Espaço Fréchet - Fréchet space

Na análise funcional e áreas relacionadas da matemática , os espaços de Fréchet , nomeados em homenagem a Maurice Fréchet , são espaços vetoriais topológicos especiais . Eles são generalizações de espaços de Banach ( espaços vetoriais normados que são completos em relação à métrica induzida pela norma ). Todos os espaços Banach e Hilbert são espaços Fréchet. Espaços de funções infinitamente diferenciáveis são exemplos típicos de espaços de Fréchet, muitos dos quais normalmente não são espaços de Banach.

Um espaço Fréchet é definido para ser uma convexa localmente metrizáveis topológica vector espaço (TVS) que é completa como um TVS , o que significa que cada sequência de Cauchy em converge para um ponto em (ver nota de rodapé para mais detalhes). ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$

Nota importante : Nem todos os autores exigem que um espaço de Fréchet seja localmente convexo (discutido abaixo).

A topologia de cada espaço de Fréchet é induzida por alguma métrica completa invariante à translação . Por outro lado, se a topologia de um espaço localmente convexo é induzida por uma métrica completa invariante à translação, então é um espaço de Fréchet. ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$

Fréchet foi o primeiro a usar o termo " espaço de Banach " e Banach, por sua vez, cunhou o termo "espaço de Fréchet" para significar um espaço vetorial topológico metrizável completo , sem o requisito de convexidade local (esse espaço é hoje frequentemente chamado de " F- espaço "). A condição de localmente convexa foi adicionada posteriormente por Nicolas Bourbaki . É importante notar que um número considerável de autores (por exemplo, Schaefer) usa "espaço F" para significar um espaço Fréchet (localmente convexo), enquanto outros não exigem que um "espaço Fréchet" seja localmente convexo. Além disso, alguns autores até usam " F -space" e "Fréchet space" de forma intercambiável. Ao ler literatura matemática, é recomendável que o leitor sempre verifique se a definição do livro ou do artigo de " espaço F " e "espaço de Fréchet" requer convexidade local.

Definições

Os espaços de Fréchet podem ser definidos de duas maneiras equivalentes: a primeira emprega uma métrica invariante à translação , a segunda uma família contável de semi-normas .

Definição de métrica invariável

Um espaço vetorial topológico é um espaço de Fréchet se, e somente se, satisfizer as três propriedades a seguir: ${\ displaystyle X}$

1. É localmente convexo .
2. Sua topologia pode ser induzida por uma métrica invariante à translação, ou seja, uma métrica tal que para todos Isso significa que um subconjunto de é aberto se e somente se para cada existe um tal que } é um subconjunto de${\ displaystyle d: X \ times X \ to \ mathbb {R}}$${\ displaystyle d (x, y) = d (x + z, y + z)}$${\ displaystyle x, y, z \ in X.}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle u \ in U}$${\ displaystyle r> 0}$${\ displaystyle \ {v: d (v, u) <r \}}$${\ displaystyle U.}$
3. Alguma (ou equivalentemente, toda) métrica invariante de tradução na indução da topologia de está completa . ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$
   • Supondo que as outras duas condições sejam satisfeitas, esta condição é equivalente a ser um
   espaço vetorial topológico completo , o que significa que é um espaço uniforme completo quando é dotado de sua uniformidade canônica (esta uniformidade canônica é independente de qualquer métrica em e é definida inteiramente em termos de subtração vetorial e vizinhanças da origem; além disso, a uniformidade induzida por qualquer métrica invariante de translação (definidora de topologia) é idêntica a esta uniformidade canônica).${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$

Observe que não há noção natural de distância entre dois pontos de um espaço de Fréchet: muitas métricas invariantes de translação diferentes podem induzir a mesma topologia.

Família contável de definição de semi-normas

A definição alternativa e um pouco mais prática é a seguinte: um espaço vetorial topológico é um espaço Fréchet se e somente se ele satisfizer as três propriedades a seguir: ${\ displaystyle X}$

1. É um espaço de Hausdorff ,
2. A sua topologia podem ser induzidas por uma família de contáveis semi normas Isto significa que um subconjunto é aberta, se e somente se para cada existe e de tal modo que é um subconjunto de${\ displaystyle || \ cdot || _ {k}}$ ${\ displaystyle k = 0,1,2, \ ldots}$${\ displaystyle U \ subset X}$${\ displaystyle u \ in U}$${\ displaystyle K \ geq 0}$${\ displaystyle r> 0}$${\ displaystyle \ {v \ in X: \ | vu \ | _ {k} <r {\ text {para todos}} k \ leq K \}}$${\ displaystyle U,}$
3. é completo no que diz respeito à família das seminormalidades.

