Topologia algébrica - Algebraic topology

Um toro , um dos objetos mais frequentemente estudados na topologia algébrica

A topologia algébrica é um ramo da matemática que usa ferramentas da álgebra abstrata para estudar espaços topológicos . O objetivo básico é encontrar invariantes algébricos que classificam os espaços topológicos até o homeomorfismo , embora geralmente a maioria classifique até a equivalência de homotopia .

Embora a topologia algébrica use principalmente a álgebra para estudar problemas topológicos, às vezes também é possível usar a topologia para resolver problemas algébricos. A topologia algébrica, por exemplo, permite uma prova conveniente de que qualquer subgrupo de um grupo livre é novamente um grupo livre.

Principais ramos da topologia algébrica

Abaixo estão algumas das principais áreas estudadas na topologia algébrica:

Grupos de homotopia

Em matemática, grupos de homotopia são usados ​​em topologia algébrica para classificar espaços topológicos . O primeiro e mais simples grupo de homotopia é o grupo fundamental , que registra informações sobre loops em um espaço. Intuitivamente, os grupos de homotopia registram informações sobre a forma básica, ou orifícios, de um espaço topológico.

Homologia

Em topologia algébrica e álgebra abstrata , homologia (em parte do grego ὁμός homos "idêntico") é um certo procedimento geral para associar uma sequência de grupos ou módulos abelianos a um dado objeto matemático, como um espaço topológico ou um grupo .

Cohomology

Na teoria da homologia e na topologia algébrica, cohomologia é um termo geral para uma sequência de grupos abelianos definidos a partir de um complexo de co-cadeia . Ou seja, cohomologia é definida como o estudo abstrato de cochains , cociclos e coboundaries . A cohomologia pode ser vista como um método de atribuição de invariantes algébricos a um espaço topológico que possui uma estrutura algébrica mais refinada do que a homologia . A cohomologia surge da dualização algébrica da construção da homologia. Em uma linguagem menos abstrata, as co-cadeias no sentido fundamental deveriam atribuir "quantidades" às cadeias da teoria da homologia.

Manifolds

Uma variedade é um espaço topológico que perto de cada ponto se assemelha ao espaço euclidiano . Os exemplos incluem o plano , a esfera e o toro , que podem todos ser realizados em três dimensões, mas também a garrafa de Klein e o plano projetivo real que não pode ser realizado em três dimensões, mas pode ser realizado em quatro dimensões. Normalmente, os resultados da topologia algébrica enfocam os aspectos globais e não diferenciáveis ​​das variedades; por exemplo, a dualidade de Poincaré .

Teoria do nó

A teoria dos nós é o estudo dos nós matemáticos . Embora seja inspirado por nós que aparecem na vida cotidiana em cadarços e cordas, o nó de um matemático difere porque as pontas são unidas de forma que não podem ser desfeitas. Em linguagem matemática precisa, um nó é uma incorporação de um círculo em três dimensões do espaço Euclidiano , . Dois nós matemáticos são equivalentes se um pode ser transformado no outro por meio de uma deformação sobre si mesmo (conhecido como isotopia ambiental ); essas transformações correspondem a manipulações de uma corda com nós que não envolvem cortar a corda ou passar a corda por ela mesma.

Complexos

Um complexo 3 simplicial.

Um complexo simplicial é um espaço topológico de um certo tipo, construído pela "colagem" de pontos , segmentos de linha , triângulos e suas contrapartes n- dimensionais (veja a ilustração). Os complexos simplificados não devem ser confundidos com a noção mais abstrata de um conjunto simplicial que aparece na moderna teoria da homotopia simplicial. A contraparte puramente combinatória de um complexo simplicial é um complexo simplicial abstrato .

Um complexo CW é um tipo de espaço topológico introduzido por JHC Whitehead para atender às necessidades da teoria da homotopia . Essa classe de espaços é mais ampla e tem algumas propriedades categóricas melhores do que os complexos simpliciais , mas ainda retém uma natureza combinatória que permite a computação (geralmente com um complexo muito menor).

Método de invariantes algébricos

Um nome mais antigo para o assunto era topologia combinatória , implicando uma ênfase em como um espaço X foi construído a partir de outros mais simples (a ferramenta padrão moderna para tal construção é o complexo CW ). Nas décadas de 1920 e 1930, havia uma ênfase crescente na investigação de espaços topológicos, encontrando correspondências entre eles e grupos algébricos , o que levou à mudança do nome para topologia algébrica. O nome da topologia combinatória ainda é algumas vezes usado para enfatizar uma abordagem algorítmica baseada na decomposição de espaços.

Na abordagem algébrica, encontra-se uma correspondência entre espaços e grupos que respeita a relação de homeomorfismo (ou homotopia mais geral ) dos espaços. Isso permite reformular declarações sobre espaços topológicos em declarações sobre grupos, que têm uma grande quantidade de estrutura gerenciável, muitas vezes tornando essas declarações mais fáceis de provar. Duas maneiras principais pelas quais isso pode ser feito são por meio de grupos fundamentais , ou mais geralmente a teoria da homotopia , e por meio de grupos de homologia e cohomologia . Os grupos fundamentais nos fornecem informações básicas sobre a estrutura de um espaço topológico, mas geralmente são não - etiquetados e podem ser difíceis de trabalhar. O grupo fundamental de um complexo simplicial (finito) tem uma apresentação finita .

Os grupos de homologia e cohomologia, por outro lado, são abelianos e, em muitos casos importantes, gerados finitamente. Grupos abelianos finitamente gerados são completamente classificados e são particularmente fáceis de trabalhar.

Cenário na teoria da categoria

Em geral, todas as construções da topologia algébrica são functorial ; as noções de categoria , functor e transformação natural originaram-se aqui. Grupos fundamentais e grupos de homologia e cohomologia não são apenas invariantes do espaço topológico subjacente, no sentido de que dois espaços topológicos que são homeomórficos têm os mesmos grupos associados, mas seus morfismos associados também correspondem - um mapeamento contínuo de espaços induz um homomorfismo de grupo em os grupos associados, e esses homomorfismos podem ser usados ​​para mostrar a inexistência (ou, muito mais profundamente, a existência) de mapeamentos.

Um dos primeiros matemáticos a trabalhar com diferentes tipos de cohomologia foi Georges de Rham . Pode-se usar a estrutura diferencial de variedades suaves via cohomologia de de Rham , ou Čech ou cohomologia de feixe para investigar a solvabilidade de equações diferenciais definidas na variedade em questão. De Rham mostrou que todas essas abordagens estavam inter-relacionadas e que, para uma variedade fechada e orientada, os números de Betti derivados por homologia simplicial eram os mesmos números de Betti derivados pela cohomologia de Rham. Isso foi estendido na década de 1950, quando Samuel Eilenberg e Norman Steenrod generalizaram essa abordagem. Eles definiram homologia e cohomologia como functores equipados com transformações naturais sujeitas a certos axiomas (por exemplo, uma equivalência fraca de espaços passa a um isomorfismo de grupos de homologia), verificaram que todas as teorias de (co) homologia existentes satisfaziam esses axiomas, e então provaram que tais uma axiomatização caracterizou exclusivamente a teoria.

Aplicações da topologia algébrica

As aplicações clássicas da topologia algébrica incluem:

Topologistas algébricos notáveis

Teoremas importantes na topologia algébrica

Veja também

Notas

Referências

Leitura adicional