Série alternada - Alternating series

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v t e

Na matemática , uma série alternada é uma série infinita da forma

${\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} (- 1) ^ {n} a_ {n}}$ ou ${\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} (- 1) ^ {n + 1} a_ {n}}$

com um _n > 0 para todos os  n . Os sinais dos termos gerais alternam entre positivos e negativos. Como qualquer série, uma série alternada converge se e somente se a sequência associada de somas parciais converge .

Exemplos

A série geométrica 1/2 - 1/4 + 1/8 - 1/16 + ⋯ soma 1/3.

A série harmônica alternada tem uma soma finita, mas a série harmônica não.

A série Mercator fornece uma expressão analítica do logaritmo natural :

${\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n + 1}} {n}} x ^ {n} \; = \; \ ln (1+ x).}$

As funções seno e cosseno usadas na trigonometria podem ser definidas como séries alternadas no cálculo , embora sejam introduzidas na álgebra elementar como a razão dos lados de um triângulo retângulo. Na verdade,

${\ displaystyle \ sin x = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} (- 1) ^ {n} {\ frac {x ^ {2n + 1}} {(2n + 1)!}}}$, e

${\ displaystyle \ cos x = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} (- 1) ^ {n} {\ frac {x ^ {2n}} {(2n)!}}.}$

Quando o fator alternativo (–1) ⁿ é removido dessas séries, obtém-se as funções hiperbólicas sinh e cosh usadas no cálculo.

Para um índice inteiro ou positivo α, a função de Bessel do primeiro tipo pode ser definida com a série alternada

${\ displaystyle J _ {\ alpha} (x) = \ sum _ {m = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {m}} {m! \, \ Gamma (m + \ alpha + 1)}} {\ left ({\ frac {x} {2}} \ right)} ^ {2m + \ alpha}}$   onde Γ ( z ) é a função gama .

Se s é um número complexo , a função eta de Dirichlet é formada como uma série alternada

${\ displaystyle \ eta (s) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {(- 1) ^ {n-1} \ over n ^ {s}} = {\ frac {1} {1 ^ {s}}} - {\ frac {1} {2 ^ {s}}} + {\ frac {1} {3 ^ {s}}} - {\ frac {1} {4 ^ {s}} } + \ cdots}$

que é usado na teoria analítica dos números .

Teste de série alternada

O teorema conhecido como "Teste de Leibniz" ou teste de séries alternadas nos diz que uma série alternada convergirá se os termos a _n convergirem para 0 monotonicamente .

Prova: suponha que a sequência converge para zero e é monótona decrescente. Se for ímpar e , obtemos a estimativa por meio do seguinte cálculo: ${\ displaystyle a_ {n}}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle m <n}$${\ displaystyle S_ {n} -S_ {m} \ leq a_ {m}}$

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} S_ {n} -S_ {m} & = \ sum _ {k = 0} ^ {n} (- 1) ^ {k} \, a_ {k} \, - \ , \ sum _ {k = 0} ^ {m} \, (- 1) ^ {k} \, a_ {k} \ = \ sum _ {k = m + 1} ^ {n} \, (- 1 ) ^ {k} \, a_ {k} \\ & = a_ {m + 1} -a_ {m + 2} + a_ {m + 3} -a_ {m + 4} + \ cdots + a_ {n} \\ & = \ displaystyle a_ {m + 1} - (a_ {m + 2} -a_ {m + 3}) - (a_ {m + 4} -a_ {m + 5}) - \ cdots -a_ { n} \ leq a_ {m + 1} \ leq a_ {m}. \ end {alinhado}}}$

Como é monotonicamente decrescente, os termos são negativos. Assim, temos a desigualdade final: . Da mesma forma, isso pode ser mostrado . Como converge para , nossas somas parciais formam uma sequência de Cauchy (ou seja, a série satisfaz o critério de Cauchy ) e, portanto, convergem. O argumento para mesmo é semelhante. ${\ displaystyle a_ {n}}$${\ displaystyle - (a_ {m} -a_ {m + 1})}$${\ displaystyle S_ {n} -S_ {m} \ leq a_ {m}}$${\ displaystyle -a_ {m} \ leq S_ {n} -S_ {m}}$${\ displaystyle a_ {m}}$${\ displaystyle 0}$${\ displaystyle S_ {m}}$${\ displaystyle m}$

