Cinemática - Kinematics

A cinemática é um subcampo da física, desenvolvido na mecânica clássica , que descreve o movimento de pontos, corpos (objetos) e sistemas de corpos (grupos de objetos) sem considerar as forças que os fazem se mover. A cinemática, como um campo de estudo, é freqüentemente referida como a "geometria do movimento" e ocasionalmente é vista como um ramo da matemática. Um problema de cinemática começa descrevendo a geometria do sistema e declarando as condições iniciais de quaisquer valores conhecidos de posição, velocidade e / ou aceleração de pontos dentro do sistema. Então, usando argumentos da geometria, a posição, velocidade e aceleração de quaisquer partes desconhecidas do sistema podem ser determinadas. O estudo de como as forças agem sobre os corpos se enquadra na cinética , não na cinemática. Para obter mais detalhes, consulte a dinâmica analítica .

A cinemática é usada na astrofísica para descrever o movimento de corpos celestes e coleções de tais corpos. Na engenharia mecânica , robótica e biomecânica, a cinemática é usada para descrever o movimento de sistemas compostos por partes unidas (sistemas multi-link), como um motor , um braço robótico ou o esqueleto humano .

As transformações geométricas, também chamadas de transformações rígidas , são usadas para descrever o movimento de componentes em um sistema mecânico , simplificando a derivação das equações de movimento. Eles também são fundamentais para a análise dinâmica .

A análise cinemática é o processo de medição das grandezas cinemáticas usadas para descrever o movimento. Em engenharia, por exemplo, a análise cinemática pode ser usada para encontrar a amplitude de movimento para um determinado mecanismo e trabalhar ao contrário, usando a síntese cinemática para projetar um mecanismo para uma amplitude de movimento desejada. Além disso, a cinemática aplica a geometria algébrica ao estudo da vantagem mecânica de um sistema ou mecanismo mecânico .

Etimologia do termo

O termo cinemática é a versão em Inglês AM Ampère 's cinématique , que ele construiu a partir do grego κίνημα kinema ( 'movimento, movimento'), a própria derivada de κινεῖν kinein ( 'mover').

Cinemática e cinématique estão relacionadas com a palavra francesa cinéma, mas nenhuma delas é derivada diretamente. No entanto, eles compartilham uma raiz em comum, já que cinéma veio da forma abreviada de cinématographe, "projetor de cinema e câmera", mais uma vez da palavra grega para movimento e do grego γρᾰ́φω grapho ("escrever").

Cinemática da trajetória de uma partícula em um referencial não rotativo

Quantidades cinemáticas de uma partícula clássica: massa m , posição r , velocidade v , aceleração a .
Vetor de posição r , sempre aponta radialmente a partir da origem.
Vetor velocidade v , sempre tangente à trajetória do movimento.
Vetor de aceleração a , não paralelo ao movimento radial, mas desviado pelas acelerações angular e de Coriolis, nem tangente ao caminho, mas desviado pelas acelerações centrípeta e radial.
Vetores cinemáticos em coordenadas polares planas. Observe que a configuração não está restrita ao espaço 2D, mas a um plano em qualquer dimensão superior.

A cinemática de partículas é o estudo da trajetória das partículas. A posição de uma partícula é definida como o vetor de coordenadas da origem de um quadro de coordenadas até a partícula. Por exemplo, considere uma torre a 50 m ao sul de sua casa, onde o quadro de coordenadas está centralizado em sua casa, de modo que o leste esteja na direção do eixo x e o norte esteja na direção do eixo y , então a coordenada o vetor para a base da torre é r = (0, −50 m, 0). Se a torre tiver 50 m de altura e essa altura for medida ao longo do eixo z , o vetor de coordenadas para o topo da torre é r = (0, −50 m, 50 m) .

No caso mais geral, um sistema de coordenadas tridimensional é usado para definir a posição de uma partícula. No entanto, se a partícula for restringida a se mover dentro de um plano, um sistema de coordenadas bidimensional é suficiente. Todas as observações em física são incompletas sem serem descritas com respeito a um referencial.

