Produto cartesiano - Cartesian product

Produto cartesiano dos conjuntos e

Em matemática , especificamente conjunto teoria , o produto cartesiano de dois conjuntos A e B , denotado Um  ×  B , é o conjunto de todos os pares ordenados ( um , b ) onde um está em um e b é em B . Em termos de notação de construtor de conjunto , isto é

Uma tabela pode ser criada tomando o produto cartesiano de um conjunto de linhas e um conjunto de colunas. Se o produto cartesiano linhas × colunas for considerado, as células da tabela conterão pares ordenados do formulário (valor da linha, valor da coluna) .

Pode-se definir de forma semelhante o produto cartesiano de n conjuntos, também conhecido como produto cartesiano n- vezes , que pode ser representado por um array n- dimensional, onde cada elemento é uma n - tupla . Um par ordenado é um par ou duas tuplas . Ainda mais genericamente, pode-se definir o produto cartesiano de uma família indexada de conjuntos.

O produto cartesiano leva o nome de René Descartes , cuja formulação da geometria analítica deu origem ao conceito, que é posteriormente generalizado em termos de produto direto .

Exemplos

Um baralho de cartas

Baralho de 52 cartas padrão

Um exemplo ilustrativo é o baralho de 52 cartas padrão . As classificações padrão de cartas de jogo {A, K, Q, J, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2} formam um conjunto de 13 elementos. Os naipes {♠, , , ♣} formam um conjunto de quatro elementos. O produto cartesiano desses conjuntos retorna um conjunto de 52 elementos que consiste em 52 pares ordenados , que correspondem a todas as 52 cartas de jogo possíveis.

Ranks × Suits retorna um conjunto da forma {(A, ♠), (A,  ), (A,  ), (A, ♣), (K, ♠),…, (3, ♣), (2 , ♠), (2,  ), (2,  ), (2, ♣)}.

Suits × Ranks retorna um conjunto da forma {(♠, A), (♠, K), (♠, Q), (♠, J), (♠, 10),…, (♣, 6), (♣ , 5), (♣, 4), (♣, 3), (♣, 2)}.

Esses dois conjuntos são distintos, até mesmo separados .

Um sistema de coordenadas bidimensional

Coordenadas cartesianas de pontos de exemplo

O principal exemplo histórico é o plano cartesiano em geometria analítica . Para representar as formas geométricas de forma numérica e extrair informações numéricas das representações numéricas das formas, René Descartes atribuiu a cada ponto do plano um par de números reais , chamados de suas coordenadas . Geralmente, primeiro e segundo componentes de um tal par são chamados sua x e y coordenadas, respectivamente (ver figura). O conjunto de todos esses pares (ou seja, o produto cartesiano ℝ × ℝ , com ℝ denotando os números reais) é então atribuído ao conjunto de todos os pontos no plano.

Implementação mais comum (teoria dos conjuntos)

Uma definição formal do produto cartesiano a partir de princípios teóricos de conjuntos segue de uma definição de par ordenado . A definição mais comum de pares ordenados, a definição de Kuratowski , é . Segundo esta definição, é um elemento e um subconjunto desse conjunto, onde representa o operador do conjunto de potência . Portanto, a existência do produto cartesiano de quaisquer dois conjuntos em ZFC segue dos axiomas de emparelhamento , união , conjunto de potência e especificação . Uma vez que as funções são geralmente definidas como um caso especial de relações e as relações são geralmente definidas como subconjuntos do produto cartesiano, a definição do produto cartesiano de dois conjuntos é necessariamente anterior à maioria das outras definições.

Não comutatividade e não associatividade

Sejam A , B , C e D conjuntos.

