Álgebra de mentira - Lie algebra

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Glossário Tabela de grupos de Lie
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Estrutura algébrica → Teoria dos anéis Teoria dos anéis
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Álgebra não comutativa Anéis não comutativos • Anel de divisão • Anel semiprimitivo • Anel simples • Comutador Geometria algébrica não comutativa Álgebra grátis Álgebra de Clifford • Álgebra geométrica Álgebra do operador
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Em matemática , uma álgebra de Lie (pronuncia-se / l iː / "Lee") é um espaço vetorial junto com uma operação chamada colchete de Lie , um mapa bilinear alternado , que satisfaz a identidade de Jacobi . O espaço vetorial junto com esta operação é uma álgebra não associativa , o que significa que o colchete de Lie não é necessariamente associativo . ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}} \ times {\ mathfrak {g}} \ rightarrow {\ mathfrak {g}}, \ (x, y) \ mapsto [x, y]}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$

As álgebras de Lie estão intimamente relacionadas aos grupos de Lie , que são grupos que também são variedades suaves : qualquer grupo de Lie dá origem a uma álgebra de Lie, que é seu espaço tangente na identidade. Por outro lado, para qualquer álgebra de Lie de dimensão finita sobre números reais ou complexos, há um grupo de Lie conectado correspondente único até coberturas finitas ( terceiro teorema de Lie ). Esta correspondência permite estudar a estrutura e classificação dos grupos de Lie em termos de álgebras de Lie.

Na física, os grupos de Lie aparecem como grupos de simetria de sistemas físicos, e suas álgebras de Lie (vetores tangentes próximos à identidade) podem ser considerados movimentos de simetria infinitesimais. Assim, as álgebras de Lie e suas representações são amplamente utilizadas na física, notadamente na mecânica quântica e na física de partículas.

Um exemplo elementar é o espaço de vetores tridimensionais com a operação de colchetes definida pelo produto vetorial. Isso é simétrico porque , e em vez de associatividade, ele satisfaz a identidade de Jacobi: ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}} = \ mathbb {R} ^ {3}}$ ${\ displaystyle [x, y] = x \ vezes y.}$${\ displaystyle x \ times y = -y \ times x}$

${\ displaystyle x \ times (y \ times z) \ = \ (x \ times y) \ times z \ + \ y \ times (x \ vezes z).}$

Esta é a álgebra de Lie do grupo de rotações do espaço de Lie , e cada vetor pode ser representado como uma rotação infinitesimal em torno do eixo v , com velocidade igual à magnitude de v . O colchete de Lie é uma medida da não comutatividade entre duas rotações: como uma rotação comuta consigo mesma, temos a propriedade alternância . ${\ displaystyle v \ in \ mathbb {R} ^ {3}}$${\ displaystyle [x, x] = x \ times x = 0}$

História

As álgebras de Lie foram introduzidas para estudar o conceito de transformações infinitesimais por Marius Sophus Lie na década de 1870 e descobertas independentemente por Wilhelm Killing na década de 1880. O nome de álgebra de Lie foi dado por Hermann Weyl na década de 1930; em textos mais antigos, o termo grupo infinitesimal é usado.

Definições

Definição de uma álgebra de Lie

Uma álgebra de Lie é um espaço vetorial sobre algum campo junto com uma operação binária chamada colchete de Lie que satisfaz os seguintes axiomas: ${\ displaystyle \, {\ mathfrak {g}}}$ ${\ displaystyle F}$ ${\ displaystyle [\, \ cdot \ ,, \ cdot \,]: {\ mathfrak {g}} \ times {\ mathfrak {g}} \ to {\ mathfrak {g}}}$

• Bilinearidade ,

${\ displaystyle [ax + by, z] = a [x, z] + b [y, z],}$

${\ displaystyle [z, ax + by] = a [z, x] + b [z, y]}$

para todos os escalares , em e todos os elementos , , em .${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle z}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$

• Alternatividade ,

${\ displaystyle [x, x] = 0 \}$

para tudo dentro .${\ displaystyle x}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$

• A identidade Jacobi ,

${\ displaystyle [x, [y, z]] + [y, [z, x]] + [z, [x, y]] = 0 \}$

para todos , , em .${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle z}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$

Usar bilinearidade para expandir o colchete de Lie e usar alternatividade mostra que para todos os elementos , em , mostrando que bilinearidade e alternatividade juntas implicam ${\ displaystyle [x + y, x + y]}$${\ displaystyle [x, y] + [y, x] = 0 \}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$

• Anticomutatividade ,

${\ displaystyle [x, y] = - [y, x], \}$

para todos os elementos , em . Se a característica do campo não for 2, então anticomutatividade implica alternatividade, uma vez que implica${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle [x, x] = - [x, x].}$

É comum denotar uma álgebra de Lie por uma letra fraktur minúscula, como . Se uma álgebra de Lie está associada a um grupo de Lie , então a álgebra é denotada pela versão fraktur do grupo: por exemplo, a álgebra de Lie de SU ( n ) é . ${\ displaystyle {\ mathfrak {g, h, b, n}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {su}} (n)}$

Geradores e dimensão

Diz -se que os elementos de uma álgebra de Lie a geram se a menor subálgebra que contém esses elementos for ela mesma. A dimensão de uma álgebra de Lie é sua dimensão como um espaço vetorial acabado . A cardinalidade de um conjunto gerador mínimo de uma álgebra de Lie é sempre menor ou igual à sua dimensão. ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle F}$

Veja a classificação das álgebras de Lie reais de baixa dimensão para outros pequenos exemplos.

