Integral de Riemann - Riemann integral

O integral como a área de uma região sob uma curva.

Uma sequência de Riemann soma sobre uma partição regular de um intervalo. O número no topo é a área total dos retângulos, que converge para a integral da função.

A partição não precisa ser regular, conforme mostrado aqui. A aproximação funciona desde que a largura de cada subdivisão tenda a zero.

No ramo da matemática conhecido como análise real , a integral de Riemann , criada por Bernhard Riemann , foi a primeira definição rigorosa da integral de uma função em um intervalo . Foi apresentado ao corpo docente da Universidade de Göttingen em 1854, mas não publicado em um jornal até 1868. Para muitas funções e aplicações práticas, a integral de Riemann pode ser avaliada pelo teorema fundamental do cálculo ou aproximada por integração numérica .

A integral de Riemann é inadequada para muitos propósitos teóricos. Algumas das deficiências técnicas na integração de Riemann podem ser remediadas com a integral de Riemann-Stieltjes , e a maioria desaparece com a integral de Lebesgue , embora esta última não tenha um tratamento satisfatório de integrais impróprios . A integral de calibre é uma generalização da integral de Lebesgue que está imediatamente mais próxima da integral de Riemann. Essas teorias mais gerais permitem a integração de funções mais "denteadas" ou "altamente oscilantes", cuja integral de Riemann não existe; mas as teorias dão o mesmo valor que a integral de Riemann quando ela existe.

Em ambientes educacionais, a integral de Darboux oferece uma definição mais simples que é mais fácil de trabalhar; pode ser usado para introduzir a integral de Riemann. A integral de Darboux é definida sempre que a integral de Riemann é, e sempre dá o mesmo resultado. Por outro lado, a integral de calibre é uma generalização simples, mas mais poderosa da integral de Riemann e levou alguns educadores a defender que ela deveria substituir a integral de Riemann em cursos introdutórios de cálculo.

Visão geral

Seja f uma função com valor real não negativa no intervalo [ a , b ] , e seja

${\ displaystyle S = \ left \ {(x, y) \,: \ a \ leq x \ leq b, 0 <y <f (x) \ right \}}$

seja a região do plano sob o gráfico da função fe acima do intervalo [ a , b ] (veja a figura no canto superior direito). Estamos interessados na medição da área de S . Depois de medi-la, denotaremos a área por:

${\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} f (x) \, dx.}$

A idéia básica da integral de Riemann é a utilização de aproximações muito simples para a área de S . Tomando aproximações cada vez melhores, podemos dizer que "no limite" obtemos exatamente a área de S sob a curva.

Onde f pode ser positivo e negativo, a definição de S é modificada de modo que a integral corresponda à área sinalizada sob o gráfico de f : ou seja, a área acima do eixo x menos a área abaixo do eixo x .

Definição

Partições de um intervalo

A partição de um intervalo [ a , b ] é uma sequência finita de números da forma

${\ displaystyle a = x_ {0} <x_ {1} <x_ {2} <\ dots <x_ {n} = b}$

Cada [ x _i , x _{i + 1} ] é chamado de subintervalo da partição. A malha ou norma de uma partição é definida como o comprimento do sub-intervalo mais longo, ou seja,

${\ displaystyle \ max \ left (x_ {i + 1} -x_ {i} \ right), \ quad i \ in [0, n-1].}$

Uma partição marcada P ( x , t ) de um intervalo [ a , b ] é uma partição junto com uma sequência finita de números t ₀ , ..., t _{n - 1} sujeita às condições que para cada i , t _i ∈ [ x _i , x _{i + 1} ] . Em outras palavras, é uma partição junto com um ponto distinto de cada subintervalo. A malha de uma partição marcada é a mesma de uma partição comum.

Suponha que duas partições P ( x , t ) e Q ( y , s ) sejam ambas partições do intervalo [ a , b ] . Dizemos que Q ( y , s ) é um refinamento de P ( x , t ) se para cada inteiro i , com i ∈ [0, n ] , existe um inteiro r ( i ) tal que x _i = y _{r ( i )} e tal que t _i = s _j para algum j com j ∈ [ r ( i ), r ( i + 1)) . Dito de forma mais simples, um refinamento de uma partição marcada quebra alguns dos subintervalos e adiciona marcações à partição quando necessário, assim, "refina" a precisão da partição.

Podemos transformar o conjunto de todas as partições marcadas em um conjunto direcionado , dizendo que uma partição marcada é maior ou igual a outra, se a primeira for um refinamento da última.

