Mapa linear - Linear map

Em matemática , e mais especificamente em álgebra linear , um mapa linear (também chamado de mapeamento linear , transformação linear , homomorfismo de espaço vetorial ou em alguns contextos função linear ) é um mapeamento entre dois espaços vetoriais que preserva as operações de adição vetorial e escalar multiplicação . Os mesmos nomes e a mesma definição também são usados ​​para o caso mais geral de módulos sobre um anel ; veja Módulo homomorfismo .

Se um mapa linear é uma bijeção , ele é chamado de isomorfismo linear . No caso em que , um mapa linear é chamado de endomorfismo (linear) . Às vezes, o termo operador linear se refere a este caso, mas o termo "operador linear" pode ter significados diferentes para convenções diferentes: por exemplo, pode ser usado para enfatizar que e são espaços vetoriais reais (não necessariamente com ), ou pode ser usado para enfatizar que é um espaço de função , que é uma convenção comum em análise funcional . Às vezes, o termo função linear tem o mesmo significado que mapa linear , enquanto na análise não tem.

Um mapa linear de V a W sempre mapeia a origem de V para a origem de W . Além disso, mapeia subespaços lineares em V em subespaços lineares em W (possivelmente de uma dimensão inferior ); por exemplo, ele mapeia um plano através da origem em V , quer um plano que passa pela origem em W , uma linha que passa pela origem em W , ou apenas a origem em W . Os mapas lineares geralmente podem ser representados como matrizes , e exemplos simples incluem transformações lineares de rotação e reflexão .

Na linguagem da teoria das categorias , os mapas lineares são os morfismos dos espaços vetoriais.

Definição e primeiras consequências

Deixe e seja espaços vetoriais sobre o mesmo campo . Uma função é considerada um mapa linear se, para quaisquer dois vetores e qualquer escalar, as duas condições a seguir forem satisfeitas:

Aditividade / operação de adição
Homogeneidade de grau 1 / operação de multiplicação escalar

Assim, diz-se que um mapa linear preserva a operação . Em outras palavras, não importa se o mapa linear é aplicado antes (do lado direito dos exemplos acima) ou depois (do lado esquerdo dos exemplos) das operações de adição e multiplicação escalar.

Pela associatividade da operação de adição denotada como +, para quaisquer vetores e escalares, a seguinte igualdade se mantém:

Denotando os elementos zero dos espaços vetoriais e por e respectivamente, segue-se que Let e na equação para homogeneidade de grau 1:

Ocasionalmente, e podem ser espaços vetoriais em campos diferentes. Em seguida, é necessário especificar qual desses campos de solo está sendo usado na definição de "linear". Se e são espaços no mesmo campo acima, então falamos sobre mapas lineares. Por exemplo, a conjugação de números complexos é um mapa -linear , mas não é -linear, onde e são símbolos que representam os conjuntos de números reais e complexos, respectivamente.

Um mapa linear com visto como um one-dimensional espaço vetorial sobre si mesmo é chamado de um funcional linear .

Essas declarações generalizam para qualquer módulo esquerdo sobre um anel sem modificação, e para qualquer módulo direito na reversão da multiplicação escalar.

Exemplos

  • Um exemplo prototípico que dá aos mapas lineares seu nome é uma função , da qual o gráfico é uma linha que passa pela origem.
  • Mais geralmente, qualquer homothety onde centrado na origem de um espaço vectorial é um mapa linear.
  • O mapa zero entre dois espaços vetoriais (no mesmo campo ) é linear.
  • O mapa de identidade em qualquer módulo é um operador linear.
  • Para números reais, o mapa não é linear.
  • Para números reais, o mapa não é linear (mas é uma transformação afim ).
  • Se for uma matriz real , então define um mapa linear de a enviando um vetor coluna para o vetor coluna . Por outro lado, qualquer mapa linear entre espaços vetoriais de dimensão finita pode ser representado dessa maneira; veja as § Matrizes , abaixo.
  • Se é uma isometria entre espaços normados reais , então é um mapa linear. Este resultado não é necessariamente verdadeiro para espaço normativo complexo.
  • A diferenciação define um mapa linear do espaço de todas as funções diferenciáveis ​​para o espaço de todas as funções. Ele também define um operador linear no espaço de todas as funções suaves (um operador linear é um endomorfismo linear , que é um mapa linear onde o domínio e o codomínio dele são os mesmos). Um exemplo é
  • Uma integral definida em algum intervalo I é um mapa linear do espaço de todas as funções integráveis ​​de valor real em I até . Por exemplo,
  • Uma integral indefinida (ou antiderivada ) com um ponto de partida de integração fixo define um mapa linear do espaço de todas as funções integráveis ​​de valor real no espaço de todas as funções diferenciáveis ​​de valor real em . Sem um ponto de partida fixo, a antiderivada mapeia para o espaço quociente das funções diferenciáveis ​​pelo espaço linear de funções constantes.
  • Se e são espaços vetoriais de dimensão finita sobre um campo F , de respectivas dimensões m e n , então a função que mapeia mapas lineares para matrizes n × m da maneira descrita em § Matrizes (abaixo) é um mapa linear, e até mesmo um isomorfismo linear .
  • O valor esperado de uma variável aleatória (que é de fato uma função e, como tal, um elemento de um espaço vetorial) é linear, como para as variáveis ​​aleatórias e nós temos e , mas a variância de uma variável aleatória não é linear.

