Taxas relacionadas - Related rates

No cálculo diferencial , os problemas de taxas relacionados envolvem encontrar uma taxa na qual uma quantidade muda, relacionando essa quantidade a outras quantidades cujas taxas de mudança são conhecidas. A taxa de mudança é geralmente de acordo com o tempo . Como a ciência e a engenharia freqüentemente relacionam quantidades entre si, os métodos de taxas relacionadas têm amplas aplicações nesses campos. A diferenciação em relação ao tempo ou a uma das outras variáveis ​​requer a aplicação da regra da cadeia , uma vez que a maioria dos problemas envolve várias variáveis.

Fundamentalmente, se uma função é definida de modo que , então a derivada da função pode ser tomada em relação a outra variável. Assumimos que é uma função de , ou seja . Então , então ${\ displaystyle F}$${\ displaystyle F = f (x)}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle t}$${\ displaystyle x = g (t)}$${\ displaystyle F = f (g (t))}$

${\ displaystyle F '(t) = f' (g (t)) \ cdot g '(t)}$

Escrito em notação Leibniz, é:

${\ displaystyle {\ frac {dF} {dt}} = {\ frac {df} {dx}} \ cdot {\ frac {dx} {dt}}.}$

Assim, se for conhecido como muda em relação a , então podemos determinar como muda em relação a e vice-versa. Podemos estender esta aplicação da regra da cadeia com as regras de cálculo de soma, diferença, produto e quociente, etc. ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle t}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle t}$

Por exemplo, se então ${\ displaystyle F (x) = G (y) + H (z)}$

${\ displaystyle {\ frac {dF} {dx}} \ cdot {\ frac {dx} {dt}} = {\ frac {dG} {dy}} \ cdot {\ frac {dy} {dt}} + { \ frac {dH} {dz}} \ cdot {\ frac {dz} {dt}}.}$

Procedimento

A maneira mais comum de abordar problemas de taxas relacionados é a seguinte:

1. Identifique as variáveis conhecidas , incluindo taxas de mudança e a taxa de mudança que pode ser encontrada. (Desenhar uma imagem ou representação do problema pode ajudar a manter tudo em ordem)
2. Construa uma equação relacionando as quantidades cujas taxas de variação são conhecidas às quantidades cuja taxa de variação deve ser encontrada.
3. Diferencie os dois lados da equação em relação ao tempo (ou outra taxa de mudança). Freqüentemente, a regra da cadeia é empregada nesta etapa.
4. Substitua as taxas de mudança conhecidas e as quantidades conhecidas na equação.
5. Resolva a taxa de mudança desejada.

Os erros neste procedimento são frequentemente causados ​​pela inserção de valores conhecidos para as variáveis antes (em vez de depois) de encontrar a derivada em relação ao tempo. Isso produzirá um resultado incorreto, pois se esses valores forem substituídos pelas variáveis ​​antes da diferenciação, essas variáveis ​​se tornarão constantes; e quando a equação é diferenciada, zeros aparecem nos lugares de todas as variáveis ​​para as quais os valores foram inseridos.

Exemplos

Exemplo de escada inclinada

Uma escada de 10 metros está encostada na parede de um edifício e a base da escada desliza para longe do edifício a uma taxa de 3 metros por segundo. Quão rápido o topo da escada está deslizando para baixo na parede quando a base da escada está a 6 metros da parede?

A distância entre a base da escada e a parede, x , e a altura da escada na parede, y , representam os lados de um triângulo retângulo com a escada como hipotenusa, h . O objetivo é encontrar dy / dt , a taxa de variação de y em relação ao tempo, t , quando h , x e dx / dt , a taxa de variação de x , são conhecidas.

