Substituição trigonométrica - Trigonometric substitution

Trigonometria
Contorno História Uso Funções  ( inversa ) Trigonometria generalizada
Referência
Identidades Constantes exatas Mesas Círculo de unidade
Leis e teoremas
Sines Cossenos Tangentes Cotangents teorema de Pitágoras
Cálculo
Substituição trigonométrica Integrais  ( funções inversas ) Derivados
v t e

Parte de uma série de artigos sobre
Cálculo
Teorema fundamental Regra integral de Leibniz Limites de funções Continuidade Teorema do valor médio Teorema de Rolle
Diferencial Definições Derivado  ( generalizações ) Diferencial infinitesimal de uma função total Conceitos Notação de diferenciação Segunda derivada Diferenciação implícita Diferenciação logarítmica Taxas relacionadas Teorema de Taylor Regras e identidades Soma produtos Cadeia Poder Quociente Regra de L'Hôpital Inverso General Leibniz Fórmula de Faà di Bruno Reynolds
Integrante Listas de integrais Transformada integral Definições Antiderivado Integral  ( impróprio ) Integral de Riemann Integração Lebesgue Integração de contorno Integral de funções inversas Integração por Peças Discos Conchas cilíndricas Substituição  ( trigonométrica , Weierstrass , Euler ) Fórmula de Euler Frações Parciais Mudança de ordem Fórmulas de redução Diferenciando sob o signo integral Algoritmo de Risch
Series Geométrico  ( aritmético-geométrico ) Harmônico Alternando Poder Binomial Taylor Testes de convergência Limite de soma (teste de termo) Razão Raiz Integrante Comparação direta Limite de comparação Série alternada Condensação de Cauchy Dirichlet Abel
Vetor Gradiente Divergência Ondulação Laplaciano Derivada direcional Identidades Teoremas Gradiente Green's Stokes ' Divergência Stokes generalizado
Multivariável Formalismos Matriz Tensor Exterior Geométrico Definições Derivativo parcial Integral múltiplo Integral de linha Integral de superfície Volume integral Jacobiano Hessian
Especializado Fracionário Malliavin Estocástico Variações
Diversos Pré-cálculo História Glossário Lista de tópicos Integração Bee Análise
v t e

Em matemática , substituição trigonométrica é a substituição de funções trigonométricas por outras expressões. No cálculo , a substituição trigonométrica é uma técnica para avaliar integrais. Além disso, pode-se usar as identidades trigonométricas para simplificar certas integrais contendo expressões radicais . Como outros métodos de integração por substituição, ao avaliar uma integral definida, pode ser mais simples deduzir completamente a antiderivada antes de aplicar os limites de integração.

Caso I: integrandos contendo um ² - x ²

Deixe e use a identidade . ${\ displaystyle x = a \ sin \ theta}$ ${\ displaystyle 1- \ sin ^ {2} \ theta = \ cos ^ {2} \ theta}$

Exemplos de Caso I

Exemplo 1

Na integral

${\ displaystyle \ int {\ frac {dx} {\ sqrt {a ^ {2} -x ^ {2}}}},}$

nós podemos usar

${\ displaystyle x = a \ sin \ theta, \ quad dx = a \ cos \ theta \, d \ theta, \ quad \ theta = \ arcsin {\ frac {x} {a}}.}$

Então,

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} \ int {\ frac {dx} {\ sqrt {a ^ {2} -x ^ {2}}}} & = \ int {\ frac {a \ cos \ theta \, d \ theta} {\ sqrt {a ^ {2} -a ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta}}} \\ [6pt] & = \ int {\ frac {a \ cos \ theta \, d \ theta} {\ sqrt {a ^ {2} (1- \ sin ^ {2} \ theta)}}} \\ [6pt] & = \ int {\ frac {a \ cos \ theta \, d \ theta} {\ sqrt {a ^ {2} \ cos ^ {2} \ theta}}} \\ [6pt] & = \ int d \ theta \\ [6pt] & = \ theta + C \\ [6pt] & = \ arcsin {\ frac {x} {a}} + C. \ end {alinhado}}}$

