Grupo de rotação 3D - 3D rotation group

Em mecânica e geometria , o grupo de rotação 3D , frequentemente denotado por SO (3) , é o grupo de todas as rotações sobre a origem do espaço euclidiano tridimensional sob a operação de composição . Por definição, uma rotação sobre a origem é uma transformação que preserva a origem, a distância euclidiana (portanto, é uma isometria ) e a orientação (isto é, a destreza do espaço). Cada rotação não trivial é determinada por seu eixo de rotação (uma linha que passa pela origem) e seu ângulo de rotação. A composição de duas rotações resulta em outra rotação; cada rotação tem uma rotação inversa única ; e o mapa de identidade satisfaz a definição de uma rotação. Devido às propriedades acima (ao longo da propriedade associativa das rotações compostas ), o conjunto de todas as rotações é um grupo sob composição. As rotações não são comutativas (por exemplo, girar R 90 ° no plano xy seguido por S 90 ° no plano yz não é o mesmo que S seguido por R ), tornando-o um grupo não - fabiano . Além disso, o grupo de rotação tem uma estrutura natural como uma variedade para a qual as operações do grupo são suavemente diferenciadas ; portanto, é de fato um grupo de Lie . É compacto e tem dimensão 3.

As rotações são transformações lineares de e, portanto, podem ser representadas por matrizes , uma vez que uma base de tenha sido escolhida. Especificamente, se escolhermos uma base ortonormal de , cada rotação é descrita por uma matriz ortogonal 3 × 3 (ou seja, uma matriz 3 × 3 com entradas reais que, quando multiplicada por sua transposta , resulta na matriz identidade ) com o determinante 1. O o grupo SO (3) pode, portanto, ser identificado com o grupo dessas matrizes sob a multiplicação de matrizes . Essas matrizes são conhecidas como "matrizes ortogonais especiais", explicando a notação SO (3).

O grupo SO (3) é usado para descrever as possíveis simetrias rotacionais de um objeto, bem como as possíveis orientações de um objeto no espaço. Suas representações são importantes na física, onde dão origem às partículas elementares de spin inteiro .

Comprimento e ângulo

Além de apenas preservar o comprimento, as rotações também preservam os ângulos entre os vetores. Esta situação resulta do facto do padrão de produto de pontos entre os dois vectores de u e v pode ser escrita puramente em termos de comprimento:

Segue-se que toda transformação linear que preserva o comprimento preserva o produto escalar e, portanto, o ângulo entre os vetores. As rotações são frequentemente definidas como transformações lineares que preservam o produto interno , o que equivale a exigir que preservem o comprimento. Veja o grupo clássico para um tratamento desta abordagem mais geral, onde SO (3) aparece como um caso especial.

Matrizes ortogonais e de rotação

Cada rotação mapeia uma base ortonormal de para outra base ortonormal. Como qualquer transformação linear de espaços vetoriais de dimensão finita , uma rotação sempre pode ser representada por uma matriz . Seja R uma rotação dada. Em relação à base padrão e 1 , e 2 , e 3 das colunas de R são dados por ( R e 1 , R e 2 , R e 3 ) . Como a base padrão é ortonormal e como R preserva os ângulos e o comprimento, as colunas de R formam outra base ortonormal. Esta condição de ortonormalidade pode ser expressa na forma

onde R T denota a transposta de R e I é a matriz de identidade 3 × 3 . As matrizes para as quais essa propriedade é válida são chamadas de matrizes ortogonais . O grupo de todas as matrizes ortogonais 3 × 3 é denotado O (3) e consiste em todas as rotações adequadas e impróprias.

Além de preservar o comprimento, as rotações adequadas também devem preservar a orientação. Uma matriz preservará ou inverterá a orientação de acordo com o determinante da matriz ser positivo ou negativo. Para uma matriz ortogonal R , observe que det R T = det R implica (det R ) 2 = 1 , de modo que det R = ± 1 . O subgrupo de matrizes ortogonais com determinante +1 é chamado de grupo ortogonal especial , denotado por SO (3) .

Assim, cada rotação pode ser representada exclusivamente por uma matriz ortogonal com determinante de unidade. Além disso, como a composição das rotações corresponde à multiplicação da matriz , o grupo de rotação é isomórfico ao grupo ortogonal especial SO (3) .

Rotações impróprias correspondem a matrizes ortogonais com determinante -1 , e não formam um grupo porque o produto de duas rotações impróprias é uma rotação adequada.

Estrutura de grupo

O grupo de rotação é um grupo sob composição de função (ou equivalentemente o produto de transformações lineares ). É um subgrupo do grupo linear geral que consiste em todas as transformações lineares invertíveis do 3-espaço real .

