Valor principal de Cauchy - Cauchy principal value

Em matemática , o valor principal de Cauchy , nomeado em homenagem a Augustin Louis Cauchy , é um método para atribuir valores a certas integrais impróprias que, de outra forma, seriam indefinidas.

Formulação

Dependendo do tipo de singularidade no integrando $f$ , o valor principal de Cauchy é definido de acordo com as seguintes regras:

Para uma singularidade no número finito

b

{\ displaystyle \ lim _ {\; \ varepsilon \ a 0 ^ {+} \;} \, \ left [\, \ int _ {a} ^ {b- \ varejpsilon} f (x) \, \ mathrm { d} x ~ + ~ \ int _ {b + \ varejpsilon} ^ {c} f (x) \, \ mathrm {d} x \, \ right]}

com e onde

b

é o ponto difícil, no qual o comportamento da função

f

é tal que

{\ displaystyle a <b <c}

{\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} f (x) \, \ mathrm {d} x = \ pm \ infty \ quad}

para qualquer e

{\ displaystyle a <b}

{\ displaystyle \ int _ {b} ^ {c} f (x) \, \ mathrm {d} x = \ mp \ infty \ quad}

para qualquer (Veja mais ou menos para o uso preciso de notações ± e ∓.)

{\ displaystyle b <c.}

Para uma singularidade no infinito ( )

{\ displaystyle \ infty}

{\ displaystyle \ lim _ {a \ to \ infty} \, \ int _ {- a} ^ {a} f (x) \, \ mathrm {d} x}

Onde

{\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {0} f (x) \, \ mathrm {d} x = \ pm \ infty}

e

{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} f (x) \, \ mathrm {d} x = \ mp \ infty.}

Em alguns casos, é necessário lidar simultaneamente com singularidades tanto em um número finito $be$ no infinito. Isso geralmente é feito por um limite do formulário

{\ displaystyle \ lim _ {\; \ eta \ a 0 ^ {+}} \, \ lim _ {\; \ varepsilon \ a 0 ^ {+}} \, \ left [\, \ int _ {b- {\ frac {1} {\ eta}}} ^ {b- \ varepsilon} f (x) \, \ mathrm {d} x \, ~ + ~ \ int _ {b + \ varejpsilon} ^ {b + {\ frac {1} {\ eta}}} f (x) \, \ mathrm {d} x \, \ right].}

Nos casos em que a integral pode ser dividida em dois limites finitos independentes,

{\ displaystyle \ lim _ {\; \ varepsilon \ to 0 ^ {+} \;} \, \ left | \, \ int _ {a} ^ {b- \ varejpsilon} f (x) \, \ mathrm { d} x \, \ right | \; <\; \ infty}

e

{\ displaystyle \ lim _ {\; \ eta \ a 0 ^ {+}} \; \ left | \, \ int _ {b + \ eta} ^ {c} f (x) \, \ mathrm {d} x \, \ right | \; <\; \ infty,}

então a função é integrável no sentido comum. O resultado do procedimento para o valor do princípio é o mesmo que o integral ordinário; uma vez que não corresponde mais à definição, tecnicamente não é um "valor principal". O valor principal de Cauchy também pode ser definida em termos de contorno integrais de uma função de valor complexo com com um poste em um contorno

C

. Defina ser o mesmo contorno, onde a porção dentro do disco de raio

ε

ao redor do pólo foi removida. Desde que a função seja integrável, não importa quão pequeno

ε

se torne, então o valor principal de Cauchy é o limite:

{\ displaystyle f (z): z = x + i \, y \ ;,}

{\ displaystyle x, y \ in \ mathbb {R} \ ;,}

{\ displaystyle C (\ varepsilon)}

{\ displaystyle f (z)}

{\ displaystyle C (\ varepsilon)}

{\ displaystyle \ operatorname {p. \! v.} \ int _ {C} f (z) \, \ mathrm {d} z = \ lim _ {\ varejpsilon \ to 0 ^ {+}} \ int _ { C (\ varepsilon)} f (z) \, \ mathrm {d} z.}

No caso das funções integráveis de Lebesgue , ou seja, funções que são integráveis em valor absoluto , essas definições coincidem com a definição padrão da integral. Se a função for meromórfica , o teorema de Sokhotski-Plemelj relaciona o valor principal da integral sobre

C

com o valor médio das integrais com o contorno deslocado ligeiramente acima e abaixo, de modo que o teorema do resíduo pode ser aplicado a essas integrais. Integrais de valor principal desempenham um papel central na discussão das transformadas de Hilbert .

{\ displaystyle f (z)}

Teoria da distribuição

Deixe ser o conjunto de

funções de colisão , ou seja, o espaço de funções suaves com suporte compacto na linha real . Então o mapa

{\ displaystyle {C_ {c} ^ {\ infty}} (\ mathbb {R})}

{\ displaystyle \ mathbb {R}}

{\ displaystyle \ operatorname {p. \! v.} \ left ({\ frac {1} {x}} \ right) \,: \, {C_ {c} ^ {\ infty}} (\ mathbb {R }) \ para \ mathbb {C}}

definido por meio do valor principal de Cauchy como

{\ displaystyle \ left [\ operatorname {p. \! v.} \ left ({\ frac {1} {x}} \ right) \ right] (u) = \ lim _ {\ varepsilon \ to 0 ^ { +}} \ int _ {\ mathbb {R} \ setminus [- \ varepsilon, \ varepsilon]} {\ frac {u (x)} {x}} \, \ mathrm {d} x = \ int _ {0 } ^ {+ \ infty} {\ frac {u (x) -u (-x)} {x}} \, \ mathrm {d} x \ quad {\ text {para}} u \ in {C_ {c } ^ {\ infty}} (\ mathbb {R})}

é uma distribuição . O próprio mapa às vezes pode ser chamado de valor principal (daí a notação pv ). Esta distribuição aparece, por exemplo, na transformada de Fourier da função Sign e na função step de Heaviside .