A etapa acima requer isso e . Podemos escolher ser a raiz principal de e impor a restrição usando a função seno inversa. ${\ displaystyle a> 0}$${\ displaystyle \ cos \ theta> 0}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle a ^ {2}}$${\ displaystyle - \ pi / 2 <\ theta <\ pi / 2}$

Para uma integral definida, deve-se descobrir como os limites da integração mudam. Por exemplo, conforme vai de para , depois vai de para , vai de para . Então, ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle 0}$${\ displaystyle a / 2}$${\ displaystyle \ sin \ theta}$${\ displaystyle 0}$${\ displaystyle 1/2}$${\ displaystyle \ theta}$${\ displaystyle 0}$${\ displaystyle \ pi / 6}$

${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {a / 2} {\ frac {dx} {\ sqrt {a ^ {2} -x ^ {2}}}} = \ int _ {0} ^ {\ pi / 6} d \ theta = {\ frac {\ pi} {6}}.}$

É necessário algum cuidado ao escolher os limites. Porque a integração acima requer isso , só pode ir de para . Negligenciando essa restrição, pode-se ter escolhido ir de para , o que teria resultado no negativo do valor real. ${\ displaystyle - \ pi / 2 <\ theta <\ pi / 2}$${\ displaystyle \ theta}$${\ displaystyle 0}$${\ displaystyle \ pi / 6}$${\ displaystyle \ theta}$${\ displaystyle \ pi}$${\ displaystyle 5 \ pi / 6}$

Alternativamente, avalie completamente as integrais indefinidas antes de aplicar as condições de contorno. Nesse caso, a antiderivada dá

${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {a / 2} {\ frac {dx} {\ sqrt {a ^ {2} -x ^ {2}}}} = \ arcsin \ left ({\ frac {x } {a}} \ right) {\ Biggl |} _ {0} ^ {a / 2} = \ arcsin \ left ({\ frac {1} {2}} \ right) - \ arcsin (0) = { \ frac {\ pi} {6}}}$ como antes.

Exemplo 2

O integral

${\ displaystyle \ int {\ sqrt {a ^ {2} -x ^ {2}}} \, dx,}$

pode ser avaliado ao deixar ${\ displaystyle x = a \ sin \ theta, \, dx = a \ cos \ theta \, d \ theta, \, \ theta = \ arcsin {\ frac {x} {a}},}$

onde tanto isso , e pelo alcance do arco seno, de modo que e . ${\ displaystyle a> 0}$${\ displaystyle {\ sqrt {a ^ {2}}} = a}$${\ displaystyle - {\ frac {\ pi} {2}} \ leq \ theta \ leq {\ frac {\ pi} {2}}}$${\ displaystyle \ cos \ theta \ geq 0}$${\ displaystyle {\ sqrt {\ cos ^ {2} \ theta}} = \ cos \ theta}$

Então,

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} \ int {\ sqrt {a ^ {2} -x ^ {2}}} \, dx & = \ int {\ sqrt {a ^ {2} -a ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta}} \, (a \ cos \ theta) \, d \ theta \\ [6pt] & = \ int {\ sqrt {a ^ {2} (1- \ sin ^ {2} \ theta)}} \, (a \ cos \ theta) \, d \ theta \\ [6pt] & = \ int {\ sqrt {a ^ {2} (\ cos ^ {2} \ theta)}} \ , (a \ cos \ theta) \, d \ theta \\ [6pt] & = \ int (a \ cos \ theta) (a \ cos \ theta) \, d \ theta \\ [6pt] & = a ^ {2} \ int \ cos ^ {2} \ theta \, d \ theta \\ [6pt] & = a ^ {2} \ int \ left ({\ frac {1+ \ cos 2 \ theta} {2} } \ right) \, d \ theta \\ [6pt] & = {\ frac {a ^ {2}} {2}} \ left (\ theta + {\ frac {1} {2}} \ sin 2 \ teta \ direita) + C \\ [6pt] & = {\ frac {a ^ {2}} {2}} (\ theta + \ sin \ theta \ cos \ theta) + C \\ [6pt] & = { \ frac {a ^ {2}} {2}} \ left (\ arcsin {\ frac {x} {a}} + {\ frac {x} {a}} {\ sqrt {1 - {\ frac {x ^ {2}} {a ^ {2}}}}} \ right) + C \\ [6pt] & = {\ frac {a ^ {2}} {2}} \ arcsin {\ frac {x} { a}} + {\ frac {x} {2}} {\ sqrt {a ^ {2} -x ^ {2}}} + C. \ end {alinhado}}}$

