Funções hiperbólicas - Hyperbolic functions

Na matemática , as funções hiperbólicas são análogas às funções trigonométricas comuns , mas definidas usando a hipérbole em vez do círculo . Assim como os pontos $(cos t, sen t)$ formam um círculo com raio unitário , os pontos $(cosh t, sinh t)$ formam a metade direita da hipérbole unitária . Além disso, assim como as derivadas de $sin (t)$ e $cos (t)$ são $cos (t)$ e $-sin (t)$ , as derivadas de $sinh (t)$ e $cosh (t)$ são $cosh (t)$ e $+ sinh (t))$ .

As funções hiperbólicas ocorrem nos cálculos de ângulos e distâncias na geometria hiperbólica . Eles também ocorrer em soluções de muitos lineares equações diferenciais (tais como a equação que definem uma catenária ), equações cúbicos , e a equação de Laplace , em coordenadas cartesianas . As equações de Laplace são importantes em muitas áreas da física , incluindo teoria eletromagnética , transferência de calor , dinâmica de fluidos e relatividade especial .

As funções hiperbólicas básicas são:

hiperbólica seno "sinh" ( / s ɪ ŋ , s ɪ n tʃ , ʃ aɪ n / ),
hiperbólica cosseno "cosh" ( / k do ɒ ʃ , k oʊ ʃ / ),

dos quais são derivados:

hiperbólica tangente "tanh" ( / t Æ ŋ , t Æ n tʃ , θ Æ n / ),
co-secante hiperbólica "csch" ou "cosech" ( / k oʊ s ɛ tʃ , k oʊ ʃ ɛ k / )
hiperbólica secante "sech" ( / s ɛ tʃ , ʃ ɛ k / ),
hiperbólica co-tangente "coth" ( / k do ɒ θ , k oʊ θ / ),

correspondendo às funções trigonométricas derivadas.

As funções hiperbólicas inversas são:

área seno hiperbólica "arsinh" (também denominado "sinh ⁻¹ ", "asinh" ou às vezes "arcsinh")
área cosseno hiperbólico "arcosh" (também denotado "cosh ⁻¹ ", "acosh" ou às vezes "arccosh")
e assim por diante.

Um raio passa pela unidade da hipérbole

x 2 - y 2 = 1

no ponto

(cosh a, sinh a)

, onde

a

é o dobro da área entre o raio, a hipérbole e o eixo

x

. Para pontos na hipérbole abaixo do eixo

x

, a área é considerada negativa (veja a versão animada com comparação com as funções trigonométricas (circulares)).

As funções hiperbólicas usam um argumento real denominado ângulo hiperbólico . O tamanho de um ângulo hiperbólico é o dobro da área de seu setor hiperbólico . As funções hiperbólicas podem ser definidas em termos das pernas de um triângulo retângulo cobrindo esse setor.

Na análise complexa , as funções hiperbólicas surgem como as partes imaginárias de seno e cosseno. O seno hiperbólico e o cosseno hiperbólico são funções inteiras . Como resultado, as outras funções hiperbólicas são meromórficas em todo o plano complexo.

Pelo teorema de Lindemann-Weierstrass , as funções hiperbólicas têm um valor transcendental para cada valor algébrico diferente de zero do argumento.

As funções hiperbólicas foram introduzidas na década de 1760 de forma independente por Vincenzo Riccati e Johann Heinrich Lambert . Riccati usado $Sc.$ e $Cc.$ ( sinus / cosinus circulare ) para se referir a funções circulares e $Sh.$ e $Ch.$ ( seio / cosseno hiperbólico ) para se referir às funções hiperbólicas. Lambert adotou os nomes, mas alterou as abreviações para as usadas hoje. As abreviaturas $sh$ , $ch$ , $th$ , $cth$ também são usadas atualmente, dependendo da preferência pessoal.

Definições

sinh , cosh e tanh

csch , sech e coth

Existem várias maneiras equivalentes de definir as funções hiperbólicas.