Além disso, o grupo de rotação é não- rotativo . Ou seja, a ordem em que as rotações são compostas faz diferença. Por exemplo, um quarto de volta ao redor do eixo x positivo seguido por um quarto de volta ao redor do eixo y positivo é uma rotação diferente daquela obtida primeiro girando em torno de y e, em seguida, x .

O grupo ortogonal, consistindo de todas as rotações próprias e impróprias, é gerado por reflexos. Cada rotação adequada é a composição de duas reflexões, um caso especial do teorema de Cartan-Dieudonné .

Eixo de rotação

Cada rotação adequada não trivial em 3 dimensões corrige um 1-dimensional única subespaço linear de que é chamado de eixo de rotação (este é o teorema de rotação de Euler ). Cada rotação atua como uma rotação bidimensional comum no plano ortogonal a este eixo. Uma vez que cada rotação bidimensional pode ser representada por um ângulo φ , uma rotação tridimensional arbitrária pode ser especificada por um eixo de rotação junto com um ângulo de rotação em torno desse eixo. (Tecnicamente, é necessário especificar uma orientação para o eixo e se a rotação deve ser no sentido horário ou anti - horário em relação a esta orientação).

Por exemplo, a rotação no sentido anti-horário sobre o eixo z positivo pelo ângulo φ é dada por

Dado um vetor unitário n em e um ângulo φ , seja R ( φ ,  n ) uma rotação anti-horária em torno do eixo através de n (com orientação determinada por n ). Então

  • R (0, n ) é a transformação de identidade para qualquer n
  • R ( φ , n ) = R (- φ , - n )
  • R ( π  +  φ , n ) = R ( π  -  φ , - n ).

Usando essas propriedades, pode-se mostrar que qualquer rotação pode ser representada por um único ângulo φ no intervalo 0 ≤ φ ≤ π e um vetor unitário n tal que

  • n é arbitrário se φ = 0
  • n é único se 0 < φ < π
  • n é único até um sinal se φ = π (ou seja, as rotações R ( π , ± n ) são idênticas).

Na próxima seção, esta representação de rotações é usada para identificar SO (3) topologicamente com espaço projetivo real tridimensional.

Topologia

O grupo de Lie SO (3) é difeomórfico ao espaço projetivo real

Considere a bola sólida de raio π (ou seja, todos os pontos de distância π ou menos da origem). Diante do exposto, para cada ponto desta bola existe uma rotação, com eixo passando pelo ponto e pela origem, e ângulo de rotação igual à distância do ponto desde a origem. A rotação da identidade corresponde ao ponto no centro da bola. A rotação através dos ângulos entre 0 e - π corresponde ao ponto no mesmo eixo e distância da origem, mas no lado oposto da origem. O único problema que resta é que as duas rotações através de π e através de - π são as mesmas. Assim, identificamos (ou "colamos") os pontos antípodas na superfície da bola. Após essa identificação, chegamos a um espaço topológico homeomórfico ao grupo de rotação.

De fato, a bola com pontos de superfície antípodas identificados é uma variedade lisa , e essa variedade é difeomórfica para o grupo de rotação. Também é difeomórfico ao espaço projetivo tridimensional real, de modo que este também pode servir como modelo topológico para o grupo de rotação.

Essas identificações ilustram que SO (3) está conectado, mas não simplesmente conectado . Quanto a este último, na bola com pontos de superfície antípodas identificados, considere o caminho que vai do "pólo norte" direto para o interior até o pólo sul. Este é um circuito fechado, uma vez que o pólo norte e o pólo sul são identificados. Este loop não pode ser reduzido a um ponto, já que não importa como você deforme o loop, o ponto inicial e final devem permanecer antípodais, ou então o loop será "aberto". Em termos de rotações, este loop representa uma sequência contínua de rotações sobre o eixo z começando (por exemplo) na identidade (centro da bola), através do pólo sul, salta para o pólo norte e terminando novamente na rotação de identidade (ou seja, uma série de rotação através de um ângulo φ onde φ vai de 0 a 2 π ).