Para uma integral definida, os limites mudam assim que a substituição é realizada e são determinados usando a equação , com valores no intervalo . Alternativamente, aplique os termos de limite diretamente à fórmula da antiderivada. ${\ displaystyle \ theta = \ arcsin {\ frac {x} {a}}}$${\ displaystyle - {\ frac {\ pi} {2}} \ leq \ theta \ leq {\ frac {\ pi} {2}}}$

Por exemplo, a integral definida

${\ displaystyle \ int _ {- 1} ^ {1} {\ sqrt {4-x ^ {2}}} \, dx,}$

pode ser avaliado por substituição , com os limites determinados usando . ${\ displaystyle x = 2 \ sin \ theta, \, dx = 2 \ cos \ theta \, d \ theta}$${\ displaystyle \ theta = \ arcsin {\ frac {x} {2}}}$

Desde e , ${\ displaystyle \ arcsin (1/2) = \ pi / 6}$${\ displaystyle \ arcsin (-1/2) = - \ pi / 6}$

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} \ int _ {- 1} ^ {1} {\ sqrt {4-x ^ {2}}} \, dx & = \ int _ {- \ pi / 6} ^ {\ pi / 6} {\ sqrt {4-4 \ sin ^ {2} \ theta}} \, (2 \ cos \ theta) \, d \ theta \\ [6pt] & = \ int _ {- \ pi / 6} ^ {\ pi / 6} {\ sqrt {4 (1- \ sin ^ {2} \ theta)}} \, (2 \ cos \ theta) \, d \ theta \\ [6pt] & = \ int _ {- \ pi / 6} ^ {\ pi / 6} {\ sqrt {4 (\ cos ^ {2} \ theta)}} \, (2 \ cos \ theta) \, d \ theta \\ [ 6pt] & = \ int _ {- \ pi / 6} ^ {\ pi / 6} (2 \ cos \ theta) (2 \ cos \ theta) \, d \ theta \\ [6pt] & = 4 \ int _ {- \ pi / 6} ^ {\ pi / 6} \ cos ^ {2} \ theta \, d \ theta \\ [6pt] & = 4 \ int _ {- \ pi / 6} ^ {\ pi / 6} \ left ({\ frac {1+ \ cos 2 \ theta} {2}} \ right) \, d \ theta \\ [6pt] & = 2 \ left [\ theta + {\ frac {1} {2}} \ sin 2 \ theta \ right] _ {- \ pi / 6} ^ {\ pi / 6} = [2 \ theta + \ sin 2 \ theta] {\ Biggl |} _ {- \ pi / 6} ^ {\ pi / 6} \\ [6pt] & = \ left ({\ frac {\ pi} {3}} + \ sin {\ frac {\ pi} {3}} \ right) - \ left (- {\ frac {\ pi} {3}} + \ sin \ left (- {\ frac {\ pi} {3}} \ right) \ right) = {\ frac {2 \ pi} {3}} + {\ sqrt {3}}. \ end {alinhado}}}$

Por outro lado, a aplicação direta dos termos de fronteira à fórmula obtida anteriormente para os rendimentos antiderivados