Subálgebras, ideais e homomorfismos

O colchete de Lie não precisa ser associativo , o que significa que não precisa ser igual . No entanto, é flexível . No entanto, grande parte da terminologia de anéis associativos e álgebras é comumente aplicada às álgebras de Lie. Uma subálgebra de Lie é um subespaço fechado sob o colchete de Lie. Um ideal é uma subálgebra que satisfaça a condição mais forte: ${\ displaystyle [[x, y], z]}$${\ displaystyle [x, [y, z]]}$${\ displaystyle {\ mathfrak {h}} \ subseteq {\ mathfrak {g}}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {i}} \ subseteq {\ mathfrak {g}}}$

${\ displaystyle [{\ mathfrak {g}}, {\ mathfrak {i}}] \ subseteq {\ mathfrak {i}}.}$

Um homomorfismo de álgebra de Lie é um mapa linear compatível com os respectivos colchetes de Lie:

${\ displaystyle \ phi: {\ mathfrak {g}} \ to {\ mathfrak {g '}}, \ quad \ phi ([x, y]) = [\ phi (x), \ phi (y)] \ {\ text {para todos}} \ x, y \ in {\ mathfrak {g}}.}$

Quanto aos anéis associativos, os ideais são precisamente os núcleos dos homomorfismos; dada uma álgebra de Lie e um ideal nela, constrói-se a álgebra de fatores ou álgebra de quociente , e o primeiro teorema do isomorfismo é válido para as álgebras de Lie. ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {i}}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}} / {\ mathfrak {i}}}$

Desde o colchete de Lie é uma espécie de infinitesimal comutador do grupo de Lie correspondente, dizemos que dois elementos comutar se o seu suporte desaparece: . ${\ displaystyle x, y \ in {\ mathfrak {g}}}$ ${\ displaystyle [x, y] = 0}$

A subálgebra centralizadora de um subconjunto é o conjunto de elementos comutando com : isto é ,. O centralizador de si mesmo é o centro . Da mesma forma, para um subespaço S , a subálgebra normalizadora de é . Equivalentemente, se é uma subálgebra de Lie, é a maior subálgebra de tal forma que é um ideal de . ${\ displaystyle S \ subset {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle {\ mathfrak {z}} _ {\ mathfrak {g}} (S) = \ {x \ in {\ mathfrak {g}} \ \ mid \ [x, s] = 0 \ {\ text { para todos}} s \ em S \}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {z}} ({\ mathfrak {g}})}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle {\ mathfrak {n}} _ {\ mathfrak {g}} (S) = \ {x \ in {\ mathfrak {g}} \ \ mid \ [x, s] \ in S \ {\ text {para todos}} \ s \ em S \}}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle {\ mathfrak {n}} _ {\ mathfrak {g}} (S)}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle {\ mathfrak {n}} _ {\ mathfrak {g}} (S)}$

Exemplos

Pois , o comutador de dois elementos${\ displaystyle {\ mathfrak {d}} (2) \ subset {\ mathfrak {gl}} (2)}$

${\ displaystyle {\ begin {alinhado} \ left [{\ begin {bmatrix} a & b \\ c & d \ end {bmatrix}}, {\ begin {bmatrix} x & 0 \\ 0 & y \ end {bmatrix}} \ right] & = {\ begin {bmatrix} ax & by \\ cx & dy \\\ end {bmatrix}} - {\ begin {bmatrix} ax & bx \\ cy & dy \\\ end {bmatrix}} \\ & = {\ begin {bmatrix} 0 & b (yx ) \\ c (xy) & 0 \ end {bmatriz}} \ end {alinhado}}}$

mostra é uma subálgebra, mas não um ideal. Na verdade, cada subespaço linear unidimensional de uma álgebra de Lie tem uma estrutura de álgebra de Lie abeliana induzida, que geralmente não é um ideal. Para qualquer álgebra de Lie simples, todas as álgebras de Lie abelianas nunca podem ser ideais. ${\ displaystyle {\ mathfrak {d}} (2)}$

Soma direta e produto semidireto

Para duas álgebras de Lie e , sua álgebra de Lie de soma direta é o espaço vetorial que consiste em todos os pares , com a operação ${\ displaystyle {\ mathfrak {g ^ {}}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g '}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}} \ oplus {\ mathfrak {g '}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {}} (x, x '), \, x \ in {\ mathfrak {g}}, \ x' \ in {\ mathfrak {g '}}}$

${\ displaystyle [(x, x '), (y, y')] = ([x, y], [x ', y']),}$

para que as cópias de comutem entre si: Seja uma álgebra de Lie e um ideal de . Se o mapa canónicos divisões (ou seja, admite uma secção), então diz-se ser um produto semidirect do e , . Veja também soma semidireta de álgebras de Lie . ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}, {\ mathfrak {g}} '}$${\ displaystyle [(x, 0), (0, x ')] = 0.}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {i}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}} \ to {\ mathfrak {g}} / {\ mathfrak {i}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {i}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}} / {\ mathfrak {i}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}} = {\ mathfrak {g}} / {\ mathfrak {i}} \ ltimes {\ mathfrak {i}}}$

O teorema de Levi diz que uma álgebra de Lie de dimensão finita é um produto semidireto de seu radical e da subálgebra complementar ( subálgebra de Levi ).