Passo 1:

${\ displaystyle x = 6}$

${\ displaystyle h = 10}$

${\ displaystyle {\ frac {dx} {dt}} = 3}$

${\ displaystyle {\ frac {dh} {dt}} = 0}$

${\ displaystyle {\ frac {dy} {dt}} = {\ text {?}}}$

Etapa 2: a partir do teorema de Pitágoras , a equação

${\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} = h ^ {2}, \,}$

descreve a relação entre x , y e h , para um triângulo retângulo. Diferenciar os dois lados desta equação em relação ao tempo, t , resulta

${\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} (x ^ {2} + y ^ {2}) = {\ frac {d} {dt}} (h ^ {2})}$

Etapa 3: quando resolvido para a taxa de mudança desejada, dy / dt , nos dá

${\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} (x ^ {2}) + {\ frac {d} {dt}} (y ​​^ {2}) = {\ frac {d} {dt}} ( h ^ {2})}$

${\ displaystyle (2x) {\ frac {dx} {dt}} + (2y) {\ frac {dy} {dt}} = (2h) {\ frac {dh} {dt}}}$

${\ displaystyle x {\ frac {dx} {dt}} + y {\ frac {dy} {dt}} = h {\ frac {dh} {dt}}}$

${\ displaystyle {\ frac {dy} {dt}} = {\ frac {h {\ frac {dh} {dt}} - x {\ frac {dx} {dt}}} {y}}.}$

Etapa 4 e 5: o uso das variáveis ​​da etapa 1 nos dá:

${\ displaystyle {\ frac {dy} {dt}} = {\ frac {h {\ frac {dh} {dt}} - x {\ frac {dx} {dt}}} {y}}.}$

${\ displaystyle {\ frac {dy} {dt}} = {\ frac {10 \ times 0-6 \ times 3} {y}} = - {\ frac {18} {y}}.}$

Resolver para y usando o Teorema de Pitágoras fornece:

${\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} = h ^ {2}}$

${\ displaystyle 6 ^ {2} + y ^ {2} = 10 ^ {2}}$

${\ displaystyle y = 8}$

Conectando 8 para a equação:

${\ displaystyle - {\ frac {18} {y}} = - {\ frac {18} {8}} = - {\ frac {9} {4}}}$

É geralmente assumido que os valores negativos representam a direção para baixo. Ao fazer isso, o topo da escada desliza para baixo na parede a uma taxa de 9 ⁄ 4 metros por segundo.

Exemplos de física

Como uma quantidade física geralmente depende de outra, que, por sua vez, depende de outras, como o tempo, os métodos de taxas relacionadas têm amplas aplicações na Física. Esta seção apresenta um exemplo de cinemática de taxas relacionadas e indução eletromagnética .

Exemplo de física I: cinemática relativa de dois veículos

Um veículo está indo para o norte e atualmente localizado em (0,3); o outro veículo é dirigido para oeste e atualmente localizado em (4,0). A regra da cadeia pode ser usada para descobrir se eles estão se aproximando ou se afastando.

Por exemplo, pode-se considerar o problema cinemático em que um veículo está indo para o oeste em direção a uma interseção a 80 milhas por hora, enquanto outro está indo para o norte longe da interseção a 60 milhas por hora. Pode-se perguntar se os veículos estão se aproximando ou se afastando e a que taxa no momento em que o veículo no sentido norte está a 3 milhas ao norte da interseção e o veículo no sentido oeste está a 4 milhas a leste da interseção.

Grande ideia: use a regra da cadeia para calcular a taxa de variação da distância entre dois veículos.

Plano:

1. Escolha o sistema de coordenadas
2. Identificar variáveis
3. Desenhar
4. Grande ideia: use a regra da cadeia para calcular a taxa de variação da distância entre dois veículos
5. Expresse c em termos de x e y via teorema de Pitágoras
6. Expressar dc / dt usando a regra da cadeia em termos de dx / d t e dy / dt
7. Substitua em x , y , dx / dt , dy / dt
8. Simplificar.

Escolha o sistema de coordenadas: Deixe o eixo y apontar para o norte e o eixo x apontar para o leste.

Identifique as variáveis: Defina y ( t ) como a distância do veículo rumo ao norte da origem ex ( t ) como a distância do veículo rumo ao oeste a partir da origem.