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} \ int _ {- 1} ^ {1} {\ sqrt {4-x ^ {2}}} \, dx & = \ left [{\ frac {2 ^ {2}} {2}} \ arcsin {\ frac {x} {2}} + {\ frac {x} {2}} {\ sqrt {2 ^ {2} -x ^ {2}}} \ right] _ {- 1} ^ {1} \\ [6pt] & = \ left (2 \ arcsin {\ frac {1} {2}} + {\ frac {1} {2}} {\ sqrt {4-1}} \ direita) - \ esquerda (2 \ arcsin \ esquerda (- {\ frac {1} {2}} \ direita) + {\ frac {-1} {2}} {\ sqrt {4-1}} \ direita) \\ [6pt] & = \ left (2 \ cdot {\ frac {\ pi} {6}} + {\ frac {\ sqrt {3}} {2}} \ right) - \ left (2 \ cdot \ esquerda (- {\ frac {\ pi} {6}} \ direita) - {\ frac {\ sqrt {3}} {2}} \ direita) \\ [6pt] & = {\ frac {2 \ pi} {3}} + {\ sqrt {3}} \ end {alinhado}}}$

como antes.

Caso II: integrandos contendo um ² + x ²

Deixe e use a identidade . ${\ displaystyle x = a \ tan \ theta}$${\ displaystyle 1+ \ tan ^ {2} \ theta = \ sec ^ {2} \ theta}$

Exemplos de Caso II

Exemplo 1

Na integral

${\ displaystyle \ int {\ frac {dx} {a ^ {2} + x ^ {2}}}}$

podemos escrever

${\ displaystyle x = a \ tan \ theta, \ quad dx = a \ sec ^ {2} \ theta \, d \ theta, \ quad \ theta = \ arctan {\ frac {x} {a}},}$

de modo que a integral se torne

${\ displaystyle {\ begin {align} \ int {\ frac {dx} {a ^ {2} + x ^ {2}}} & = \ int {\ frac {a \ sec ^ {2} \ theta \, d \ theta} {a ^ {2} + a ^ {2} \ tan ^ {2} \ theta}} \\ [6pt] & = \ int {\ frac {a \ sec ^ {2} \ theta \, d \ theta} {a ^ {2} (1+ \ tan ^ {2} \ theta)}} \\ [6pt] & = \ int {\ frac {a \ sec ^ {2} \ theta \, d \ theta} {a ^ {2} \ sec ^ {2} \ theta}} \\ [6pt] & = \ int {\ frac {d \ theta} {a}} \\ [6pt] & = {\ frac { \ theta} {a}} + C \\ [6pt] & = {\ frac {1} {a}} \ arctan {\ frac {x} {a}} + C, \ end {alinhado}}}$

fornecido . ${\ displaystyle a \ neq 0}$

Para uma integral definida, os limites mudam assim que a substituição é realizada e são determinados usando a equação , com valores no intervalo . Alternativamente, aplique os termos de limite diretamente à fórmula da antiderivada. ${\ displaystyle \ theta = \ arctan {\ frac {x} {a}}}$${\ displaystyle - {\ frac {\ pi} {2}} <\ theta <{\ frac {\ pi} {2}}}$

Por exemplo, a integral definida

${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {1} {\ frac {4} {1 + x ^ {2}}} \, dx}$

pode ser avaliado por substituição , com os limites determinados usando . ${\ displaystyle x = \ tan \ theta, \, dx = \ sec ^ {2} \ theta \, d \ theta}$${\ displaystyle \ theta = \ arctan x}$

Desde e , ${\ displaystyle \ arctan 0 = 0}$${\ displaystyle \ arctan 1 = \ pi / 4}$

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} \ int _ {0} ^ {1} {\ frac {4 \, dx} {1 + x ^ {2}}} & = 4 \ int _ {0} ^ {1 } {\ frac {dx} {1 + x ^ {2}}} \\ [6pt] & = 4 \ int _ {0} ^ {\ pi / 4} {\ frac {\ sec ^ {2} \ theta \, d \ theta} {1+ \ tan ^ {2} \ theta}} \\ [6pt] & = 4 \ int _ {0} ^ {\ pi / 4} {\ frac {\ sec ^ {2} \ theta \, d \ theta} {\ sec ^ {2} \ theta}} \\ [6pt] & = 4 \ int _ {0} ^ {\ pi / 4} d \ theta \\ [6pt] & = (4 \ theta) {\ Bigg |} _ {0} ^ {\ pi / 4} = 4 \ left ({\ frac {\ pi} {4}} - 0 \ right) = \ pi. \ End {alinhado }}}$