Soma de Riemann

Seja f uma função de valor real definida no intervalo [ a , b ] . A soma de Riemann de f em relação à partição marcada x ₀ , ..., x _n junto com t ₀ , ..., t _{n - 1} é

${\ displaystyle \ sum _ {i = 0} ^ {n-1} f (t_ {i}) \ left (x_ {i + 1} -x_ {i} \ right).}$

Cada termo da soma é o produto do valor da função em um determinado ponto e a duração de um intervalo. Consequentemente, cada termo representa a área (com sinal) de um retângulo com altura f ( t _i ) e largura x _{i + 1} - x _i . A soma de Riemann é a área (com sinal) de todos os retângulos.

Conceitos intimamente relacionados são as somas de Darboux inferior e superior . Estes são semelhantes às somas de Riemann, mas as marcas são substituídas pelo ínfimo e supremo (respectivamente) de f em cada subintervalo:

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} L (f, P) & = \ sum _ {i = 0} ^ {n-1} \ inf _ {t \ in [x_ {i}, x_ {i + 1} ]} f (t) (x_ {i + 1} -x_ {i}), \\ U (f, P) & = \ sum _ {i = 0} ^ {n-1} \ sup _ {t \ em [x_ {i}, x_ {i + 1}]} f (t) (x_ {i + 1} -x_ {i}). \ end {alinhado}}}$

Se f for contínuo, então as somas Darboux inferior e superior para uma partição não marcada são iguais à soma de Riemann para essa partição, onde as marcas são escolhidas para serem o mínimo ou máximo (respectivamente) de f em cada subintervalo. (Quando f é descontínuo em um subintervalo, pode não haver uma etiqueta que atinge o ínfimo ou supremo nesse subintervalo.) A integral de Darboux , que é semelhante à integral de Riemann, mas baseada nas somas de Darboux, é equivalente à integral de Riemann.

Integral de Riemann

Em termos gerais, a integral de Riemann é o limite das somas de Riemann de uma função conforme as partições ficam mais finas. Se o limite existe, então a função é considerada integrável (ou mais especificamente integrável de Riemann ). A soma de Riemann pode ser feita tão próxima quanto desejada da integral de Riemann tornando a partição suficientemente fina.

Um requisito importante é que a malha das partições deve se tornar cada vez menor, de modo que, no limite, seja zero. Se não fosse assim, não estaríamos obtendo uma boa aproximação da função em certos subintervalos. Na verdade, isso é suficiente para definir uma integral. Para ser mais específico, dizemos que a integral de Riemann de f é igual a s se a seguinte condição for válida:

Para todo ε > 0 , existe δ > 0 tal que para qualquer partição marcada x ₀ , ..., x _n e t ₀ , ..., t _{n - 1} cuja malha é menor que δ , temos

${\ displaystyle \ left | \ left (\ sum _ {i = 0} ^ {n-1} f (t_ {i}) (x_ {i + 1} -x_ {i}) \ right) -s \ right | <\ varepsilon.}$

Infelizmente, esta definição é muito difícil de usar. Isso ajudaria a desenvolver uma definição equivalente da integral de Riemann que seja mais fácil de trabalhar. Desenvolvemos esta definição agora, com uma prova de equivalência a seguir. Nossa nova definição diz que a integral de Riemann de f é igual a s se a seguinte condição for válida:

Para todo ε > 0 , existe uma partição marcada y ₀ , ..., y _m e r ₀ , ..., r _{m - 1} tal que para qualquer partição marcada x ₀ , ..., x _n e t ₀ , ..., t _{n - 1} que é um refinamento de y ₀ , ..., y _m e r ₀ , ..., r _{m - 1} , temos

${\ displaystyle \ left | \ left (\ sum _ {i = 0} ^ {n-1} f (t_ {i}) (x_ {i + 1} -x_ {i}) \ right) -s \ right | <\ varepsilon.}$

Ambos significam que, eventualmente, a soma de Riemann de f em relação a qualquer partição fica presa perto de s . Como isso é verdade, não importa o quão perto exigamos que as somas sejam aprisionadas, dizemos que as somas de Riemann convergem para s . Essas definições são, na verdade, um caso especial de um conceito mais geral, uma rede .