Uma família de seminários em produz uma topologia de Hausdorff se e somente se ${\ displaystyle {\ mathcal {P}}}$${\ displaystyle X}$

${\ displaystyle \ bigcap _ {\ | \, \ cdot \, \ | \ in {\ mathcal {P}}} \ {x \ in X: \ | x \ | = 0 \} = \ {0 \}. }$

Uma sequência em converge para dentro do espaço de Fréchet definido por uma família de normas semi-se e apenas se ela converge para com respeito a cada um dos dados semi normas. ${\ displaystyle x _ {\ bullet} = \ left (x_ {n} \ right) _ {n = 1} ^ {\ infty}}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle x}$

Como espaços de Baire com teias

Comparação com espaços de Banach

Em contraste com os espaços de Banach , a métrica invariante à translação completa não precisa surgir de uma norma. A topologia de um espaço Fréchet, no entanto, surge tanto de uma paranorma total quanto de uma norma F (o F significa Fréchet).

Embora a estrutura topológica dos espaços de Fréchet seja mais complicada do que a dos espaços de Banach devido à potencial falta de uma norma, muitos resultados importantes na análise funcional, como o teorema do mapeamento aberto , o teorema do grafo fechado e o teorema de Banach-Steinhaus , ainda segure.

Construindo espaços Fréchet

Lembre-se de que um seminorm é uma função de um espaço vetorial para os números reais que satisfazem três propriedades. Para todos e todos os escalares${\ displaystyle \ | \ cdot \ |}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle x, y \ in X}$${\ displaystyle c,}$

${\ displaystyle \ | x \ | \ geq 0}$

${\ displaystyle \ | x + y \ | \ leq \ | x \ | + \ | y \ |}$

${\ displaystyle \ | c \ cdot x \ | = | c | \ | x \ |}$

Se realmente implica isso, então é de fato uma norma. No entanto, os seminários são úteis na medida em que nos permitem construir espaços Fréchet, da seguinte forma: ${\ displaystyle \ | x \ | = 0}$${\ displaystyle x = 0,}$${\ displaystyle \ | \ cdot \ |}$

Para construir um espaço Fréchet, um tipicamente inicia-se com um espaço vectorial e define uma família de contáveis semi normas em com as duas seguintes propriedades: ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle \ | \ cdot \ | _ {k}}$${\ displaystyle X}$

• se e para todos então ;${\ displaystyle x \ in X}$${\ displaystyle \ | x \ | _ {k} = 0}$${\ displaystyle k \ geq 0,}$${\ displaystyle x = 0}$
• se é uma sequência na qual é Cauchy com respeito a cada seminorma, então existe tal que converge com respeito a cada seminorma${\ displaystyle x _ {\ bullet} = \ left (x_ {n} \ right) _ {n = 1} ^ {\ infty}}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle \ | \ cdot \ | _ {k},}$${\ displaystyle x \ in X}$${\ displaystyle x _ {\ bullet} = \ left (x_ {n} \ right) _ {n = 1} ^ {\ infty}}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle \ | \ cdot \ | _ {k}.}$

Então, a topologia induzida por essas seminormas (conforme explicado acima) se transforma em um espaço de Fréchet; a primeira propriedade garante que seja Hausdorff, e a segunda propriedade garante que seja completo. Uma métrica completa invariante à tradução induzindo a mesma topologia pode então ser definida por ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$

${\ displaystyle d (x, y) = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} 2 ^ {- k} {\ frac {\ | xy \ | _ {k}} {1+ \ | xy \ | _ {k}}} \ qquad x, y \ em X.}$

A função mapeia monotonicamente para e, portanto, a definição acima garante que seja "pequeno" se e somente se existir "grande" tal que seja "pequeno" para${\ displaystyle u \ mapsto {\ frac {u} {1 + u}}}$${\ displaystyle [0, \ infty)}$${\ displaystyle [0,1),}$${\ displaystyle d (x, y)}$${\ displaystyle K}$${\ displaystyle \ | xy \ | _ {k}}$${\ displaystyle k = 0, \ ldots, K.}$

