Método de integração para funções racionais
A substituição de Euler é um método para avaliar integrais da forma
∫
R
(
x
,
uma
x
2
+
b
x
+
c
)
d
x
,
{\ displaystyle \ int R (x, {\ sqrt {ax ^ {2} + bx + c}}) \, dx,}
onde está uma função racional de e . Nesses casos, o integrando pode ser alterado para uma função racional usando as substituições de Euler.
R
{\ displaystyle R}
x
{\ displaystyle x}
uma
x
2
+
b
x
+
c
{\ textstyle {\ sqrt {ax ^ {2} + bx + c}}}
Primeira substituição de Euler
A primeira substituição de Euler é usada quando . Nós substituímos
uma
>
0
{\ displaystyle a> 0}
uma
x
2
+
b
x
+
c
=
±
x
uma
+
t
{\ displaystyle {\ sqrt {ax ^ {2} + bx + c}} = \ pm x {\ sqrt {a}} + t}
e resolva a expressão resultante para . Temos isso e que o termo seja expressado racionalmente em .
x
{\ displaystyle x}
x
=
c
-
t
2
±
2
t
uma
-
b
{\ displaystyle x = {\ frac {ct ^ {2}} {\ pm 2t {\ sqrt {a}} - b}}}
d
x
{\ displaystyle dx}
t
{\ displaystyle t}
Nesta substituição, tanto o sinal positivo quanto o sinal negativo podem ser escolhidos.
Segunda substituição de Euler
Se , nós pegamos
c
>
0
{\ displaystyle c> 0}
uma
x
2
+
b
x
+
c
=
x
t
±
c
.
{\ displaystyle {\ sqrt {ax ^ {2} + bx + c}} = xt \ pm {\ sqrt {c}}.}
Resolvemos da mesma forma como acima e encontramos
x
{\ displaystyle x}
x
=
±
2
t
c
-
b
uma
-
t
2
.
{\ displaystyle x = {\ frac {\ pm 2t {\ sqrt {c}} - b} {em ^ {2}}}.}
Novamente, tanto o sinal positivo quanto o negativo podem ser escolhidos.
Terceira substituição de Euler
Se o polinômio tem raízes reais e , podemos escolher
. Isso produz
e, como nos casos anteriores, podemos expressar todo o integrando racionalmente em .
uma
x
2
+
b
x
+
c
{\ displaystyle ax ^ {2} + bx + c}
α
{\ displaystyle \ alpha}
β
{\ displaystyle \ beta}
uma
x
2
+
b
x
+
c
=
uma
(
x
-
α
)
(
x
-
β
)
=
(
x
-
α
)
t
{\ textstyle {\ sqrt {ax ^ {2} + bx + c}} = {\ sqrt {a (x- \ alpha) (x- \ beta)}} = (x- \ alpha) t}
x
=
uma
β
-
α
t
2
uma
-
t
2
,
{\ displaystyle x = {\ frac {a \ beta - \ alpha t ^ {2}} {em ^ {2}}},}
t
{\ displaystyle t}
Exemplos trabalhados
Exemplos para a primeira substituição de Euler
1 Na integral , podemos usar a primeira substituição e definir , assim
∫
d
x
x
2
+
c
{\ displaystyle \ int \! {\ frac {\ dx} {\ sqrt {x ^ {2} + c}}}}
x
2
+
c
=
-
x
+
t
{\ textstyle {\ sqrt {x ^ {2} + c}} = - x + t}
x
=
t
2
-
c
2
t
d
x
=
t
2
+
c
2
t
2
d
t
{\ displaystyle x = {\ frac {t ^ {2} -c} {2t}} \ quad \ quad \ dx = {\ frac {t ^ {2} + c} {2t ^ {2}}} \, \ dt}
x
2
+
c
=
-
t
2
-
c
2
t
+
t
=
t
2
+
c
2
t
{\ displaystyle {\ sqrt {x ^ {2} + c}} = - {\ frac {t ^ {2} -c} {2t}} + t = {\ frac {t ^ {2} + c} { 2t}}}
Assim, obtemos:
∫
d
x
x
2
+
c
=
∫
t
2
+
c
2
t
2
t
2
+
c
2
t
d
t
=
∫
d
t
t
=
em
|
t
|
+
C
=
em
|
x
+
x
2
+
c
|
+
C
