Função Bump - Bump function

Em matemática , uma função de colisão (também chamada de função de teste ) é uma função em um espaço euclidiano que é suave (no sentido de ter derivadas contínuas de todas as ordens) e compactamente suportada . O conjunto de todas as funções bump com domínio forma um espaço vetorial , denotado ou O espaço dual deste espaço dotado de uma topologia adequada é o espaço de distribuições . ${\ displaystyle f: \ mathbb {R} ^ {n} \ to \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ displaystyle C_ {0} ^ {\ infty} (\ mathbb {R} ^ {n})}$${\ displaystyle C_ {c} ^ {\ infty} (\ mathbb {R} ^ {n}).}$

Exemplos

A função dada por ${\ displaystyle \ Psi: \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R}}$

é um exemplo de função de aumento em uma dimensão. É claro pela construção que esta função tem suporte compacto, visto que uma função da linha real tem suporte compacto se e somente se tiver suporte fechado e limitado. A prova de suavidade segue as mesmas linhas da função relacionada discutida no artigo Função suavizada não analítica . Esta função pode ser interpretada como a função gaussiana escalada para caber no disco de unidade: a substituição corresponde ao envio para${\ displaystyle \ exp \ left (-y ^ {2} \ right)}$${\ displaystyle y ^ {2} = {1} / {\ left (1-x ^ {2} \ right)}}$${\ displaystyle x = \ pm 1}$${\ displaystyle y = \ infty.}$

Um exemplo simples de uma função de aumento em variáveis ​​é obtido tomando o produto das cópias da função de aumento acima em uma variável, então ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle n}$

Existência de funções bump

É possível construir funções de aumento "de acordo com as especificações". Declarado formalmente, se é um conjunto compacto arbitrário em dimensões e é um conjunto aberto contendo uma função de saliência que está dentro e fora de Uma vez que pode ser considerada uma vizinhança muito pequena disso significa ser capaz de construir uma função que é on e cai rapidamente para fora , enquanto continuam sendo suave. ${\ displaystyle K}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle K,}$${\ displaystyle \ phi}$${\ displaystyle 1}$${\ displaystyle K}$${\ displaystyle 0}$${\ displaystyle U.}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle K,}$${\ displaystyle 1}$${\ displaystyle K}$${\ displaystyle 0}$${\ displaystyle K,}$

A construção prossegue da seguinte forma. Considera-se uma vizinhança compacta de contido em so A função característica de será igual a dentro e fora de assim em particular, será dentro e fora de Esta função não é, no entanto, suave. A ideia principal é suavizar um pouco, tirando a convolução de com um molificador . A última é apenas uma função de colisão com um suporte muito pequeno e cuja integral é. Esse molificador pode ser obtido, por exemplo, pegando a função de colisão da seção anterior e executando as escalas apropriadas. ${\ displaystyle V}$${\ displaystyle K}$${\ displaystyle U,}$${\ displaystyle K \ subseteq V ^ {\ circ} \ subseteq V \ subseteq U.}$ ${\ displaystyle \ chi _ {V}}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle 1}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle 0}$${\ displaystyle V,}$${\ displaystyle 1}$${\ displaystyle K}$${\ displaystyle 0}$${\ displaystyle U.}$${\ displaystyle \ chi _ {V}}$${\ displaystyle \ chi _ {V}}$${\ displaystyle 1.}$${\ displaystyle \ Phi}$

Uma construção alternativa que não envolve convolução é agora detalhada. Comece com qualquer função suave que desaparece nos reais negativas e é positivo sobre as reais positivos (isto é, no e em que a continuidade dos exija esquerda ); um exemplo de tal função é para e não. Fixe um subconjunto aberto de e denote a norma euclidiana usual por (portanto, é dotado da métrica euclidiana usual ). A construção a seguir define uma função suave que é positiva em e desaparece fora de So em particular, se for relativamente compacta, então essa função será uma função de aumento. ${\ displaystyle c: \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R}}$${\ displaystyle c = 0}$${\ displaystyle (- \ infty, 0)}$${\ displaystyle c> 0}$${\ displaystyle (0, \ infty),}$${\ displaystyle c (0) = 0}$${\ displaystyle c (x): = e ^ {- 1 / x}}$${\ displaystyle x> 0}$${\ displaystyle c (x): = 0}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ displaystyle \ | \ cdot \ |}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ displaystyle f: \ mathbb {R} ^ {n} \ to \ mathbb {R}}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle U.}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle f}$

Se, então, deixe um pouco se, então, deixe ; então suponha que não seja nenhum desses. Let ser uma cobertura aberta de bolas abertas onde a bola aberta tem raio e centro Então o mapa definido poréuma função suave que é positiva e desaparece de Para cada let ${\ displaystyle U = \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ displaystyle f: = 1}$${\ displaystyle U = \ varnothing}$${\ displaystyle f: = 0}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle \ left (U_ {k} \ right) _ {k = 1} ^ {\ infty}}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle U_ {k}}$${\ displaystyle r_ {k}> 0}$${\ displaystyle a_ {k} \ in U.}$${\ displaystyle f_ {k}: \ mathbb {R} ^ {n} \ to \ mathbb {R}}$${\ displaystyle f_ {k} (x): = c \ left (r_ {k} ^ {2} - \ left \ | x-a_ {k} \ right \ | ^ {2} \ right)}$${\ displaystyle U_ {k}}$${\ displaystyle U_ {k}.}$${\ displaystyle k \ in \ mathbb {N},}$