Como afirmamos anteriormente, essas duas definições são equivalentes. Em outras palavras, s funciona na primeira definição se e somente se s funciona na segunda definição. Para mostrar que a primeira definição implica a segunda, comece com um ε e escolha um δ que satisfaça a condição. Escolha qualquer partição marcada cuja malha seja menor que δ . Sua soma de Riemann está dentro de ε de s , e qualquer refinamento dessa partição também terá malha menor que δ , então a soma de Riemann do refinamento também estará dentro de ε de s .

Para mostrar que a segunda definição implica a primeira, é mais fácil usar a integral de Darboux . Primeiro, mostra-se que a segunda definição é equivalente à definição da integral de Darboux; para isso, consulte o artigo da Integral de Darboux . Agora mostraremos que uma função integrável de Darboux satisfaz a primeira definição. Fixe ε e escolha uma partição y ₀ , ..., y _{m de} modo que as somas de Darboux inferior e superior em relação a esta partição estejam dentro de ε / 2 do valor s da integral de Darboux. Deixar

${\ displaystyle r = 2 \ sup _ {x \ in [a, b]} | f (x) |.}$

Se r = 0 , então f é a função zero, que é claramente integrável de Darboux e Riemann com zero integral. Portanto, assumiremos que r > 0 . Se m > 1 , então escolhemos δ tal que

${\ displaystyle \ delta <\ min \ left \ {{\ frac {\ varepsilon} {2r (m-1)}}, \ left (y_ {1} -y_ {0} \ right), \ left (y_ { 2} -y_ {1} \ right), \ cdots, \ left (y_ {m} -y_ {m-1} \ right) \ right \}}$

Se m = 1 , então escolhemos δ como menor que um. Escolha uma partição marcada x ₀ , ..., x _n e t ₀ , ..., t _{n - 1} com malha menor que δ . Devemos mostrar que a soma de Riemann está dentro de ε de s .

Para ver isso, escolha um intervalo [ x _i , x _{i + 1} ] . Se este intervalo estiver contido em algum [ y _j , y _{j + 1} ] , então

${\ displaystyle m_ {j} <f (t_ {i}) <M_ {j}}$

onde m _j e M _j são, respectivamente, o ínfimo e o supremo de f on [ y _j , y _{j + 1} ] . Se todos os intervalos tivessem essa propriedade, isso concluiria a prova, porque cada termo na soma de Riemann seria limitado por um termo correspondente nas somas de Darboux, e escolhemos as somas de Darboux como próximas a s . Este é o caso quando m = 1 , então a prova está concluída nesse caso.

Portanto, podemos assumir que m > 1 . Nesse caso, é possível que um dos [ x _i , x _{i + 1} ] não esteja contido em nenhum [ y _j , y _{j + 1} ] . Em vez disso, ele pode se estender por dois dos intervalos determinados por y ₀ , ..., y _m . (Não pode atender a três intervalos porque δ é considerado menor do que o comprimento de qualquer intervalo.) Em símbolos, pode acontecer que

${\ displaystyle y_ {j} <x_ {i} <y_ {j + 1} <x_ {i + 1} <y_ {j + 2}.}$

(Podemos supor que todas as desigualdades são estritas porque, de outra forma, estaríamos no caso anterior por nossa suposição sobre o comprimento de δ .) Isso pode acontecer no máximo m - 1 vezes.

Para lidar com este caso, vamos estimar a diferença entre a soma de Riemann e a soma de Darboux subdividindo a partição x ₀ , ..., x _n em y _{j + 1} . O termo f ( t _i ) ( x _{i + 1} - x _i ) na soma de Riemann se divide em dois termos:

${\ displaystyle f \ left (t_ {i} \ right) \ left (x_ {i + 1} -x_ {i} \ right) = f \ left (t_ {i} \ right) \ left (x_ {i + 1} -y_ {j + 1} \ direita) + f \ esquerda (t_ {i} \ direita) \ esquerda (y_ {j + 1} -x_ {i} \ direita).}$

Suponha, sem perda de generalidade, que t _i ∈ [ y _j , y _{j + 1} ] . Então

${\ displaystyle m_ {j} <f (t_ {i}) <M_ {j},}$

portanto, este termo é limitado pelo termo correspondente na soma de Darboux para y _j . Para vincular o outro termo, observe que

${\ displaystyle x_ {i + 1} -y_ {j + 1} <\ delta <{\ frac {\ varepsilon} {2r (m-1)}},}$

Segue-se que, para alguns (na verdade, qualquer) t^*
_i∈ [ y _{j + 1} , x _{i + 1} ] ,

${\ displaystyle \ left | f \ left (t_ {i} \ right) -f \ left (t_ {i} ^ {*} \ right) \ right | \ left (x_ {i + 1} -y_ {j + 1} \ right) <{\ frac {\ varepsilon} {2 (m-1)}}.}$

Como isso acontece no máximo m - 1 vezes, a distância entre a soma de Riemann e a soma de Darboux é no máximo ε / 2 . Portanto, a distância entre a soma de Riemann es é no máximo  ε .