{\ displaystyle \ int {\ frac {dx} {\ sqrt {x ^ {2} + c}}} = \ int {\ frac {\ frac {t ^ {2} + c} {2t ^ {2}} } {\ frac {t ^ {2} + c} {2t}}} \, \ dt = \ int {\ frac {dt} {t}} = \ ln | t | + C = \ ln \ left | x + {\ sqrt {x ^ {2} + c}} \ right | + C}
Os casos fornecem as fórmulas
c
=
±
1
{\ displaystyle c = \ pm 1}
∫
d
x
x
2
+
1
=
Arsinh
(
x
)
+
C
∫
d
x
x
2
-
1
=
arcosh
(
x
)
+
C
(
x
>
1
)
{\ displaystyle {\ begin {alinhado} \ int {\ frac {\ dx} {\ sqrt {x ^ {2} +1}}} & = \ operatorname {arsinh} (x) + C \\ [6pt] \ int {\ frac {\ dx} {\ sqrt {x ^ {2} -1}}} & = \ operatorname {arcosh} (x) + C \ qquad (x> 1) \ end {alinhado}}}
Dois Para encontrar o valor de
∫
1
x
x
2
+
4
x
-
4
d
x
,
{\ displaystyle \ int {\ frac {1} {x {\ sqrt {x ^ {2} + 4x-4}}}} dx,}
encontramos usando a primeira substituição de Euler ,. O quadrado de ambos os lados da equação nos dá , a partir do qual os termos serão cancelados. Resolvendo para rendimentos
t
{\ displaystyle t}
x
2
+
4
x
-
4
=
1
x
+
t
=
x
+
t
{\ textstyle {\ sqrt {x ^ {2} + 4x-4}} = {\ sqrt {1}} x + t = x + t}
x
2
+
4
x
-
4
=
x
2
+
2
x
t
+
t
2
{\ displaystyle x ^ {2} + 4x-4 = x ^ {2} + 2xt + t ^ {2}}
x
2
{\ displaystyle x ^ {2}}
x
{\ displaystyle x}
x
=
t
2
+
4
4
-
2
t
.
{\ displaystyle x = {\ frac {t ^ {2} +4} {4-2t}}.}
A partir daí, descobrimos que os diferenciais e estão relacionados por
d
x
{\ displaystyle dx}
d
t
{\ displaystyle dt}
d
x
=
-
2
t
2
+
8
t
+
8
(
4
-
2
t
)
2
d
t
.
{\ displaystyle dx = {\ frac {-2t ^ {2} + 8t + 8} {(4-2t) ^ {2}}} dt.}
Portanto,
∫
d
x
x
x
2
+
4
x
-
4
=
∫
-
2
t
2
+
8
t
+
8
(
4
-
2
t
)
2
(
t
2
+
4
4
-
2
t
)
(
-
t
2
+
4
t
+
4
4
-
2
t
)
d
t
t
=
x
2
+
4
x
-
4
-
x
=
2
∫
d
t
t
2
+
4
=
bronzeado
-
1
(
t
2
)
+
C
=
bronzeado
-
1
(
x
2
+
4
x
-
4
-
x
2
)
+
C
{\ displaystyle {\ begin {alinhados} \ int {\ frac {dx} {x {\ sqrt {x ^ {2} + 4x-4}}}} & = \ int {\ frac {\ frac {-2t ^ {2} + 8t + 8} {(4-2t) ^ {2}}} {\ left ({\ frac {t ^ {2} +4} {4-2t}} \ right) \ left ({\ frac {-t ^ {2} + 4t + 4} {4-2t}} \ right)}} dt && t = {\ sqrt {x ^ {2} + 4x-4}} - x \\ [6pt] & = 2 \ int {\ frac {dt} {t ^ {2} +4}} = \ tan ^ {- 1} \ left ({\ frac {t} {2}} \ right) + C \\ [6pt] & = \ tan ^ {- 1} \ left ({\ frac {{\ sqrt {x ^ {2} + 4x-4}} - x} {2}} \ right) + C \ end {alinhado}}}
Exemplos para a segunda substituição de Euler
Na integral
∫
d
x
x
-
x
2
+
x
+
2
,
{\ displaystyle \ int \! {\ frac {dx} {x {\ sqrt {-x ^ {2} + x + 2}}}},}
podemos usar a segunda substituição e definir . Assim
-
x
2
+
x
+
2
=
x
t
+
2
{\ displaystyle {\ sqrt {-x ^ {2} + x + 2}} = xt + {\ sqrt {2}}}
x
=
1
-
2
2
t
t
2
+
1
d
x
=
2
2
t
2
-
2
t
-
2
2
(
t
2
+
1
)
2
d
t
,
{\ displaystyle x = {\ frac {1-2 {\ sqrt {2}} t} {t ^ {2} +1}} \ qquad dx = {\ frac {2 {\ sqrt {2}} t ^ { 2} -2t-2 {\ sqrt {2}}} {(t ^ {2} +1) ^ {2}}} dt,}