Definições exponenciais

sinh x

é a metade da diferença de

e x

e

e - x

cosh x

é a média de

e x

e

e - x

Em termos da função exponencial :

Seno hiperbólico: a parte ímpar da função exponencial, ou seja,
${\ displaystyle \ sinh x = {\ frac {e ^ {x} -e ^ {- x}} {2}} = {\ frac {e ^ {2x} -1} {2e ^ {x}}} = {\ frac {1-e ^ {- 2x}} {2e ^ {- x}}}.}$
Cosseno hiperbólico: a parte par da função exponencial, ou seja,
${\ displaystyle \ cosh x = {\ frac {e ^ {x} + e ^ {- x}} {2}} = {\ frac {e ^ {2x} +1} {2e ^ {x}}} = {\ frac {1 + e ^ {- 2x}} {2e ^ {- x}}}.}$
Tangente hiperbólica:
${\ displaystyle \ tanh x = {\ frac {\ sinh x} {\ cosh x}} = {\ frac {e ^ {x} -e ^ {- x}} {e ^ {x} + e ^ {- x}}} = {\ frac {e ^ {2x} -1} {e ^ {2x} +1}}}$
Cotangente hiperbólica: para $x \neq 0$ ,
${\ displaystyle \ coth x = {\ frac {\ cosh x} {\ sinh x}} = {\ frac {e ^ {x} + e ^ {- x}} {e ^ {x} -e ^ {- x}}} = {\ frac {e ^ {2x} +1} {e ^ {2x} -1}}}$
Secante hiperbólica:
${\ displaystyle \ operatorname {sech} x = {\ frac {1} {\ cosh x}} = {\ frac {2} {e ^ {x} + e ^ {- x}}} = {\ frac {2e ^ {x}} {e ^ {2x} +1}}}$
Cossecante hiperbólica: para $x \neq 0$ ,
${\ displaystyle \ operatorname {csch} x = {\ frac {1} {\ sinh x}} = {\ frac {2} {e ^ {x} -e ^ {- x}}} = {\ frac {2e ^ {x}} {e ^ {2x} -1}}}$

Definições de equação diferencial

As funções hiperbólicas podem ser definidas como soluções de equações diferenciais : O seno e co-seno hiperbólicos são a única solução $(s, c)$ do sistema

{\ displaystyle {\ begin {alinhado} c '(x) & = s (x) \\ s' (x) & = c (x) \ end {alinhado}}}

de modo que $s (0) = 0$ e $c (0) = 1$ .

(As condições iniciais são necessárias porque cada par de funções da forma resolve as duas equações diferenciais.) ${\ displaystyle s (0) = 0, c (0) = 1}$ ${\ displaystyle (ae ^ {x} + be ^ {- x}, ae ^ {x} -be ^ {- x})}$

$sinh (x)$ e $cosh (x)$ também são a solução única da equação $f ″ (x) = f (x)$ , tal que $f (0) = 1$ , $f' (0) = 0$ para o cosseno hiperbólico, e $f (0) = 0$ , $f' (0) = 1$ para o seno hiperbólico.

Definições trigonométricas complexas

Funções hiperbólicas também podem ser deduzidas de funções trigonométricas com argumentos complexos :

Seno hiperbólico:
${\ displaystyle \ sinh x = -i \ sin (ix)}$
Cosseno hiperbólico:
${\ displaystyle \ cosh x = \ cos (ix)}$
Tangente hiperbólica:
${\ displaystyle \ tanh x = -i \ tan (ix)}$
Cotangente hiperbólica:
${\ displaystyle \ coth x = i \ cot (ix)}$
Secante hiperbólica:
${\ displaystyle \ operatorname {sech} x = \ sec (ix)}$
Cossecante hiperbólica:
${\ displaystyle \ operatorname {csch} x = i \ csc (ix)}$

onde $i$ é a unidade imaginária com $i 2 = -1$ .

As definições acima estão relacionadas às definições exponenciais por meio da fórmula de Euler (Veja § Funções hiperbólicas para números complexos abaixo).