Exemplos

Seja a função que assume o valor 1 em cada ponto. Qualquer soma de Riemann de f em [0, 1] terá o valor 1, portanto a integral de Riemann de f em [0, 1] é 1. ${\ displaystyle f: [0,1] \ to \ mathbb {R}}$

Seja a função indicadora dos números racionais em [0, 1] ; ou seja, assume o valor 1 em números racionais e 0 em números irracionais. Esta função não possui uma integral de Riemann. Para provar isso, mostraremos como construir partições marcadas cujas somas de Riemann ficam arbitrariamente próximas de zero e de um. ${\ displaystyle I _ {\ mathbb {Q}}: [0,1] \ to \ mathbb {R}}$${\ displaystyle I _ {\ mathbb {Q}}}$

Para começar, sejam x ₀ , ..., x _n e t ₀ , ..., t _{n - 1} uma partição marcada (cada t _i está entre x _i e x _{i + 1} ). Escolha ε > 0 . O t _i já foi escolhido e não podemos alterar o valor de f nesses pontos. Mas se cortarmos a partição em pequenos pedaços ao redor de cada t _i , podemos minimizar o efeito do t _i . Então, escolhendo cuidadosamente as novas tags, podemos fazer com que o valor da soma de Riemann fique dentro de ε de zero ou um.

Nosso primeiro passo é cortar a partição. Existem n de t _i , e queremos que seu efeito total seja menor que ε . Se confinarmos cada um deles a um intervalo de comprimento menor que ε / n , então a contribuição de cada t _i para a soma de Riemann será no mínimo 0 · ε / ne no máximo 1 · ε / n . Isso faz com que a soma total seja pelo menos zero e no máximo ε . Portanto, seja δ um número positivo menor que ε / n . Se acontecer de dois dos t _i estarem dentro de δ um do outro, escolha δ menor. Se acontecer de algum t _i estar dentro de δ de algum x _j e t _i não for igual ax _j , escolha δ menor. Como existem apenas finitamente muitos t _i e x _j , podemos sempre escolher δ suficientemente pequeno.

Agora adicionamos dois cortes à partição para cada t _i . Um dos cortes estará em t _i - δ / 2 , e o outro estará em t _i + δ / 2 . Se um desses deixar o intervalo [0, 1], então o deixamos de fora. t _i será a tag correspondente ao subintervalo

${\ displaystyle \ left [t_ {i} - {\ frac {\ delta} {2}}, t_ {i} + {\ frac {\ delta} {2}} \ right].}$

Se t _i estiver diretamente no topo de um dos x _j , então vamos deixar t _i ser a etiqueta para ambos os intervalos:

${\ displaystyle \ left [t_ {i} - {\ frac {\ delta} {2}}, x_ {j} \ right], \ quad {\ text {e}} \ quad \ left [x_ {j}, t_ {i} + {\ frac {\ delta} {2}} \ direita].}$

Ainda temos que escolher tags para os outros subintervalos. Nós os escolheremos de duas maneiras diferentes. A primeira maneira é sempre escolher um ponto racional , de forma que a soma de Riemann seja a maior possível. Isso fará com que o valor da soma de Riemann seja pelo menos 1 - ε . A segunda maneira é sempre escolher um ponto irracional, de forma que a soma de Riemann seja a menor possível. Isso fará com que o valor da soma de Riemann seja no máximo ε .

Uma vez que começamos com uma partição arbitrária e terminamos tão próximos quanto desejávamos de zero ou um, é falso dizer que eventualmente ficamos presos perto de algum número s , então essa função não é Riemann integrável. No entanto, é Lebesgue integrável . No sentido de Lebesgue, sua integral é zero, uma vez que a função é zero em quase todos os lugares . Mas este é um fato que está além do alcance da integral de Riemann.