Derivações

Uma derivação na álgebra de Lie (ou em qualquer álgebra não associativa ) é um mapa linear que obedece à lei de Leibniz , ou seja, ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\ displaystyle \ delta \ colon {\ mathfrak {g}} \ rightarrow {\ mathfrak {g}}}$

${\ displaystyle \ delta ([x, y]) = [\ delta (x), y] + [x, \ delta (y)]}$

para todos . A derivação interna associada a any é o mapeamento adjunto definido por . (Esta é uma derivação como consequência da identidade de Jacobi.) As derivações externas são derivações que não vêm da representação adjunta da álgebra de Lie. Se for semi - simples , toda derivação é interna. ${\ displaystyle x, y \ in {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle x \ in {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle \ mathrm {ad} _ {x}}$${\ displaystyle \ mathrm {ad} _ {x} (y): = [x, y]}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$

As derivações formam um espaço vetorial , que é uma subálgebra de Lie de ; o suporte é comutador. As derivações internas formam uma subálgebra de Lie de . ${\ displaystyle \ mathrm {Der} ({\ mathfrak {g}})}$${\ displaystyle {\ mathfrak {gl}} ({\ mathfrak {g}})}$${\ displaystyle \ mathrm {Der} ({\ mathfrak {g}})}$

Exemplos

Por exemplo, dado um ideal de álgebra de Lie, a representação adjunta de atua como derivações externas em desde para qualquer e . Para a álgebra de Lie de matrizes triangulares superiores em , ele tem um ideal de matrizes triangulares estritamente superiores (onde os únicos elementos diferentes de zero estão acima da diagonal da matriz). Por exemplo, o comutador de elementos em e dá${\ displaystyle {\ mathfrak {i}} \ subset {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {ad}} _ {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {i}}}$${\ displaystyle [x, i] \ subset {\ mathfrak {i}}}$${\ displaystyle x \ in {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle i \ in {\ mathfrak {i}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {b}} _ {n}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {gl}} (n)}$${\ displaystyle {\ mathfrak {n}} _ {n}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {b}} _ {3}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {n}} _ {3}}$

${\ displaystyle {\ begin {alinhado} \ left [{\ begin {bmatrix} a & b & c \\ 0 & d & e \\ 0 & 0 & f \ end {bmatrix}}, {\ begin {bmatrix} 0 & x & y \\ 0 & 0 & z \\ 0 & 0 & 0 \ end {bmatrix} } \ right] & = {\ begin {bmatrix} 0 & ax & ay + bz \\ 0 & 0 & dz \\ 0 & 0 & 0 \ end {bmatrix}} - {\ begin {bmatrix} 0 & dx & ex + yf \\ 0 & 0 & fz \\ 0 & 0 & 0 \ end {bmatrix}} \ \ & = {\ begin {bmatrix} 0 & (ad) x & (af) y-ex + bz \\ 0 & 0 & (df) z \\ 0 & 0 & 0 \ end {bmatrix}} \ end {alinhado}}}$

mostra que existem derivações externas de dentro . ${\ displaystyle {\ mathfrak {b}} _ {3}}$${\ displaystyle {\ text {Der}} ({\ mathfrak {n}} _ {3})}$

Álgebra de Lie Split

Seja V um espaço vetorial de dimensão finita sobre um campo F , a álgebra de Lie das transformações lineares e uma subálgebra de Lie. Em seguida, é dito ser dividida se as raízes dos polinômios característicos de todas as transformações lineares em estão no campo de base F . De forma mais geral, uma álgebra de Lie de dimensão finita é considerada dividida se ela tem uma subálgebra de Cartan cuja imagem sob a representação adjunta é uma álgebra de Lie dividida. Uma forma real dividida de uma álgebra de Lie semi-simples complexa (cf. #Forma real e complexificação ) é um exemplo de uma álgebra de Lie real dividida. Veja também álgebra de Lie dividida para mais informações. ${\ displaystyle {\ mathfrak {gl}} (V)}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}} \ subseteq {\ mathfrak {gl}} (V)}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\ displaystyle \ operatorname {ad}: {\ mathfrak {g}} \ to {\ mathfrak {gl}} ({\ mathfrak {g}})}$

Base do espaço vetorial

Para cálculos práticos, muitas vezes é conveniente escolher uma base de espaço vetorial explícita para a álgebra. Uma construção comum para esta base é esboçada nas constantes da estrutura do artigo .

Definição usando notação teórica da categoria

Embora as definições acima sejam suficientes para uma compreensão convencional das álgebras de Lie, uma vez que isso seja compreendido, uma visão adicional pode ser obtida usando a notação comum à teoria das categorias , isto é, definindo uma álgebras de Lie em termos de mapas lineares - isto é, morfismos da categoria de espaços vetoriais - sem considerar elementos individuais. (Nesta seção, o campo sobre o qual a álgebra é definida deve ter características diferentes de dois.)

Para a definição da categoria teorética de álgebras de Lie, dois isomorfismos de trança são necessários. Se A é um espaço vetorial, o isomorfismo de intercâmbio é definido por ${\ displaystyle \ tau: A \ otimes A \ a A \ otimes A}$

${\ displaystyle \ tau (x \ otimes y) = y \ otimes x.}$

A trança de permutação cíclica é definida como ${\ displaystyle \ sigma: A \ otimes A \ otimes A \ to A \ otimes A \ otimes A}$

${\ displaystyle \ sigma = (\ mathrm {id} \ otimes \ tau) \ circ (\ tau \ otimes \ mathrm {id}),}$

onde está o morfismo de identidade. Equivalentemente, é definido por ${\ displaystyle \ mathrm {id}}$${\ displaystyle \ sigma}$

