Diferencial (matemática) - Differential (mathematics)
Em matemática , diferencial se refere a diferenças infinitesimais ou às derivadas de funções. O termo é usado em vários ramos da matemática, como cálculo , geometria diferencial , geometria algébrica e topologia algébrica .
Noções básicas
- No cálculo , o diferencial representa uma mudança na linearização de uma função .
- O diferencial total é sua generalização para funções de múltiplas variáveis.
- Nas abordagens tradicionais de cálculo, as diferenciais (por exemplo , dx , dy , dt , etc.) são interpretadas como infinitesimais . Existem vários métodos de definir infinitesimais rigorosamente, mas é suficiente dizer que um número infinitesimal é menor em valor absoluto do que qualquer número real positivo, assim como um número infinitamente grande é maior do que qualquer número real.
- O diferencial é outro nome para a matriz Jacobiana de derivadas parciais de uma função de R n a R m (especialmente quando esta matriz é vista como um mapa linear ).
- Mais geralmente, o diferencial ou pushforward se refere à derivada de um mapa entre variedades suaves e as operações pushforward que ele define. O diferencial também é usado para definir o conceito duplo de recuo .
- O cálculo estocástico fornece uma noção de diferencial estocástico e um cálculo associado para processos estocásticos .
- O integrador em uma integral de Stieltjes é representado como o diferencial de uma função. Formalmente, o diferencial que aparece sob a integral se comporta exatamente como um diferencial: assim, as fórmulas de integração por substituição e integração por partes para a integral de Stieltjes correspondem, respectivamente, à regra da cadeia e à regra do produto do diferencial.
Geometria diferencial
A noção de um diferencial motiva vários conceitos em geometria diferencial (e topologia diferencial ).
- O diferencial (Pushforward) de um mapa entre variedades.
- As formas diferenciais fornecem uma estrutura que acomoda a multiplicação e a diferenciação de diferenciais.
- A derivada exterior é uma noção de diferenciação de formas diferenciais que generaliza o diferencial de uma função (que é uma forma diferencial 1 ).
- Retrocesso é, em particular, um nome geométrico para a regra da cadeia para compor um mapa entre variedades com uma forma diferencial na variedade de destino.
- Derivadas covariantes ou diferenciais fornecem uma noção geral para a diferenciação de campos de vetores e campos de tensores em uma variedade ou, mais geralmente, seções de um pacote vetorial : consulte Conexão (pacote vetorial) . Em última análise, isso leva ao conceito geral de uma conexão .
Geometria algébrica
Os diferenciais também são importantes na geometria algébrica e existem várias noções importantes.
- Diferenciais abelianos geralmente significam formas únicas diferenciais em uma curva algébrica ou superfície de Riemann .
- Diferenciais quadráticas (que se comportam como "quadrados" de diferenciais abelianos) também são importantes na teoria das superfícies de Riemann.
- Os diferenciais de Kähler fornecem uma noção geral de diferencial em geometria algébrica.
Outros significados
O termo diferencial também foi adotado na álgebra homológica e na topologia algébrica, devido ao papel que a derivada exterior desempenha na cohomologia de de Rham: em um complexo de cochain , os mapas (ou operadores coboundary ) d i são freqüentemente chamados de diferenciais. Dualmente, os operadores de limite em um complexo de cadeia são às vezes chamados de codiferenciais .
As propriedades do diferencial também motivam as noções algébricas de uma derivação e de uma álgebra diferencial .
Referências
links externos
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