Matrizes

Se e são espaços vetoriais de dimensão finita e uma base é definida para cada espaço vetorial, então cada mapa linear de a pode ser representado por uma matriz . Isso é útil porque permite cálculos concretos. As matrizes fornecem exemplos de mapas lineares: se for uma matriz real , então descreve um mapa linear (ver espaço euclidiano ).

Deixe ser uma base para . Então, cada vetor é determinado exclusivamente pelos coeficientes no campo :

Se for um mapa linear,

o que implica que a função f é inteiramente determinada pelos vetores . Agora vamos ser uma base para . Então podemos representar cada vetor como

Assim, a função é inteiramente determinada pelos valores de . Se colocarmos esses valores em uma matriz , podemos usá-la convenientemente para calcular a saída do vetor de para qualquer vetor em . Para obter , cada coluna de é um vetor

correspondendo ao definido acima. Para defini-lo de forma mais clara, para alguma coluna que corresponde ao mapeamento ,
onde está a matriz de . Em outras palavras, cada coluna possui um vetor correspondente cujas coordenadas são os elementos da coluna . Um único mapa linear pode ser representado por muitas matrizes. Isso porque os valores dos elementos de uma matriz dependem das bases escolhidas.

As matrizes de uma transformação linear podem ser representadas visualmente:

  1. Matriz para em relação a :
  2. Matriz para em relação a :
  3. Matriz de transição de para :
  4. Matriz de transição de para :
A relação entre matrizes em uma transformação linear

De forma que, começando no canto inferior esquerdo e procurando o canto inferior direito , se multiplicaria à esquerda - isto é ,. O método equivalente seria o método "mais longo" indo no sentido horário a partir do mesmo ponto, que é multiplicado à esquerda com , ou .

Exemplos em duas dimensões

No espaço bidimensional , os mapas lineares R 2 são descritos por matrizes 2 × 2 . Estes são alguns exemplos:

  • rotação
    • em 90 graus no sentido anti-horário:
    • por um ângulo θ no sentido anti-horário:
  • reflexão
    • através do eixo x :
    • através do eixo y :
    • através de uma linha fazendo um ângulo θ com a origem:
  • dimensionando por 2 em todas as direções:
  • mapeamento de cisalhamento horizontal :
  • mapeamento de compressão :
  • projeção no eixo y :

Espaço vetorial de mapas lineares

A composição dos mapas lineares é linear: se e são lineares, sua composição também o é . Segue-se disso que a classe de todos os espaços vetoriais sobre um determinado campo K , junto com os mapas lineares K como morfismos , forma uma categoria .

O inverso de um mapa linear, quando definido, é novamente um mapa linear.

Se e forem lineares, sua soma pontual também será, definida por .

Se for linear e for um elemento do campo terrestre , o mapa , definido por , também será linear.

Assim, o conjunto de mapas lineares de que se forma um espaço vetorial sobre , às vezes denotado . Além disso, no caso em que , este espaço vetorial, denotado , é uma álgebra associativa sob composição de mapas , uma vez que a composição de dois mapas lineares é novamente um mapa linear, e a composição dos mapas é sempre associativa. Este caso é discutido em mais detalhes abaixo.

Dado novamente o caso de dimensão finita, se as bases foram escolhidas, então a composição dos mapas lineares corresponde à multiplicação da matriz , a adição dos mapas lineares corresponde à adição da matriz , e a multiplicação dos mapas lineares com escalares corresponde à multiplicação de matrizes com escalares.

Endomorfismos e automorfismos

Uma transformação linear é um endomorfismo de ; o conjunto de todos esses endomorfismos junto com adição, composição e multiplicação escalar como definido acima forma uma álgebra associativa com elemento de identidade sobre o campo (e em particular um anel ). O elemento multiplicativo de identidade dessa álgebra é o mapa de identidade .