Enquanto isso, a aplicação direta dos termos de fronteira à fórmula para os rendimentos antiderivados

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} \ int _ {0} ^ {1} {\ frac {4} {1 + x ^ {2}}} \, dx & = 4 \ int _ {0} ^ {1} {\ frac {dx} {1 + x ^ {2}}} \\ & = 4 \ left [{\ frac {1} {1}} \ arctan {\ frac {x} {1}} \ right] _ {0} ^ {1} \\ & = 4 (\ arctan x) {\ Bigg |} _ {0} ^ {1} \\ & = 4 (\ arctan 1- \ arctan 0) \\ & = 4 \ esquerda ({\ frac {\ pi} {4}} - 0 \ direita) = \ pi, \ end {alinhado}}}$

o mesmo de antes.

Exemplo 2

O integral

${\ displaystyle \ int {\ sqrt {a ^ {2} + x ^ {2}}} \, {dx}}$

pode ser avaliado ao deixar ${\ displaystyle x = a \ tan \ theta, \, dx = a \ sec ^ {2} \ theta \, d \ theta, \, \ theta = \ arctan {\ frac {x} {a}},}$

onde assim , e pela gama de arco tangente, de modo que e . ${\ displaystyle a> 0}$${\ displaystyle {\ sqrt {a ^ {2}}} = a}$${\ displaystyle - {\ frac {\ pi} {2}} <\ theta <{\ frac {\ pi} {2}}}$${\ displaystyle \ sec \ theta> 0}$${\ displaystyle {\ sqrt {\ sec ^ {2} \ theta}} = \ sec \ theta}$

Então,

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} \ int {\ sqrt {a ^ {2} + x ^ {2}}} \, dx & = \ int {\ sqrt {a ^ {2} + a ^ {2} \ tan ^ {2} \ theta}} \, (a \ sec ^ {2} \ theta) \, d \ theta \\ [6pt] & = \ int {\ sqrt {a ^ {2} (1+ \ tan ^ {2} \ theta)}} \, (a \ sec ^ {2} \ theta) \, d \ theta \\ [6pt] & = \ int {\ sqrt {a ^ {2} \ sec ^ {2 } \ theta}} \, (a \ sec ^ {2} \ theta) \, d \ theta \\ [6pt] & = \ int (a \ sec \ theta) (a \ sec ^ {2} \ theta) \, d \ theta \\ [6pt] & = a ^ {2} \ int \ sec ^ {3} \ theta \, d \ theta. \\ [6pt] \ end {alinhado}}}$

A integral da secante ao cubo pode ser avaliada usando integração por partes . Como resultado,

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} \ int {\ sqrt {a ^ {2} + x ^ {2}}} \, dx & = {\ frac {a ^ {2}} {2}} (\ sec \ theta \ tan \ theta + \ ln | \ sec \ theta + \ tan \ theta |) + C \\ [6pt] & = {\ frac {a ^ {2}} {2}} \ left ({\ sqrt { 1 + {\ frac {x ^ {2}} {a ^ {2}}}}} \ cdot {\ frac {x} {a}} + \ ln \ left | {\ sqrt {1 + {\ frac { x ^ {2}} {a ^ {2}}}}} + {\ frac {x} {a}} \ right | \ right) + C \\ [6pt] & = {\ frac {1} {2 }} \ left (x {\ sqrt {a ^ {2} + x ^ {2}}} + a ^ {2} \ ln \ left | {\ frac {x + {\ sqrt {a ^ {2} + x ^ {2}}}} {a}} \ direita | \ direita) + C. \ End {alinhado}}}$

