatamente se tudo diferente de zero têm o mesmo argumento , ou seja, para uma constante complexa e constantes reais para .

Desde mensurável implica que também é mensurável, a prova da desigualdade de rendimentos através da mesma técnica, substituindo com e com .

função de valor absoluto

O gráfico da função valor absoluto para números reais
Composição de valor absoluto com uma função cúbica em ordens diferentes

A verdadeira função valor absoluto é contínua em todos os lugares. É diferenciável em toda a parte, excepto para X  = 0. É monótona decrescente no intervalo (-∞, 0] e monotonicamente crescentes no intervalo de [0, + ∞) . Uma vez que um número real e seu oposto têm o mesmo valor absoluto, é uma função mesmo , e não é, portanto, invertida . A verdadeira função valor absoluto é um linear por partes , função convexa .

Ambas as funções reais e complexos são idempotent .

Relação com a função de sinal

A função valor absoluto de um número real retorna seu valor independentemente do seu sinal, enquanto que a função de sinal (ou signum) retorna sinal de um número, independentemente do seu valor. As seguintes equações mostram a relação entre estas duas funções:

ou

e para x ≠ 0 ,

Derivado

A verdadeira função valor absoluto tem um derivado para cada x ≠ 0 , mas não é diferenciável em x = 0 . O seu derivado para x ≠ 0 é dado pela função passo :

O subdifferential de  | x | em  x = 0 é o intervalo  [-1,1] .

O complexo função de valor absoluto é contínua em todos os lugares, mas complexo diferenciável lugar nenhum , porque viola as equações de Cauchy-Riemann .

A segunda derivada  | x | com respeito a  x é zero em todos os lugares, exceto zero, onde ela não existe. Como uma função generalizada , a segunda derivada pode ser feita como duas vezes a função delta de Dirac .

antiderivada

A antiderivada (integral indefinida) da função real valor absoluto é

onde C é uma arbitrária constante de integração . Esta não é uma primitiva complexo porque antiderivadas complexos só podem existir para complexas-diferenciável ( holomorfos funções), o qual a função de valor absoluto não é complexa.

Distância

O valor absoluto está intimamente relacionado com a idéia de distância. Como observado acima, o valor absoluto de um número real ou complexa é a distância a partir desse número à origem, ao longo da linha de número real, para números reais, ou no plano complexo, para números complexos, e, mais geralmente, o valor absoluto da diferença de dois números reais ou complexos é a distância entre eles.

O padrão distância euclidiana entre dois pontos

e

em euclidiana n -espaço é definido como:

Isto pode ser visto como uma generalização, uma vez que para e verdadeira, ou seja, em um 1-espaço, de acordo com a definição alternativa do valor absoluto,

e por e os números complexos, isto é, em um 2-espaço,

O quadro acima revela que o -Distância "valor absoluto", para números reais e complexos, concorda com a distância euclidiana padrão, o que eles herdam como resultado de considerá-los como espaços euclidianos uma e duas dimensões, respectivamente.

As propriedades do valor absoluto da diferença de dois números reais ou complexos: não negatividade, identidade dos indiscerníveis, simetria e a desigualdade triangular dada acima, pode ser vista a motivar o conceito mais geral de uma função de distância como se segue:

A função real valorizado d em um conjunto X  ×  X é chamado de métrica (ou uma função de distância ) em  X , desde que preencha os seguintes quatro axiomas:

Não negatividade
Identidade dos indiscerníveis
Simetria
desigualdade do triângulo

generalizações

anéis ordenados

A definição do valor absoluto dado para números reais acima pode ser estendido a qualquer anel ordenou . Ou seja, se  um é um elemento de um anel ordenou  R , então o valor absoluto de  um , denotado por | uma | , É definida para ser:

onde - um é o inverso aditivo de  um , 0 é o aditivo elemento de identidade , e <e ≥ têm o significado usual no que diz respeito à encomenda no anel.

Campos

As quatro propriedades fundamentais do valor absoluto para os números reais podem ser usados ​​para generalizar a noção de valor absoluto a um campo arbitrário, como segue.

A função real  v em um campo  F é chamado de valor absoluto (também um módulo , magnitude , valor ou avaliação ), se preencher os seguintes quatro axiomas:

Não negatividade
Positivo-definiteness
multiplicatividade
Sub aditividade ou a desigualdade triangular

Onde 0 denota a identidade aditiva elemento da  F . Resulta de positivo-definiteness e multiplicatividade que v ( 1 ) = 1 , onde 1 indica a identidade multiplicativo elemento de  F . Os valores absolutos reais e complexos definidos acima são exemplos de valores absolutos de um campo arbitrária.

Se v é um valor absoluto de  F , então a função  d a F  ×  F , definida por d ( um ,  b ) = v ( a - b ) , é uma métrica e o seguinte são equivalentes:

  • d satisfaz a ultramétrica desigualdade para todos os x , y , z em  F .
  • é delimitada em  R .
  • para cada
  • para todos
  • para todos

Um valor absoluto que satisfaz qualquer (por conseguinte, todas) das condições acima é dito para ser não-Arquimedes , caso contrário, diz-se ser de Arquimedes .

espaços vetoriais

Mais uma vez as propriedades fundamentais do valor absoluto para os números reais podem ser usadas, com uma ligeira modificação, para generalizar a noção de um espaço vetor arbitrário.

A função real em um espaço vetorial  V sobre um campo  F , representado como ‖ · ‖ , é chamado de um valor absoluto , mas mais geralmente uma norma , desde que preencha os seguintes axiomas:

Para todos  um em  F , e v , u em  V ,

Não negatividade
Positivo-definiteness
homogeneidade positiva ou escalabilidade positiva
Sub aditividade ou a desigualdade triangular

A norma de um vector também é chamada de comprimento ou magnitude .

No caso de espaço euclidiano  R n , a função definida pela

é uma norma chamada a norma euclidiana . Quando o números reais  R são considerados como o vector unidimensional espaço  de R 1 , o valor absoluto é uma norma , e é o p -norm (ver G p espaço ) de qualquer  p . Na verdade, o valor absoluto é o "único" norma em R 1 , no sentido de que, para cada norma ‖ · ‖ em  R 1 , x ‖ = ‖1‖ ⋅ | x | . O valor absoluto complexo é um caso especial da norma num espaço interior do produto . Ele é idêntico ao da norma euclidiana, se o plano complexo é identificado com o plano euclidiano  R 2 .

álgebras de composição

Cada composição álgebra Um tem uma involução xx * chamou a sua conjugação . O produto em uma de um elemento x e o seu conjugado x * é escrito N ( x ) = xx * e chamado a norma de x .

O verdadeiro número ℝ, números complexo ℂ, e Quaternions ℍ são todos algebras composição com normas dadas por formas quadráticas definidas . O valor absoluto nestes álgebra de divisão é dada pela raiz quadrada da norma composição álgebra.

Em geral, a norma de uma álgebra composição pode ser uma forma quadrática , que não é definida e tem vectores nulos . No entanto, como no caso de álgebra de divisão, quando um elemento x tem um diferente de zero norma, então x tem um inverso multiplicativo dado por x * / N ( x ).

Notas

Referências

links externos