Teorema de Green - Green's theorem

No cálculo de vetor, o teorema de Verde refere-se um integrante de linha em torno de uma simples curva fechada C para um integrante duplo sobre o plano região D delimitada por C . É o caso especial bidimensional do teorema de Stokes .

Teorema

Deixe C ser um positivamente orientado , por partes lisas , curva fechada simples num plano , e deixá- D ser a região delimitada por C . Se L e M são funções de ( x , y ) definidas em uma região aberta contendo D e tendo derivadas parciais contínuas lá, então

\ ointctrclockwise

onde o caminho de integração ao longo de C é anti - horário .

Na física, o teorema de Green encontra muitas aplicações. Um deles está resolvendo integrais de fluxo bidimensionais, afirmando que a soma da vazão de fluido de um volume é igual à vazão total somada sobre uma área envolvente. Em geometria plana e, em particular, levantamento de área , o teorema de Green pode ser usado para determinar a área e o centróide de figuras planas unicamente pela integração ao longo do perímetro.

Prova quando D é uma região simples

Se D é um tipo simples de região com seu limite consistindo nas curvas C 1 , C 2 , C 3 , C 4 , metade do teorema de Green pode ser demonstrado.

A seguir está uma prova da metade do teorema para a área simplificada D , uma região do tipo I onde C 1 e C 3 são curvas conectadas por linhas verticais (possivelmente de comprimento zero). Uma prova semelhante existe para a outra metade do teorema quando D é uma região do tipo II onde C 2 e C 4 são curvas conectadas por linhas horizontais (novamente, possivelmente de comprimento zero). Colocando essas duas partes juntas, o teorema é então provado para regiões do tipo III (definidas como regiões que são tanto do tipo I quanto do tipo II). O caso geral pode então ser deduzido desse caso especial pela decomposição de D em um conjunto de regiões do tipo III.

Se puder ser mostrado que se

 

 

 

 

( 1 )

e

 

 

 

 

( 2 )

são verdadeiras, então o teorema de Green segue imediatamente para a região D. Podemos provar ( 1 ) facilmente para regiões do tipo I, e ( 2 ) para regiões do tipo II. O teorema de Green segue então para regiões do tipo III.

Suponha que a região D é uma região do tipo I e pode, portanto, ser caracterizada, conforme ilustrado à direita, por

onde g 1 e g 2 são funções contínuas em [ a , b ]. Calcule a integral dupla em ( 1 ):

 

 

 

 

( 3 )

Agora calcule a integral de linha em ( 1 ). C pode ser reescrito como a união de quatro curvas: C 1 , C 2 , C 3 , C 4 .

Com C 1 , use as equações paramétricas : x = x , y = g 1 ( x ), axb . Então

Com C 3 , use as equações paramétricas: x = x , y = g 2 ( x ), axb . Então

A integral sobre C 3 é negada porque vai na direção negativa de b para a , já que C está orientado positivamente (sentido anti-horário). Em C 2 e C 4 , x permanece constante, o que significa

Portanto,

 

 

 

 

( 4 )

Combinando ( 3 ) com ( 4 ), obtemos ( 1 ) para regiões do tipo I. Um tratamento semelhante produz ( 2 ) para regiões do tipo II. Juntando os dois, obtemos o resultado para regiões do tipo III.

Prova para curvas de Jordan retificáveis

Vamos provar o seguinte

Teorema. Let ser uma correcção, orientadas positivamente curva Jordan em e deixar denotam sua região interna. Suponha que sejam funções contínuas com a propriedade que tem segunda derivada parcial em todos os pontos de , tem primeira derivada parcial em todos os pontos de e que as funções são integráveis ​​por Riemann . Então

Precisamos dos seguintes lemas cujas provas podem ser encontradas em:

Lema 1 (lema da decomposição). Suponha que seja uma curva de Jordan retificável e positivamente orientada no plano e deixe ser sua região interna. Para cada real positivo , denotemos a coleção de quadrados no plano delimitado pelas retas , onde percorre o conjunto de inteiros. Então, para isso , existe uma decomposição de em um número finito de sub-regiões não sobrepostas de tal forma que

  1. Cada uma das sub-regiões contidas em , digamos , é um quadrado de .
  2. Cada uma das sub-regiões restantes, digamos , tem como limite uma curva de Jordan retificável formada por um número finito de arcos de e partes dos lados de algum quadrado de .
  3. Cada uma das regiões de fronteira pode ser encerrada em um quadrado de comprimento de borda .
  4. Se for a curva limite positivamente orientada de , então
  5. O número de regiões de fronteira não é maior do que , onde é o comprimento de .

Lema 2. Seja uma curva retificável no plano e seja o conjunto de pontos no plano cuja distância de (o alcance de) é no máximo . O conteúdo externo do Jordão deste conjunto é satisfatório .

Lema 3. Seja uma curva retificável em e seja uma função contínua. Então

e
são onde está a oscilação de na faixa de .

