Teorema em cálculo que relaciona reta e integrais duplos
Este artigo é sobre o teorema no plano que relaciona integrais duplos e integrais de linha. Para os teoremas de Green relacionando integrais de volume envolvendo o Laplaciano para integrais de superfície, consulte
as identidades de Green .
Não deve ser confundido com
a lei de Green para ondas que se aproximam da costa.
No cálculo de vetor, o teorema de Verde refere-se um integrante de linha em torno de uma simples curva fechada C para um integrante duplo sobre o plano região D delimitada por C . É o caso especial bidimensional do teorema de Stokes .
Teorema
Deixe C ser um positivamente orientado , por partes lisas , curva fechada simples num plano , e deixá- D ser a região delimitada por C . Se L e M são funções de ( x , y ) definidas em uma região aberta contendo D e tendo derivadas parciais contínuas lá, então
-
onde o caminho de integração ao longo de C é anti - horário .
Na física, o teorema de Green encontra muitas aplicações. Um deles está resolvendo integrais de fluxo bidimensionais, afirmando que a soma da vazão de fluido de um volume é igual à vazão total somada sobre uma área envolvente. Em geometria plana e, em particular, levantamento de área , o teorema de Green pode ser usado para determinar a área e o centróide de figuras planas unicamente pela integração ao longo do perímetro.
Prova quando D é uma região simples
Se
D é um tipo simples de região com seu limite consistindo nas curvas
C 1 ,
C 2 ,
C 3 ,
C 4 , metade do teorema de Green pode ser demonstrado.
A seguir está uma prova da metade do teorema para a área simplificada D , uma região do tipo I onde C 1 e C 3 são curvas conectadas por linhas verticais (possivelmente de comprimento zero). Uma prova semelhante existe para a outra metade do teorema quando D é uma região do tipo II onde C 2 e C 4 são curvas conectadas por linhas horizontais (novamente, possivelmente de comprimento zero). Colocando essas duas partes juntas, o teorema é então provado para regiões do tipo III (definidas como regiões que são tanto do tipo I quanto do tipo II). O caso geral pode então ser deduzido desse caso especial pela decomposição de D em um conjunto de regiões do tipo III.
Se puder ser mostrado que se
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( 1 )
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e
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( 2 )
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são verdadeiras, então o teorema de Green segue imediatamente para a região D. Podemos provar ( 1 ) facilmente para regiões do tipo I, e ( 2 ) para regiões do tipo II. O teorema de Green segue então para regiões do tipo III.
Suponha que a região D é uma região do tipo I e pode, portanto, ser caracterizada, conforme ilustrado à direita, por
onde g 1 e g 2 são funções contínuas em [ a , b ]. Calcule a integral dupla em ( 1 ):
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( 3 )
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Agora calcule a integral de linha em ( 1 ). C pode ser reescrito como a união de quatro curvas: C 1 , C 2 , C 3 , C 4 .
Com C 1 , use as equações paramétricas : x = x , y = g 1 ( x ), a ≤ x ≤ b . Então
Com C 3 , use as equações paramétricas: x = x , y = g 2 ( x ), a ≤ x ≤ b . Então
A integral sobre C 3 é negada porque vai na direção negativa de b para a , já que C está orientado positivamente (sentido anti-horário). Em C 2 e C 4 , x permanece constante, o que significa
Portanto,
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( 4 )
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Combinando ( 3 ) com ( 4 ), obtemos ( 1 ) para regiões do tipo I. Um tratamento semelhante produz ( 2 ) para regiões do tipo II. Juntando os dois, obtemos o resultado para regiões do tipo III.
Prova para curvas de Jordan retificáveis
Vamos provar o seguinte
Teorema. Let ser uma correcção, orientadas positivamente curva Jordan em e deixar denotam sua região interna. Suponha que sejam funções contínuas com a propriedade que tem segunda derivada parcial em todos os pontos de , tem primeira derivada parcial em todos os pontos de e que as funções são integráveis por Riemann . Então
Precisamos dos seguintes lemas cujas provas podem ser encontradas em:
Lema 1 (lema da decomposição). Suponha que seja uma curva de Jordan retificável e positivamente orientada no plano e deixe ser sua região interna. Para cada real positivo , denotemos a coleção de quadrados no plano delimitado pelas retas , onde percorre o conjunto de inteiros. Então, para isso , existe uma decomposição de em um número finito de sub-regiões não sobrepostas de tal forma que
- Cada uma das sub-regiões contidas em , digamos , é um quadrado de .
- Cada uma das sub-regiões restantes, digamos , tem como limite uma curva de Jordan retificável formada por um número finito de arcos de e partes dos lados de algum quadrado de .
- Cada uma das regiões de fronteira pode ser encerrada em um quadrado de comprimento de borda .
- Se for a curva limite positivamente orientada de , então
- O número de regiões de fronteira não é maior do que , onde é o comprimento de .
Lema 2. Seja uma curva retificável no plano e seja o conjunto de pontos no plano cuja distância de (o alcance de) é no máximo . O conteúdo externo do Jordão deste conjunto é satisfatório .