Propriedades de caracterização

Cosseno hiperbólico

Pode ser mostrado que a área sob a curva do cosseno hiperbólico (ao longo de um intervalo finito) é sempre igual ao comprimento do arco correspondente a esse intervalo:

{\ displaystyle {\ text {area}} = \ int _ {a} ^ {b} \ cosh x \, dx = \ int _ {a} ^ {b} {\ sqrt {1+ \ left ({\ frac {d} {dx}} \ cosh x \ right) ^ {2}}} \, dx = {\ text {comprimento do arco.}}}

Tangente hiperbólica

A tangente hiperbólica é a solução (única) para a equação diferencial $f' = 1 - f 2$ , com $f (0) = 0$ .

Relações úteis

As funções hiperbólicas satisfazem muitas identidades, todas elas semelhantes em forma às identidades trigonométricas . Na verdade, regras de Osborn estados que se pode converter qualquer identidade trigonométrica para , , ou e em uma identidade hiperbólica, expandindo-o completamente em termos de poderes integrais de senos e co-senos, mudando sine para sinh e cosseno para cosh, e mudar o sinal de cada termo contendo um produto de dois sinhs. ${\ displaystyle \ theta}$ ${\ displaystyle 2 \ theta}$ ${\ displaystyle 3 \ theta}$ ${\ displaystyle \ theta}$ ${\ displaystyle \ varphi}$

Funções ímpares e pares:

{\ displaystyle {\ begin {alinhado} \ sinh (-x) & = - \ sinh x \\\ cosh (-x) & = \ cosh x \ end {alinhado}}}

Portanto:

{\ displaystyle {\ begin {alinhados} \ tanh (-x) & = - \ tanh x \\\ coth (-x) & = - \ coth x \\\ operatorname {sech} (-x) & = \ operatorname {sech} x \\\ operatorname {csch} (-x) & = - \ operatorname {csch} x \ end {alinhado}}}

Assim, $cosh x$ e $sech x$ são funções pares ; as outras são funções estranhas .

{\ displaystyle {\ begin {alinhado} \ operatorname {arsech} x & = \ operatorname {arcosh} \ left ({\ frac {1} {x}} \ right) \\\ operatorname {arcsch} x & = \ operatorname {arsinh } \ left ({\ frac {1} {x}} \ right) \\\ operatorname {arcoth} x & = \ operatorname {artanh} \ left ({\ frac {1} {x}} \ right) \ end { alinhado}}}

Seno e cosseno hiperbólico satisfazem:

{\ displaystyle {\ begin {alinhado} \ cosh x + \ sinh x & = e ^ {x} \\\ cosh x- \ sinh x & = e ^ {- x} \\\ cosh ^ {2} x- \ sinh ^ {2} x & = 1 \ end {alinhado}}}

o último dos quais é semelhante à identidade trigonométrica pitagórica .

Um também tem

{\ displaystyle {\ begin {alinhado} \ operatorname {sech} ^ {2} x & = 1- \ tanh ^ {2} x \\\ operatorname {csch} ^ {2} x & = \ coth ^ {2} x- 1 \ end {alinhado}}}

para as outras funções.

Somas de argumentos

{\ displaystyle {\ begin {alinhado} \ sinh (x + y) & = \ sinh x \ cosh y + \ cosh x \ sinh y \\\ cosh (x + y) & = \ cosh x \ cosh y + \ sinh x \ sinh y \\ [6px] \ tanh (x + y) & = {\ frac {\ tanh x + \ tanh y} {1+ \ tanh x \ tanh y}} \\\ end {alinhado}}}

particularmente

{\ displaystyle {\ begin {alinhados} \ cosh (2x) & = \ sinh ^ {2} {x} + \ cosh ^ {2} {x} = 2 \ sinh ^ {2} x + 1 = 2 \ cosh ^ {2} x-1 \\\ sinh (2x) & = 2 \ sinh x \ cosh x \\\ tanh (2x) & = {\ frac {2 \ tanh x} {1+ \ tanh ^ {2} x}} \\\ end {alinhado}}}

Também:

