Topologia algébrica - Algebraic topology
A topologia algébrica é um ramo da matemática que usa ferramentas da álgebra abstrata para estudar espaços topológicos . O objetivo básico é encontrar invariantes algébricos que classificam os espaços topológicos até o homeomorfismo , embora geralmente a maioria classifique até a equivalência de homotopia .
Embora a topologia algébrica use principalmente a álgebra para estudar problemas topológicos, às vezes também é possível usar a topologia para resolver problemas algébricos. A topologia algébrica, por exemplo, permite uma prova conveniente de que qualquer subgrupo de um grupo livre é novamente um grupo livre.
Principais ramos da topologia algébrica
Abaixo estão algumas das principais áreas estudadas na topologia algébrica:
Grupos de homotopia
Em matemática, grupos de homotopia são usados em topologia algébrica para classificar espaços topológicos . O primeiro e mais simples grupo de homotopia é o grupo fundamental , que registra informações sobre loops em um espaço. Intuitivamente, os grupos de homotopia registram informações sobre a forma básica, ou orifícios, de um espaço topológico.
Homologia
Em topologia algébrica e álgebra abstrata , homologia (em parte do grego ὁμός homos "idêntico") é um certo procedimento geral para associar uma sequência de grupos ou módulos abelianos a um dado objeto matemático, como um espaço topológico ou um grupo .
Cohomology
Na teoria da homologia e na topologia algébrica, cohomologia é um termo geral para uma sequência de grupos abelianos definidos a partir de um complexo de co-cadeia . Ou seja, cohomologia é definida como o estudo abstrato de cochains , cociclos e coboundaries . A cohomologia pode ser vista como um método de atribuição de invariantes algébricos a um espaço topológico que possui uma estrutura algébrica mais refinada do que a homologia . A cohomologia surge da dualização algébrica da construção da homologia. Em uma linguagem menos abstrata, as co-cadeias no sentido fundamental deveriam atribuir "quantidades" às cadeias da teoria da homologia.
Manifolds
Uma variedade é um espaço topológico que perto de cada ponto se assemelha ao espaço euclidiano . Os exemplos incluem o plano , a esfera e o toro , que podem todos ser realizados em três dimensões, mas também a garrafa de Klein e o plano projetivo real que não pode ser realizado em três dimensões, mas pode ser realizado em quatro dimensões. Normalmente, os resultados da topologia algébrica enfocam os aspectos globais e não diferenciáveis das variedades; por exemplo, a dualidade de Poincaré .
Teoria do nó
A teoria dos nós é o estudo dos nós matemáticos . Embora seja inspirado por nós que aparecem na vida cotidiana em cadarços e cordas, o nó de um matemático difere porque as pontas são unidas de forma que não podem ser desfeitas. Em linguagem matemática precisa, um nó é uma incorporação de um círculo em três dimensões do espaço Euclidiano , . Dois nós matemáticos são equivalentes se um pode ser transformado no outro por meio de uma deformação sobre si mesmo (conhecido como isotopia ambiental ); essas transformações correspondem a manipulações de uma corda com nós que não envolvem cortar a corda ou passar a corda por ela mesma.
Complexos
Um complexo simplicial é um espaço topológico de um certo tipo, construído pela "colagem" de pontos , segmentos de linha , triângulos e suas contrapartes n- dimensionais (veja a ilustração). Os complexos simplificados não devem ser confundidos com a noção mais abstrata de um conjunto simplicial que aparece na moderna teoria da homotopia simplicial. A contraparte puramente combinatória de um complexo simplicial é um complexo simplicial abstrato .
Um complexo CW é um tipo de espaço topológico introduzido por JHC Whitehead para atender às necessidades da teoria da homotopia . Essa classe de espaços é mais ampla e tem algumas propriedades categóricas melhores do que os complexos simpliciais , mas ainda retém uma natureza combinatória que permite a computação (geralmente com um complexo muito menor).
Método de invariantes algébricos
Um nome mais antigo para o assunto era topologia combinatória , implicando uma ênfase em como um espaço X foi construído a partir de outros mais simples (a ferramenta padrão moderna para tal construção é o complexo CW ). Nas décadas de 1920 e 1930, havia uma ênfase crescente na investigação de espaços topológicos, encontrando correspondências entre eles e grupos algébricos , o que levou à mudança do nome para topologia algébrica. O nome da topologia combinatória ainda é algumas vezes usado para enfatizar uma abordagem algorítmica baseada na decomposição de espaços.
Na abordagem algébrica, encontra-se uma correspondência entre espaços e grupos que respeita a relação de homeomorfismo (ou homotopia mais geral ) dos espaços. Isso permite reformular declarações sobre espaços topológicos em declarações sobre grupos, que têm uma grande quantidade de estrutura gerenciável, muitas vezes tornando essas declarações mais fáceis de provar. Duas maneiras principais pelas quais isso pode ser feito são por meio de grupos fundamentais , ou mais geralmente a teoria da homotopia , e por meio de grupos de homologia e cohomologia . Os grupos fundamentais nos fornecem informações básicas sobre a estrutura de um espaço topológico, mas geralmente são não - etiquetados e podem ser difíceis de trabalhar. O grupo fundamental de um complexo simplicial (finito) tem uma apresentação finita .
