Teorema do mapeamento aberto (análise funcional) - Open mapping theorem (functional analysis)

Na análise funcional , o teorema do mapeamento aberto , também conhecido como teorema de Banach – Schauder (em homenagem a Stefan Banach e Juliusz Schauder ), é um resultado fundamental que afirma que se um operador linear contínuo entre espaços de Banach é sobrejetivo, então é um mapa aberto .

Forma clássica (espaço de Banach)

Teorema do mapeamento aberto para espaços de Banach ( Rudin 1973 , Teorema 2.11) - Se $X$ e $Y$ são espaços de Banach e $A : X \to Y$ é um operador linear contínuo sobrejetivo, então $A$ é um mapa aberto (ou seja, se $U$ é um conjunto aberto em $X$ , então $A (U)$ é aberto em $Y$ ).

Uma prova usa o teorema da categoria de Baire , e a completude de $X$ e $Y$ é essencial para o teorema. O enunciado do teorema não é mais verdadeiro se qualquer um dos espaços for apenas assumido como um espaço normado , mas será verdadeiro se $X$ e $Y$ forem considerados espaços de Fréchet .

Prova

Suponha que $A : X \to Y$ seja um operador linear contínuo sobrejetivo. A fim de provar que $A$ é um mapa aberto, é suficiente para mostrar que $A$ mapeia o aberto bola unitária em $X$ para uma vizinhança da origem $Y$ .

Deixe então ${\ displaystyle U = B_ {1} ^ {X} (0), V = B_ {1} ^ {Y} (0).}$

{\ displaystyle X = \ bigcup _ {k \ in \ mathbb {N}} kU.}

$Uma$ vez que $A$ é sobrejetora:

{\ displaystyle Y = A (X) = A \ left (\ bigcup _ {k \ in \ mathbb {N}} kU \ right) = \ bigcup _ {k \ in \ mathbb {N}} A (kU). }

Mas $Y$ é Banach, então pelo teorema da categoria de Baire

{\ displaystyle \ exists k \ in \ mathbb {N}: \ qquad \ left ({\ overline {A (kU)}} \ right) ^ {\ circ} \ neq \ varnothing}

.

Ou seja, temos $c \in Y$ e $r > 0 de$ modo que

{\ displaystyle B_ {r} (c) \ subseteq \ left ({\ overline {A (kU)}} \ right) ^ {\ circ} \ subseteq {\ overline {A (kU)}}}

.

Seja $v \in V$ , então

{\ displaystyle c, c + rv \ in B_ {r} (c) \ subseteq {\ overline {A (kU)}}.}

Por continuidade de adição e linearidade, a diferença $va$ satisfaz

{\ displaystyle rv \ in {\ overline {A (kU)}} + {\ overline {A (kU)}} \ subseteq {\ overline {A (kU) + A (kU)}} \ subseteq {\ overline { A (2kU)}},}

e por linearidade novamente,

{\ displaystyle V \ subseteq {\ overline {A \ left (LU \ right)}}}

onde definimos $L = 2 k / r$ . Segue-se que para todo $y \in Y$ e todo $𝜀> 0$ , existe algum $x \in X$ tal que

{\ displaystyle \ qquad \ | x \ | _ {X} \ leq L \ | y \ | _ {Y} \ quad {\ text {and}} \ quad \ | y-Ax \ | _ {Y} <\ epsilon. \ qquad (1)}

Nosso próximo objetivo é mostrar que $V \subseteq A (2 LU)$ .

Vamos $y \in V$ . Por (1), existe algum $x 1$ com $|| x 1 || <L$ e $|| y - Ax 1 || <1/2$ . Defina uma sequência $(x n)$ indutivamente como segue. Presumir:

{\ displaystyle \ | x_ {n} \ | <{\ frac {L} {2 ^ {n-1}}} \ quad {\ text {and}} \ quad \ left \ | yA \ left (x_ {1 } + x_ {2} + \ cdots + x_ {n} \ right) \ right \ | <{\ frac {1} {2 ^ {n}}}. \ qquad (2)}

Então, por (1) podemos escolher $x n +1$ para que:

{\ displaystyle \ | x_ {n + 1} \ | <{\ frac {L} {2 ^ {n}}} \ quad {\ text {and}} \ quad \ left \ | yA \ left (x_ {1 } + x_ {2} + \ cdots + x_ {n} \ direita) -A \ esquerda (x_ {n + 1} \ direita) \ direita \ | <{\ frac {1} {2 ^ {n + 1} }},}

então (2) é satisfeito para $x n +1$ . Deixar

{\ displaystyle s_ {n} = x_ {1} + x_ {2} + \ cdots + x_ {n}}

.

A partir da primeira desigualdade em (2), { s _n } é uma sequência de Cauchy , e desde que $X$ é completa, $s n$ converge para alguns $x \in X$ . Por (2), a sequência de $A n$ tende a $y$ , e assim por $Ax = y$ por continuidade de $uma$ . Também,

{\ displaystyle \ | x \ | = \ lim _ {n \ to \ infty} \ | s_ {n} \ | \ leq \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} \ | x_ {n} \ | <2L.}

Isso mostra que $y$ pertence a $A (2 LU)$ , então $V \subseteq A (2 LU)$ como reivindicado. Assim, a imagem A ( L ) da unidade de bola em $X$ contém a esfera aberta $V 2 / L$ de $Y$ . Portanto, $A (U)$ é uma vizinhança da origem em $Y$ , e isso conclui a prova.