${\ displaystyle \ sigma (x \ otimes y \ otimes z) = y \ otimes z \ otimes x.}$

Com esta notação, uma álgebra de Lie pode ser definida como um objeto na categoria de espaços vetoriais juntamente com um morfismo${\ displaystyle A}$

${\ displaystyle [\ cdot, \ cdot]: A \ otimes A \ rightarrow A}$

que satisfaça as duas igualdades de morfismo

${\ displaystyle [\ cdot, \ cdot] \ circ (\ mathrm {id} + \ tau) = 0,}$

e

${\ displaystyle [\ cdot, \ cdot] \ circ ([\ cdot, \ cdot] \ otimes \ mathrm {id}) \ circ (\ mathrm {id} + \ sigma + \ sigma ^ {2}) = 0. }$

Exemplos

Espaços vetoriais

Qualquer espaço vetorial dotado do colchete de Lie idêntico ao zero torna-se uma álgebra de Lie. Essas álgebras de Lie são chamadas de abelianas , cf. abaixo. Qualquer álgebra de Lie unidimensional sobre um campo é abeliana, pela propriedade alternada do colchete de Lie. ${\ displaystyle V}$

Álgebra associativa com colchete de comutador

• Em uma álgebra associativa sobre um campo com multiplicação , um colchete de Lie pode ser definido pelo comutador . Com este colchete, é uma álgebra de Lie. A álgebra associativa A é chamada de álgebra envolvente da álgebra de Lie . Cada álgebra de Lie pode ser embutida em uma que surja de uma álgebra associativa dessa maneira; veja álgebra universal envolvente .${\ displaystyle A}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle (x, y) \ mapsto xy}$ ${\ displaystyle [x, y] = xy-yx}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle (A, [\, \ cdot \ ,, \ cdot \,])}$
• A álgebra associativa dos endomorfismos de um espaço vetorial F com o colchete de Lie acima é denotada .${\ displaystyle V}$${\ displaystyle {\ mathfrak {gl}} (V)}$
• Para um espaço vectorial de dimensão finita , o exemplo anterior é exactamente o álgebra de Lie de n x n matrizes, designado ou , e com o suporte onde adjacência indica a multiplicação de matrizes. Esta é a álgebra de Lie do grupo linear geral , consistindo em matrizes invertíveis.${\ displaystyle V = F ^ {n}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {gl}} (n, F)}$${\ displaystyle {\ mathfrak {gl}} _ {n} (F)}$${\ displaystyle [X, Y] = XY-YX}$

Matrizes especiais

Duas subálgebras importantes são: ${\ displaystyle {\ mathfrak {gl}} _ {n} (F)}$

• As matrizes do traço zero formam a álgebra de Lie linear especial , a álgebra de Lie do grupo linear especial .${\ displaystyle {\ mathfrak {sl}} _ {n} (F)}$ ${\ displaystyle \ mathrm {SL} _ {n} (F)}$
• As matrizes skew-hermitian formam a álgebra de Lie unitária , a álgebra de Lie do grupo unitário U ( n ).${\ displaystyle {\ mathfrak {u}} (n)}$ 

Álgebras de Matrix Lie

Um grupo de matrizes complexo é um grupo de Lie que consiste em matrizes,, onde a multiplicação de G é a multiplicação de matrizes. A álgebra de Lie correspondente é o espaço de matrizes que são vetores tangentes a G dentro do espaço linear : consiste em derivadas de curvas suaves em G na identidade:${\ displaystyle G \ subset M_ {n} (\ mathbb {C})}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle M_ {n} (\ mathbb {C})}$

${\ displaystyle {\ mathfrak {g}} = \ {X = c '(0) \ in M_ {n} (\ mathbb {C}) \ \ mid \ {\ text {smooth}} c: \ mathbb {R } \ a G, \ c (0) = I \}.}$

O colchete de Lie de é dado pelo comutador de matrizes ,. Dada a álgebra de Lie, pode-se recuperar o grupo de Lie como a imagem do mapeamento exponencial da matriz definido por , que converge para cada matriz : ou seja ,. ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle [X, Y] = XY-YX}$${\ displaystyle \ exp: M_ {n} (\ mathbb {C}) \ para M_ {n} (\ mathbb {C})}$${\ displaystyle \ exp (X) = I + X + {\ tfrac {1} {2!}} X ^ {2} + \ cdots}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle G = \ exp ({\ mathfrak {g}})}$

A seguir estão exemplos de álgebras de Lie de grupos de Lie de matriz:

• O grupo linear especial , que consiste de toda a n  x  n matrizes com determinante 1. A sua álgebra de Lie consiste de todos n  ×  n matrizes com entradas complexas e traço 0. Da mesma forma, pode-se definir o grupo de Lie reais correspondentes e sua álgebra de Lie .${\ displaystyle {\ rm {SL}} _ {n} (\ mathbb {C})}$${\ displaystyle {\ mathfrak {sl}} _ {n} (\ mathbb {C})}$${\ displaystyle {\ rm {SL}} _ {n} (\ mathbb {R})}$${\ displaystyle {\ mathfrak {sl}} _ {n} (\ mathbb {R})}$
• O grupo unitário consiste em n  ×  n matrizes unitárias (satisfatórias ). Sua álgebra de Lie consiste em matrizes auto-adjunto enviesadas ( ).${\ displaystyle U (n)}$${\ displaystyle U ^ {*} = U ^ {- 1}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {u}} (n)}$${\ displaystyle X ^ {*} = - X}$
• O grupo ortogonal especial , que consiste em matrizes ortogonais de determinante um real ( ). Sua álgebra de Lie consiste em matrizes com simetria real ( ). O grupo ortogonal completo , sem a condição determinante-um, consiste em um componente conectado separado, portanto tem a mesma álgebra de Lie que . Da mesma forma, pode-se definir uma versão complexa deste grupo e álgebra, simplesmente permitindo entradas de matrizes complexas.${\ displaystyle \ mathrm {SO} (n)}$${\ displaystyle A ^ {\ mathrm {T}} = A ^ {- 1}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {so}} (n)}$${\ displaystyle X ^ {\ rm {T}} = - X}$${\ displaystyle \ mathrm {O} (n)}$${\ displaystyle \ mathrm {SO} (n)}$${\ displaystyle \ mathrm {SO} (n)}$