Existem exemplos ainda piores. é equivalente (isto é, igual em quase todos os lugares) a uma função integrável de Riemann, mas existem funções limitadas integráveis ​​não Riemann que não são equivalentes a nenhuma função integrável de Riemann. Por exemplo, seja C o conjunto Smith – Volterra – Cantor e I _C sua função indicadora. Porque C não é Jordan mensurável , I _C não é Riemann integrável. Além disso, nenhuma função g equivalente a I _C é Riemann integrável: g , como I _C , deve ser zero em um conjunto denso, então como no exemplo anterior, qualquer soma de Riemann de g tem um refinamento que está dentro de ε de 0 para qualquer número positivo  ε . Mas se a integral de Riemann de g existe, então ela deve ser igual à integral de Lebesgue de I _C , que é 1/2 . Portanto, g não é Riemann integrável. ${\ displaystyle I _ {\ mathbb {Q}}}$

Conceitos semelhantes

É comum definir a integral de Riemann como a integral de Darboux . Isso ocorre porque a integral de Darboux é tecnicamente mais simples e porque uma função é integrável por Riemann se e somente se for integrável por Darboux.

Alguns livros de cálculo não usam partições marcadas gerais, mas se limitam a tipos específicos de partições marcadas. Se o tipo de partição for muito limitado, algumas funções não integráveis ​​podem parecer integráveis.

Uma restrição popular é o uso de somas de Riemann "à esquerda" e "à direita". Em uma soma de Riemann à esquerda, t _i = x _i para todo i , e em uma soma de Riemann à direita, t _i = x _{i + 1} para todo i . Por si só, essa restrição não impõe um problema: podemos refinar qualquer partição de uma maneira que a torne uma soma à esquerda ou à direita, subdividindo-a em cada t _i . Em uma linguagem mais formal, o conjunto de todas as somas de Riemann à esquerda e o conjunto de todas as somas de Riemann à direita é final no conjunto de todas as partições marcadas.

Outra restrição popular é o uso de subdivisões regulares de um intervalo. Por exemplo, o n th subdivisão regular de [0, 1] consiste nos intervalos

${\ displaystyle \ left [0, {\ frac {1} {n}} \ right], \ left [{\ frac {1} {n}}, {\ frac {2} {n}} \ right], \ ldots, \ left [{\ frac {n-1} {n}}, 1 \ right].}$

Novamente, essa restrição por si só não impõe um problema, mas o raciocínio necessário para ver esse fato é mais difícil do que no caso das somas de Riemann à esquerda e à direita.

No entanto, combinar essas restrições, de modo que se usem apenas somas de Riemann à esquerda ou à direita em intervalos regulares, é perigoso. Se uma função é conhecida de antemão como integrável de Riemann, essa técnica fornecerá o valor correto da integral. Mas, sob essas condições, a função do indicador parecerá ser integrável em [0, 1] com integral igual a um: Cada ponto final de cada subintervalo será um número racional, então a função sempre será avaliada em números racionais e, portanto, será parecem ser sempre iguais a um. O problema com essa definição se torna aparente quando tentamos dividir a integral em duas partes. A seguinte equação deve ser válida: ${\ displaystyle I _ {\ mathbb {Q}}}$

${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {{\ sqrt {2}} - 1} I _ {\ mathbb {Q}} (x) \, dx + \ int _ {{\ sqrt {2}} - 1} ^ {1} I _ {\ mathbb {Q}} (x) \, dx = \ int _ {0} ^ {1} I _ {\ mathbb {Q}} (x) \, dx.}$

Se usarmos subdivisões regulares e somas de Riemann à esquerda ou à direita, então os dois termos à esquerda são iguais a zero, uma vez que todo ponto final exceto 0 e 1 será irracional, mas como vimos o termo à direita será igual a 1.

Conforme definido acima, a integral de Riemann evita esse problema recusando-se a integrar. A integral de Lebesgue é definida de forma que todas essas integrais sejam 0. ${\ displaystyle I _ {\ mathbb {Q}}.}$

Propriedades

Linearidade

A integral de Riemann é uma transformação linear; ou seja, se f e g são integráveis ​​de Riemann em [ a , b ] e α e β são constantes, então

${\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} (\ alpha f (x) + \ beta g (x)) \, dx = \ alpha \ int _ {a} ^ {b} f (x) \, dx + \ beta \ int _ {a} ^ {b} g (x) \, dx.}$

Como a integral de Riemann de uma função é um número, isso torna a integral de Riemann um funcional linear no espaço vetorial das funções integráveis ​​de Riemann.