Resultados relacionados

Teorema - Sejam $X$ e $Y$ espaços de Banach, sejam $B X$ e $B Y$ suas bolas unitárias abertas, e seja $T : X \to Y$ um operador linear limitado. Se $δ> 0,$ então, entre as quatro afirmações a seguir, temos (com o mesmo $δ$ ) ${\ displaystyle (1) \ implica (2) \ implica (3) \ implica (4)}$

${\ displaystyle \ left \ | T ^ {*} y ^ {*} \ right \ | \ geq \ delta \ left \ | y ^ {*} \ right \ |}$ para todos ; ${\ displaystyle y ^ {*} \ in Y ^ {*}}$
${\ displaystyle {\ overline {T \ left (B_ {X} \ right)}} \ supseteq \ delta B_ {Y}}$ ;
${\ displaystyle {T \ left (B_ {X} \ right)} \ supseteq \ delta B_ {Y}}$ ;
$Im T = Y$ (isto é, $T$ é sobrejetivo).

Além disso, se $T$ é sobrejetora, então (1) vale para algum $δ> 0$

Consequências

O teorema do mapeamento aberto tem várias consequências importantes:

Se $A : X \to Y$ é um operador linear contínuo bijetivo entre os espaços de Banach $X$ e $Y$ , então o operador inverso $A -1 : Y \to X também$ é contínuo (isso é chamado de teorema inverso limitado ).
Se $A : X \to Y$ é um operador linear entre os espaços de Banach $X$ e $Y$ , e se para cada sequência $(x n)$ em $X$ com $x n \to 0$ e $Ax n \to y$ segue-se que y = 0, então $A$ é contínuo (o teorema do gráfico fechado ).

Generalizações

Convexidade local de $X$ ou $Y$ não é essencial para a prova, mas a integralidade é: o teorema permanece verdadeiro no caso quando $X$ e $Y$ são F-espaços . Além disso, o teorema pode ser combinado com o teorema da categoria de Baire da seguinte maneira:

Teorema (( Rudin 1991 , Teorema 2.11)) - Seja $X$ um espaço F e $Y$ um espaço vetorial topológico . Se $A : X \to Y$ é um operador linear contínuo, em seguida, tanto $uma (X)$ é um conjunto magro em Y , ou $A (X) = Y$ . No último caso, $A$ é um mapeamento aberto e $Y$ também é um F-espaço.

Além disso, neste último caso, se $N$ é o núcleo de $A$ , então há uma fatoração canônica de $A$ na forma

{\ displaystyle X \ para X / N {\ overset {\ alpha} {\ para}} Y}

onde $X / N$ é o espaço quociente (também um F-espaço) de $X$ pelo fechada subespaço $N$ . O mapeamento quociente $X \to X / N$ é aberto, e o mapeamento α é um isomorfismo de espaços vetoriais topológicos .

Teorema do mapeamento aberto () - Se $A : X \to Y$ é um operador linear sobrejetivo fechado de um TVS $X$ pseudometrizável completo em um espaço vetorial topológico $Y$ e se pelo menos uma das seguintes condições for satisfeita:

$Y$ é um espaço Baire , ou
$X$ é localmente convexo e $Y$ é um espaço cilíndrico ,

quer $Um (X)$ é um conjunto magro em Y , ou $A (X) = Y$ . então $A$ é um mapeamento aberto.

Abrir teorema de mapeamento para aplicações contínuas () - Let $Um : X \to Y$ ser um operador linear contínuo a partir de uma completa pseudometrizable TVS $X$ num Hausdorff espaço vectorial topológico $Y$ . Se $Im A não$ for medido em $Y,$ então $A : X \to Y$ é um mapa aberto sobrejetivo e $Y$ é um TVS pseudometrizável completo.

O teorema do mapeamento aberto também pode ser declarado como

Teorema - Let $X$ e $Y$ ser dois F-espaços. Então, todo mapa linear contínuo de $X$ em $Y$ é um homomorfismo TVS , onde um mapa linear $u : X \to Y$ é um homomorfismo de espaço vetorial topológico (TVS) se o mapa induzido é um isomorfismo TVS em sua imagem. ${\ displaystyle {\ hat {u}}: X / \ ker (u) \ para Y}$

Consequências

Teorema - Se $A : X \to Y$ é uma bijeção linear contínua de um espaço vetorial topológico Pseudometrizável (TVS) completo em um TVS de Hausdorff que é um espaço de Baire , então $A$ $:$ $X$ $\to$ $Y$ é um homeomorfismo (e, portanto, um isomorfismo de TVSs) .

Espaços com teia

Os espaços alados são uma classe de espaços vetoriais topológicos para os quais o teorema do mapeamento aberto e o teorema do gráfico fechado são válidos.

Veja também

Mapa linear quase aberto
Teorema inverso limitado
Gráfico fechado - Gráfico de um mapa fechado no espaço do produto
Teorema do gráfico fechado - Teorema relacionando a continuidade aos gráficos
Teorema do gráfico fechado (análise funcional) - Teoremas para deduzir a continuidade
Teorema do mapeamento aberto (análise complexa)
Sobreposição de espaços de Fréchet - Caracterização da sobrejetividade
Teorema de Ursescu - Generalização de grafo fechado, mapeamento aberto e teorema de limite uniforme
Espaço com teia - espaços onde teoremas de mapeamento aberto e gráficos fechados são mantidos

Referências

Bibliografia

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