Duas dimensões

• Em qualquer campo existe, até o isomorfismo, uma única álgebra de Lie bidimensional nonabeliana. Com os geradores x, y, seu colchete é definido como . Ele gera o grupo afim em uma dimensão .${\ displaystyle F}$${\ displaystyle \ left [x, y \ right] = y}$

Isso pode ser realizado pelas matrizes:

${\ displaystyle x = \ left ({\ begin {array} {cc} 1 & 0 \\ 0 & 0 \ end {array}} \ right), \ qquad y = \ left ({\ begin {array} {cc} 0 & 1 \\ 0 e 0 \ end {array}} \ right).}$

Desde a

${\ displaystyle \ left ({\ begin {array} {cc} 1 & c \\ 0 & 0 \ end {array}} \ right) ^ {n + 1} = \ left ({\ begin {array} {cc} 1 & c \\ 0 e 0 \ end {array}} \ right)}$

para qualquer número natural e qualquer , vê-se que os elementos do grupo de Lie resultantes são matrizes triangulares 2 × 2 superiores com diagonal inferior unitária: ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle c}$

${\ displaystyle \ exp (a \ cdot {} x + b \ cdot {} y) = \ left ({\ begin {array} {cc} e ^ {a} & {\ tfrac {b} {a}} ( e ^ {a} -1) \\ 0 & 1 \ end {array}} \ right) = 1 + {\ tfrac {e ^ {a} -1} {a}} \ left (a \ cdot {} x + b \ cdot {} y \ right).}$

Três dimensões

• A álgebra de Heisenberg é uma álgebra de Lie tridimensional gerada pelos elementos x , y e z com colchetes de Lie${\ displaystyle {\ rm {H}} _ {3} (\ mathbb {R})}$

${\ displaystyle [x, y] = z, \ quad [x, z] = 0, \ quad [y, z] = 0}$.

É geralmente realizado como o espaço de 3 × 3 matrizes estritamente triangulares superiores, com o suporte de Lie do comutador e a base

${\ displaystyle x = \ left ({\ begin {array} {ccc} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \ end {array}} \ right), \ quad y = \ left ({\ begin {array} {ccc} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \ end {array}} \ right), \ quad z = \ left ({\ begin {array} {ccc} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \ end {array}} \ right) ~ . \ quad}$

Qualquer elemento do grupo de Heisenberg tem uma representação como um produto de geradores de grupo, ou seja, exponenciais de matriz desses geradores de álgebra de Lie,

${\ displaystyle \ left ({\ begin {array} {ccc} 1 & a & c \\ 0 & 1 & b \\ 0 & 0 & 1 \ end {array}} \ right) = e ^ {by} e ^ {cz} e ^ {ax} ~.}$

• A álgebra de Lie do grupo SO (3) é gerada pelas três matrizes${\ displaystyle {\ mathfrak {so}} (3)}$

${\ displaystyle F_ {1} = \ left ({\ begin {array} {ccc} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \ end {array}} \ right), \ quad F_ {2} = \ left ({ \ begin {array} {ccc} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ - 1 & 0 & 0 \ end {array}} \ right), \ quad F_ {3} = \ left ({\ begin {array} {ccc} 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \ end {array}} \ right) ~. \ Quad}$

As relações de comutação entre esses geradores são

${\ displaystyle [F_ {1}, F_ {2}] = F_ {3},}$

${\ displaystyle [F_ {2}, F_ {3}] = F_ {1},}$

${\ displaystyle [F_ {3}, F_ {1}] = F_ {2}.}$

O espaço euclidiano tridimensional com o colchete de Lie dado pelo produto vetorial dos vetores tem as mesmas relações de comutação que acima: portanto, é isomórfico a . Esta álgebra de Lie é unitariamente equivalente aos operadores usuais de componente de momento angular de Spin (física) para partículas de spin 1 na mecânica quântica .${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {so}} (3)}$

Dimensões infinitas

• Uma classe importante de álgebras de Lie reais de dimensão infinita surge na topologia diferencial . O espaço de campos vetoriais suaves em uma variedade diferenciável M forma uma álgebra de Lie, onde o colchete de Lie é definido como o comutador de campos vetoriais . Uma maneira de expressar o colchete de Lie é através do formalismo das derivadas de Lie , que identifica um campo vetorial X com um operador diferencial parcial de primeira ordem L _X atuando em funções suaves, permitindo que L _X ( f ) seja a derivada direcional da função f em a direcção de X . O colchete de Lie [ X , Y ] de dois campos de vetor é o campo de vetor definido por meio de sua ação em funções pela fórmula:

${\ displaystyle L _ {[X, Y]} f = L_ {X} (L_ {Y} f) -L_ {Y} (L_ {X} f). \,}$

• As álgebras de Kac-Moody são uma grande classe de álgebras de Lie de dimensão infinita, cuja estrutura é muito semelhante aos casos de dimensão finita acima.
• A álgebra de Moyal é uma álgebra de Lie de dimensão infinita que contém todas as álgebras de Lie clássicas como subálgebras.
• A álgebra de Virasoro é de extrema importância na teoria das cordas .