Somas aproximadas

A estimativa acima não depende . Portanto, se estiver se aproximando de 0 monotonicamente, a estimativa fornece um limite de erro para aproximar somas infinitas por somas parciais: ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle a_ {n}}$

${\ displaystyle \ left | \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} (- 1) ^ {k} \, a_ {k} \, - \, \ sum _ {k = 0} ^ {m} \, (- 1) ^ {k} \, a_ {k} \ right | \ leq | a_ {m + 1} |.}$

Convergência absoluta

Uma série converge absolutamente se a série converge. ${\ displaystyle \ sum a_ {n}}$ ${\ displaystyle \ sum | a_ {n} |}$

Teorema: Séries absolutamente convergentes são convergentes.

Prova: suponha que seja absolutamente convergente. Então, é convergente e segue-se que converge também. Desde então , a série converge pelo teste de comparação . Portanto, a série converge como a diferença de duas séries convergentes . ${\ displaystyle \ sum a_ {n}}$${\ displaystyle \ sum | a_ {n} |}$${\ displaystyle \ sum 2 | a_ {n} |}$${\ displaystyle 0 \ leq a_ {n} + | a_ {n} | \ leq 2 | a_ {n} |}$${\ displaystyle \ sum (a_ {n} + | a_ {n} |)}$${\ displaystyle \ sum a_ {n}}$${\ displaystyle \ sum a_ {n} = \ sum (a_ {n} + | a_ {n} |) - \ sum | a_ {n} |}$

Convergência condicional

Uma série é condicionalmente convergente se convergir, mas não convergir absolutamente.

Por exemplo, a série harmônica

${\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n}}, \!}$

diverge, enquanto a versão alternada

${\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n + 1}} {n}}, \!}$

converge pelo teste de séries alternadas .

Reorganizações

Para qualquer série, podemos criar uma nova série reorganizando a ordem de somatório. Uma série é incondicionalmente convergente se qualquer rearranjo criar uma série com a mesma convergência da série original. As séries absolutamente convergentes são incondicionalmente convergentes . Mas o teorema da série de Riemann afirma que as séries condicionalmente convergentes podem ser reorganizadas para criar convergência arbitrária. O princípio geral é que a adição de somas infinitas é apenas comutativa para séries absolutamente convergentes.

Por exemplo, uma prova falsa de que 1 = 0 explora a falha de associatividade para somas infinitas.

Como outro exemplo, pela série Mercator

${\ displaystyle \ ln (2) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n + 1}} {n}} = 1 - {\ frac {1} {2}} + {\ frac {1} {3}} - {\ frac {1} {4}} + \ cdots.}$

Mas, como a série não converge absolutamente, podemos reorganizar os termos para obter uma série para : ${\ displaystyle {\ frac {1} {2}} \ ln (2)}$

${\ displaystyle {\ begin {align} & {} \ quad \ left (1 - {\ frac {1} {2}} \ right) - {\ frac {1} {4}} + \ left ({\ frac {1} {3}} - {\ frac {1} {6}} \ right) - {\ frac {1} {8}} + \ left ({\ frac {1} {5}} - {\ frac {1} {10}} \ right) - {\ frac {1} {12}} + \ cdots \\ [8pt] & = {\ frac {1} {2}} - {\ frac {1} {4 }} + {\ frac {1} {6}} - {\ frac {1} {8}} + {\ frac {1} {10}} - {\ frac {1} {12}} + \ cdots \ \ [8pt] & = {\ frac {1} {2}} \ left (1 - {\ frac {1} {2}} + {\ frac {1} {3}} - {\ frac {1} { 4}} + {\ frac {1} {5}} - {\ frac {1} {6}} + \ cdots \ right) = {\ frac {1} {2}} \ ln (2). \ End {alinhado}}}$

Aceleração série

Na prática, a soma numérica de uma série alternada pode ser acelerada usando qualquer uma de uma variedade de técnicas de aceleração em série . Uma das técnicas mais antigas é a de soma de Euler , e existem muitas técnicas modernas que podem oferecer uma convergência ainda mais rápida.

Veja também

• Série de Grandi
• Nörlund – Integral de arroz

Notas

Referências

• Earl D. Rainville (1967) Infinite Series , pp 73-6, Macmillan Publishers .
• Weisstein, Eric W. "Série Alternada" . MathWorld .