O vetor de posição de uma partícula é um vetor desenhado desde a origem do referencial até a partícula. Ele expressa a distância do ponto da origem e sua direção a partir da origem. Em três dimensões, o vetor de posição pode ser expresso como

onde , e são as coordenadas cartesianas e , e são vectores unitários ao longo da , e eixos de coordenadas, respectivamente. A magnitude do vetor posição fornece a distância entre o ponto e a origem.
Os cossenos de
direção do vetor de posição fornecem uma medida quantitativa de direção. Em geral, o vetor de posição de um objeto dependerá do quadro de referência; quadros diferentes levarão a valores diferentes para o vetor de posição.

A trajetória de uma partícula é uma função vetorial do tempo , que define a curva traçada pela partícula em movimento, dada por

onde , e descrevem cada coordenada da posição da partícula, como função do tempo.
A distância percorrida é sempre maior ou igual ao deslocamento.

Velocidade e velocidade

A velocidade de uma partícula é uma grandeza vetorial que descreve a magnitude e também a direção do movimento da partícula. Mais matematicamente, a taxa de variação do vetor de posição de um ponto, em relação ao tempo, é a velocidade do ponto. Considere a razão formada pela divisão da diferença de duas posições de uma partícula pelo intervalo de tempo. Esta razão é chamada de velocidade média ao longo desse intervalo de tempo e é definida como

onde é a mudança no vetor de posição durante o intervalo de tempo . No limite em que o intervalo de tempo se aproxima de zero, a velocidade média se aproxima da velocidade instantânea, definida como a derivada do tempo do vetor posição,
onde o ponto denota uma derivada em relação ao tempo (por exemplo ). Assim, a velocidade de uma partícula é a taxa de mudança de sua posição no tempo. Além disso, essa velocidade é
tangente à trajetória da partícula em todas as posições ao longo de seu caminho. Observe que, em um quadro de referência não rotativo, as derivadas das direções das coordenadas não são consideradas, pois suas direções e magnitudes são constantes.

A velocidade de um objeto é a magnitude de sua velocidade. É uma quantidade escalar:

onde é o comprimento do arco medido ao longo da trajetória da partícula. O comprimento do arco deve sempre aumentar à medida que a partícula se move. Portanto, é não negativo, o que implica que a velocidade também não é negativa.

Aceleração

O vetor velocidade pode mudar em magnitude e direção ou ambos ao mesmo tempo. Conseqüentemente, a aceleração é responsável tanto pela taxa de mudança da magnitude do vetor de velocidade quanto pela taxa de mudança de direção desse vetor. O mesmo raciocínio usado em relação à posição de uma partícula para definir a velocidade, pode ser aplicado à velocidade para definir a aceleração. A aceleração de uma partícula é o vetor definido pela taxa de variação do vetor velocidade. A aceleração média de uma partícula em um intervalo de tempo é definida como a razão.

onde Δ v é a diferença no vetor velocidade e Δ t é o intervalo de tempo.

A aceleração da partícula é o limite da aceleração média conforme o intervalo de tempo se aproxima de zero, que é a derivada do tempo,

ou
Assim, a aceleração é a primeira derivada do vetor velocidade e a segunda derivada do vetor posição daquela partícula. Observe que, em um quadro de referência não rotativo, as derivadas das direções das coordenadas não são consideradas, pois suas direções e magnitudes são constantes.

A magnitude da aceleração de um objeto é a magnitude | a | de seu vetor de aceleração. É uma quantidade escalar:

Vetor de posição relativa

Um vetor de posição relativa é um vetor que define a posição de um ponto em relação a outro. É a diferença de posição dos dois pontos. A posição de um ponto A em relação a outro ponto B é simplesmente a diferença entre suas posições

que é a diferença entre os componentes de seus vetores de posição.

Se o ponto A tiver componentes de posição

Se o ponto B tiver componentes de posição

então, a posição do ponto A em relação ao ponto B é a diferença entre seus componentes:

Velocidade relativa

Velocidades relativas entre duas partículas na mecânica clássica.

A velocidade de um ponto em relação a outro é simplesmente a diferença entre suas velocidades

que é a diferença entre os componentes de suas velocidades.

Se o ponto A tiver componentes de velocidade e o ponto

B tiver componentes de velocidade , a velocidade do ponto A em relação ao ponto B é a diferença entre seus componentes:

Alternativamente, este resultado pode mesmo ser obtida pelo cálculo da derivada do tempo da posição relativa vector r B / A .