Bem definido como uma distribuição

Para provar a existência do limite

{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {+ \ infty} {\ frac {u (x) -u (-x)} {x}} \, \ mathrm {d} x}

para uma função de Schwartz , primeiro observe que é contínua conforme

{\ displaystyle u (x)}

{\ displaystyle {\ frac {u (x) -u (-x)} {x}}}

{\ displaystyle [0, \ infty),}

{\ displaystyle \ lim _ {\, x \ searrow 0 \,} \; {\ Bigl [} u (x) -u (-x) {\ Bigr]} ~ = ~ 0 ~}

e, portanto

{\ displaystyle \ lim _ {x \ searrow 0} \, {\ frac {u (x) -u (-x)} {x}} ~ = ~ \ lim _ {\, x \ searrow 0 \,} \ , {\ frac {u '(x) + u' (- x)} {1}} ~ = ~ 2u '(0) ~,}

uma vez que é contínuo e a regra de L'Hopital se aplica.

{\ displaystyle u '(x)}

Portanto, existe e aplicando o

teorema do valor médio para obtemos:

{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {1} \, {\ frac {u (x) -u (-x)} {x}} \, \ mathrm {d} x}

{\ displaystyle u (x) -u (-x),}

{\ displaystyle \ left | \, \ int _ {0} ^ {1} \, {\ frac {u (x) -u (-x)} {x}} \, \ mathrm {d} x \, \ direita | \; \ leq \; \ int _ {0} ^ {1} {\ frac {{\ bigl |} u (x) -u (-x) {\ bigr |}} {x}} \, \ mathrm {d} x \; \ leq \; \ int _ {0} ^ {1} \, {\ frac {\, 2x \,} {x}} \, \ sup _ {x \ in \ mathbb {R }} \, {\ Bigl |} u '(x) {\ Bigr |} \, \ mathrm {d} x \; \ leq \; 2 \, \ sup _ {x \ in \ mathbb {R}} \ , {\ Bigl |} u '(x) {\ Bigr |} ~.}

E mais:

{\ displaystyle \ left | \, \ int _ {1} ^ {\ infty} {\ frac {\; u (x) -u (-x) \;} {x}} \, \ mathrm {d} x \, \ right | \; \ leq \; 2 \, \ sup _ {x \ in \ mathbb {R}} \, {\ Bigl |} x \ cdot u (x) {\ Bigr |} ~ \ cdot \ ; \ int _ {1} ^ {\ infty} {\ frac {\ mathrm {d} x} {\, x ^ {2} \,}} \; = \; 2 \, \ sup _ {x \ in \ mathbb {R}} \, {\ Bigl |} x \ cdot u (x) {\ Bigr |} ~,}

notamos que o mapa

{\ displaystyle \ operatorname {pv} \; \ left ({\ frac {1} {\, x \,}} \ right) \,: \, {C_ {c} ^ {\ infty}} (\ mathbb { R}) \ to \ mathbb {C}}

é delimitado pelos seminários usuais para funções de Schwartz . Portanto, este mapa define, por ser obviamente linear, um funcional contínuo no espaço de Schwartz e, portanto, uma distribuição temperada .

{\ displaystyle u}

Observe que a prova precisa apenas ser continuamente diferenciável em uma vizinhança de 0 e ser limitada ao infinito. O valor principal, portanto, é definido em suposições ainda mais fracas, como integrável com suporte compacto e diferenciável em 0. ${\ displaystyle u}$ ${\ displaystyle x \, u}$ ${\ displaystyle u}$

Definições mais gerais

O valor principal é a distribuição inversa da função e é quase a única distribuição com esta propriedade: ${\ displaystyle x}$

{\ displaystyle xf = 1 \ quad \ Leftrightarrow \ quad \ exists K: \; \; f = \ operatorname {p. \! v.} \ left ({\ frac {1} {x}} \ right) + K \ delta,}

onde é uma constante e a distribuição de Dirac.

{\ displaystyle K}

{\ displaystyle \ delta}

Em um sentido mais amplo, o valor principal pode ser definido para uma ampla classe de

núcleos integrais singulares no espaço euclidiano . Se tiver uma singularidade isolada na origem, mas for uma função "boa", então a distribuição do valor principal é definida em funções suaves compactamente suportadas por

{\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}

{\ displaystyle K}

{\ displaystyle [\ operatorname {p. \! v.} (K)] (f) = \ lim _ {\ varejpsilon \ a 0} \ int _ {\ mathbb {R} ^ {n} \ setminus B _ {\ epsilon} (0)} f (x) K (x) \, \ mathrm {d} x.}

Esse limite pode não estar bem definido ou, sendo bem definido, pode não definir necessariamente uma distribuição. É, entretanto, bem definido se é uma função homogênea contínua de grau cuja integral sobre qualquer esfera centrada na origem desaparece. É o caso, por exemplo, das transformadas de Riesz .