Representações

Definições

Dado um espaço vetorial V , vamos denotar a álgebra de Lie que consiste em todos os endomorfismos lineares de V , com colchetes dado por . Uma representação de uma álgebra de Lie em V é um homomorfismo de álgebra de Lie ${\ displaystyle {\ mathfrak {gl}} (V)}$${\ displaystyle [X, Y] = XY-YX}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$

${\ displaystyle \ pi: {\ mathfrak {g}} \ to {\ mathfrak {gl}} (V).}$

Uma representação é considerada fiel se seu kernel for zero. O teorema de Ado afirma que toda álgebra de Lie de dimensão finita tem uma representação fiel em um espaço vetorial de dimensão finita.

Representação adjunta

Para qualquer álgebra de Lie , podemos definir uma representação ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$

${\ displaystyle \ operatorname {ad} \ colon {\ mathfrak {g}} \ to {\ mathfrak {gl}} ({\ mathfrak {g}})}$

dado por ; é uma representação no espaço vetorial chamada de representação adjunta . ${\ displaystyle \ operatorname {ad} (x) (y) = [x, y]}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$

Objetivos da teoria da representação

Um aspecto importante do estudo de álgebras de Lie (especialmente álgebras de Lie semisimples) é o estudo de suas representações. (De fato, a maioria dos livros listados na seção de referências dedicam uma fração substancial de suas páginas à teoria da representação.) Embora o teorema de Ado seja um resultado importante, o objetivo principal da teoria da representação não é encontrar uma representação fiel de uma dada álgebra de Lie . De fato, no caso semi-simples, a representação adjunta já é fiel. Em vez disso, o objetivo é compreender todas as representações possíveis de , até a noção natural de equivalência. No caso semi-simples sobre um campo de característica zero, o teorema de Weyl diz que toda representação de dimensão finita é uma soma direta de representações irredutíveis (aquelas sem subespaços invariantes não triviais). As representações irredutíveis, por sua vez, são classificadas por um teorema de maior peso . ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$

Teoria da representação em física

A teoria da representação das álgebras de Lie desempenha um papel importante em várias partes da física teórica. Lá, são considerados operadores no espaço de estados que satisfazem certas relações de comutação naturais. Essas relações de comutação normalmente vêm de uma simetria do problema - especificamente, são as relações da álgebra de Lie do grupo de simetria relevante. Um exemplo seriam os operadores de momento angular , cujas relações de comutação são as da álgebra de Lie do grupo de rotação SO (3) . Normalmente, o espaço de estados está muito longe de ser irredutível sob os operadores pertinentes, mas pode-se tentar decompô-lo em pedaços irredutíveis. Ao fazer isso, é necessário conhecer as representações irredutíveis da álgebra de Lie dada. No estudo do átomo de hidrogênio quântico , por exemplo, os livros didáticos de mecânica quântica fornecem (sem chamá-lo assim) uma classificação das representações irredutíveis da álgebra de Lie . ${\ displaystyle {\ mathfrak {so}} (3)}$${\ displaystyle {\ mathfrak {so}} (3)}$

Teoria da estrutura e classificação

As álgebras de Lie podem ser classificadas até certo ponto. Em particular, isso tem uma aplicação para a classificação de grupos de Lie.

Abeliano, nilpotente e solucionável

Analogamente aos grupos abelianos, nilpotentes e solúveis, definidos em termos dos subgrupos derivados, pode-se definir álgebras de Lie abelianas, nilpotentes e solúveis.

Uma álgebra de Lie é abeliana${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$se o colchete de Lie desaparecer, ou seja, [ x , y ] = 0, para todos os x e y em . As álgebras de Lie abelianas correspondem a grupos de Lie comutativos (ou abelianos ) conectados, como espaços vetoriais ou tori , e são todas da forma que significa um espaço vetorial n- dimensional com o colchete de Lie trivial. ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle \ mathbb {K} ^ {n}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {T} ^ {n}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {k}} ^ {n},}$

Uma classe mais geral de álgebras de Lie é definida pelo desaparecimento de todos os comutadores de determinado comprimento. Uma álgebra de Lie é nilpotente se a série central inferior${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$

${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}> [{\ mathfrak {g}}, {\ mathfrak {g}}]> [[{\ mathfrak {g}}, {\ mathfrak {g}}], {\ mathfrak {g}}]> [[[{\ mathfrak {g}}, {\ mathfrak {g}}], {\ mathfrak {g}}], {\ mathfrak {g}}]> \ cdots}$

torna-se zero eventualmente. Pelo teorema de Engel , uma álgebra de Lie é nilpotent se e somente se para cada u no endomorphism adjunta${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$

${\ displaystyle \ operatorname {ad} (u): {\ mathfrak {g}} \ to {\ mathfrak {g}}, \ quad \ operatorname {ad} (u) v = [u, v]}$

é nilpotente.

Mais geralmente ainda, uma álgebra de Lie é considerada solucionável se a série derivada : ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$

${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}> [{\ mathfrak {g}}, {\ mathfrak {g}}]> [[{\ mathfrak {g}}, {\ mathfrak {g}}], [{ \ mathfrak {g}}, {\ mathfrak {g}}]]> [[[{\ mathfrak {g}}, {\ mathfrak {g}}], [{\ mathfrak {g}}, {\ mathfrak { g}}]], [[{\ mathfrak {g}}, {\ mathfrak {g}}], [{\ mathfrak {g}}, {\ mathfrak {g}}]]]> \ cdots}$

torna-se zero eventualmente.