No caso em que a velocidade é próxima à velocidade da luz c (geralmente dentro de 95%), outro esquema de velocidade relativa chamado rapidez , que depende da razão de v para c , é usado na relatividade especial .

Aceleração relativa

A aceleração de um ponto C em relação a outro ponto B é simplesmente a diferença entre suas acelerações.

que é a diferença entre os componentes de suas acelerações.

Se o ponto C tem componentes de aceleração e o ponto

B tem componentes de aceleração, então a aceleração do ponto C em relação ao ponto B é a diferença entre seus componentes:

Alternativamente, este resultado pode mesmo ser obtida pelo cálculo da segunda derivada do tempo da posição relativa vector r B / A .

Supondo que as condições iniciais da posição, e velocidade no tempo sejam conhecidas, a primeira integração produz a velocidade da partícula em função do tempo.

Uma segunda integração produz seu caminho (trajetória),

Relações adicionais entre deslocamento, velocidade, aceleração e tempo podem ser derivadas. Uma vez que a aceleração é constante,

pode ser substituído na equação acima para dar:

Uma relação entre velocidade, posição e aceleração sem dependência explícita do tempo pode ser obtida resolvendo a aceleração média para o tempo e substituindo e simplificando

onde denota o
produto escalar , que é apropriado porque os produtos são escalares em vez de vetores.

O produto escalar pode ser substituído pelo cosseno do ângulo α entre os vetores (consulte Interpretação geométrica do produto escalar para obter mais detalhes) e os vetores por suas magnitudes, caso em que:

No caso de aceleração sempre na direção do movimento e a direção do movimento deve ser positiva ou negativa, o ângulo entre os vetores ( α ) é 0, portanto , e

Isso pode ser simplificado usando a notação para as magnitudes dos vetores, onde pode ser qualquer caminho curvilíneo tomado como a aceleração tangencial constante é aplicada ao longo desse caminho, então

Isso reduz as equações paramétricas de movimento da partícula a uma relação cartesiana de velocidade versus posição. Essa relação é útil quando o tempo é desconhecido. Também sabemos que ou é a área sob um gráfico de velocidade-tempo.

Gráfico de física de velocidade e tempo

Podemos adicionar a área superior e a área inferior. A área inferior é um retângulo, e a área de um retângulo é onde está a largura e é a altura. Neste caso e (observe que o aqui é diferente da aceleração ). Isso significa que a área inferior é . Agora vamos encontrar a área superior (um triângulo). A área de um triângulo é onde está a base e é a altura. Neste caso, e ou . Adicionar e resulta na equação resulta na equação . Esta equação é aplicável quando a velocidade final

v é desconhecida.
Figura 2: Velocidade e aceleração para movimento circular não uniforme: o vetor velocidade é tangencial à órbita, mas o vetor aceleração não é radialmente para dentro devido à sua componente tangencial a θ que aumenta a taxa de rotação: d ω / d t = | um q | / R .

Trajetórias de partículas em coordenadas polar-cilíndricas

É muitas vezes conveniente formular a trajectória de uma partícula de r ( t ) = ( x ( t ), y ( t ), z ( t )) através de coordenadas polares no X - Y plano. Nesse caso, sua velocidade e aceleração assumem uma forma conveniente.

Recorde-se que a trajectória de uma partícula P é definida pela sua coordenar vector r medida num quadro de referência fixo F . Conforme a partícula se move, seu vetor de coordenadas r ( t ) traça sua trajetória, que é uma curva no espaço, dada por:

onde i , j e k são os vetores unitários ao longo dos eixos X , Y e Z do referencial F , respectivamente.

Considere uma partícula P que se move apenas na superfície de um cilindro circular r ( t ) = constante, é possível alinhar o eixo Z da moldura fixa F com o eixo do cilindro. Então, o ângulo θ em torno deste eixo no plano X - Y pode ser usado para definir a trajetória como,

onde a distância constante do centro é denotada como R , e θ = θ ( t ) é uma função do tempo.