{\ displaystyle {\ begin {alinhado} \ sinh x + \ sinh y & = 2 \ sinh \ left ({\ frac {x + y} {2}} \ right) \ cosh \ left ({\ frac {xy} {2 }} \ right) \\\ cosh x + \ cosh y & = 2 \ cosh \ left ({\ frac {x + y} {2}} \ right) \ cosh \ left ({\ frac {xy} {2}} \ direita) \\\ end {alinhado}}}

Fórmulas de subtração

{\ displaystyle {\ begin {alinhado} \ sinh (xy) & = \ sinh x \ cosh y- \ cosh x \ sinh y \\\ cosh (xy) & = \ cosh x \ cosh y- \ sinh x \ sinh y \\\ tanh (xy) & = {\ frac {\ tanh x- \ tanh y} {1- \ tanh x \ tanh y}} \\\ end {alinhado}}}

Também:

{\ displaystyle {\ begin {alinhados} \ sinh x- \ sinh y & = 2 \ cosh \ left ({\ frac {x + y} {2}} \ right) \ sinh \ left ({\ frac {xy} { 2}} \ right) \\\ cosh x- \ cosh y & = 2 \ sinh \ left ({\ frac {x + y} {2}} \ right) \ sinh \ left ({\ frac {xy} {2 }} \ direita) \\\ end {alinhado}}}

Fórmulas de meio argumento

{\ displaystyle {\ begin {alinhado} \ sinh \ left ({\ frac {x} {2}} \ right) & = {\ frac {\ sinh x} {\ sqrt {2 (\ cosh x + 1)} }} && = \ operatorname {sgn} x \, {\ sqrt {\ frac {\ cosh x-1} {2}}} \\ [6px] \ cosh \ left ({\ frac {x} {2}} \ right) & = {\ sqrt {\ frac {\ cosh x + 1} {2}}} \\ [6px] \ tanh \ left ({\ frac {x} {2}} \ right) & = {\ frac {\ sinh x} {\ cosh x + 1}} && = \ operatorname {sgn} x \, {\ sqrt {\ frac {\ cosh x-1} {\ cosh x + 1}}} = {\ frac {e ^ {x} -1} {e ^ {x} +1}} \ end {alinhado}}}

onde $sgn$ é a função de sinal .

Se $x \neq 0$ , então

{\ displaystyle \ tanh \ left ({\ frac {x} {2}} \ right) = {\ frac {\ cosh x-1} {\ sinh x}} = \ coth x- \ operatorname {csch} x}

Fórmulas quadradas

{\ displaystyle {\ begin {alinhados} \ sinh ^ {2} x & = {\ frac {1} {2}} (\ cosh 2x-1) \\\ cosh ^ {2} x & = {\ frac {1} {2}} (\ cosh 2x + 1) \ end {alinhado}}}

Desigualdades

A seguinte desigualdade é útil em estatísticas: ${\ displaystyle \ operatorname {cosh} (t) \ leq e ^ {t ^ {2} / 2}}$

Isso pode ser provado comparando termo a termo a série de Taylor das duas funções.

Funções inversas como logaritmos

{\ displaystyle {\ begin {alinhados} \ operatorname {arsinh} (x) & = \ ln \ left (x + {\ sqrt {x ^ {2} +1}} \ right) \\\ operatorname {arcosh} (x ) & = \ ln \ left (x + {\ sqrt {x ^ {2} -1}} \ right) && x \ geqslant 1 \\\ operatorname {artanh} (x) & = {\ frac {1} {2} } \ ln \ left ({\ frac {1 + x} {1-x}} \ right) && | x | <1 \\\ operatorname {arcoth} (x) & = {\ frac {1} {2} } \ ln \ left ({\ frac {x + 1} {x-1}} \ right) && | x |> 1 \\\ operatorname {arsech} (x) & = \ ln \ left ({\ frac { 1} {x}} + {\ sqrt {{\ frac {1} {x ^ {2}}} - 1}} \ direita) = \ ln \ left ({\ frac {1 + {\ sqrt {1- x ^ {2}}}} {x}} \ right) && 0 <x \ leqslant 1 \\\ operatorname {arcsch} (x) & = \ ln \ left ({\ frac {1} {x}} + { \ sqrt {{\ frac {1} {x ^ {2}}} + 1}} \ direita) && x \ neq 0 \ end {alinhado}}}

