Teorema do gráfico fechado - Closed graph theorem

Uma função cúbica
A função Heaviside
O gráfico da função cúbica no intervalo é fechado porque a função é contínua . O gráfico da função Heaviside ligada não é fechado, porque a função não é contínua.

Em matemática , o teorema do gráfico fechado pode se referir a um dos vários resultados básicos que caracterizam funções contínuas em termos de seus gráficos . Cada um fornece condições quando as funções com gráficos fechados são necessariamente contínuos.

Gráficos e mapas com gráficos fechados

Se for um mapa entre espaços topológicos , o gráfico de é o conjunto ou, de forma equivalente,

Diz-se que o gráfico de é fechado se for um subconjunto fechado de (com a topologia do produto ).

Qualquer função contínua em um espaço de Hausdorff possui um gráfico fechado.

Qualquer mapa linear, entre dois espaços vetoriais topológicos cujas topologias são (Cauchy) completas com respeito às métricas invariantes de translação, e se, além disso, (1a) for sequencialmente contínuo no sentido da topologia do produto, então o mapa é contínuo e seu gráfico,

Gr L , é necessariamente fechado. Por outro lado, se é um mapa linear com, no lugar de (1a), o gráfico de é (1b) conhecido por ser fechado no espaço do produto cartesiano , então é contínuo e, portanto, necessariamente contínuo sequencialmente.

Exemplos de mapas contínuos que não são fechados

Se for qualquer espaço, então o mapa de identidade é contínuo, mas seu gráfico, que é a diagonal , é fechado em se e somente se é Hausdorff. Em particular, se não for Hausdorff, então é contínuo, mas

não fechado.

Vamos denotar os números reais com a

topologia Euclidiana usual e vamos denotar com a topologia indiscreta (onde note que não é Hausdorff e que toda função avaliada em é contínua). Deixe ser definido por e para todos . Então é contínuo, mas seu gráfico não está fechado .

Teorema do gráfico fechado na topologia de conjunto de pontos

Na topologia de conjunto de pontos , o teorema do gráfico fechado afirma o seguinte:

Teorema do gráfico fechado  -  Se for um mapa de um espaço topológico para um espaço de Hausdorff compacto , então o gráfico de é fechado se e somente se for contínuo .

Para funções com valor definido

Teorema do gráfico fechado para funções de valor definido  -  Para um espaço de intervalo compacto de Hausdorff , uma função de valor definido tem um gráfico fechado se e somente se for hemicontínuo superior e F ( x ) for um conjunto fechado para todos .

Em análise funcional

Se é um operador linear entre

espaços vetoriais topológicos (TVSs) então dizemos que é um operador fechado se o gráfico de é fechado em quando é dotado da topologia do produto.

O teorema do gráfico fechado é um resultado importante na análise funcional que garante que um operador linear fechado seja contínuo sob certas condições. O resultado original foi generalizado muitas vezes. Uma versão bem conhecida dos teoremas do gráfico fechado é a seguinte.

Teorema  -  Um mapa linear entre dois espaços F (por exemplo, espaços de Banach ) é contínuo se e somente se seu gráfico for fechado.

Veja também

espaço vetorial normalizado completo
  • Espaço em barril  - Um espaço vetorial topológico com requisitos quase mínimos para o teorema de Banach – Steinhaus se manter.
  • Gráfico fechado  - Gráfico de um mapa fechado no espaço do produto
  • Operador linear fechado
  • Operador linear contínuo
  • Mapa linear descontínuo
  • Teorema do ponto fixo de Kakutani  - Ligado quando uma função f: S → Pow (S) em um subconjunto convexo não vazio compacto S⊂ℝⁿ tem um ponto fixo
  • Espaço vetorial topológico localmente convexo  - Um espaço vetorial com uma topologia definida por conjuntos abertos convexos
  • Teorema do mapeamento aberto (análise funcional)  - Condição para um operador linear ser aberto
  • Espaço vetorial topológico  -
  • espaço vetorial com noção de proximidade
  • Teorema de Ursescu  - Generalização de grafo fechado, mapeamento aberto e teorema de limite uniforme
  • Espaço com teia  - espaços onde teoremas de mapeamento aberto e gráficos fechados são mantidos
  • Notas

    Referências

    Bibliografia

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