As coordenadas cilíndricas para r ( t ) podem ser simplificadas pela introdução dos vetores unitários radiais e tangenciais,

e seus derivados de tempo do cálculo elementar:

Usando esta notação, r ( t ) assume a forma,

Em geral, a trajetória r ( t ) não é restrita a ficar em um cilindro circular, então o raio R varia com o tempo e a trajetória da partícula em coordenadas polar-cilíndricas torna-se:
Onde R , θ e z podem ser funções de tempo continuamente diferenciáveis ​​e a notação de função é descartada para simplificar. O vetor de velocidade v P é a derivada do tempo da trajetória r ( t ), que produz:

Da mesma forma, a aceleração a P , que é a derivada no tempo da velocidade v P , é dada por:

O termo atua em direção ao centro da curvatura do caminho naquele ponto do caminho, é comumente chamado de aceleração centrípeta. O termo é chamado de aceleração de Coriolis.

Raio constante

Se a trajetória da partícula for restringida a se posicionar em um cilindro, então o raio R é constante e os vetores de velocidade e aceleração simplificam. A velocidade de v P é a derivada do tempo da trajetória r ( t ),

Trajetórias circulares planas

Cinemática da Maquinaria
Cada partícula na roda viaja em uma trajetória circular plana (Kinematics of Machinery, 1876).

Um caso especial de trajetória de uma partícula em um cilindro circular ocorre quando não há movimento ao longo do eixo Z :

onde R e z 0 são constantes. Neste caso, a velocidade v P é dada por:
onde é a
velocidade angular do vetor unitário e θ em torno do eixo z do cilindro.

A aceleração a P da partícula P é agora dada por:

Os componentes

são chamados, respectivamente, os
componentes radial e tangencial da aceleração.

A notação para velocidade angular e aceleração angular é frequentemente definida como

portanto, os componentes de aceleração radial e tangencial para trajetórias circulares também são escritos como

Trajetórias de pontos em um corpo em movimento no plano

O movimento dos componentes de um sistema mecânico é analisado anexando um referencial a cada peça e determinando como os vários referenciais se movem uns em relação aos outros. Se a rigidez estrutural das peças for suficiente, então sua deformação pode ser desprezada e transformações rígidas podem ser usadas para definir este movimento relativo. Isso reduz a descrição do movimento das várias partes de um sistema mecânico complicado a um problema de descrever a geometria de cada parte e a associação geométrica de cada parte em relação a outras partes.

Geometria é o estudo das propriedades de figuras que permanecem as mesmas enquanto o espaço é transformado de várias maneiras - mais tecnicamente, é o estudo de invariantes sob um conjunto de transformações. Essas transformações podem causar o deslocamento do triângulo no plano, deixando o ângulo do vértice e as distâncias entre os vértices inalterados. A cinemática é frequentemente descrita como geometria aplicada, onde o movimento de um sistema mecânico é descrito usando as transformações rígidas da geometria euclidiana.

As coordenadas de pontos em um plano são vetores bidimensionais em R 2 (espaço bidimensional). As transformações rígidas são aquelas que preservam a distância entre dois pontos quaisquer. O conjunto de transformações rígidas em um espaço n- dimensional é chamado de grupo euclidiano especial em R n , e denotado SE ( n ) .

Deslocamentos e movimento

Boulton e Watt Steam Engine
O movimento de cada um dos componentes do Motor a Vapor Boulton & Watt (1784) é modelado por um conjunto contínuo de deslocamentos rígidos.

A posição de um componente de um sistema mecânico em relação a outro é definida pela introdução de um quadro de referência , digamos M , em um que se move em relação a um quadro fixo, F, no outro. A transformação rígida, ou deslocamento, de M em relação a F define a posição relativa dos dois componentes. Um deslocamento consiste na combinação de uma rotação e uma translação .

O conjunto de todos os deslocamentos de M em relação a F é chamado de espaço de configuração de M. Uma curva suave de uma posição para outra neste espaço de configuração é um conjunto contínuo de deslocamentos, chamado de movimento de M em relação a F. O movimento de a corpo consiste em um conjunto contínuo de rotações e translações.

Representação matricial

A combinação de rotação e translação no plano R 2 pode ser representada por um certo tipo de matriz 3 × 3 conhecida como transformada homogênea. A transformação homogênea 3 × 3 é construída a partir de uma matriz de rotação 2 × 2 A ( φ ) e o vetor de translação 2 × 1 d = ( d x , d y ), como:

Essas transformadas homogêneas realizam transformações rígidas nos pontos do plano z = 1, ou seja, nos pontos com coordenadas r = ( x , y , 1).