Agora estamos em posição de provar o Teorema:

Prova do Teorema. Let Ser um número real positivo arbitrário. Por continuidade de , e compactação de , dado , existe tal que sempre que dois pontos de são menos do que separados, suas imagens sob são menos do que separados. Para isso , considere a decomposição dada pelo Lema anterior. Nós temos

Coloque .

Para cada um , a curva é um quadrado orientado positivamente, para o qual a fórmula de Green é válida. Portanto

Cada ponto de uma região de fronteira está a uma distância não maior do que de . Assim, se for a união de todas as regiões de fronteira, então ; portanto , pelo Lema 2. Observe que

Isso produz

Podemos também escolher de modo que o RHS da última desigualdade seja

A observação no início desta prova implica que as oscilações de e em todas as regiões de fronteira são no máximo . Nós temos

Por Lema 1 (iii),

Combinando isso, finalmente conseguimos

para alguns . Uma vez que isso é verdade para todos , estamos prontos.

Validade sob diferentes hipóteses

As hipóteses do último teorema não são as únicas sob as quais a fórmula de Green é verdadeira. Outro conjunto comum de condições é o seguinte:

As funções ainda são consideradas contínuas. No entanto, agora exigimos que eles sejam diferenciáveis ​​por Fréchet em todos os pontos de . Isso implica na existência de todas as derivadas direcionais, em particular , onde, como de costume, é a base ordenada canônica de . Além disso, exigimos que a função seja integrável a Riemann .

Como corolário disso, obtemos o Teorema Integral de Cauchy para curvas de Jordan retificáveis:

Teorema (Cauchy). Se for uma curva de Jordan retificável e se for um mapeamento holomórfico contínuo em toda a região interna de , então

a integral sendo uma integral de contorno complexa.

Prova. Consideramos o plano complexo como . Agora, defina para que essas funções sejam claramente contínuas. É bem conhecido que e são Fréchet-diferenciável e que satisfazem as equações de Cauchy-Riemann: .

Agora, analisando as somas usadas para definir a integral de contorno complexa em questão, é fácil perceber que

as integrais no RHS sendo integrais de linha usuais. Essas observações nos permitem aplicar o Teorema de Green a cada uma dessas integrais de linha, finalizando a prova.

Regiões multiplamente conectadas

Teorema. Sejam as curvas de Jordan retificáveis ​​positivamente orientadas para satisfazer

onde está a região interna de . Deixar

Suponha que e sejam funções contínuas cuja restrição seja diferenciável de Fréchet. Se a função

é Riemann-integrable over , então

Relação com o teorema de Stokes

O teorema de Green é um caso especial do teorema de Kelvin-Stokes , quando aplicado a uma região no plano.

Podemos aumentar o campo bidimensional em um campo tridimensional com um componente z que é sempre 0. Escreva F para a função vetorial avaliada . Comece com o lado esquerdo do teorema de Green:

Teorema de Kelvin-Stokes:

A superfície é apenas a região no plano , com a unidade normal definida (por convenção) para ter um componente z positivo, a fim de coincidir com as definições de "orientação positiva" para ambos os teoremas.

A expressão dentro da integral torna-se

Assim, obtemos o lado direito do teorema de Green

O teorema de Green também é um resultado direto do teorema geral de Stokes usando formas diferenciais e derivadas externas :

Relação com o teorema da divergência

Considerando apenas campos vetoriais bidimensionais, o teorema de Green é equivalente à versão bidimensional do teorema da divergência :

\ oiint

onde é a divergência no campo vetorial bidimensional e é o vetor normal da unidade que aponta para fora na fronteira.

Para ver isso, considere a normal da unidade no lado direito da equação. Visto que no teorema de Green é um vetor apontando tangencial ao longo da curva, e a curva C é a curva positivamente orientada (isto é, no sentido anti-horário) ao longo da fronteira, uma normal externa seria um vetor que aponta 90 ° à direita dela; uma escolha seria . O comprimento desse vetor é Tão

Comece com o lado esquerdo do teorema de Green:

Aplicando o teorema da divergência bidimensional com , obtemos o lado direito do teorema de Green:

Cálculo de área

O teorema de Green pode ser usado para calcular a área por integral de linha. A área de uma região plana é dada por

Escolha e para que , a área seja dada por

Fórmulas possíveis para a área de incluir

História

Recebeu o nome de George Green , que afirmou um resultado semelhante em um artigo de 1828 intitulado Um ensaio sobre a aplicação da análise matemática às teorias da eletricidade e do magnetismo . Em 1846, Augustin-Louis Cauchy publicou um artigo declarando o teorema de Green como a penúltima frase. Esta é de fato a primeira versão impressa do teorema de Green na forma que aparece nos livros didáticos modernos. Bernhard Riemann deu a primeira prova do teorema de Green em sua dissertação de doutorado sobre a teoria das funções de uma variável complexa.

Veja também

Referências

Leitura adicional

links externos