O gráfico da função cúbica no intervalo é fechado porque a função é contínua . O gráfico da função Heaviside ligada não é fechado, porque a função não é contínua.
Em matemática , o teorema do gráfico fechado pode se referir a um dos vários resultados básicos que caracterizam funções contínuas em termos de seus gráficos . Cada um fornece condições quando as funções com gráficos fechados são necessariamente contínuos.
Qualquer função contínua em um espaço de Hausdorff possui um gráfico fechado.
Qualquer mapa linear, entre dois espaços vetoriais topológicos cujas topologias são (Cauchy) completas com respeito às métricas invariantes de translação, e se, além disso, (1a) for sequencialmente contínuo no sentido da topologia do produto, então o mapa é contínuo e seu gráfico,
Gr L , é necessariamente fechado. Por outro lado, se é um mapa linear com, no lugar de (1a), o gráfico de é (1b) conhecido por ser fechado no espaço do produto cartesiano , então é contínuo e, portanto, necessariamente contínuo sequencialmente.
Exemplos de mapas contínuos que não são fechados
Se for qualquer espaço, então o mapa de identidade é contínuo, mas seu gráfico, que é a diagonal , é fechado em se e somente se é Hausdorff. Em particular, se não for Hausdorff, então é contínuo, mas
não fechado.
Vamos denotar os números reais com a
topologia Euclidiana usual e vamos denotar com a topologia indiscreta (onde note que não é Hausdorff e que toda função avaliada em é contínua). Deixe ser definido por e para todos . Então é contínuo, mas seu gráfico não está fechado .
Teorema do gráfico fechado na topologia de conjunto de pontos
Teorema do gráfico fechado para funções de valor definido - Para um espaço de intervalo compacto de Hausdorff , uma função de valor definido tem um gráfico fechado se e somente se for hemicontínuo superior e F ( x ) for um conjunto fechado para todos .
O teorema do gráfico fechado é um resultado importante na análise funcional que garante que um operador linear fechado seja contínuo sob certas condições. O resultado original foi generalizado muitas vezes. Uma versão bem conhecida dos teoremas do gráfico fechado é a seguinte.
Teorema - Um mapa linear entre dois espaços F (por exemplo, espaços de Banach ) é contínuo se e somente se seu gráfico for fechado.