Integrabilidade

Uma função limitada em um intervalo compacto [ a , b ] é Riemann integrável se e somente se for contínua em quase toda parte (o conjunto de seus pontos de descontinuidade tem medida zero , no sentido da medida de Lebesgue ). Isto é o Teorema de Lebesgue-Vitali (de caracterização das funções integráveis ​​de Riemann). Foi provado independentemente porGiuseppe Vitalie porHenri Lebesgueem 1907, e usa a noção demedida zero, mas não faz uso da medida geral ou integral de Lebesgue.

A condição de integrabilidade pode ser comprovada de várias maneiras, uma das quais é esboçada abaixo.

Prova

A prova é mais fácil usando a definição integral de Darboux de integrabilidade (formalmente, a condição de Riemann para integrabilidade) - uma função é Riemann integrável se e somente se as somas superior e inferior podem ser feitas arbitrariamente perto, escolhendo uma partição apropriada. Uma direção pode ser provada usando a definição de oscilação de continuidade: Para cada ε positivo , seja X ε o conjunto de pontos em [ a , b ] com oscilação de pelo menos ε . Uma vez que todo ponto onde f é descontínuo tem uma oscilação positiva e vice-versa, o conjunto de pontos em [ a , b ] , onde f é descontínuo é igual à união em { X 1 / n } para todos os números naturais n . Se este conjunto não tiver uma medida de Lebesgue zero , então pela aditividade contável da medida há pelo menos um tal n de modo que X 1 / n não tenha uma medida zero. Assim, há algum número positivo c tal que toda coleção contável de intervalos abertos cobrindo X 1 / n tem um comprimento total de pelo menos c . Em particular, isso também é verdadeiro para cada coleção finita de intervalos. Isso permanece verdadeiro também para X 1 / n menos um número finito de pontos (já que um número finito de pontos pode sempre ser coberto por uma coleção finita de intervalos com comprimento total arbitrariamente pequeno). Para cada partição de [ a , b ] , considere o conjunto de intervalos cujos interiores incluem pontos de X 1 / n . Esses interiores consistem em uma cobertura aberta finita de X 1 / n , possivelmente até um número finito de pontos (que podem cair nas bordas do intervalo). Portanto, esses intervalos têm um comprimento total de pelo menos c . Como nesses pontos f tem oscilação de pelo menos 1 / n , o ínfimo e o supremo de f em cada um desses intervalos diferem em pelo menos 1 / n . Assim, as somas superior e inferior de f diferem em pelo menos c / n . Como isso é verdade para todas as partições, f não é Riemann integrável. Agora provamos a direção inversa usando os conjuntos X ε definidos acima. Para cada ε , X ε é compacto , pois é limitado (por a e b ) e fechado: Para cada série de pontos em X ε que converge em [ a , b ] , seu limite também está em X ε . Isso ocorre porque toda vizinhança do ponto limite também é vizinhança de algum ponto em X ε e, portanto, f tem uma oscilação de pelo menos ε sobre ele. Logo, o ponto limite está em X ε . Agora, suponha que f seja contínuo em quase todos os lugares . Então, para cada ε , X ε tem medida de Lebesgue zero . Portanto, há uma coleção contável de intervalos abertos em [ a , b ] que é uma cobertura aberta de X ε , de modo que a soma de todos os seus comprimentos é arbitrariamente pequena. Como X ε é compacto , existe uma subcobertura finita - uma coleção finita de intervalos abertos em [ a , b ] com comprimento total arbitrariamente pequeno que, juntos, contêm todos os pontos em X ε . Denotamos esses intervalos { I ( ε ) i } , para 1 ≤ i ≤ k , para algum k natural . O complemento da união desses intervalos é ele próprio uma união de um número finito de intervalos, que denotamos { J ( ε ) i } (para 1 ≤ i ≤ k - 1 e possivelmente para i = k , k + 1 também ) Mostramos agora que para todo ε > 0 , existem somas superiores e inferiores cuja diferença é menor que ε , das quais segue a integrabilidade de Riemann. Para este fim, construímos uma partição de [ a , b ] da seguinte forma: Denote ε 1 = ε / 2 ( b - a ) e ε 2 = ε / 2 ( M - m ) , onde m e M são o ínfimo e o supremo de f em [ a , b ] . Uma vez que podemos escolher intervalos { I ( ε 1 ) i } com comprimento total arbitrariamente pequeno, nós os escolhemos para ter comprimento total menor que ε 2 . Cada um dos intervalos { J ( ε 1 ) i } tem uma interseção vazia com X ε 1 , então cada ponto nele tem uma vizinhança com oscilação menor que ε 1 . Essas vizinhanças consistem em uma cobertura aberta do intervalo e, como o intervalo é compacto, existe uma subcobertura finita delas. Esta subcobertura é uma coleção finita de intervalos abertos, que são subintervalos de J ( ε 1 ) i (exceto para aqueles que incluem um ponto de borda, para o qual tomamos apenas sua interseção com J ( ε 1 ) i ) . Tomamos os pontos de borda dos subintervalos para todos os J ( ε 1 ) i - s , incluindo os pontos de borda dos próprios intervalos, como nossa partição. Assim, a partição divide [ a , b ] em dois tipos de intervalos: Intervalos do último tipo (eles próprios subintervalos de algum J ( ε 1 ) i ). Em cada um deles, f oscila menos que ε 1 . Uma vez que o comprimento total destes não é maior do que b - a , eles juntos contribuem no máximo ε∗ 1( b - a ) = ε / 2 à diferença entre as somas superior e inferior da partição. Os intervalos { I ( ε ) i } . Estes têm comprimento total menor que ε 2 , ef oscila neles por não mais do que M - m . Assim, juntos, eles contribuem com menos de ε∗ 2( M - m ) = ε / 2 à diferença entre as somas superior e inferior da partição. No total, a diferença entre as somas superior e inferior da partição é menor do que ε , conforme necessário.

