Endomorfismo - Endomorphism
Em matemática , um endomorfismo é um morfismo de um objeto matemático para si mesmo. Um endomorfismo que também é um isomorfismo é um automorfismo . Por exemplo, um endomorfismo de um espaço vector V é um mapa linear f : V → V , e um endomorfismo de um grupo L é um grupo homomorphism f : L → L . Em geral, podemos falar sobre endomorfismos em qualquer categoria . Na categoria de conjuntos , endomorfismos são funções de um conjunto S para si mesmo.
Em qualquer categoria, a composição de quaisquer dois endomorfismos de X é de novo um endomorfismo de X . Segue-se que o conjunto de todos os endomorfismos de X forma um monóide , o monóide de transformação completa , e denotado como Fim ( X ) (ou Fim C ( X ) para enfatizar a categoria C ).
Automorfismos
Um endomorfismo invertível de X é denominado automorfismo . O conjunto de todos os automorfismos é um subconjunto de End ( X ) com uma estrutura de grupo , chamado de grupo de automorfismo de X e denotado como Aut ( X ) . No diagrama a seguir, as setas denotam a implicação:
Automorfismo | ⇒ | Isomorfismo |
⇓ | ⇓ | |
Endomorfismo | ⇒ | (Homo) morfismo |
Anéis de endomorfismo
Quaisquer dois endomorfismos de um grupo abeliano , A , podem ser somados pela regra ( f + g ) ( a ) = f ( a ) + g ( a ) . Sob esta adição, e com a multiplicação sendo definida como composição de função, os endomorfismos de um grupo abeliano formam um anel (o anel de endomorfismo ). Por exemplo, o conjunto de endomorfismos de ℤ n é o anel de tudo n × n matrizes com número inteiro entradas. Os endomorfismos de um espaço vetorial ou módulo também formam um anel, assim como os endomorfismos de qualquer objeto em uma categoria pré - aditiva . Os endomorfismos de um grupo nonabelian geram uma estrutura algébrica conhecida como quase-anel . Cada anel com um é o anel de endomorfismo de seu módulo regular , e assim é um subanel de um anel de endomorfismo de um grupo abeliano; no entanto, existem anéis que não são o anel de endomorfismo de nenhum grupo abeliano.
Teoria do operador
Em qualquer categoria concreta , especialmente para espaços vetoriais , endomorfismos são mapas de um conjunto em si mesmo, e podem ser interpretados como operadores unários naquele conjunto, agindo sobre os elementos, e permitindo definir a noção de órbitas de elementos, etc.
Dependendo da estrutura adicional definida para a categoria em questão ( topologia , métrica , ...), esses operadores podem ter propriedades como continuidade , limitação e assim por diante. Mais detalhes podem ser encontrados no artigo sobre a teoria do operador .
Funções finais
Uma endofunção é uma função cujo domínio é igual ao seu codomínio . Uma endofunção homomórfica é um endomorfismo.
Seja S um conjunto arbitrário. Entre endofunctions em S se encontra permutações de S e funções constantes associando-se a cada x em S o mesmo elemento C em S . Cada permutação de S tem o codomínio igual ao seu domínio e é bijetiva e invertível. Se S tem mais de um elemento, uma função constante em S tem uma imagem que é um subconjunto próprio de seu codomínio e, portanto, não é bijetivo (e, portanto, não pode ser invertido). A função que associa a cada número natural n o andar de n / 2 tem a sua imagem igual ao seu codomain e não é invertível.
Endofunções finitas são equivalentes a pseudoflorestas dirigidas . Para conjuntos de tamanho n, existem n n funções finais no conjunto.
Exemplos particulares de endofunções bijetivas são as involuções ; ou seja, as funções coincidindo com seus inversos.
Veja também
- Endomorfismo Adjunto
- Epimorfismo (morfismo subjetivo)
- Endomorfismo de Frobenius
- Monomorfismo (morfismo injetivo)
Notas
- ^ Jacobson (2009), p. 162, Teorema 3.2.
Referências
- Jacobson, Nathan (2009), Basic algebra , 1 (2ª ed.), Dover, ISBN 978-0-486-47189-1
links externos
- "Endomorphism" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]