Caso III: integrantes contendo x ² - a ²

Deixe e use a identidade${\ displaystyle x = a \ sec \ theta}$${\ displaystyle \ sec ^ {2} \ theta -1 = \ tan ^ {2} \ theta.}$

Exemplos de Caso III

Integrais gostam

${\ displaystyle \ int {\ frac {dx} {x ^ {2} -a ^ {2}}}}$

também pode ser avaliada por frações parciais em vez de substituições trigonométricas. No entanto, o integral

${\ displaystyle \ int {\ sqrt {x ^ {2} -a ^ {2}}} \, dx}$

não pode. Neste caso, uma substituição apropriada é:

${\ displaystyle x = a \ sec \ theta, \, dx = a \ sec \ theta \ tan \ theta \, d \ theta, \, \ theta = \ operatorname {arcsec} {\ frac {x} {a}} ,}$

onde assim , e assumindo , de modo que e . ${\ displaystyle a> 0}$${\ displaystyle {\ sqrt {a ^ {2}}} = a}$${\ displaystyle 0 \ leq \ theta <{\ frac {\ pi} {2}}}$${\ displaystyle x> 0}$${\ displaystyle \ tan \ theta \ geq 0}$${\ displaystyle {\ sqrt {\ tan ^ {2} \ theta}} = \ tan \ theta}$

Então,

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} \ int {\ sqrt {x ^ {2} -a ^ {2}}} \, dx & = \ int {\ sqrt {a ^ {2} \ sec ^ {2} \ theta -a ^ {2}}} \ cdot a \ sec \ theta \ tan \ theta \, d \ theta \\ & = \ int {\ sqrt {a ^ {2} (\ sec ^ {2} \ theta - 1)}} \ cdot a \ sec \ theta \ tan \ theta \, d \ theta \\ & = \ int {\ sqrt {a ^ {2} \ tan ^ {2} \ theta}} \ cdot a \ sec \ theta \ tan \ theta \, d \ theta \\ & = \ int a ^ {2} \ sec \ theta \ tan ^ {2} \ theta \, d \ theta \\ & = a ^ {2} \ int (\ sec \ theta) (\ sec ^ {2} \ theta -1) \, d \ theta \\ & = a ^ {2} \ int (\ sec ^ {3} \ theta - \ sec \ theta) \ , d \ theta. \ end {alinhado}}}$

Pode-se avaliar a integral da função secante multiplicando o numerador e denominador por e a integral da secante ao cubo por partes. Como resultado, ${\ displaystyle (\ sec \ theta + \ tan \ theta)}$

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} \ int {\ sqrt {x ^ {2} -a ^ {2}}} \, dx & = {\ frac {a ^ {2}} {2}} (\ sec \ theta \ tan \ theta + \ ln | \ sec \ theta + \ tan \ theta |) -a ^ {2} \ ln | \ sec \ theta + \ tan \ theta | + C \\ [6pt] & = {\ frac {a ^ {2}} {2}} (\ sec \ theta \ tan \ theta - \ ln | \ sec \ theta + \ tan \ theta |) + C \\ [6pt] & = {\ frac {a ^ {2}} {2}} \ left ({\ frac {x} {a}} \ cdot {\ sqrt {{\ frac {x ^ {2}} {a ^ {2}}} - 1}} - \ ln \ left | {\ frac {x} {a}} + {\ sqrt {{\ frac {x ^ {2}} {a ^ {2}}} - 1}} \ right | \ right) + C \\ [6pt] & = {\ frac {1} {2}} \ left (x {\ sqrt {x ^ {2} -a ^ {2}}} - a ^ {2} \ ln \ left | {\ frac {x + {\ sqrt {x ^ {2} -a ^ {2}}}} {a}} \ direita | \ direita) + C. \ end {alinhado}}}$

Quando , o que acontece quando dado o intervalo de arco-secante, ou seja, nesse caso. ${\ displaystyle {\ frac {\ pi} {2}} <\ theta \ leq \ pi}$${\ displaystyle x <0}$${\ displaystyle \ tan \ theta \ leq 0}$${\ displaystyle {\ sqrt {\ tan ^ {2} \ theta}} = - \ tan \ theta}$

Substituições que eliminam funções trigonométricas

A substituição pode ser usada para remover funções trigonométricas.