Exemplos

Da análise funcional pura

• Cada espaço de Banach é um espaço de Fréchet, pois a norma induz uma métrica invariante à translação e o espaço é completo em relação a essa métrica.
• O espaço de todas as sequências de valor real${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {\ omega}}$ torna-se um espaço de Fréchet se definirmos a -ésima seminorma de uma sequência como o valor absoluto do -ésimo elemento da sequência. A convergência neste espaço de Fréchet é equivalente à convergência elemento a elemento.${\ displaystyle k}$${\ displaystyle k}$

De manifolds suaves

• O espaço vetorial de todas as funções infinitamente diferenciáveis torna-se um espaço de Fréchet com as seminormas ${\ displaystyle C ^ {\ infty} ([0,1])}$${\ displaystyle f: [0,1] \ to \ mathbb {R}}$

  ${\ displaystyle \ | f \ | _ {k} = \ sup \ {| f ^ {(k)} (x) |: x \ in [0,1] \}}$

  para cada inteiro não negativo Aqui, denota a derivada -ésima de e Neste espaço de Fréchet, uma sequência de funções converge para o elemento se e somente se para cada inteiro não negativo a sequência converge uniformemente .${\ displaystyle k.}$${\ displaystyle f ^ {(k)}}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle f,}$${\ displaystyle f ^ {(0)} = f.}$${\ displaystyle \ left (f_ {n} \ right) \ a f}$${\ displaystyle f \ in C ^ {\ infty} ([0,1])}$${\ displaystyle k \ geq 0,}$${\ displaystyle \ left (f_ {n} ^ {(k)} \ right) \ a f ^ {(k)}}$
• O espaço vetorial de todas as funções infinitamente diferenciáveis torna-se um espaço de Fréchet com as seminormas ${\ displaystyle C ^ {\ infty} (\ mathbb {R})}$${\ displaystyle f: \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R}}$

  ${\ displaystyle \ | f \ | _ {k, n} = \ sup \ {| f ^ {(k)} (x) |: x \ in [-n, n] \}}$

  para todos os inteiros Então, uma sequência de funções converge se e somente se para cada as sequências convergem compactamente .${\ displaystyle k, n \ geq 0.}$${\ displaystyle \ left (f_ {n} \ right) \ a f}$${\ displaystyle k, n \ geq 0,}$${\ displaystyle \ left (f_ {n} ^ {(k)} \ right) \ a f ^ {(k)}}$
• O espaço vetorial de todas as funções continuamente diferenciáveis torna-se um espaço de Fréchet com as seminormas ${\ displaystyle C ^ {m} (\ mathbb {R})}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle f: \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R}}$

  ${\ displaystyle \ | f \ | _ {k, n} = \ sup \ {| f ^ {(k)} (x) |: x \ in [-n, n] \}}$

  para todos os inteiros e${\ displaystyle n \ geq 0}$${\ displaystyle k = 0, \ ldots, m.}$
• Se for um compacto - múltiplo e um espaço de Banach , então o conjunto de todas as funções infinitamente diferenciáveis pode ser transformado em um espaço de Fréchet usando como seminormas a suprema das normas de todas as derivadas parciais. Se é uma (não necessariamente compacta) -variedade que admite uma seqüência contável de subconjuntos compactos, de modo que cada subconjunto compacto de está contido em pelo menos um, então os espaços e também são o espaço de Fréchet de maneira natural. Como um caso especial, cada variedade completa de dimensão finita suave pode ser transformada em tal união aninhada de subconjuntos compactos: equipá-la com uma métrica Riemanniana que induz uma escolha métrica e deixe ${\ displaystyle M}$ ${\ displaystyle C ^ {\ infty}}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle C ^ {\ infty} (M, B)}$${\ displaystyle f: M \ to B}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle C ^ {\ infty}}$${\ displaystyle K ^ {n}}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle K ^ {n},}$${\ displaystyle C ^ {m} (M, B)}$${\ displaystyle C ^ {\ infty} (M, B)}$ ${\ displaystyle M}$ ${\ displaystyle g}$${\ displaystyle d (x, y),}$${\ displaystyle x \ em M,}$

  ${\ displaystyle K_ {n} = \ {y \ in M ​​| d (x, y) \ leq n \} \.}$

  Let ser um compacto - colector e um feixe de vector sobre Let representar o espaço das secções lisas de mais de Escolha métricas e ligações riemannianos, que são garantidos a existir, sobre os feixes e Se é um corte, denotam sua j ^th derivado covariante por Então ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle C ^ {\ infty}}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle X.}$${\ displaystyle C ^ {\ infty} (X, V)}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle X.}$${\ displaystyle TX}$${\ displaystyle V.}$${\ displaystyle s}$${\ displaystyle D ^ {j} s.}$