e
-
x
2
+
x
+
2
=
1
-
2
2
t
t
2
+
1
t
+
2
=
-
2
t
2
+
t
+
2
t
2
+
1
{\ displaystyle {\ sqrt {-x ^ {2} + x + 2}} = {\ frac {1-2 {\ sqrt {2}} t} {t ^ {2} +1}} t + {\ sqrt {2}} = {\ frac {- {\ sqrt {2}} t ^ {2} + t + {\ sqrt {2}}} {t ^ {2} +1}}}
Assim, obtemos:
∫
d
x
x
-
x
2
+
x
+
2
=
∫
2
2
t
2
-
2
t
-
2
2
(
t
2
+
1
)
2
1
-
2
2
t
t
2
+
1
-
2
t
2
+
t
+
2
t
2
+
1
d
t
=
∫
-
2
-
2
2
t
+
1
d
t
=
1
2
∫
-
2
2
-
2
2
t
+
1
d
t
=
1
2
em
|
2
2
t
-
1
|
+
C
=
2
2
em
|
2
2
-
x
2
+
x
+
2
-
2
x
-
1
|
+
C
{\ displaystyle {\ begin {alinhados} \ int {\ frac {dx} {x {\ sqrt {-x ^ {2} + x + 2}}}} & = \ int {\ frac {\ frac {2 { \ sqrt {2}} t ^ {2} -2t-2 {\ sqrt {2}}} {(t ^ {2} +1) ^ {2}}} {{\ frac {1-2 {\ sqrt {2}} t} {t ^ {2} +1}} {\ frac {- {\ sqrt {2}} t ^ {2} + t + {\ sqrt {2}}} {t ^ {2} + 1}}}} dt \\ [6pt] & = \ int \! {\ Frac {-2} {- 2 {\ sqrt {2}} t + 1}} dt = {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} \ int {\ frac {-2 {\ sqrt {2}}} {- 2 {\ sqrt {2}} t + 1}} dt \\ [6pt] & = {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} \ ln \ left | 2 {\ sqrt {2}} t-1 \ right | + C \\ [4pt] & = {\ frac {\ sqrt {2}} {2}} \ ln \ left | 2 {\ sqrt {2}} {\ frac {{\ sqrt {-x ^ {2} + x + 2}} - {\ sqrt {2}}} {x}} - 1 \ right | + C \ end {alinhado}}}
Exemplos para a terceira substituição de Euler
Avaliar
∫
x
2
-
x
2
+
3
x
-
2
d
x
,
{\ displaystyle \ int \! {\ frac {x ^ {2}} {\ sqrt {-x ^ {2} + 3x-2}}} \ dx,}
podemos usar a terceira substituição e o conjunto . Assim
-
(
x
-
2
)
(
x
-
1
)
=
(
x
-
2
)
t
{\ textstyle {\ sqrt {- (x-2) (x-1)}} = (x-2) t}
x
=
-
2
t
2
-
1
-
t
2
-
1
d
x
=
2
t
(
-
t
2
-
1
)
2
d
t
,
{\ displaystyle x = {\ frac {-2t ^ {2} -1} {- t ^ {2} -1}} \ qquad \ dx = {\ frac {2t} {(- t ^ {2} -1 ) ^ {2}}} \, \ dt,}
e
-
x
2
+
3
x
-
2
=
(
x
-
2
)
t
=
t
-
t
2
-
1
{\ displaystyle {\ sqrt {-x ^ {2} + 3x-2}} = (x-2) t = {\ frac {t} {- t ^ {2} -1.}}}
Próximo,
∫
x
2
-
x
2
+
3
x
-
2
d
x
=
∫
(
-
2
t
2
-
1
-
t
2
-
1
)
2
2
t
(
-
t
2
-
1
)
2
t
-
t
2
-
1
d
t
=
∫
2
(
-
2
t
2
-
1
)
2
(
-
t
2
-
1
)
3
d
t
.
{\ displaystyle \ int {\ frac {x ^ {2}} {\ sqrt {-x ^ {2} + 3x-2}}} \ dx = \ int {\ frac {\ left ({\ frac {-2t ^ {2} -1} {- t ^ {2} -1}} \ right) ^ {2} {\ frac {2t} {(- t ^ {2} -1) ^ {2}}}} { \ frac {t} {- t ^ {2} -1}}} \ dt = \ int {\ frac {2 (-2t ^ {2} -1) ^ {2}} {(- t ^ {2} -1) ^ {3}}} \ dt.}
Como podemos ver, esta é uma função racional que pode ser resolvida usando frações parciais.
Generalizações As substituições de Euler podem ser generalizadas permitindo o uso de números imaginários. Por exemplo, no integral , a substituição pode ser usada. As extensões aos números complexos nos permitem usar todo tipo de substituição de Euler, independentemente dos coeficientes na quadrática.