Um endomorfismo de que também é um isomorfismo é chamado de automorfismo de . A composição de dois automorfismos é novamente um automorfismo, e o conjunto de todos os automorfismos de forma um grupo , cujo grupo de automorfismo é denotado por ou . Uma vez que os automorfismos são precisamente aqueles endomorfismos que possuem inversos sob composição, é o grupo de unidades no anel .

Se tem dimensão finita , então é isomórfico à álgebra associativa de todas as matrizes com entradas em . O grupo de automorfismo de é isomórfico ao grupo linear geral de todas as matrizes invertíveis com entradas em .

Kernel, imagem e o teorema da nulidade da classificação

Se for linear, definimos o kernel e a imagem ou intervalo de por

é um subespaço de e é um subespaço de . A seguinte fórmula de dimensão é conhecida como teorema de classificação-nulidade :

O número também é chamado de classificação de e escrito como , ou, por vezes, ; o número é denominado nulidade de e escrito como ou . Se e forem de dimensão finita, as bases foram escolhidas e são representadas pela matriz , então o posto e a nulidade de são iguais ao posto e nulidade da matriz , respectivamente.

Cokernel

Um invariante mais sutil de uma transformação linear é o kernel co , que é definido como

Esta é a noção dupla do kernel: assim como o kernel é um subespaço do domínio, o co-kernel é um espaço quociente do destino. Formalmente, tem-se a sequência exata

Estes podem ser interpretados assim: dada uma equação linear f ( v ) = w para resolver,

  • o kernel é o espaço de soluções da equação homogênea f ( v ) = 0, e sua dimensão é o número de graus de liberdade no espaço de soluções, se não estiver vazio;
  • o co-kernel é o espaço de restrições que as soluções devem satisfazer, e sua dimensão é o número máximo de restrições independentes.

A dimensão do co-kernel e a dimensão da imagem (a classificação) somam-se à dimensão do espaço alvo. Para dimensões finitas, isso significa que a dimensão do espaço quociente W / f ( V ) é a dimensão do espaço alvo menos a dimensão da imagem.

Como um exemplo simples, considere a aplicação f : R 2R 2 , dada por f ( x , y ) = (0, y ). Então, para uma equação f ( x , y ) = ( a , b ) ter uma solução, devemos ter a = 0 (uma restrição) e, nesse caso, o espaço de solução é ( x , b ) ou afirmado de forma equivalente, ( 0, b ) + ( x , 0), (um grau de liberdade). O núcleo pode ser expressa como o subespaço ( x , 0) < V : o valor de x é a liberdade em uma solução - enquanto o cokernel pode ser expressa através do mapa WR , : dado um vector ( um , b ), o valor de a é a obstrução para que haja uma solução.

Um exemplo que ilustra o caso de dimensão infinita é fornecido pelo mapa f : R R , com b 1 = 0 e b n + 1 = a n para n > 0. Sua imagem consiste em todas as sequências com o primeiro elemento 0, e assim seu cokernel consiste nas classes de sequências com primeiro elemento idêntico. Assim, enquanto seu kernel tem dimensão 0 (ele mapeia apenas a seqüência zero para a seqüência zero), seu co-kernel tem dimensão 1. Uma vez que o domínio e o espaço alvo são os mesmos, a classificação e a dimensão do kernel se somam com a mesma soma que o posto e a dimensão do co-kernel ( ), mas no caso de dimensão infinita não se pode inferir que o kernel e o co-kernel de um endomorfismo têm a mesma dimensão (0 ≠ 1). A situação inversa ocorre para o mapa h : R R , com c n = a n + 1 . Sua imagem é todo o espaço-alvo e, portanto, seu co-kernel tem dimensão 0, mas como ele mapeia todas as sequências em que apenas o primeiro elemento é diferente de zero para a sequência zero, seu kernel tem dimensão 1.

Índice

Para um operador linear com kernel e co-kernel de dimensão finita, pode-se definir o índice como:

ou seja, os graus de liberdade menos o número de restrições.

Para uma transformação entre espaços vetoriais de dimensão finita, esta é apenas a diferença dim ( V ) - dim ( W ), por classificação-nulidade. Isso dá uma indicação de quantas soluções ou de quantas restrições se tem: se mapear de um espaço maior para um menor, o mapa pode estar em e, portanto, terá graus de liberdade mesmo sem restrições. Por outro lado, se mapear de um espaço menor para um maior, o mapa não pode ser sobre e, portanto, haverá restrições mesmo sem graus de liberdade.