  ${\ displaystyle \ | s \ | _ {n} = \ sum _ {j = 0} ^ {n} \ sup _ {x \ in M} | D ^ {j} s |}$

  (onde | ⋅ | é a norma induzida pela métrica Riemanniana) é uma família de seminormes que se transformam em um espaço de Fréchet.${\ displaystyle C ^ {\ infty} (M, V)}$

De holomorfia

• Seja o espaço de funções inteiras ( holomórficas em todos os lugares ) no plano complexo. Em seguida, a família de seminários ${\ displaystyle H}$

  ${\ displaystyle \ | f \ | _ {n} = \ sup \ {| f (z) |: | z | \ leq n \}}$

  torna -se um espaço Fréchet.${\ displaystyle H}$
• Deixe ' ser o espaço de funções inteiras (holomórficas em todos os lugares) de tipo exponencial. Então a família de seminormes ${\ displaystyle H}$ ${\ displaystyle \ tau.}$

  ${\ displaystyle \ | f \ | _ {n} = \ sup _ {z \ in \ mathbb {C}} \ exp \ left [- \ left (\ tau + {\ frac {1} {n}} \ right ) | z | \ right] | f (z) |}$

  torna -se um espaço Fréchet.${\ displaystyle H}$

Nem todos os espaços vetoriais com métricas invariantes de translação completas são espaços de Fréchet. Um exemplo é o espaço${\ displaystyle L ^ {p} ([0,1])}$ com Embora este espaço não ser localmente convexa, é um F-espaço . ${\ displaystyle p <1.}$

Propriedades e outras noções

Se um espaço Fréchet admite uma norma contínua, podemos tomar todas as seminormas como normas, adicionando a norma contínua a cada uma delas. Um espaço de Banach, com compactos, e todos admitem normas, enquanto e não o fazem. ${\ displaystyle C ^ {\ infty} ([a, b]),}$ ${\ displaystyle C ^ {\ infty} (X, V)}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle H}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {\ omega}}$${\ displaystyle C (\ mathbb {R})}$

Um subespaço fechado de um espaço Fréchet é um espaço Fréchet. Um quociente de um espaço de Fréchet por um subespaço fechado é um espaço de Fréchet. A soma direta de um número finito de espaços de Fréchet é um espaço de Fréchet.

Um produto de numerosos espaços Fréchet é sempre mais uma vez um espaço Fréchet. No entanto, um produto arbitrário de espaços Fréchet será um espaço Fréchet se e somente se todos, exceto no máximo contáveis, muitos deles são triviais (ou seja, têm dimensão 0). Consequentemente, um produto de incontáveis ​​muitos espaços não triviais de Fréchet não pode ser um espaço de Fréchet (na verdade, tal produto nem mesmo é metrizável porque sua origem não pode ter uma base de vizinhança contável). Portanto, por exemplo, se for qualquer conjunto e for qualquer espaço Fréchet não trivial (como por exemplo), o produto será um espaço Fréchet se e somente se for um conjunto contável. ${\ displaystyle I \ neq \ varnothing}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X = \ mathbb {R}}$${\ displaystyle X ^ {I} = \ prod _ {i \ in I} X}$${\ displaystyle I}$

Várias ferramentas importantes de análise funcional baseadas no teorema da categoria de Baire permanecem verdadeiras nos espaços de Fréchet; exemplos são o teorema do gráfico fechado e o teorema do mapeamento aberto .

Todos os espaços Fréchet são espaços estereotipados . Na teoria dos espaços estereotipados, os espaços Fréchet são objetos duais para os espaços de Brauner .

Cada operador linear limitado de um espaço de Fréchet para outro espaço vetorial topológico (TVS) é contínuo.

Existe um espaço Fréchet tendo um subconjunto limitado e também um subespaço de vetor denso , que não está contido no fechamento (em ) de qualquer subconjunto limitado de${\ displaystyle X}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle M.}$

Todos os espaços Montel metrizable são separáveis . Um espaço de Fréchet separável é um espaço de Montel se e somente se cada sequência convergente fraca - * em seus duais contínuos converge for fortemente convergente .