Derivados

{\ displaystyle {\ begin {alinhados} {\ frac {d} {dx}} \ sinh x & = \ cosh x \\ {\ frac {d} {dx}} \ cosh x & = \ sinh x \\ {\ frac {d} {dx}} \ tanh x & = 1- \ tanh ^ {2} x = \ operatorname {sech} ^ {2} x = {\ frac {1} {\ cosh ^ {2} x}} \\ {\ frac {d} {dx}} \ coth x & = 1- \ coth ^ {2} x = - \ operatorname {csch} ^ {2} x = - {\ frac {1} {\ sinh ^ {2} x}} && x \ neq 0 \\ {\ frac {d} {dx}} \ operatorname {sech} x & = - \ tanh x \ operatorname {sech} x \\ {\ frac {d} {dx}} \ operatorname {csch} x & = - \ coth x \ operatorname {csch} x && x \ neq 0 \\ {\ frac {d} {dx}} \ operatorname {arsinh} x & = {\ frac {1} {\ sqrt {x ^ { 2} +1}}} \\ {\ frac {d} {dx}} \ operatorname {arcosh} x & = {\ frac {1} {\ sqrt {x ^ {2} -1}}} && 1 <x \ \ {\ frac {d} {dx}} \ operatorname {artanh} x & = {\ frac {1} {1-x ^ {2}}} && | x | <1 \\ {\ frac {d} {dx }} \ operatorname {arcoth} x & = {\ frac {1} {1-x ^ {2}}} && 1 <| x | \\ {\ frac {d} {dx}} \ operatorname {arsech} x & = - {\ frac {1} {x {\ sqrt {1-x ^ {2}}}}} && 0 <x <1 \\ {\ frac {d} {dx}} \ operatorname {arcsch} x & = - {\ frac {1} {| x | {\ sqrt {1 + x ^ {2}}}}} && x \ neq 0 \ end {alinhado}}}

Derivadas secundárias

Cada uma das funções $sinh$ e $cosh$ é igual à sua segunda derivada , ou seja:

{\ displaystyle {\ frac {d ^ {2}} {dx ^ {2}}} \ sinh x = \ sinh x \,}

{\ displaystyle {\ frac {d ^ {2}} {dx ^ {2}}} \ cosh x = \ cosh x \ ,.}

Todas as funções com esta propriedade são combinações lineares de $sinh$ e $cosh$ , em particular as funções exponenciais e . ${\ displaystyle e ^ {x}}$ ${\ displaystyle e ^ {- x}}$

Integrais padrão

{\ displaystyle {\ begin {alinhado} \ int \ sinh (ax) \, dx & = a ^ {- 1} \ cosh (ax) + C \\\ int \ cosh (ax) \, dx & = a ^ {- 1} \ sinh (ax) + C \\\ int \ tanh (ax) \, dx & = a ^ {- 1} \ ln (\ cosh (ax)) + C \\\ int \ coth (ax) \, dx & = a ^ {- 1} \ ln \ left | \ sinh (ax) \ right | + C \\\ int \ operatorname {sech} (ax) \, dx & = a ^ {- 1} \ arctan (\ sinh (ax)) + C \\\ int \ operatorname {csch} (ax) \, dx & = a ^ {- 1} \ ln \ left | \ tanh \ left ({\ frac {ax} {2}} \ right ) \ right | + C = a ^ {- 1} \ ln \ left | \ coth \ left (ax \ right) - \ operatorname {csch} \ left (ax \ right) \ right | + C = -a ^ { -1} \ operatorname {arcoth} \ left (\ cosh \ left (ax \ right) \ right) + C \ end {alinhado}}}

As seguintes integrais podem ser provadas usando substituição hiperbólica :