Em particular, deixa r definir as coordenadas de pontos num quadro de referência H coincidente com um caixilho fixo F . Então, quando a origem de M é deslocada pelo vetor de translação d em relação à origem de F e girada pelo ângulo φ em relação ao eixo x de F , as novas coordenadas em F dos pontos em M são dadas por:

As transformações homogêneas representam transformações afins . Esta formulação é necessário porque uma tradução não é uma transformação linear de R 2 . No entanto, usando geometria projetiva, de modo que R 2 seja considerado um subconjunto de R 3 , as traduções tornam-se transformações lineares afins.

Tradução pura

Se um corpo rígido se move de forma que seu quadro de referência M não gire ( θ = 0) em relação ao quadro fixo F , o movimento é chamado de translação pura. Nesse caso, a trajetória de cada ponto do corpo é um deslocamento da trajetória d ( t ) da origem de M, ou seja:

Assim, para corpos em translação pura, a velocidade e a aceleração de cada ponto P no corpo são dadas por:

onde o ponto indica a derivada em relação ao tempo e v O e um S são a velocidade e a aceleração, respectivamente, da origem do movimento quadro M . Lembre-se de que o vetor de coordenadas p em M é constante, então sua derivada é zero.

Rotação de um corpo em torno de um eixo fixo

Figura 1: O vetor de velocidade angular Ω aponta para cima para rotação no sentido anti-horário e para baixo para rotação no sentido horário, conforme especificado pela regra da mão direita . A posição angular θ ( t ) muda com o tempo a uma taxa ω ( t ) = d θ / d t .

Cinemática rotacional ou angular é a descrição da rotação de um objeto. No que se segue, a atenção se restringe à simples rotação em torno de um eixo de orientação fixa. O eixo z foi escolhido por conveniência.

Posição

Isso permite a descrição de uma rotação como a posição angular de um referencial plano M em relação a um F fixo sobre este eixo z compartilhado . As coordenadas p = ( x , y ) em M estão relacionadas às coordenadas P = (X, Y) em F pela equação da matriz:

Onde

é a matriz de rotação que define a posição angular de M em relação a F em função do tempo.

Velocidade

Se o ponto p não se move em M , sua velocidade em F é dada por

É conveniente eliminar as coordenadas p e escrever isso como uma operação na trajetória P ( t ),
onde a matriz
é conhecido como a velocidade angular de matriz M em relação ao F . O parâmetro ω é a derivada do tempo do ângulo θ, ou seja:

Aceleração

A aceleração de P ( t ) em F é obtida como a derivada da velocidade no tempo,

que se torna
Onde
é a matriz de aceleração angular de M em F , e

A descrição da rotação envolve estas três quantidades:

  • Posição angular : a distância orientada de uma origem selecionada no eixo de rotação a um ponto de um objeto é um vetor r ( t ) localizando o ponto. O vetor r ( t ) tem alguma projeção (ou, equivalentemente, algum componente) r ( t ) em um plano perpendicular ao eixo de rotação. Então, a posição angular desse ponto é o ângulo θ de um eixo de referência (normalmente o eixo x positivo ) para o vetor r ( t ) em um sentido de rotação conhecido (normalmente dado pela regra da mão direita ).
  • Velocidade angular : a velocidade angular ω é a taxa na qual a posição angular θ muda em relação ao tempo t :
    A velocidade angular é representada na Figura 1 por um vetor Ω apontando ao longo do eixo de rotação com magnitude ω e sentido determinado pelo sentido de rotação dado pela regra da mão direita .
  • Aceleração angular : a magnitude da aceleração angular α é a taxa na qual a velocidade angular ω muda em relação ao tempo t :

As equações da cinemática translacional podem ser facilmente estendidas para a cinemática rotacional plana para aceleração angular constante com trocas variáveis ​​simples:

Aqui θ i e θ f são, respectivamente, as posições angulares inicial e final, ω i e ω f são, respectivamente, as velocidades angulares inicial e final, e α é a aceleração angular constante. Embora a posição no espaço e a velocidade no espaço sejam ambos vetores verdadeiros (em termos de suas propriedades sob rotação), assim como a velocidade angular, o próprio ângulo não é um vetor verdadeiro.