O forte espaço dual de um espaço Fréchet (e mais geralmente, de qualquer espaço convexo localmente metrizável) é um espaço DF . O dual forte de um espaço DF é um espaço Fréchet. A forte dupla de uma reflexiva espaço Fréchet é um espaço bornological e um espaço Ptak . Cada espaço Fréchet é um espaço Ptak. O bidual forte (isto é, o espaço dual forte do espaço dual forte) de um espaço localmente convexo metrizável é um espaço de Fréchet. ${\ displaystyle X_ {b} ^ {\ prime}}$${\ displaystyle X}$

Normas e normabilidade

Se for um espaço localmente convexo, então a topologia de pode ser definida por uma família de normas contínuas em (uma norma é uma seminorma definida positiva ) se e somente se houver pelo menos uma norma contínua em Mesmo se um espaço de Fréchet tiver um topologia que é definida por uma família (contável) de normas (todas as normas também são seminormes), então pode, no entanto, deixar de ser um espaço normalizável (o que significa que sua topologia não pode ser definida por nenhuma norma única). O espaço de todas as sequências (com a topologia do produto) é um espaço Fréchet. Não existe nenhuma topologia local convexa de Hausdorff que seja estritamente mais grosseira do que esta topologia de produto. O espaço não é normatável , o que significa que sua topologia não pode ser definida por nenhuma norma . Além disso, não existe nenhuma norma contínua sobre. De fato, como mostra o teorema a seguir, sempre que há um espaço de Fréchet no qual não existe nenhuma norma contínua, isso se deve inteiramente à presença de como um subespaço. ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle X.}$ ${\ displaystyle \ mathbb {K} ^ {\ mathbb {N}}}$${\ displaystyle \ mathbb {K} ^ {\ mathbb {N}}}$${\ displaystyle \ mathbb {K} ^ {\ mathbb {N}}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {K} ^ {\ mathbb {N}}.}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle \ mathbb {K} ^ {\ mathbb {N}}}$

Se for um espaço de Fréchet não normalizado no qual existe uma norma contínua, então contém um subespaço vetorial fechado que não tem complemento topológico . ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$

Um espaço localmente convexo metrizable é normable se e somente se seu espaço dual forte é um espaço Fréchet-Urysohn localmente convexo. Em particular, se um espaço metrizável localmente convexo (como um espaço de Fréchet) não é normalizável (o que só pode acontecer se for infinito dimensional), então seu espaço dual forte não é um espaço Fréchet-Urysohn e, consequentemente, este espaço completo de Hausdorff localmente convexo também não é metrizável nem normatizável. ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle X_ {b} ^ {\ prime}}$${\ displaystyle X_ {b} ^ {\ prime}}$

O forte espaço dual de um espaço Fréchet (e mais geralmente, de espaços bornológicos como TVSs metrizáveis) é sempre um TVS completo e, portanto, como qualquer TVS completo, é normalizado se e somente se sua topologia puder ser induzida por uma norma completa ( isto é, se e somente se ele pode ser transformado em um espaço de Banach que tem a mesma topologia). Se for um espaço de Fréchet, então é normalizável se (e somente se) houver uma norma completa em seu espaço dual contínuo de forma que a topologia induzida pela norma seja mais fina do que a topologia fraca- *. Consequentemente, se um espaço Fréchet não é normable (o que só pode acontecer se for infinita dimensional), então também não o é o seu espaço dual forte. ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X '}$${\ displaystyle X '}$

Teorema de Anderson-Kadec

Observe que o homeomorfismo descrito no teorema de Anderson-Kadec não é necessariamente linear.

Diferenciação de funções

Se e são espaços Fréchet, então o espaço que consiste em todos os mapas lineares contínuos de a não é um espaço Fréchet de maneira natural. Esta é uma grande diferença entre a teoria dos espaços de Banach e a dos espaços de Fréchet e requer uma definição diferente para a diferenciabilidade contínua de funções definidas nos espaços de Fréchet, a derivada de Gateaux : ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle L (X, Y)}$ ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$

Suponha que seja um subconjunto aberto de um espaço Fréchet é uma função com valor em um espaço Fréchet e O mapa é diferenciável na direção se o limite${\ displaystyle U}$${\ displaystyle X,}$ ${\ displaystyle P: U \ para Y}$${\ displaystyle Y,}$ ${\ displaystyle x \ in U}$${\ displaystyle h \ in X.}$${\ displaystyle P}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle h}$