{\ displaystyle {\ begin {alinhados} \ int {{\ frac {1} {\ sqrt {a ^ {2} + u ^ {2}}}} \, du} & = \ operatorname {arsinh} \ left ( {\ frac {u} {a}} \ right) + C \\\ int {{\ frac {1} {\ sqrt {u ^ {2} -a ^ {2}}}} \, du} & = \ operatorname {sgn} {u} \ operatorname {arcosh} \ left | {\ frac {u} {a}} \ right | + C \\\ int {\ frac {1} {a ^ {2} -u ^ {2}}} \, du & = a ^ {- 1} \ operatorname {artanh} \ left ({\ frac {u} {a}} \ right) + C && u ^ {2} <a ^ {2} \\ \ int {\ frac {1} {a ^ {2} -u ^ {2}}} \, du & = a ^ {- 1} \ operatorname {arcoth} \ left ({\ frac {u} {a}} \ direita) + C && u ^ {2}> a ^ {2} \\\ int {{\ frac {1} {u {\ sqrt {a ^ {2} -u ^ {2}}}}} \, du } & = - a ^ {- 1} \ operatorname {arsech} \ left | {\ frac {u} {a}} \ right | + C \\\ int {{\ frac {1} {u {\ sqrt { a ^ {2} + u ^ {2}}}}} \, du} & = - a ^ {- 1} \ operatorname {arcsch} \ left | {\ frac {u} {a}} \ right | + C \ end {alinhado}}}

onde C é a constante de integração .

Expressões da série de Taylor

É possível expressar explicitamente a série de Taylor em zero (ou a série de Laurent , se a função não for definida em zero) das funções acima.

{\ displaystyle \ sinh x = x + {\ frac {x ^ {3}} {3!}} + {\ frac {x ^ {5}} {5!}} + {\ frac {x ^ {7}} {7!}} + \ Cdots = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {x ^ {2n + 1}} {(2n + 1)!}}}

Esta série é convergente para cada valor complexo de $x$ . Como a função $sinh x$ é ímpar , apenas expoentes ímpares para $x$ ocorrem em sua série de Taylor.

{\ displaystyle \ cosh x = 1 + {\ frac {x ^ {2}} {2!}} + {\ frac {x ^ {4}} {4!}} + {\ frac {x ^ {6} } {6!}} + \ Cdots = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {x ^ {2n}} {(2n)!}}}

Esta série é convergente para cada valor complexo de $x$ . Como a função $cosh x$ é par , apenas expoentes pares para $x$ ocorrem em sua série de Taylor.

A soma das séries sinh e cosh é a expressão da série infinita da função exponencial .

As seguintes séries são seguidas por uma descrição de um subconjunto de seu domínio de convergência , onde a série é convergente e sua soma é igual à função.

{\ displaystyle {\ begin {align} \ tanh x & = x - {\ frac {x ^ {3}} {3}} + {\ frac {2x ^ {5}} {15}} - {\ frac {17x ^ {7}} {315}} + \ cdots = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {2 ^ {2n} (2 ^ {2n} -1) B_ {2n} x ^ {2n-1}} {(2n)!}}, \ Qquad \ left | x \ right | <{\ frac {\ pi} {2}} \\\ coth x & = x ^ {- 1} + {\ frac {x} {3}} - {\ frac {x ^ {3}} {45}} + {\ frac {2x ^ {5}} {945}} + \ cdots = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {2 ^ {2n} B_ {2n} x ^ {2n-1}} {(2n)!}}, \ qquad 0 <\ left | x \ right | <\ pi \\ \ operatorname {sech} \, x & = 1 - {\ frac {x ^ {2}} {2}} + {\ frac {5x ^ {4}} {24}} - {\ frac {61x ^ {6} } {720}} + \ cdots = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {E_ {2n} x ^ {2n}} {(2n)!}}, \ Qquad \ left | x \ right | <{\ frac {\ pi} {2}} \\\ operatorname {csch} \, x & = x ^ {- 1} - {\ frac {x} {6}} + {\ frac {7x ^ {3}} {360}} - {\ frac {31x ^ {5}} {15120}} + \ cdots = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {2 (1-2 ^ {2n-1}) B_ {2n} x ^ {2n-1}} {(2n)!}}, \ Qquad 0 <\ left | x \ right | <\ pi \ end {alinhado}}}

Onde:

{\ displaystyle B_ {n} \,}

é o n th número de Bernoulli

{\ displaystyle E_ {n} \,}

é o n th número de Euler

Comparação com funções circulares

O círculo e a tangente da hipérbole em (1,1) exibem a geometria das funções circulares em termos da área do setor circular u e as funções hiperbólicas dependendo da área do setor hiperbólico u .

