Artigo de lista da Wikimedia com regras para calcular a derivada de uma função no cálculo
Este é um resumo das regras de diferenciação , ou seja, regras para calcular a derivada de uma função no cálculo .
Regras elementares de diferenciação
Salvo indicação em contrário, todas as funções são funções de números reais ( R ) que retornam valores reais; embora de forma mais geral, as fórmulas abaixo se aplicam onde quer que sejam bem definidas - incluindo o caso de números complexos ( C ) .
A diferenciação é linear
Para todas as funções e e quaisquer números reais e , a derivada da função no que diz respeito à seja
Na notação de Leibniz, isso é escrito como:
Casos especiais incluem:
-
A regra do fator constante
A regra do produto
Para as funções f e g , a derivada da função h ( x ) = f ( x ) g ( x ) em relação a x é
Na notação de Leibniz isso está escrito
A regra da corrente
A derivada da função é
Na notação de Leibniz, isso é escrito como:
frequentemente abreviado para
Focando na noção de mapas, sendo o diferencial um mapa , este é escrito de uma forma mais concisa como:
A regra da função inversa
Se a função f tem uma função inversa g , o que significa que e então
Na notação Leibniz, isso é escrito como
Leis de potência, polinômios, quocientes e recíprocos
A regra de potência polinomial ou elementar
Se , para qualquer número real, então
Quando este se torna o caso especial, então
Combinar a regra de potência com a soma e as regras múltiplas constantes permite o cálculo da derivada de qualquer polinômio.
A regra recíproca
A derivada de para qualquer função f (não anulada) é:
-
onde quer que f seja diferente de zero.
Na notação de Leibniz, isso está escrito
A regra recíproca pode ser derivada da regra de quociente ou da combinação de regra de potência e regra de cadeia.
A regra do quociente
Se f e g forem funções, então:
-
onde quer que g seja diferente de zero.
Isso pode ser derivado da regra do produto e da regra recíproca.
Regra de poder generalizada
A regra do poder elementar generaliza consideravelmente. A regra de potência mais geral é a regra de potência funcional : para quaisquer funções f e g ,
onde quer que ambos os lados estejam bem definidos.
Casos especiais
- Se , então, quando a é qualquer número real diferente de zero e x é positivo.
- A regra recíproca pode ser derivada como o caso especial em que .
Derivadas de funções exponenciais e logarítmicas
a equação acima é verdadeira para todo c , mas a derivada para produz um número complexo.
a equação acima também é verdadeira para todo c , mas produz um número complexo se .
-
onde está a função Lambert W
-
Derivados logarítmicos
A derivada logarítmica é outra maneira de estabelecer a regra para diferenciar o logaritmo de uma função (usando a regra da cadeia):
-
onde f é positivo.
A diferenciação logarítmica é uma técnica que usa logaritmos e suas regras de diferenciação para simplificar certas expressões antes de realmente aplicar a derivada.
Os logaritmos podem ser usados para remover expoentes, converter produtos em somas e converter a divisão em subtração - cada um dos quais pode levar a uma expressão simplificada para obter derivados.
Derivadas de funções trigonométricas
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As derivadas na tabela acima são para quando o intervalo da secante inversa é e quando o intervalo da cossecante inversa é .
É comum para definir adicionalmente uma função tangente inversa com dois argumentos , . Seu valor está na faixa e reflete o quadrante do ponto . Para o primeiro e quarto quadrante (isto é ), um tem . Seus derivados parciais são
, e
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Derivados de funções hiperbólicas
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Consulte Funções hiperbólicas para restrições sobre esses derivados.
Derivados de funções especiais
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Função Riemann Zeta
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Derivadas de integrais
Suponha que seja necessário diferenciar em relação ax a função
onde as funções e são contínuas em ambos e em alguma região do plano, incluindo , e as funções e são ambas contínuas e ambas têm derivadas contínuas para . Então para :
Esta fórmula é a forma geral da regra integral de Leibniz e pode ser derivada usando o
teorema fundamental do cálculo .
Derivados de n para th ordem
Existem algumas regras para calcular a n - ésima derivada de funções, onde n é um número inteiro positivo. Esses incluem:
Fórmula de Faà di Bruno
Se f e g são n- vezes diferenciáveis, então
onde e o conjunto consiste em todas as soluções inteiras não negativas da equação Diofantina .
Regra geral Leibniz
Se f e g são n- vezes diferenciáveis, então
Veja também
Referências
Fontes e leituras adicionais
Essas regras são fornecidas em muitos livros, tanto em cálculo elementar quanto avançado, em matemática pura e aplicada. Aqueles neste artigo (além das referências acima) podem ser encontrados em:
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Mathematical Handbook of Formulas and Tables (3rd edition) , S. Lipschutz, MR Spiegel, J. Liu, Schaum's Outline Series, 2009, ISBN 978-0-07-154855-7 .
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The Cambridge Handbook of Physics Formulas , G. Woan, Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0-521-57507-2 .
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Métodos matemáticos para física e engenharia , KF Riley, MP Hobson, SJ Bence, Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0-521-86153-3
-
NIST Handbook of Mathematical Functions , FWJ Olver, DW Lozier, RF Boisvert, CW Clark, Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0-521-19225-5 .
links externos