Teorema do mapeamento aberto (análise funcional) - Open mapping theorem (functional analysis)
Na análise funcional , o teorema do mapeamento aberto , também conhecido como teorema de Banach – Schauder (em homenagem a Stefan Banach e Juliusz Schauder ), é um resultado fundamental que afirma que se um operador linear contínuo entre espaços de Banach é sobrejetivo, então é um mapa aberto .
Forma clássica (espaço de Banach)
Teorema do mapeamento aberto para espaços de Banach ( Rudin 1973 , Teorema 2.11) - Se X e Y são espaços de Banach e A : X → Y é um operador linear contínuo sobrejetivo, então A é um mapa aberto (ou seja, se U é um conjunto aberto em X , então A ( U ) é aberto em Y ).
Uma prova usa o teorema da categoria de Baire , e a completude de X e Y é essencial para o teorema. O enunciado do teorema não é mais verdadeiro se qualquer um dos espaços for apenas assumido como um espaço normado , mas será verdadeiro se X e Y forem considerados espaços de Fréchet .
Prova
|
---|
Suponha que A : X → Y seja um operador linear contínuo sobrejetivo. A fim de provar que A é um mapa aberto, é suficiente para mostrar que A mapeia o aberto bola unitária em X para uma vizinhança da origem Y . Deixe então Uma vez que A é sobrejetora: Mas Y é Banach, então pelo teorema da categoria de Baire
Ou seja, temos c ∈ Y e r > 0 de modo que
Seja v ∈ V , então Por continuidade de adição e linearidade, a diferença va satisfaz e por linearidade novamente, onde definimos L = 2 k / r . Segue-se que para todo y ∈ Y e todo 𝜀> 0 , existe algum x ∈ X tal que Nosso próximo objetivo é mostrar que V ⊆ A (2 LU ) . Vamos y ∈ V . Por (1), existe algum x 1 com || x 1 || <L e || y - Ax 1 || <1/2 . Defina uma sequência ( x n ) indutivamente como segue. Presumir: Então, por (1) podemos escolher x n +1 para que: então (2) é satisfeito para x n +1 . Deixar
A partir da primeira desigualdade em (2), { s n } é uma sequência de Cauchy , e desde que X é completa, s n converge para alguns x ∈ X . Por (2), a sequência de A n tende a y , e assim por Ax = y por continuidade de uma . Também, Isso mostra que y pertence a A (2 LU ) , então V ⊆ A (2 LU ) como reivindicado. Assim, a imagem A ( L ) da unidade de bola em X contém a esfera aberta V 2 / L de Y . Portanto, A ( U ) é uma vizinhança da origem em Y , e isso conclui a prova. |
Resultados relacionados
Teorema - Sejam X e Y espaços de Banach, sejam B X e B Y suas bolas unitárias abertas, e seja T : X → Y um operador linear limitado. Se δ> 0, então, entre as quatro afirmações a seguir, temos (com o mesmo δ )
- para todos ;
- ;
- ;
- Im T = Y (isto é, T é sobrejetivo).
Além disso, se T é sobrejetora, então (1) vale para algum δ> 0
Consequências
O teorema do mapeamento aberto tem várias consequências importantes:
- Se A : X → Y é um operador linear contínuo bijetivo entre os espaços de Banach X e Y , então o operador inverso A −1 : Y → X também é contínuo (isso é chamado de teorema inverso limitado ).
- Se A : X → Y é um operador linear entre os espaços de Banach X e Y , e se para cada sequência ( x n ) em X com x n → 0 e Ax n → y segue-se que y = 0, então A é contínuo (o teorema do gráfico fechado ).
Generalizações
Convexidade local de X ou Y não é essencial para a prova, mas a integralidade é: o teorema permanece verdadeiro no caso quando X e Y são F-espaços . Além disso, o teorema pode ser combinado com o teorema da categoria de Baire da seguinte maneira:
Teorema (( Rudin 1991 , Teorema 2.11)) - Seja X um espaço F e Y um espaço vetorial topológico . Se A : X → Y é um operador linear contínuo, em seguida, tanto uma ( X ) é um conjunto magro em Y , ou A ( X ) = Y . No último caso, A é um mapeamento aberto e Y também é um F-espaço.
Além disso, neste último caso, se N é o núcleo de A , então há uma fatoração canônica de A na forma
onde X / N é o espaço quociente (também um F-espaço) de X pelo fechada subespaço N . O mapeamento quociente X → X / N é aberto, e o mapeamento α é um isomorfismo de espaços vetoriais topológicos .
Teorema do mapeamento aberto () - Se A : X → Y é um operador linear sobrejetivo fechado de um TVS X pseudometrizável completo em um espaço vetorial topológico Y e se pelo menos uma das seguintes condições for satisfeita:
- Y é um espaço Baire , ou
- X é localmente convexo e Y é um espaço cilíndrico ,
quer Um ( X ) é um conjunto magro em Y , ou A ( X ) = Y . então A é um mapeamento aberto.
Abrir teorema de mapeamento para aplicações contínuas () - Let Um : X → Y ser um operador linear contínuo a partir de uma completa pseudometrizable TVS X num Hausdorff espaço vectorial topológico Y . Se Im A não for medido em Y, então A : X → Y é um mapa aberto sobrejetivo e Y é um TVS pseudometrizável completo.