O produto cartesiano A × B não é comutativo ,

porque os pares ordenados são invertidos, a menos que pelo menos uma das seguintes condições seja satisfeita:

Por exemplo:

A = {1,2}; B = {3,4}
A × B = {1,2} × {3,4} = {(1,3), (1,4), (2,3), (2,4)}
B × A = {3,4} × {1,2} = {(3,1), (3,2), (4,1), (4,2)}
A = B = {1,2}
A × B = B × A = {1,2} × {1,2} = {(1,1), (1,2), (2,1), (2,2)}
A = {1,2}; B = ∅
A × B = {1,2} × ∅ = ∅
B × A = ∅ × {1,2} = ∅

A rigor, o produto cartesiano não é associativo (a menos que um dos conjuntos envolvidos esteja vazio).

Se, por exemplo, A  = {1}, então ( A × A ) × A = {((1, 1), 1)} ≠ {(1, (1, 1))} = A × ( A × A ) .

Intersecções, uniões e subconjuntos

Conjuntos de exemplo

A  = { y  ∈   : 1 ≤  y  ≤ 4}, B  = { x  ∈ ℝ: 2 ≤  x  ≤ 5}
e C = { x  ∈ ℝ: 4 ≤  x  ≤ 7}, demonstrando
A × ( B C ) = ( A × B ) ∩ ( A × C ),
A × ( B C ) = ( A × B ) ∪ ( A × C ), e

A × ( B  \  C ) = ( A × B ) \ ( A × C )
Conjuntos de exemplo

A  = { x  ∈ ℝ: 2 ≤  x  ≤ 5}, B  = { x  ∈ ℝ: 3 ≤  x  ≤ 7},
C  = { y  ∈ ℝ: 1 ≤  y  ≤ 3}, D  = { y  ∈ ℝ: 2 ≤  y  ≤ 4}, demonstrando

( AB ) × ( CD ) = ( A × C ) ∩ ( B × D ).
( AB ) × ( CD ) ≠ ( A × C ) ∪ ( B × D ) pode ser visto no mesmo exemplo.

O produto cartesiano satisfaz a seguinte propriedade com respeito às interseções (veja a imagem do meio).

Na maioria dos casos, a afirmação acima não é verdadeira se substituirmos a interseção por união (veja a imagem mais à direita).

Na verdade, temos isso:

Para a diferença definida, também temos a seguinte identidade:

Aqui estão algumas regras que demonstram a distributividade com outros operadores (veja a imagem mais à esquerda):

onde indica o complemento absoluto de um .

Outras propriedades relacionadas a subconjuntos são:

Cardinalidade

A cardinalidade de um conjunto é o número de elementos do conjunto. Por exemplo, definindo dois conjuntos: A = {a, b} e B = {5, 6}. Ambos os conjuntos A e B consistem em dois elementos cada. Seu produto cartesiano, escrito como A × B , resulta em um novo conjunto que possui os seguintes elementos:

A × B = {(a, 5), (a, 6), (b, 5), (b, 6)}.

onde cada elemento de A está emparelhado com cada elemento de B , e onde cada par constitui um elemento do conjunto de saída. O número de valores em cada elemento do conjunto resultante é igual ao número de conjuntos cujo produto cartesiano está sendo obtido; 2 neste caso. A cardinalidade do conjunto de saída é igual ao produto das cardinalidades de todos os conjuntos de entrada. Isso é,

| A × B | = | A | · | B |.

Nesse caso, | A × B | = 4

similarmente

| A × B × C | = | A | · | B | · | C |

e assim por diante.

O conjunto A × B é infinito se A ou B for infinito e o outro conjunto não for o conjunto vazio.

Produtos cartesianos de vários conjuntos

produto cartesiano n -ary

O produto cartesiano pode ser generalizado para o produto cartesiano n -ary sobre n conjuntos X 1 , ..., X n como o conjunto

de n -tuples . Se as tuplas forem definidas como pares ordenados aninhados , elas podem ser identificadas com ( X 1 × ⋯ × X n −1 ) × X n . Se uma tupla é definida como uma função em {1, 2,…, n } que assume seu valor em i como o i ésimo elemento da tupla, então o produto cartesiano X 1 × ⋯ × X n é o conjunto de funções

poder cartesiano n -ary

O quadrado cartesiano de um conjunto X é o produto cartesiano X 2 = X x X . Um exemplo é o 2-dimensional plano R 2 = R x R onde R é o conjunto de números reais : R 2 representa o conjunto de todos os pontos ( x , y ) onde x e y são números reais (ver o sistema de coordenadas cartesianas ) .