${\ displaystyle D (P) (x) (h) = \ lim _ {t \ to 0} \, {\ frac {1} {t}} \ left (P (x + th) -P (x) \ direito)}$

existe. O mapa é dito ser continuamente diferenciável em se o mapa ${\ displaystyle P}$${\ displaystyle U}$

${\ displaystyle D (P): U \ vezes X \ a Y}$

é contínuo. Uma vez que o produto dos espaços Fréchet é novamente um espaço Fréchet, podemos então tentar diferenciar e definir os derivados superiores de desta forma. ${\ displaystyle D (P)}$${\ displaystyle P}$

O operador derivado definido por é infinitamente diferenciável. A primeira derivada é dada por ${\ displaystyle P: C ^ {\ infty} ([0,1]) \ to C ^ {\ infty} ([0,1])}$${\ displaystyle P (f) = f '}$

${\ displaystyle D (P) (f) (h) = h '}$

para quaisquer dois elementos Esta é uma grande vantagem do espaço de Fréchet sobre o espaço de Banach para o finito${\ displaystyle f, h \ in C ^ {\ infty} ([0,1]).}$${\ displaystyle C ^ {\ infty} ([0,1])}$${\ displaystyle C ^ {k} ([0,1])}$${\ displaystyle k.}$

Se for uma função continuamente diferenciável, a equação diferencial${\ displaystyle P: U \ para Y}$

${\ displaystyle x '(t) = P (x (t)), \ quad x (0) = x_ {0} \ in U}$

não precisa ter nenhuma solução e, mesmo se tiver, as soluções não precisam ser exclusivas. Isso contrasta fortemente com a situação nos espaços de Banach.

Em geral, o teorema da função inversa não é verdadeiro em espaços de Fréchet, embora um substituto parcial seja o teorema de Nash-Moser .

Variedades de Fréchet e grupos de Lie

Pode-se definir variedades Fréchet como espaços que "localmente se parecem" com espaços Fréchet (assim como variedades comuns são definidas como espaços que localmente parecem espaço euclidiano ), e pode-se então estender o conceito de grupo de Lie a essas variedades. Isso é útil porque para uma determinada variedade compacta (comum) o conjunto de todos os difeomorfismos forma um grupo de Lie generalizado neste sentido, e este grupo de Lie captura as simetrias de Algumas das relações entre álgebras de Lie e grupos de Lie permanecem válidas neste cenário. ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ displaystyle C ^ {\ infty}}$${\ displaystyle M,}$${\ displaystyle C ^ {\ infty}}$ ${\ displaystyle f: M \ a M}$${\ displaystyle M.}$

Outro exemplo importante de um grupo de Lie Fréchet é o grupo de loop de um grupo de Lie compacto os mapeamentos smooth ( ) multiplicados por pontos por${\ displaystyle G,}$${\ displaystyle C ^ {\ infty}}$${\ displaystyle \ gamma: S ^ {1} \ para G,}$${\ displaystyle \ left (\ gamma _ {1} \ gamma _ {2} \ right) (t) = \ gamma _ {1} (t) \ gamma _ {2} (t) ..}$

Generalizações

Se abandonarmos o requisito de o espaço ser localmente convexo, obteremos espaços F : espaços vetoriais com métricas invariantes de translação completas.

Os espaços LF são limites indutivos contáveis ​​dos espaços de Fréchet.

Veja também

• Espaço de Banach  - espaço vetorial normalizado completo
• Espaço Brauner
• Espaço métrico completo  - geometria métrica
• Espaço vetorial topológico completo  - Um TVS onde os pontos que se aproximam progressivamente um do outro sempre convergirão para um ponto
• Espaço F - espaço  vetorial topológico com uma métrica invariante de translação completa
• Malha Fréchet
• Espaço Graded Fréchet
• Espaço de Hilbert  - Generalização do espaço euclidiano permitindo dimensões infinitas
• Espaço vetorial topológico localmente convexo  - Um espaço vetorial com uma topologia definida por conjuntos abertos convexos
• Espaço vetorial topológico metrizável  - Um espaço vetorial topológico cuja topologia pode ser definida por uma métrica
• Sobreposição de espaços de Fréchet  - Caracterização da sobrejetividade
• Espaço Tame Fréchet
• Espaço vetorial topológico  - espaço vetorial com noção de proximidade

Notas

Citações

Referências

• "Fréchet space" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
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