Trajetórias de pontos no corpo movendo-se em três dimensões

Fórmulas importantes em cinemática definem a velocidade e aceleração de pontos em um corpo em movimento à medida que traçam trajetórias no espaço tridimensional. Isso é particularmente importante para o centro de massa de um corpo, que é usado para derivar equações de movimento usando a segunda lei de Newton ou as equações de Lagrange .

Posição

Para definir essas fórmulas, o movimento de um componente B de um sistema mecânico é definido pelo conjunto de rotações [A ( t )] e translações d ( t ) reunidas na transformação homogênea [T ( t )] = [A ( t ), d ( t )]. Se p são as coordenadas de um ponto P em B medido no referencial móvel M , então a trajetória deste ponto traçado em F é dada por:

Essa notação não faz distinção entre P = (X, Y, Z, 1) e P = (X, Y, Z), o que é claro no contexto.

Esta equação para a trajetória de P pode ser invertida para calcular o vetor de coordenadas p em M como:

Essa expressão usa o fato de que a transposta de uma matriz de rotação também é sua inversa, ou seja:

Velocidade

A velocidade do ponto P ao longo de sua trajetória P ( t ) é obtida como a derivada do tempo deste vetor posição,

O ponto denota a derivada em relação ao tempo; porque p é constante, sua derivada é zero.

Esta fórmula pode ser modificado para se obter a velocidade de P , operando na sua trajectória P ( t ), medida no caixilho fixo F . Substituindo a transformada inversa de p na equação de velocidade resulta:

A matriz [ S ] é dada por:
Onde
é a matriz de velocidade angular.

Multiplicando pelo operador [ S ], a fórmula para a velocidade v P assume a forma:

onde o vetor ω é o vetor velocidade angular obtido das componentes da matriz [Ω]; o vetor
é a posição de P em relação à origem O do quadro móvel M ; e
é a velocidade da origem ó .

Aceleração

A aceleração de um ponto P em um corpo em movimento B é obtida como a derivada do tempo de seu vetor velocidade:

Esta equação pode ser expandida em primeiro lugar computando

e

A fórmula para a aceleração A P agora pode ser obtida como:

ou
onde α é o vetor de aceleração angular obtido da derivada da matriz de velocidade angular;
é o vetor de posição relativa (a posição de P em relação à origem O do quadro móvel M ); e
é a aceleração da origem do movimento quadro M .

Restrições cinemáticas

Restrições cinemáticas são restrições ao movimento dos componentes de um sistema mecânico. As restrições cinemáticas podem ser consideradas como tendo duas formas básicas, (i) restrições que surgem de dobradiças, controles deslizantes e juntas de came que definem a construção do sistema, chamadas restrições holonômicas , e (ii) restrições impostas à velocidade do sistema, como a restrição afiada dos patins de gelo em um plano plano, ou rolando sem escorregar de um disco ou esfera em contato com um plano, que são chamadas de restrições não holonômicas . A seguir estão alguns exemplos comuns.

Acoplamento cinemático

Um acoplamento cinemático restringe exatamente todos os 6 graus de liberdade.

Rolando sem escorregar

Um objeto que rola contra uma superfície sem escorregar obedece à condição de que a velocidade de seu centro de massa seja igual ao produto vetorial de sua velocidade angular com um vetor do ponto de contato até o centro de massa:

Para o caso de um objeto que não inclina nem vira, isso se reduz a .

Cordão inextensível

É o caso em que os corpos são conectados por um cordão idealizado que permanece em tensão e não pode mudar de comprimento. A restrição é que a soma dos comprimentos de todos os segmentos do cordão é o comprimento total e, portanto, a derivada de tempo dessa soma é zero. Um problema dinâmico desse tipo é o pêndulo . Outro exemplo é um tambor girado pela força da gravidade sobre um peso que cai preso à borda por uma corda inextensível. Um problema de equilíbrio (ou seja, não cinemático) deste tipo é a catenária .

Pares cinemáticos

Reuleaux chamou as conexões ideais entre os componentes que formam os pares cinemáticos da máquina . Ele distinguiu entre pares superiores que teriam contato de linha entre os dois links e pares inferiores que tinham contato de área entre os links. J. Phillips mostra que existem muitas maneiras de construir pares que não se enquadram nessa classificação simples.