Lema 3. Seja uma curva retificável em e seja uma função contínua. Então
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e
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são onde está a oscilação de na faixa de .
Agora estamos em posição de provar o Teorema:
Prova do Teorema. Let Ser um número real positivo arbitrário. Por continuidade de , e compactação de , dado , existe tal que sempre que dois pontos de são menos do que separados, suas imagens sob são menos do que separados. Para isso , considere a decomposição dada pelo Lema anterior. Nós temos
Coloque .
Para cada um , a curva é um quadrado orientado positivamente, para o qual a fórmula de Green é válida. Portanto
Cada ponto de uma região de fronteira está a uma distância não maior do que de . Assim, se for a união de todas as regiões de fronteira, então ; portanto , pelo Lema 2. Observe que
Isso produz
Podemos também escolher de modo que o RHS da última desigualdade seja
A observação no início desta prova implica que as oscilações de e em todas as regiões de fronteira são no máximo . Nós temos
Por Lema 1 (iii),
Combinando isso, finalmente conseguimos
para alguns . Uma vez que isso é verdade para todos , estamos prontos.
Validade sob diferentes hipóteses
As hipóteses do último teorema não são as únicas sob as quais a fórmula de Green é verdadeira. Outro conjunto comum de condições é o seguinte:
As funções ainda são consideradas contínuas. No entanto, agora exigimos que eles sejam diferenciáveis por Fréchet em todos os pontos de . Isso implica na existência de todas as derivadas direcionais, em particular , onde, como de costume, é a base ordenada canônica de . Além disso, exigimos que a função seja integrável a Riemann .
Como corolário disso, obtemos o Teorema Integral de Cauchy para curvas de Jordan retificáveis:
Teorema (Cauchy). Se for uma curva de Jordan retificável e se for um mapeamento holomórfico contínuo em toda a região interna de , então
a integral sendo uma integral de contorno complexa.
Prova. Consideramos o plano complexo como . Agora, defina para que essas funções sejam claramente contínuas. É bem conhecido que e são Fréchet-diferenciável e que satisfazem as equações de Cauchy-Riemann: .
Agora, analisando as somas usadas para definir a integral de contorno complexa em questão, é fácil perceber que
as integrais no RHS sendo integrais de linha usuais. Essas observações nos permitem aplicar o Teorema de Green a cada uma dessas integrais de linha, finalizando a prova.
Regiões multiplamente conectadas
Teorema. Sejam as curvas de Jordan retificáveis positivamente orientadas para satisfazer
onde está a região interna de . Deixar
Suponha que e sejam funções contínuas cuja restrição seja diferenciável de Fréchet. Se a função
é Riemann-integrable over , então
Relação com o teorema de Stokes
O teorema de Green é um caso especial do teorema de Kelvin-Stokes , quando aplicado a uma região no plano.
Podemos aumentar o campo bidimensional em um campo tridimensional com um componente z que é sempre 0. Escreva F para a função vetorial avaliada . Comece com o lado esquerdo do teorema de Green:
Teorema de Kelvin-Stokes:
A superfície é apenas a região no plano , com a unidade normal definida (por convenção) para ter um componente z positivo, a fim de coincidir com as definições de "orientação positiva" para ambos os teoremas.
A expressão dentro da integral torna-se
Assim, obtemos o lado direito do teorema de Green
O teorema de Green também é um resultado direto do teorema geral de Stokes usando formas diferenciais e derivadas externas :
Relação com o teorema da divergência
Considerando apenas campos vetoriais bidimensionais, o teorema de Green é equivalente à versão bidimensional do teorema da divergência :
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onde é a divergência no campo vetorial bidimensional e é o vetor normal da unidade que aponta para fora na fronteira.
Para ver isso, considere a normal da unidade no lado direito da equação. Visto que no teorema de Green é um vetor apontando tangencial ao longo da curva, e a curva C é a curva positivamente orientada (isto é, no sentido anti-horário) ao longo da fronteira, uma normal externa seria um vetor que aponta 90 ° à direita dela; uma escolha seria . O comprimento desse vetor é Tão
Comece com o lado esquerdo do teorema de Green:
Aplicando o teorema da divergência bidimensional com , obtemos o lado direito do teorema de Green:
Cálculo de área
O teorema de Green pode ser usado para calcular a área por integral de linha. A área de uma região plana é dada por
Escolha e para que , a área seja dada por
Fórmulas possíveis para a área de incluir
História
Recebeu o nome de George Green , que afirmou um resultado semelhante em um artigo de 1828 intitulado Um ensaio sobre a aplicação da análise matemática às teorias da eletricidade e do magnetismo . Em 1846, Augustin-Louis Cauchy publicou um artigo declarando o teorema de Green como a penúltima frase. Esta é de fato a primeira versão impressa do teorema de Green na forma que aparece nos livros didáticos modernos. Bernhard Riemann deu a primeira prova do teorema de Green em sua dissertação de doutorado sobre a teoria das funções de uma variável complexa.
Veja também
Referências
Leitura adicional
links externos