Cada álgebra de Lie de dimensão finita tem um ideal máximo solucionável único, chamado de radical . Sob a correspondência de Lie, grupos de Lie conectados nilpotentes (respectivamente, solucionáveis) correspondem a álgebras de Lie nilpotentes (respectivamente, solucionáveis).

Simples e semisimples

Uma álgebra de Lie é " simples " se não tiver ideais não triviais e não for abeliana. (Isso implica que uma álgebra de Lie unidimensional - necessariamente abeliana - por definição não é simples, embora não tenha ideais não triviais.) Uma álgebra de Lie é chamada semisimpla se for isomórfica a uma soma direta de álgebras simples. Existem várias caracterizações equivalentes de álgebras semissimples, como não ter ideais solucionáveis ​​diferentes de zero. ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$

O conceito de semisimplicidade para álgebras de Lie está intimamente relacionado com a redutibilidade completa (semisimplicidade) de suas representações. Quando o campo fundamental F tem a característica zero, qualquer representação de dimensão finita de uma álgebra de Lie semisimples é semisimples (ou seja, soma direta de representações irredutíveis). Em geral, uma álgebra de Lie é chamada redutiva se a representação adjunta for semisimples. Assim, uma álgebra de Lie semisimples é redutiva.

Critério de Cartan

O critério de Cartan fornece condições para que uma álgebra de Lie seja nilpotente, solúvel ou semissimples. Ela é baseada na noção da forma de Killing , uma forma bilinear simétrica em definido pela fórmula ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$

${\ displaystyle K (u, v) = \ operatorname {tr} (\ operatorname {ad} (u) \ operatorname {ad} (v)),}$

onde tr denota o traço de um operador linear . Uma álgebra de Lie é semi-simples se e somente se a forma Killing não é degenerada . Uma álgebra de Lie é solucionável se e somente se${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle K ({\ mathfrak {g}}, [{\ mathfrak {g}}, {\ mathfrak {g}}]) = 0.}$

Classificação

A decomposição de Levi expressa uma álgebra de Lie arbitrária como uma soma semidireta de seu radical solucionável e uma álgebra de Lie semissimples, quase de forma canônica. (Tal decomposição existe para uma álgebra de Lie de dimensão finita sobre um campo de característica zero.) Além disso, as álgebras de Lie semisimples sobre um campo algebraicamente fechado foram completamente classificadas por meio de seus sistemas de raízes .

Relação com grupos de Lie

Embora as álgebras de Lie sejam frequentemente estudadas por si mesmas, historicamente elas surgiram como um meio de estudar grupos de Lie .

Agora, resumimos brevemente a relação entre os grupos de Lie e as álgebras de Lie. Qualquer grupo de Lie dá origem a uma álgebra de Lie canonicamente determinada (concretamente, o espaço tangente na identidade ). Por outro lado, para qualquer álgebra de Lie de dimensão finita , existe um grupo de Lie conectado correspondente com a álgebra de Lie . Este é o terceiro teorema de Lie ; veja a fórmula Baker-Campbell-Hausdorff . Este grupo de Lie não é determinado exclusivamente; no entanto, quaisquer dois grupos de Lie com a mesma álgebra de Lie são localmente isomórficos e, em particular, têm a mesma cobertura universal . Por exemplo, o grupo ortogonal especial SO (3) e o grupo unitário especial SU (2) dão origem à mesma álgebra de Lie, que é isomórfica com o produto cruzado, mas SU (2) é uma capa dupla simplesmente conectada de SO (3). ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$

Se considerarmos grupos de Lie simplesmente conectados , entretanto, temos uma correspondência de um para um: para cada álgebra de Lie (real de dimensão finita) , há um único grupo de Lie simplesmente conectado com a álgebra de Lie . ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$

A correspondência entre álgebras de Lie e grupos de Lie é usada de várias maneiras, incluindo na classificação de grupos de Lie e no assunto relacionado da teoria de representação de grupos de Lie. Cada representação de uma álgebra de Lie eleva-se exclusivamente a uma representação do grupo de Lie conectado e simplesmente conectado correspondente e, inversamente, cada representação de qualquer grupo de Lie induz uma representação da álgebra de Lie do grupo; as representações são em correspondência um a um. Portanto, conhecer as representações de uma álgebra de Lie resolve a questão das representações do grupo.

Quanto à classificação, pode-se mostrar que qualquer grupo de Lie conectado com uma dada álgebra de Lie é isomorfo à cobertura universal mod um subgrupo central discreto. Assim, classificar os grupos de Lie torna-se simplesmente uma questão de contar os subgrupos discretos do centro , uma vez que a classificação das álgebras de Lie é conhecida (resolvida por Cartan et al. No caso semi - simples ).

Se a álgebra de Lie tiver dimensão infinita, a questão é mais sutil. Em muitos casos, o mapa exponencial nem mesmo é localmente um homeomorfismo (por exemplo, em Diff ( S ¹ ), pode-se encontrar difeomorfismos arbitrariamente próximos à identidade que não estão na imagem de exp). Além disso, algumas álgebras de Lie de dimensão infinita não são álgebras de Lie de nenhum grupo.

