Espaço Schwartz - Schwartz space
Em matemática , o espaço de Schwartz é o espaço de funções de todas as funções cujas derivadas estão diminuindo rapidamente. Este espaço tem a propriedade importante de que a transformada de Fourier é um automorfismo neste espaço. Esta propriedade permite, por dualidade, definir a transformada de Fourier para elementos no espaço dual de , ou seja, para distribuições temperadas . Uma função no espaço de Schwartz às vezes é chamada de função de Schwartz .
O espaço de Schwartz deve o seu nome ao matemático francês Laurent Schwartz .
Definição
Motivação
A ideia por trás do espaço de Schwartz é considerar o conjunto de todas as funções suaves nas quais diminuem rapidamente. Isso é codificado considerando todas as derivadas possíveis (com múltiplos índices ) em uma função de valor complexo suave e o supremo de todos os valores possíveis de multiplicado por qualquer monômio e limitando-os. Esta restrição é codificada como a desigualdade
Definição
Seja o
conjunto de inteiros não negativos e, para qualquer um , seja o produto cartesiano n vezes . O espaço de Schwartz ou espaço de funções decrescentes rapidamente é o espaço de funçãoPara colocar uma linguagem comum nesta definição, pode-se considerar uma função que diminui rapidamente como essencialmente uma função f ( x ) tal que f ( x ) , f ′ ( x ) , f ′ ′ ( x ) , ... todos existem em todos os lugares em R e vá para zero quando x → ± ∞ mais rápido do que qualquer potência recíproca de x . Em particular, S ( R n , C ) é um subespaço do espaço função C ∞ ( R n , C ) de funções suaves a partir de R n em C .
Exemplos de funções no espaço de Schwartz
- Se α é um índice múltiplo e a é um número real positivo , então
- Qualquer função suave f com suporte compacto está em S ( R n ). Isso é claro, uma vez que qualquer derivada de f é contínua e apoiada no suporte de f , então ( x α D β ) f tem um máximo em R n pelo teorema do valor extremo .
- Como o espaço de Schwartz é um espaço vetorial, qualquer polinômio pode ser multiplicado por um fator para uma constante real, para fornecer um elemento do espaço de Schwartz. Em particular, há uma incorporação de polinômios dentro de um espaço de Schwartz.
Propriedades
Propriedades analíticas
- Da regra de Leibniz , segue-se que 𝒮 ( R n ) também é fechado sob a multiplicação pontual :
- Se f , g ∈ 𝒮 ( R n ) então o produto fg ∈ 𝒮 ( R n ) .
- A transformada de Fourier é um isomorfismo linear F: 𝒮 ( R n ) → 𝒮 ( R n ) .
- Se f ∈ 𝒮 ( R ) então f é uniformemente contínuos em R .
- 𝒮 ( R n ) é um distinto Fréchet Schwartz TVS localmente convexo sobre os
- completar espaços
- Sabe-se que no espaço dual de qualquer espaço de Montel, uma sequência converge na topologia dual forte se e somente se convergir na topologia fraca * ,
Relação dos espaços de Schwartz com outros espaços vetoriais topológicos
- Se 1 ≤ p ≤ ∞ , então 𝒮 ( R n ) ⊂ L p ( R n ) .
- Se 1 ≤ p <∞ , então 𝒮 ( R n ) é denso em L p ( R n ) .
- O espaço de todas as funções bump , C∞
c( R N ) , está incluído no 𝒮 ( R N ) .
Veja também
Referências
- ^ Trèves 2006 , pp. 351–359.
Fontes
- Hörmander, L. (1990). A análise de operadores diferenciais parciais lineares I, (teoria da distribuição e análise de Fourier) (2ª ed.). Berlim: Springer-Verlag. ISBN 3-540-52343-X.
- Reed, M .; Simon, B. (1980). Métodos de Física Matemática Moderna: Análise Funcional I (Edição revisada e ampliada). San Diego: Academic Press. ISBN 0-12-585050-6.
- Stein, Elias M .; Shakarchi, Rami (2003). Análise de Fourier: Uma Introdução (Princeton Lectures in Analysis I) . Princeton: Princeton University Press. ISBN 0-691-11384-X.
- Trèves, François (2006) [1967]. Espaços Vetoriais Topológicos, Distribuições e Kernels . Mineola, NY: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322 .
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