∫
d
x
-
x
2
+
c
{\ textstyle \ int {\ frac {dx} {\ sqrt {-x ^ {2} + c}}}}
-
x
2
+
c
=
±
eu
x
+
t
{\ textstyle {\ sqrt {-x ^ {2} + c}} = \ pm ix + t}
As substituições de Euler podem ser generalizadas para uma classe maior de funções. Considere integrais da forma
∫
R
1
(
x
,
uma
x
2
+
b
x
+
c
)
registro
(
R
2
(
x
,
uma
x
2
+
b
x
+
c
)
)
d
x
,
{\ displaystyle \ int R_ {1} \ left (x, {\ sqrt {ax ^ {2} + bx + c}} \ right) \, \ log \ left (R_ {2} \ left (x, {\ sqrt {ax ^ {2} + bx + c}} \ right) \ right) \, dx,}
onde e são funções racionais de e . Esta integral pode ser transformada pela substituição em outra integral
R
1
{\ displaystyle R_ {1}}
R
2
{\ displaystyle R_ {2}}
x
{\ displaystyle x}
uma
x
2
+
b
x
+
c
{\ textstyle {\ sqrt {ax ^ {2} + bx + c}}}
uma
x
2
+
b
x
+
c
=
uma
+
x
t
{\ textstyle {\ sqrt {ax ^ {2} + bx + c}} = {\ sqrt {a}} + xt}
∫
R
~
1
(
t
)
registro
(
R
~
2
(
t
)
)
d
t
,
{\ displaystyle \ int {\ tilde {R}} _ {1} (t) \ log {\ big (} {\ tilde {R}} _ {2} (t) {\ big)} \, dt,}
onde e agora são simplesmente funções racionais de . Em princípio, a
fatoração e a decomposição da fração parcial podem ser empregadas para quebrar a integral em termos simples, que podem ser integrados analiticamente através do uso da função dilogaritmo .
R
~
1
(
t
)
{\ displaystyle {\ tilde {R}} _ {1} (t)}
R
~
2
(
t
)
{\ displaystyle {\ tilde {R}} _ {2} (t)}
t
{\ displaystyle t}
Veja também Referências Este artigo incorpora material de Eulers Substitutions For Integration no PlanetMath , que está licenciado sob a licença Creative Commons Atribuição / Compartilhamento pela mesma Licença .
<img src="https://en.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">
![{\ displaystyle {\ begin {alinhado} \ int {\ frac {\ dx} {\ sqrt {x ^ {2} +1}}} & = \ operatorname {arsinh} (x) + C \\ [6pt] \ int {\ frac {\ dx} {\ sqrt {x ^ {2} -1}}} & = \ operatorname {arcosh} (x) + C \ qquad (x> 1) \ end {alinhado}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a0b14f5dad46e503d03bf9b356166b81078b9c1)
![{\ displaystyle {\ begin {alinhados} \ int {\ frac {dx} {x {\ sqrt {x ^ {2} + 4x-4}}}} & = \ int {\ frac {\ frac {-2t ^ {2} + 8t + 8} {(4-2t) ^ {2}}} {\ left ({\ frac {t ^ {2} +4} {4-2t}} \ right) \ left ({\ frac {-t ^ {2} + 4t + 4} {4-2t}} \ right)}} dt && t = {\ sqrt {x ^ {2} + 4x-4}} - x \\ [6pt] & = 2 \ int {\ frac {dt} {t ^ {2} +4}} = \ tan ^ {- 1} \ left ({\ frac {t} {2}} \ right) + C \\ [6pt] & = \ tan ^ {- 1} \ left ({\ frac {{\ sqrt {x ^ {2} + 4x-4}} - x} {2}} \ right) + C \ end {alinhado}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c6b0476bf496ec6699ccebc1c4bf34efff50631)
![{\ displaystyle {\ begin {alinhados} \ int {\ frac {dx} {x {\ sqrt {-x ^ {2} + x + 2}}}} & = \ int {\ frac {\ frac {2 { \ sqrt {2}} t ^ {2} -2t-2 {\ sqrt {2}}} {(t ^ {2} +1) ^ {2}}} {{\ frac {1-2 {\ sqrt {2}} t} {t ^ {2} +1}} {\ frac {- {\ sqrt {2}} t ^ {2} + t + {\ sqrt {2}}} {t ^ {2} + 1}}}} dt \\ [6pt] & = \ int \! {\ Frac {-2} {- 2 {\ sqrt {2}} t + 1}} dt = {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} \ int {\ frac {-2 {\ sqrt {2}}} {- 2 {\ sqrt {2}} t + 1}} dt \\ [6pt] & = {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} \ ln \ left | 2 {\ sqrt {2}} t-1 \ right | + C \\ [4pt] & = {\ frac {\ sqrt {2}} {2}} \ ln \ left | 2 {\ sqrt {2}} {\ frac {{\ sqrt {-x ^ {2} + x + 2}} - {\ sqrt {2}}} {x}} - 1 \ right | + C \ end {alinhado}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41d2cd57ae805a637b80620a4d6ec148f7d24bd9)