Par inferior

Um par inferior é uma junta ideal, ou restrição holonômica, que mantém contato entre um ponto, linha ou plano em um corpo sólido em movimento (tridimensional) com uma linha de ponto ou plano correspondente no corpo sólido fixo. Existem os seguintes casos:

  • Um par de revoluções, ou junta articulada, requer uma linha, ou eixo, no corpo móvel para permanecer colinear com uma linha no corpo fixo, e um plano perpendicular a esta linha no corpo móvel mantém contato com um plano perpendicular semelhante no corpo fixo. Isso impõe cinco restrições ao movimento relativo dos elos, que, portanto, tem um grau de liberdade, que é a rotação pura em torno do eixo da dobradiça.
  • Uma junta prismática, ou controle deslizante, requer que uma linha, ou eixo, no corpo móvel permaneça colinear com uma linha no corpo fixo, e um plano paralelo a esta linha no corpo móvel mantenha contato com um plano paralelo semelhante em o corpo fixo. Isso impõe cinco restrições ao movimento relativo dos links, que, portanto, tem um grau de liberdade. Este grau de liberdade é a distância do slide ao longo da linha.
  • Uma junta cilíndrica requer que uma linha, ou eixo, no corpo móvel permaneça colinear com uma linha no corpo fixo. É uma combinação de uma junta rotativa e uma junta deslizante. Esta junta possui dois graus de liberdade. A posição do corpo em movimento é definida pela rotação em torno e pelo deslizamento ao longo do eixo.
  • Uma junta esférica, ou junta esférica, requer que um ponto no corpo móvel mantenha contato com um ponto no corpo fixo. Esta junta tem três graus de liberdade.
  • Uma junta plana requer que um plano no corpo em movimento mantenha contato com um plano no corpo fixo. Esta junta tem três graus de liberdade.

Pares mais altos

De um modo geral, um par mais alto é uma restrição que requer uma curva ou superfície no corpo em movimento para manter contato com uma curva ou superfície no corpo fixo. Por exemplo, o contato entre um came e seu seguidor é um par superior denominado junta de came . Da mesma forma, o contato entre as curvas involutas que formam os dentes engrenados de duas engrenagens são juntas de came.

Cadeias cinemáticas

Ilustração de uma articulação de quatro barras de Kinematics of Machinery, 1876
Ilustração de uma ligação de quatro barras de http://en.wikisource.org/wiki/The_Kinematics_of_Machinery Kinematics of Machinery, 1876

Corpos rígidos ("elos") conectados por pares cinemáticos ("juntas") são conhecidos como cadeias cinemáticas . Mecanismos e robôs são exemplos de cadeias cinemáticas. O grau de liberdade de uma cadeia cinemática é calculado a partir do número de elos e do número e tipo de juntas usando a fórmula de mobilidade . Essa fórmula também pode ser usada para enumerar as topologias de cadeias cinemáticas que possuem um determinado grau de liberdade, o que é conhecido como síntese de tipo no projeto da máquina.

Exemplos

Os planar um grau de liberdade ligações montadas a partir de N ligações e j dobradiças ou juntas deslizantes são:

  • N = 2, j = 1: uma articulação de duas barras que é a alavanca;
  • N = 4, j = 4: a ligação de quatro barras ;
  • N = 6, j = 7: uma ligação de seis barras . Este deve ter dois links ("links ternários") que suportam três juntas. Existem duas topologias distintas que dependem de como as duas ligações ternárias estão conectadas. Na topologia Watt , os dois links ternários têm uma junção comum; na topologia Stephenson , os dois links ternários não têm uma junção comum e são conectados por links binários.
  • N = 8, j = 10: ligação de oito barras com 16 topologias diferentes;
  • N = 10, j = 13: ligação de dez barras com 230 topologias diferentes;
  • N = 12, j = 16: ligação de doze barras com 6.856 topologias.

Para cadeias maiores e suas topologias de ligação, consulte RP Sunkari e LC Schmidt, "Síntese estrutural de cadeias cinemáticas planas adaptando um algoritmo do tipo Mckay", Mecanismo e Teoria da Máquina # 41, pp. 1021–1030 (2006).

Veja também

Referências

Leitura adicional

links externos