O índice de um operador é precisamente a característica de Euler do complexo de 2 termos 0 → VW → 0. Na teoria dos operadores , o índice dos operadores de Fredholm é um objeto de estudo, com um resultado principal sendo o teorema do índice de Atiyah-Singer .

Classificações algébricas de transformações lineares

Nenhuma classificação de mapas lineares pode ser exaustiva. A seguinte lista incompleta enumera algumas classificações importantes que não requerem qualquer estrutura adicional no espaço vetorial.

Seja V e W os espaços vetoriais sobre um campo F e seja T : VW um mapa linear.

Monomorfismo

T é considerado injetivo ou monomorfismo se qualquer uma das seguintes condições equivalentes for verdadeira:

  1. T é um para um como um mapa de conjuntos .
  2. ker T = {0 V }
  3. dim (ker T ) = 0
  4. T é mónico ou à esquerda podem ser canceladas, o que quer dizer, para qualquer espaço vectorial L e qualquer par de mapas lineares R : LV e S : LV , a equação TR = TS implica R = S .
  5. T é deixado-invertível , que é dizer que não existe um mapa linear S : WV de tal modo que ST é o mapa de identidade em V .

Epimorfismo

T é considerado sobrejetivo ou um epimorfismo se qualquer uma das seguintes condições equivalentes for verdadeira:

  1. T está em como um mapa de conjuntos.
  2. coker T = {0 W }
  3. T é épica ou para a direita podem ser canceladas, o que quer dizer, para qualquer espaço vectorial L e qualquer par de mapas lineares R : WL e S : WL , a equação RT = ST implica R = S .
  4. T é certo-invertível , que é dizer que não existe um mapa linear S : WV de tal modo que TS é o mapa de identidade em W .

Isomorfismo

T é considerado um isomorfismo se for invertível à esquerda e à direita. Isso é equivalente a T sendo um-para-um e para (uma bijeção de conjuntos) ou também a T sendo tanto épico quanto monônico, e portanto um bimorfismo .

Se T : VV é um endomorfismo, então:

  • Se, para algum número inteiro positivo n , o n- ésimo iterado de T , T n , é igual a zero, então T é dito ser nilpotente .
  • Se T 2 = t , então T é dito ser idempotente
  • Se T = kI , onde k é algum escalar, então T é considerado uma transformação de escala ou mapa de multiplicação escalar; veja matriz escalar .

Mudança de base

Dado um mapa linear que é um endomorfismo cuja matriz é A , na base B do espaço ele transforma as coordenadas do vetor [u] como [v] = A [u]. Como os vetores mudam com o inverso de B (os vetores são contravariantes ), sua transformação inversa é [v] = B [v '].

Substituindo isso na primeira expressão

por isso

Portanto, a matriz na nova base é A ′ = B −1 AB , sendo B a matriz da base dada.

Portanto, os mapas lineares são chamados de objetos 1-co-1-contra- variante , ou tensores do tipo (1, 1) .

Continuidade

Uma transformação linear entre espaços vetoriais topológicos , por exemplo , espaços normados , pode ser contínua . Se seu domínio e codomínio forem iguais, ele será um operador linear contínuo . Um operador linear em um espaço linear normado é contínuo se e somente se for limitado , por exemplo, quando o domínio é de dimensão finita. Um domínio de dimensão infinita pode ter operadores lineares descontínuos .

Um exemplo de uma transformação linear ilimitada, portanto descontínua, é a diferenciação no espaço de funções suaves equipadas com a norma supremo (uma função com valores pequenos pode ter uma derivada com valores grandes, enquanto a derivada de 0 é 0). Para um exemplo específico, sin ( nx ) / n converge para 0, mas seu cos derivado ( nx ) não, então a diferenciação não é contínua em 0 (e por uma variação deste argumento, não é contínua em nenhum lugar).

Formulários

Uma aplicação específica de mapas lineares é para transformações geométricas, como aquelas realizadas em computação gráfica , onde a translação, rotação e escalonamento de objetos 2D ou 3D é realizada pelo uso de uma matriz de transformação . Os mapeamentos lineares também são usados ​​como um mecanismo para descrever mudanças: por exemplo, no cálculo correspondem a derivadas; ou na relatividade, usada como um dispositivo para rastrear as transformações locais dos referenciais.

Outra aplicação dessas transformações é nas otimizações do compilador de código de loop aninhado e na paralelização das técnicas do compilador .

Veja também

Notas

Bibliografia