Os grupos de homologia e cohomologia, por outro lado, são abelianos e, em muitos casos importantes, gerados finitamente. Grupos abelianos finitamente gerados são completamente classificados e são particularmente fáceis de trabalhar.
Cenário na teoria da categoria
Em geral, todas as construções da topologia algébrica são functorial ; as noções de categoria , functor e transformação natural originaram-se aqui. Grupos fundamentais e grupos de homologia e cohomologia não são apenas invariantes do espaço topológico subjacente, no sentido de que dois espaços topológicos que são homeomórficos têm os mesmos grupos associados, mas seus morfismos associados também correspondem - um mapeamento contínuo de espaços induz um homomorfismo de grupo em os grupos associados, e esses homomorfismos podem ser usados para mostrar a inexistência (ou, muito mais profundamente, a existência) de mapeamentos.
Um dos primeiros matemáticos a trabalhar com diferentes tipos de cohomologia foi Georges de Rham . Pode-se usar a estrutura diferencial de variedades suaves via cohomologia de de Rham , ou Čech ou cohomologia de feixe para investigar a solvabilidade de equações diferenciais definidas na variedade em questão. De Rham mostrou que todas essas abordagens estavam inter-relacionadas e que, para uma variedade fechada e orientada, os números de Betti derivados por homologia simplicial eram os mesmos números de Betti derivados pela cohomologia de Rham. Isso foi estendido na década de 1950, quando Samuel Eilenberg e Norman Steenrod generalizaram essa abordagem. Eles definiram homologia e cohomologia como functores equipados com transformações naturais sujeitas a certos axiomas (por exemplo, uma equivalência fraca de espaços passa a um isomorfismo de grupos de homologia), verificaram que todas as teorias de (co) homologia existentes satisfaziam esses axiomas, e então provaram que tais uma axiomatização caracterizou exclusivamente a teoria.
Aplicações da topologia algébrica
As aplicações clássicas da topologia algébrica incluem:
- O ponto fixo de Brouwer teorema : cada contínua mapa a partir da unidade n -disk para si tem um ponto fixo.
- O ranking livre do n th grupo de homologia de um complexo simplicial é o n th número Betti , que permite calcular a característica de Euler-Poincaré .
- Pode-se usar a estrutura diferencial de variedades suaves via cohomologia de de Rham , ou Čech ou cohomologia de feixe para investigar a solvabilidade de equações diferenciais definidas na variedade em questão.
- Uma variedade é orientável quando o grupo de homologia integral de dimensão superior é os inteiros e não é orientável quando é 0.
- A esfera n admite um campo vetorial unitário contínuo que não desaparece em lugar nenhum se e somente se n for ímpar. (Para n = 2, isso às vezes é chamado de " teorema da bola cabeluda ".)
- O teorema Borsuk-Ulam : qualquer mapa contínuo a partir do n -sphere para euclidiana n identifica -Space pelo menos um par de pontos antípodas.
- Qualquer subgrupo de um grupo livre é gratuito. Este resultado é bastante interessante, porque a declaração é puramente algébrica, embora a prova mais simples conhecida seja topológica. Nomeadamente, qualquer grupo livre G pode ser realizado como o grupo fundamental de um gráfico X . O principal teorema sobre os espaços de cobertura nos diz que todo subgrupo H de G é o grupo fundamental de algum espaço de cobertura Y de X ; mas todo Y é novamente um gráfico. Portanto, seu grupo fundamental H é livre. Por outro lado, esse tipo de aplicação também é tratado de forma mais simples pelo uso de morfismos de cobertura de grupóides , e essa técnica produziu teoremas de subgrupos ainda não comprovados por métodos de topologia algébrica; ver Higgins (1971) .
- Combinação topológica .