Expresse c em termos de x e y por meio do teorema de Pitágoras:

${\ displaystyle c = (x ^ {2} + y ^ {2}) ^ {1/2}}$

Expresse dc / dt usando a regra da cadeia em termos de dx / dt e dy / dt:

${\ displaystyle {\ frac {dc} {dt}} = {\ frac {d} {dt}} (x ^ {2} + y ^ {2}) ^ {1/2}}$	Aplicar operador derivado a toda a função
${\ displaystyle = {\ frac {1} {2}} (x ^ {2} + y ^ {2}) ^ {- 1/2} {\ frac {d} {dt}} (x ^ {2} + y ^ {2})}$	A raiz quadrada é função externa; A soma dos quadrados está dentro da função
${\ displaystyle = {\ frac {1} {2}} (x ^ {2} + y ^ {2}) ^ {- 1/2} \ left [{\ frac {d} {dt}} (x ^ {2}) + {\ frac {d} {dt}} (y ​​^ {2}) \ direita]}$	Distribuir operador de diferenciação
${\ displaystyle = {\ frac {1} {2}} (x ^ {2} + y ^ {2}) ^ {- 1/2} \ left [2x {\ frac {dx} {dt}} + 2y {\ frac {dy} {dt}} \ right]}$	Aplique a regra da cadeia a x ( t ) e y ( t )}
${\ displaystyle = {\ frac {x {\ frac {dx} {dt}} + y {\ frac {dy} {dt}}} {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}}} }$	Simplificar.

Substitua em x = 4 mi, y = 3 mi, dx / dt = −80 mi / h, dy / dt = 60 mi / h e simplifique

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {dc} {dt}} & = {\ frac {4 {\ text {mi}} \ cdot (-80 {\ text {mi}} / {\ text { hr}}) + 3 {\ text {mi}} \ cdot (60) {\ text {mi}} / {\ text {hr}}} {\ sqrt {(4 {\ text {mi}}) ^ { 2} + (3 {\ text {mi}}) ^ {2}}}} \\ & = {\ frac {-320 {\ text {mi}} ^ {2} / {\ text {hr}} + 180 {\ text {mi}} ^ {2} / {\ text {hr}}} {5 {\ text {mi}}}} \\ & = {\ frac {-140 {\ text {mi}} ^ {2} / {\ text {hr}}} {5 {\ text {mi}}}} \\ & = - 28 {\ text {mi}} / {\ text {hr}} \ end {alinhado}} }$

Consequentemente, os dois veículos estão se aproximando a uma taxa de 28 mi / h.

Exemplo de Física II: Indução eletromagnética de loop condutor girando em campo magnético

O fluxo magnético através de um loop de área A cuja normal está em um ângulo θ em relação a um campo magnético de força B é

${\ displaystyle \ Phi _ {B} = BA \ cos (\ theta),}$

A lei de indução eletromagnética de Faraday afirma que a força eletromotriz induzida é a taxa negativa de variação do fluxo magnético através de um circuito condutor. ${\ displaystyle {\ mathcal {E}}}$${\ displaystyle \ Phi _ {B}}$

${\ displaystyle {\ mathcal {E}} = - {{d \ Phi _ {B}} \ over dt},}$

Se a área do loop A e o campo magnético B forem mantidos constantes, mas o loop for girado de modo que o ângulo θ seja uma função conhecida do tempo, a taxa de mudança de θ pode estar relacionada à taxa de mudança de (e, portanto, a eletromotriz força) tomando a derivada de tempo da relação de fluxo ${\ displaystyle \ Phi _ {B}}$

${\ displaystyle {\ mathcal {E}} = - {\ frac {d \ Phi _ {B}} {dt}} = BA \ sin \ theta {\ frac {d \ theta} {dt}}}$

Se, por exemplo, o loop está girando a uma velocidade angular constante ω , de modo que θ  =  ωt , então

${\ displaystyle {\ mathcal {E}} = \ omega BA \ sin \ omega t}$

Referências