Forma e complexificação reais

Dada uma álgebra de Lie complexa , diz-se que uma álgebra de Lie real é uma forma real de se a complexificação é isomórfica a . Uma forma real não precisa ser única; por exemplo, tem duas formas reais e . ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}} _ {0}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}} _ {0} \ otimes _ {\ mathbb {R}} \ mathbb {C} \ simeq {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {sl}} _ {2} \ mathbb {C}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {sl}} _ {2} \ mathbb {R}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {su}} _ {2}}$

Dada uma álgebra de Lie complexa de dimensão finita semi-simples , uma forma dividida dela é uma forma real que se divide; ou seja, tem uma subálgebra de Cartan que atua por meio de uma representação adjunta com autovalores reais. Uma forma dividida existe e é única (até isomorfismos). Uma forma compacta é uma forma real que é a álgebra de Lie de um grupo de Lie compacto. Uma forma compacta existe e também é única. ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$

Álgebra de Lie com estruturas adicionais

Uma álgebra de Lie pode ser equipada com algumas estruturas adicionais que são consideradas compatíveis com o suporte. Por exemplo, uma álgebra de Lie graduada é uma álgebra de Lie com uma estrutura de espaço vetorial graduada. Se também vier com diferencial (de modo que o espaço vetorial graduado subjacente seja um complexo em cadeia ), então é chamado de álgebra de Lie graduada diferencial .

Uma álgebra de Lie simplicial é um objeto simplicial na categoria das álgebras de Lie; em outras palavras, é obtido substituindo o conjunto subjacente por um conjunto simplicial (portanto, pode ser melhor pensado como uma família de álgebras de Lie).

Anel de mentira

Um anel de Lie surge como uma generalização das álgebras de Lie, ou através do estudo da série central inferior de grupos . Um anel de Lie é definido como um anel não associativo com multiplicação anticomutativa e que satisfaz a identidade de Jacobi . Mais especificamente, podemos definir um anel de Lie como um grupo abeliano com uma operação que possui as seguintes propriedades: ${\ displaystyle L}$${\ displaystyle [\ cdot, \ cdot]}$

• Bilinearidade:

${\ displaystyle [x + y, z] = [x, z] + [y, z], \ quad [z, x + y] = [z, x] + [z, y]}$

para todos os x , y , z ∈ L .

• A identidade Jacobi :

${\ displaystyle [x, [y, z]] + [y, [z, x]] + [z, [x, y]] = 0 \ quad}$

para todos os x , y , z em L .

• Para todo x em L :

${\ displaystyle [x, x] = 0 \ quad}$

Os anéis de mentira não precisam ser grupos de mentira adicionados. Qualquer álgebra de Lie é um exemplo de anel de Lie. Qualquer anel associativo pode ser transformado em um anel Lie, definindo um operador de colchete . Ao contrário de qualquer álgebra de Lie, existe um anel correspondente, denominado álgebra envolvente universal . ${\ displaystyle [x, y] = xy-yx}$

Os anéis de Lie são usados ​​no estudo de p-grupos finitos por meio da correspondência de Lazard . Os factores centrais inferiores de um p -group são finitas abelianos p -Grupos, de modo mais módulos Z / p Z . A soma direta dos fatores centrais inferiores é dada a estrutura de um anel de Lie, definindo o suporte para ser o comutador de dois representantes do coset. A estrutura do anel de Lie é enriquecida com outro homomorfismo de módulo, o p ésimo mapa de potência, tornando o anel de Lie associado um chamado anel de Lie restrito.

Os anéis de Lie também são úteis na definição de grupos analíticos p-ádicos e seus endomorfismos estudando álgebras de Lie sobre anéis de inteiros, como os inteiros p-ádicos . A definição de grupos finitos do tipo de Lie devido a Chevalley envolve restringir de uma álgebra de Lie sobre os números complexos a uma álgebra de Lie sobre os inteiros e, em seguida, reduzir o módulo p para obter uma álgebra de Lie sobre um corpo finito.

Exemplos

• Qualquer álgebra de Lie sobre um anel geral em vez de um campo é um exemplo de anel de Lie. Os anéis de mentira não são grupos de mentiras adicionados, apesar do nome.
• Qualquer anel associativo pode ser transformado em um anel Lie, definindo um operador de colchete

${\ displaystyle [x, y] = xy-yx.}$

• Para um exemplo de um anel de Lie surgindo do estudo de grupos , seja um grupo com a operação do comutador, e seja uma série central em - isto é, o subgrupo do comutador está contido em para qualquer . Então${\ displaystyle G}$${\ displaystyle [x, y] = x ^ {- 1} y ^ {- 1} xy}$${\ displaystyle G = G_ {0} \ supseteq G_ {1} \ supseteq G_ {2} \ supseteq \ cdots \ supseteq G_ {n} \ supseteq \ cdots}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle [G_ {i}, G_ {j}]}$${\ displaystyle G_ {i + j}}$${\ displaystyle i, j}$

${\ displaystyle L = \ bigoplus G_ {i} / G_ {i + 1}}$

é um anel de Lie com adição fornecida pela operação de grupo (que é abeliana em cada parte homogênea), e a operação de colchete dada por

${\ displaystyle [xG_ {i}, yG_ {j}] = [x, y] G_ {i + j} \}$

estendido linearmente. A centralidade da série garante que o comutador forneça à operação de colchetes as propriedades teóricas de Lie apropriadas.${\ displaystyle [x, y]}$

Veja também

Observações

Referências

Fontes

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links externos

• "Lie algebra" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
• McKenzie, Douglas (2015). "Uma introdução elementar às álgebras de Lie para físicos" .