Por exemplo,

${\ displaystyle {\ begin {alinhado} \ int f (\ sin (x), \ cos (x)) \, dx & = \ int {\ frac {1} {\ pm {\ sqrt {1-u ^ {2 }}}}} f \ left (u, \ pm {\ sqrt {1-u ^ {2}}} \ right) \, du && u = \ sin (x) \\ [6pt] \ int f (\ sin ( x), \ cos (x)) \, dx & = \ int {\ frac {1} {\ mp {\ sqrt {1-u ^ {2}}}}} f \ left (\ pm {\ sqrt {1 -u ^ {2}}}, u \ direita) \, du && u = \ cos (x) \\ [6pt] \ int f (\ sin (x), \ cos (x)) \, dx & = \ int { \ frac {2} {1 + u ^ {2}}} f \ left ({\ frac {2u} {1 + u ^ {2}}}, {\ frac {1-u ^ {2}} {1 + u ^ {2}}} \ right) \, du && u = \ tan \ left ({\ tfrac {x} {2}} \ right) \\ [6pt] \ end {alinhado}}}$

A última substituição é conhecida como substituição de Weierstrass , que faz uso de fórmulas de meio-ângulo tangentes .

Por exemplo,

${\ displaystyle {\ begin {align} \ int {\ frac {4 \ cos x} {(1+ \ cos x) ^ {3}}} \, dx & = \ int {\ frac {2} {1 + u ^ {2}}} {\ frac {4 \ left ({\ frac {1-u ^ {2}} {1 + u ^ {2}}} \ right)} {\ left (1 + {\ frac { 1-u ^ {2}} {1 + u ^ {2}}} \ direita) ^ {3}}} \, du = \ int (1-u ^ {2}) (1 + u ^ {2} ) \, du \\ & = \ int (1-u ^ {4}) \, du = u - {\ frac {u ^ {5}} {5}} + C = \ tan {\ frac {x} {2}} - {\ frac {1} {5}} \ tan ^ {5} {\ frac {x} {2}} + C. \ end {alinhado}}}$

Substituição hiperbólica

Substituições de funções hiperbólicas também podem ser usadas para simplificar integrais.

Na integral , faça a substituição ,${\ displaystyle \ int {\ frac {1} {\ sqrt {a ^ {2} + x ^ {2}}}} \, dx}$${\ displaystyle x = a \ sinh {u}}$${\ displaystyle dx = a \ cosh u \, du.}$

Então, usando as identidades e${\ displaystyle \ cosh ^ {2} (x) - \ sinh ^ {2} (x) = 1}$${\ displaystyle \ sinh ^ {- 1} {x} = \ ln (x + {\ sqrt {x ^ {2} +1}}),}$

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} \ int {\ frac {1} {\ sqrt {a ^ {2} + x ^ {2}}}} \, dx & = \ int {\ frac {a \ cosh u} {\ sqrt {a ^ {2} + a ^ {2} \ sinh ^ {2} u}}} \, du \\ [6pt] & = \ int {\ frac {a \ cosh {u}} {a {\ sqrt {1+ \ sinh ^ {2} {u}}}}} \, du \\ [6pt] & = \ int {\ frac {a \ cosh {u}} {a \ cosh u}} \ , du \\ [6pt] & = u + C \\ [6pt] & = \ sinh ^ {- 1} {\ frac {x} {a}} + C \\ [6pt] & = \ ln \ left ( {\ sqrt {{\ frac {x ^ {2}} {a ^ {2}}} + 1}} + {\ frac {x} {a}} \ right) + C \\ [6pt] & = \ ln \ left ({\ frac {{\ sqrt {x ^ {2} + a ^ {2}}} + x} {a}} \ right) + C \ end {alinhado}}}$

Veja também

• Integração por substituição
• Substituição de Weierstrass
• Substituição de Euler

Referências