Topologistas algébricos notáveis
- Frank Adams
- Michael Atiyah
- Enrico Betti
- Armand Borel
- Karol Borsuk
- Luitzen Egbertus Jan Brouwer
- William Browder
- Ronald Brown
- Henri Cartan
- Albrecht Dold
- Charles Ehresmann
- Samuel Eilenberg
- Hans Freudenthal
- Peter Freyd
- Pierre Gabriel
- Alexander Grothendieck
- Allen Hatcher
- Friedrich Hirzebruch
- Heinz Hopf
- Michael J. Hopkins
- Witold Hurewicz
- Egbert van Kampen
- Daniel Kan
- Hermann Künneth
- Ruth Lawrence
- Solomon Lefschetz
- Jean Leray
- Saunders Mac Lane
- Mark Mahowald
- J. Peter May
- Barry Mazur
- John Milnor
- John Coleman Moore
- Jack Morava
- Emmy Noether
- Sergei Novikov
- Grigori Perelman
- Lev Pontryagin
- Nicolae Popescu
- Mikhail Postnikov
- Daniel Quillen
- Jean-Pierre Serre
- Stephen Smale
- Edwin Spanier
- Norman Steenrod
- Dennis Sullivan
- René Thom
- Hiroshi Toda
- Leopold Vietoris
- Hassler Whitney
- JHC Whitehead
- Gordon Thomas Whyburn
Teoremas importantes na topologia algébrica
- Teorema de Blakers-Massey
- Teorema de Borsuk-Ulam
- Teorema do ponto fixo de Brouwer
- Teorema de aproximação celular
- Teorema de Dold-Thom
- Teorema de Eilenberg-Ganea
- Teorema de Eilenberg-Zilber
- Teorema da suspensão freudenthal
- Teorema de Hurewicz
- Teorema de Künneth
- Teorema de ponto fixo de Lefschetz
- Teorema de Leray-Hirsch
- Teorema da dualidade de Poincaré
- Teorema de Seifert-van Kampen
- Teorema do coeficiente universal
- Teorema de Whitehead
Veja também
- Teoria Algébrica K
- Seqüência exata
- Glossário de topologia algébrica
- Topologia Grothendieck
- Teoria das categorias superiores
- Álgebra de dimensão superior
- Álgebra homológica
- Teoria K
- Algebróide de mentira
- Lie groupoid
- Publicações importantes em topologia algébrica
- Seqüência espectral de Serre
- Feixe
- Teoria de campo quântico topológico
Notas
Referências
- Allegretti, Dylan GL (2008), Simplicial Sets and van Kampen's Theorem (Discute versões generalizadas do teorema de van Kampen aplicado a espaços topológicos e conjuntos simpliciais).
- Bredon, Glen E. (1993), Topology and Geometry , Graduate Texts in Mathematics, 139 , Springer, ISBN 0-387-97926-3.
- Brown, R. (2007), Teoria do grupo dimensional superior (Oferece uma visão ampla dos teoremas de van Kampen de dimensão superior envolvendo vários grupóides) .
- Brown, R .; Razak, A. (1984), "A van Kampen teorema para uniões de espaços não conectados", Arch. Matemática. , 42 : 85-88, doi : 10.1007 / BF01198133. "Fornece um teorema geral sobre o grupóide fundamental com um conjunto de pontos de base de um espaço que é a união de conjuntos abertos."
- Brown, R .; Hardie, K .; Kamps, H .; Porter, T. (2002), "The homotopy double groupoid of a Hausdorff space" , Theory Appl. Categorias , 10 (2): 71-93.
- Brown, R .; Higgins, PJ (1978), "Sobre a conexão entre os segundos grupos de homotopia relativa de alguns espaços relacionados", Proc. London Math. Soc. , S3-36 (2): 193-212, doi : 10.1112 / plms / s3-36.2.193. "A primeira versão bidimensional do teorema de van Kampen."
- Brown, Ronald; Higgins, Philip J .; Sivera, Rafael (2011), Nonabelian Algebraic Topology: Filtered Spaces, Crossed Complexes, Cubical Homotopy Groupoids , European Mathematical Society Tracts in Mathematics, 15 , European Mathematical Society, arXiv : math / 0407275 , ISBN 978-3-03719-083-8, arquivado do original em 04/06/2009 Isso fornece uma abordagem teórica da homotopia para a topologia algébrica básica, sem a necessidade de uma base na homologia singular ou do método de aproximação simplicial. Contém muito material em módulos cruzados .
- Fraleigh, John B. (1976), A First Course In Abstract Algebra (2ª ed.), Reading: Addison-Wesley , ISBN 0-201-01984-1
- Greenberg, Marvin J .; Harper, John R. (1981), Algebraic Topology: A First Course, edição revisada , Mathematics Lecture Note Series, Westview / Perseus, ISBN 9780805335576. Uma abordagem algébrica funcional, originalmente de Greenberg, com tempero geométrico adicionado por Harper.
- Hatcher, Allen (2002), Algebraic Topology , Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 0-521-79540-0. Uma introdução moderna à topologia algébrica com sabor geométrico.
- Higgins, Philip J. (1971), Notas sobre categorias e grupóides , Van Nostrand Reinhold, ISBN 9780442034061
- Maunder, CRF (1970), Algebraic Topology , Londres: Van Nostrand Reinhold, ISBN 0-486-69131-4.
- tom Dieck, Tammo (2008), Algebraic Topology , EMS Textbooks in Mathematics, European Mathematical Society, ISBN 978-3-03719-048-7
- van Kampen, Egbert (1933), "Sobre a conexão entre os grupos fundamentais de alguns espaços relacionados", American Journal of Mathematics , 55 (1): 261–7, JSTOR 51000091
Leitura adicional
- Hatcher, Allen (2002). Topologia algébrica . Cambridge University Press . ISBN 0-521-79160-X.e ISBN 0-521-79540-0 .
- "Algebraic topology" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
- May JP (1999). Um curso conciso em topologia algébrica (PDF) . University of Chicago Press . Página visitada em 2008-09-27 . A seção 2.7 fornece uma apresentação teórica da categoria do teorema como um colimite na categoria dos grupóides.