O teorema do mapeamento aberto também pode ser declarado como
Teorema - Let X e Y ser dois F-espaços. Então, todo mapa linear contínuo de X em Y é um homomorfismo TVS , onde um mapa linear u : X → Y é um homomorfismo de espaço vetorial topológico (TVS) se o mapa induzido é um isomorfismo TVS em sua imagem.
Consequências
Teorema - Se A : X → Y é uma bijeção linear contínua de um espaço vetorial topológico Pseudometrizável (TVS) completo em um TVS de Hausdorff que é um espaço de Baire , então A : X → Y é um homeomorfismo (e, portanto, um isomorfismo de TVSs) .
Espaços com teia
Os espaços alados são uma classe de espaços vetoriais topológicos para os quais o teorema do mapeamento aberto e o teorema do gráfico fechado são válidos.
Veja também
- Mapa linear quase aberto
- Teorema inverso limitado
- Gráfico fechado - Gráfico de um mapa fechado no espaço do produto
- Teorema do gráfico fechado - Teorema relacionando a continuidade aos gráficos
- Teorema do gráfico fechado (análise funcional) - Teoremas para deduzir a continuidade
- Teorema do mapeamento aberto (análise complexa)
- Sobreposição de espaços de Fréchet - Caracterização da sobrejetividade
- Teorema de Ursescu - Generalização de grafo fechado, mapeamento aberto e teorema de limite uniforme
- Espaço com teia - espaços onde teoremas de mapeamento aberto e gráficos fechados são mantidos
Referências
Bibliografia
- Adasch, Norbert; Ernst, Bruno; Keim, Dieter (1978). Espaços vetoriais topológicos: a teoria sem condições de convexidade . Notas de aula em matemática. 639 . Berlin New York: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-08662-8. OCLC 297140003 .
- Banach, Stefan (1932). Théorie des Opérations Linéaires [ Teoria das Operações Lineares ] (PDF) . Monografie Matematyczne (em francês). 1 . Warszawa: Subwencji Funduszu Kultury Narodowej. Zbl 0005.20901 . Arquivado do original (PDF) em 11/01/2014 . Página visitada em 2020-07-11 .
- Berberian, Sterling K. (1974). Aulas teóricas de Análise Funcional e Teoria do Operador . Textos de Pós-Graduação em Matemática. 15 . Nova York: Springer. ISBN 978-0-387-90081-0. OCLC 878109401 .
- Bourbaki, Nicolas (1987) [1981]. Certos espaces topologiques de vetoriais [ Topological Vector Spaces: Capítulos 1–5 ]. Annales de l'Institut Fourier . Éléments de mathématique . 2 . Traduzido por Eggleston, HG; Madan, S. Berlin New York: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-42338-6. OCLC 17499190 .
- Conway, John (1990). Um curso de análise funcional . Textos de Pós-Graduação em Matemática . 96 (2ª ed.). Nova York: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-97245-9. OCLC 21195908 .
- Dieudonné, Jean (1970), Tratado de Análise, Volume II , Academic Press
- Edwards, Robert E. (1995). Análise Funcional: Teoria e Aplicações . Nova York: Dover Publications. ISBN 978-0-486-68143-6. OCLC 30593138 .
- Grothendieck, Alexander (1973). Espaços vetoriais topológicos . Traduzido por Chaljub, Orlando. Nova York: Gordon and Breach Science Publishers. ISBN 978-0-677-30020-7. OCLC 886098 .
- Jarchow, Hans (1981). Espaços localmente convexos . Stuttgart: BG Teubner. ISBN 978-3-519-02224-4. OCLC 8210342 .
- Köthe, Gottfried (1983) [1969]. Espaço vectorial topológico I . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. 159 . Traduzido por Garling, DJH Nova York: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-642-64988-2. MR 0248498 . OCLC 840293704 .
- Narici, Lawrence ; Beckenstein, Edward (2011). Espaços vetoriais topológicos . Matemática pura e aplicada (segunda edição). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834 .
- Robertson, Alex P .; Robertson, Wendy J. (1980). Espaços vetoriais topológicos . Cambridge Tracts in Mathematics . 53 . Cambridge England: Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-29882-7. OCLC 589250 .
- Rudin, Walter (1973). Análise funcional . Série Internacional em Matemática Pura e Aplicada. 25 (primeira edição). New York, NY: McGraw-Hill Science / Engineering / Math . ISBN 9780070542259.
- Rudin, Walter (1991). Análise funcional . Série Internacional em Matemática Pura e Aplicada. 8 (segunda edição). New York, NY: McGraw-Hill Science / Engineering / Math . ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC 21163277 .
- Schaefer, Helmut H .; Wolff, Manfred P. (1999). Espaços vetoriais topológicos . GTM . 8 (segunda edição). New York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135 .
- Swartz, Charles (1992). Uma introdução à Análise Funcional . Nova York: M. Dekker. ISBN 978-0-8247-8643-4. OCLC 24909067 .
- Trèves, François (2006) [1967]. Espaços Vetoriais Topológicos, Distribuições e Kernels . Mineola, NY: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322 .
- Wilansky, Albert (2013). Métodos modernos em espaços vetoriais topológicos . Mineola, Nova York: Dover Publications, Inc. ISBN 978-0-486-49353-4. OCLC 849801114 .
Este artigo incorpora material do teorema de prova do mapeamento aberto no PlanetMath , que é licenciado sob a licença Creative Commons Atribuição / Compartilhamento pela mesma Licença .