Em particular, qualquer conjunto que é no máximo contável tem medida de Lebesgue zero e, portanto, uma função limitada (em um intervalo compacto) com apenas finita ou contável muitas descontinuidades é Riemann integrável.

Uma função indicadora de um conjunto limitado é integrável por Riemann se e somente se o conjunto for mensurável por Jordan . A integral de Riemann pode ser interpretada medida - teoricamente como a integral em relação à medida de Jordan.

Se uma função de valor real é monótona no intervalo [ a , b ], ela é Riemann-integrável, pois seu conjunto de descontinuidades é no máximo contável e, portanto, de medida de Lebesgue zero.

Se uma função de valor real em [ a , b ] é Riemann-integrable, é Lebesgue-integrable . Ou seja, a integrabilidade de Riemann é uma condição mais forte (ou seja, mais difícil de satisfazer) do que a integrabilidade de Lebesgue.

Para Lebesgue-Vitali parece que todos os tipos de descontinuidades têm o mesmo peso na obstrução de que uma função limitada de valor real seja Riemann integrável em [ a , b ] . No entanto, este não é o caso. Na verdade, certas descontinuidades não têm absolutamente nenhum papel na integrabilidade de Riemann da função. Isso é uma consequência da classificação das descontinuidades de uma função.

Se f _n é uma sequência uniformemente convergente em [ a , b ] com limite f , então a integrabilidade de Riemann de todo f _n implica a integrabilidade de Riemann de f , e

${\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} f \, dx = \ int _ {a} ^ {b} {\ lim _ {n \ to \ infty} {f_ {n}} \, dx} = \ lim _ {n \ to \ infty} \ int _ {a} ^ {b} f_ {n} \, dx.}$

No entanto, o teorema da convergência monótona de Lebesgue (em um limite pontual monótono) não é válido. Na integração de Riemann, tomar limites sob o signo integral é muito mais difícil de justificar logicamente do que na integração de Lebesgue.

Generalizações

É fácil estender a integral de Riemann para funções com valores no espaço vetorial euclidiano para qualquer n . A integral é definida em termos de componentes; em outras palavras, se f = ( f ₁ , ..., f _n ) então ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$

${\ displaystyle \ int \ mathbf {f} = \ left (\ int f_ {1}, \, \ dots, \ int f_ {n} \ right).}$

Em particular, uma vez que os números complexos são um espaço vetorial real , isso permite a integração de funções de valor complexo.

A integral de Riemann é definida apenas em intervalos limitados e não se estende bem a intervalos ilimitados. A extensão mais simples possível é definir tal integral como um limite, em outras palavras, como uma integral imprópria :

${\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} f (x) \, dx = \ lim _ {a \ to - \ infty \ atop b \ to \ infty} \ int _ {a} ^ { b} f (x) \, dx.}$

Esta definição traz consigo algumas sutilezas, como o fato de que nem sempre é equivalente a calcular o valor principal de Cauchy

${\ displaystyle \ lim _ {a \ to \ infty} \ int _ {- a} ^ {a} f (x) \, dx.}$

Por exemplo, considere a função de sinal f ( x ) = sgn ( x ) que é 0 em x = 0 , 1 para x > 0 e −1 para x <0 . Por simetria,