As funções hiperbólicas representam uma expansão da trigonometria além das funções circulares . Ambos os tipos dependem de um argumento , ângulo circular ou ângulo hiperbólico .

Como a área de um setor circular com raio re ângulo u (em radianos) é r ²u / 2, será igual a u quando r = √ 2 . No diagrama, esse círculo é tangente à hipérbole xy = 1 em (1,1). O setor amarelo representa uma área e magnitude de ângulo. Da mesma forma, os setores amarelo e vermelho juntos representam uma área e a magnitude do ângulo hiperbólico .

As pernas dos dois triângulos retângulos com hipotenusa no raio que define os ângulos têm comprimento √ 2 vezes as funções circulares e hiperbólicas.

O ângulo hiperbólico é uma medida invariável em relação ao mapeamento de compressão , assim como o ângulo circular é invariante sob rotação.

A função Gudermanniana fornece uma relação direta entre as funções circulares e as hiperbólicas que não envolvem números complexos.

O gráfico da função a cosh ( x / a ) é a catenária , a curva formada por uma corrente flexível uniforme, pendurada livremente entre dois pontos fixos sob gravidade uniforme.

Relação com a função exponencial

A decomposição da função exponencial em suas partes pares e ímpares dá as identidades

{\ displaystyle e ^ {x} = \ cosh x + \ sinh x,}

e

{\ displaystyle e ^ {- x} = \ cosh x- \ sinh x.}

O primeiro é análogo à fórmula de Euler

{\ displaystyle e ^ {ix} = \ cos x + i \ sin x.}

Adicionalmente,

{\ displaystyle e ^ {x} = {\ sqrt {\ frac {1+ \ tanh x} {1- \ tanh x}}} = {\ frac {1+ \ tanh {\ frac {x} {2}} } {1- \ tanh {\ frac {x} {2}}}}}

Funções hiperbólicas para números complexos

Visto que a função exponencial pode ser definida para qualquer argumento complexo , também podemos estender as definições das funções hiperbólicas para argumentos complexos. As funções sinh z e cosh z são então holomórficas .

Relações com funções trigonométricas comuns são dadas pela fórmula de Euler para números complexos:

{\ displaystyle {\ begin {alinhado} e ^ {ix} & = \ cos x + i \ sin x \\ e ^ {- ix} & = \ cos xi \ sin x \ end {alinhado}}}

tão:

{\ displaystyle {\ begin {alinhados} \ cosh (ix) & = {\ frac {1} {2}} \ left (e ^ {ix} + e ^ {- ix} \ right) = \ cos x \\ \ sinh (ix) & = {\ frac {1} {2}} \ left (e ^ {ix} -e ^ {- ix} \ right) = i \ sin x \\\ cosh (x + iy) & = \ cosh (x) \ cos (y) + i \ sinh (x) \ sin (y) \\\ sinh (x + iy) & = \ sinh (x) \ cos (y) + i \ cosh (x ) \ sin (y) \\\ tanh (ix) & = i \ tan x \\\ cosh x & = \ cos (ix) \\\ sinh x & = - i \ sin (ix) \\\ tanh x & = - i \ tan (ix) \ end {alinhado}}}

Assim, as funções hiperbólicas são periódicas em relação ao componente imaginário, com período ( para tangente hiperbólica e cotangente). ${\ displaystyle 2 \ pi i}$ ${\ displaystyle \ pi i}$

Funções hiperbólicas no plano complexo

${\ displaystyle \ operatorname {sinh} (z)}$	${\ displaystyle \ operatorname {cosh} (z)}$	${\ displaystyle \ operatorname {tanh} (z)}$	${\ displaystyle \ operatorname {coth} (z)}$	${\ displaystyle \ operatorname {sech} (z)}$	${\ displaystyle \ operatorname {csch} (z)}$