O poder cartesiano n -ary de um conjunto X , denotado , pode ser definido como

Um exemplo disso é R 3 = R × R × R , com R novamente o conjunto de números reais e, mais geralmente, R n .

O n poder cartesiano -ary de um conjunto X é isomorfo para o espaço de funções de um n conjunto -element para X . Tal como um caso especial, o poder cartesiano 0-ário de X pode ser considerado como sendo um conjunto Singleton , correspondente à função vazia com codomain X .

Produtos cartesianos infinitos

É possível definir o produto cartesiano de uma família indexada arbitrária (possivelmente infinita ) de conjuntos. Se I for qualquer conjunto de índice e for uma família de conjuntos indexados por I , o produto cartesiano dos conjuntos em é definido como

isto é, o conjunto de todas as funções definidas no conjunto de índices de forma que o valor da função em um índice particular i seja um elemento de X i . Mesmo que cada um dos X i seja não-vazio, o produto cartesiano pode ser vazio se o axioma da escolha , que é equivalente à afirmação de que todo esse produto é não-vazio, não for assumido.

Para cada j em I , a função

definido por é chamado de j ésimo mapa de projeção .

Poder cartesiano é um produto cartesiano em que todos os factores X i são o mesmo conjunto X . Nesse caso,

é o conjunto de todas as funções de I a X , e é frequentemente denotado X I . Este caso é importante no estudo da exponenciação cardinal . Um caso especial importante é quando o conjunto de índices é , os números naturais : este produto cartesiano é o conjunto de todas as sequências infinitas com o i ésimo termo em seu conjunto correspondente X i . Por exemplo, cada elemento de

pode ser visualizado como um vetor com componentes de números reais infinitos contáveis. Este conjunto é freqüentemente denotado , ou .

Outras formas

Forma abreviada

Se vários conjuntos estão sendo multiplicados juntos (por exemplo, X 1 , X 2 , X 3 , ...), então alguns autores optam por abreviar o produto cartesiano simplesmente × X i .

Produto cartesiano de funções

Se f é uma função de A para B e g é uma função de X para Y , em seguida, o seu produto cartesiano f × g é uma função de um × X a B × Y com

Isso pode ser estendido para tuplas e coleções infinitas de funções. Isso é diferente do produto cartesiano padrão de funções consideradas como conjuntos.

Cilindro

Deixe ser um conjunto e . Então o cilindro de com respeito a é o produto cartesiano de e .

Normalmente, é considerado o universo do contexto e é deixado de lado. Por exemplo, se for um subconjunto dos números naturais , o cilindro de é .

Definições fora da teoria dos conjuntos

Teoria da categoria

Embora o produto cartesiano seja tradicionalmente aplicado a conjuntos, a teoria das categorias fornece uma interpretação mais geral do produto de estruturas matemáticas. Isso é distinto, embora relacionado à noção de um quadrado cartesiano na teoria das categorias, que é uma generalização do produto de fibra .

A exponenciação é o adjunto correto do produto cartesiano; portanto, qualquer categoria com um produto cartesiano (e um objeto final ) é uma categoria cartesiana fechada .

Teoria dos grafos

Na teoria dos grafos , o produto cartesiano de dois grafos G e H é o gráfico denotado por G × H , cujo conjunto de vértices é o produto cartesiano (comum) V ( G ) × V ( H ) e tal que dois vértices ( u , v ) e ( u ', v ') são adjacentes em L x H , se e somente se u = u ' e v é adjacente com v ' em H , ou v = v ' e u é adjacente com u ' em G . O produto cartesiano dos gráficos não é um produto no sentido da teoria das categorias. Em vez disso, o produto categórico é conhecido como produto tensorial dos gráficos .

Veja também

Referências

links externos