que é um número real porque o supremo desaparece fora de enquanto no conjunto compacto os valores das derivadas parciais são limitados. As séries ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle U_ {k}}$${\ displaystyle {\ overline {U_ {k}}},}$ converge uniformemente para uma função suave que é positiva e desaparece Além disso, para quaisquer números inteiros não negativos${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ displaystyle f: \ mathbb {R} ^ {n} \ to \ mathbb {R}}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle U.}$${\ displaystyle p_ {1}, \ ldots, p_ {n} \ in \ mathbb {Z},}$ onde esta série também converge uniformemente em (porque sempre que então o valor absoluto do ^ésimo termo é ). ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ displaystyle k \ geq p_ {1} + \ cdots + p_ {n}}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle \ leq {\ frac {M_ {k}} {2 ^ {k} M_ {k}}} = {\ frac {1} {2 ^ {k}}}}$

Como corolário, dados dois subconjuntos fechados disjuntos de funções não negativas suaves, de modo que para qualquer se e somente se e da mesma forma, se e somente se, então, a função é suave e para qualquer se e somente se se e somente se e se e somente se Em particular, se e somente se , além disso, for relativamente compacto em (onde implica ), então será uma função de colisão suave com suporte em${\ displaystyle A, B}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ displaystyle f_ {A}, f_ {B}: \ mathbb {R} ^ {n} \ to [0, \ infty)}$${\ displaystyle x \ in \ mathbb {R} ^ {n},}$ ${\ displaystyle f_ {A} (x) = 0}$${\ displaystyle x \ em A,}$${\ displaystyle f_ {B} (x) = 0}$${\ displaystyle x \ in B,}$${\ displaystyle f: = {\ frac {f_ {A}} {f_ {A} + f_ {B}}}: \ mathbb {R} ^ {n} \ to [0,1]}$${\ displaystyle x \ in \ mathbb {R} ^ {n},}$ ${\ displaystyle f (x) = 0}$${\ displaystyle x \ em A,}$ ${\ displaystyle f (x) = 1}$${\ displaystyle x \ in B,}$${\ displaystyle 0 <f (x) <1}$${\ displaystyle x \ not \ in A \ cup B.}$${\ displaystyle f (x) \ neq 0}$${\ displaystyle x \ in \ mathbb {R} ^ {n} \ setminus A,}$${\ displaystyle U: = \ mathbb {R} ^ {n} \ setminus A}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ displaystyle A \ cap B = \ varnothing}$${\ displaystyle B \ subseteq U}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle {\ overline {U}}.}$

Propriedades e usos

Embora as funções de resposta sejam suaves, elas não podem ser analíticas, a menos que desapareçam de forma idêntica []. Esta é uma consequência simples do teorema da

identidade . As funções de relevo são freqüentemente usadas como molificadores , como funções de corte suaves e para formar partições suaves de unidade . Eles são a classe mais comum de funções de teste usadas na análise. O espaço das funções bump é fechado em muitas operações. Por exemplo, a soma, produto ou convolução de duas funções de aumento é novamente uma função de aumento, e qualquer operador diferencial com coeficientes suaves, quando aplicado a uma função de aumento, produzirá outra função de aumento.

Se os limites do domínio da função Bump são , para cumprir o requisito de "suavidade", ele deve preservar a continuidade de todas as suas derivadas, o que leva ao seguinte requisito nos limites de seu domínio: ${\ displaystyle \ partial x}$

$${\ displaystyle \ lim _ {x \ to \ partial x ^ {\ pm}} {\ frac {d ^ {n}} {dx ^ {n}}} f (x) = 0, \, \ forall n \ geq 0, \, n \ in \ mathbb {Z}}$$

A transformada de

Fourier de uma função de colisão é uma função analítica (real) e pode ser estendida a todo o plano complexo: portanto, não pode ser compactamente suportada a menos que seja zero, uma vez que a única função de colisão analítica inteira é a função zero (ver Teorema de Paley – Wiener e teorema de Liouville ). Como a função de aumento é infinitamente diferenciável, sua transformada de Fourier deve decair mais rápido do que qualquer potência finita para uma grande frequência angular . A transformada de Fourier da função de colisão particular ${\ displaystyle 1 / k}$${\ displaystyle | k |}$

$${\ displaystyle \ Psi (x) = e ^ {- {\ frac {1} {1-x ^ {2}}}} \ mathbf {1} _ {\ {| x | <1 \}}}$$

de cima pode ser analisado por um método de ponto de sela e decai assintoticamente conforme

$${\ displaystyle | k | ^ {- {\ frac {3} {4}}} e ^ {- {\ sqrt {| k |}}}}$$

para grande . ${\ displaystyle | k |}$

Veja também

• Função de corte
• Laplaciano do indicador
• Função suave não analítica  - funções matemáticas que são suaves, mas não analíticas
• Espaço de Schwartz  - O espaço de função de todas as funções cujas derivadas estão diminuindo rapidamente

Citações

Referências

• Nestruev, Jet (10 de setembro de 2020). Manifolds suaves e observáveis . Textos de Pós-Graduação em Matemática . 220 . Cham, Suíça: Springer Nature . ISBN 978-3-030-45649-8. OCLC  1195920718 .CS1 manutenção: data e ano ( link )