${\ displaystyle \ int _ {- a} ^ {a} f (x) \, dx = 0}$

sempre, independentemente de a . Mas há muitas maneiras de o intervalo de integração se expandir para preencher a linha real e outras maneiras podem produzir resultados diferentes; em outras palavras, o limite multivariado nem sempre existe. Nós podemos computar

${\ displaystyle {\ begin {alinhado} \ int _ {- a} ^ {2a} f (x) \, dx & = a, \\\ int _ {- 2a} ^ {a} f (x) \, dx & = -a. \ end {alinhado}}}$

Em geral, essa integral de Riemann imprópria é indefinida. Mesmo padronizar uma maneira de o intervalo se aproximar da linha real não funciona porque leva a resultados perturbadoramente contra-intuitivos. Se concordarmos (por exemplo) que a integral imprópria sempre deve ser

${\ displaystyle \ lim _ {a \ to \ infty} \ int _ {- a} ^ {a} f (x) \, dx,}$

então a integral da translação f ( x - 1) é −2, então esta definição não é invariante sob mudanças, uma propriedade altamente indesejável. Na verdade, essa função não apenas não tem uma integral de Riemann imprópria, como sua integral de Lebesgue também é indefinida (é igual a ∞ - ∞ ).

Infelizmente, a integral de Riemann imprópria não é poderosa o suficiente. O problema mais grave é que não há teoremas amplamente aplicáveis ​​para comutar integrais de Riemann impróprias com limites de funções. Em aplicações como a série de Fourier , é importante ser capaz de aproximar a integral de uma função usando integrais de aproximações da função. Para integrais de Riemann apropriados, um teorema padrão afirma que se f _n é uma sequência de funções que convergem uniformemente para f em um conjunto compacto [ a , b ] , então

${\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} \ int _ {a} ^ {b} f_ {n} (x) \, dx = \ int _ {a} ^ {b} f (x) \, dx.}$

Em intervalos não compactos, como a linha real, isso é falso. Por exemplo, considere f _n ( x ) como n ⁻¹ em [0, n ] e zero em outro lugar. Para todos n temos:

${\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} f_ {n} \, dx = 1.}$

A sequência ( f _n ) converge uniformemente para a função zero e, claramente, a integral da função zero é zero. Consequentemente,

${\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} f \, dx \ neq \ lim _ {n \ to \ infty} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} f_ {n} \ , dx.}$

Isso demonstra que, para integrais em intervalos ilimitados, a convergência uniforme de uma função não é forte o suficiente para permitir a passagem de um limite por meio de um sinal de integral. Isso torna a integral de Riemann impraticável em aplicações (embora a integral de Riemann atribua a ambos os lados o valor correto), porque não há outro critério geral para trocar um limite por uma integral de Riemann, e sem tal critério é difícil aproximar integrais por aproximando seus integrantes.

Um caminho melhor é abandonar a integral de Riemann pela integral de Lebesgue . A definição da integral de Lebesgue não é obviamente uma generalização da integral de Riemann, mas não é difícil provar que toda função integrável de Riemann é integrável de Lebesgue e que os valores das duas integrais concordam sempre que ambas são definidas. Além disso, uma função f definida em um intervalo limitado é Riemann-integrável se e somente se for limitada e o conjunto de pontos onde f é descontínuo tem medida de Lebesgue zero.

Uma integral que é de fato uma generalização direta da integral de Riemann é a integral de Henstock-Kurzweil .

Outra maneira de generalizar a integral de Riemann é substituir os fatores x _{k + 1} - x _k na definição de uma soma de Riemann por outra coisa; grosso modo, isso dá ao intervalo de integração uma noção diferente de comprimento. Esta é a abordagem adotada pela integral de Riemann-Stieltjes .

No cálculo multivariável , as integrais de Riemann para funções de são integrais múltiplas . ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n} \ to \ mathbb {R}}$

Veja também

• Área
• Antiderivado
• Integração Lebesgue

Notas

Referências

• Shilov, GE e Gurevich, BL, 1978. Integral, Medida e Derivada: Uma Abordagem Unificada , Richard A. Silverman, trad. Publicações de Dover. ISBN  0-486-63519-8 .
• Apostol, Tom (1974), Mathematical Analysis , Addison-Wesley

links externos

• Mídia relacionada a Riemann integral no Wikimedia Commons
• "Riemann integral" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]