Surpreendentemente, se você percorrer o caminho duas vezes, ou seja, correr do pólo norte para o pólo sul, pule de volta para o pólo norte (usando o fato de que os pólos norte e sul são identificados) e, em seguida, corra novamente do pólo norte para o sul pólo, de forma que φ vai de 0 a 4 π , você obtém um loop fechado que pode ser reduzido a um único ponto: primeiro mova os caminhos continuamente para a superfície da bola, ainda conectando o pólo norte ao pólo sul duas vezes. O segundo caminho pode então ser espelhado para o lado antípoda sem alterar o caminho de forma alguma. Agora temos um círculo fechado comum na superfície da bola, conectando o pólo norte a si mesmo ao longo de um grande círculo. Este círculo pode ser reduzido ao pólo norte sem problemas. O truque da placa e truques semelhantes demonstram isso na prática.

O mesmo argumento pode ser realizado em geral, e mostra que o grupo fundamental de SO (3) é o grupo cíclico de ordem 2 (um grupo fundamental com dois elementos). Em aplicações físicas , a não trivialidade (mais de um elemento) do grupo fundamental permite a existência de objetos conhecidos como spinors , e é uma ferramenta importante no desenvolvimento do teorema da estatística de spin .

A cobertura universal de SO (3) é um grupo de Lie chamado Spin (3) . O grupo Spin (3) é isomórfico ao grupo especial unitário SU (2); também é difeomórfico à unidade 3-esfera S 3 e pode ser entendido como o grupo dos versores ( quatérnios com valor absoluto 1). A conexão entre quaternions e rotações, comumente explorada em computação gráfica , é explicada em quaternions e rotações espaciais . O mapa de S 3 em SO (3) que identifica os pontos antípodais de S 3 é um homomorfismo sobrejetivo de grupos de Lie, com kernel {± 1}. Topologicamente, este mapa é um mapa de cobertura dois para um . (Veja o truque da placa .)

Conexão entre SO (3) e SU (2)

Nesta seção, damos duas construções diferentes de um homomorfismo dois para um e sobrejetivo de SU (2) em SO (3).

Usando quatérnions de norma de unidade

O grupo SU (2) é isomórfico aos quatérnions da norma unitária por meio de um mapa fornecido por

restrita a onde e , .

Vamos agora nos identificar com o intervalo de . Pode-se então verificar que se está dentro e é uma unidade quatérnio, então

Além disso, o mapa é uma rotação de Além disso, é o mesmo que . Isso significa que há um homomorfismo 2: 1 de quatérnios de norma de unidade para o grupo de rotação 3D SO (3) .

Pode-se trabalhar esse homomorfismo explicitamente: a unidade quaternion, q , com

é mapeado para a matriz de rotação

Esta é uma rotação em torno do vetor ( x , y , z ) por um ângulo 2 θ , onde cos θ = w e | sin θ | = || ( x , y , z ) || . O sinal adequado para sen θ está implícito, uma vez que os sinais dos componentes do eixo são fixos. A 2: 1 -natureza é aparente uma vez que ambos q e - q mapa para o mesmo Q .

Usando transformações de Möbius

Projeção estereográfica da esfera do raio 1/2do pólo norte ( x , y , z ) = (0, 0,1/2) no plano M dado por z = -1/2coordenado por ( ξ , η ) , mostrado aqui em seção transversal.

A referência geral para esta seção é Gelfand, Minlos & Shapiro (1963) . Os pontos P na esfera

pode, exceto o pólo norte N , ser colocado em bijeção um-a-um com os pontos S ( P ) = P ´ no plano M definido por z = -1/2, Veja a figura. O mapa S é chamado de projeção estereográfica .

Deixe as coordenadas em M ser ( ξ , η ) . A linha L passando por N e P pode ser parametrizada como

Exigindo que a coordenada z de iguais -1/2, encontra-se

Temos daí o mapa

onde, para conveniência posterior, o plano M é identificado com o plano complexo

Para o inverso, escreva L como

e demanda x 2 + y 2 + z 2 =1/4para encontrar s =1/1 + ξ 2 + η 2 e assim

Se g ∈ SO (3) é uma rotação, então ele levará pontos em S a pontos em S por sua ação padrão Π s ( g ) no espaço de incorporação Ao compor esta ação com S obtém-se uma transformação S ∘ Π s ( g ) ∘ S −1 de M ,

Assim, Π u ( g ) é uma transformação de associada à transformação Π s ( g ) de .

Acontece que g ∈ SO (3) representado desta forma por Π u ( g ) pode ser expresso como uma matriz Π u ( g ) ∈ SU (2) (onde a notação é reciclada para usar o mesmo nome para a matriz quanto à transformação do que representa). Para identificar esta matriz, considere primeiro uma rotação g φ sobre o eixo z através de um ângulo φ ,

Portanto

que, sem surpresa, é uma rotação no plano complexo. De forma análoga, se g θ é uma rotação sobre o eixo x através de um ângulo θ , então

que, depois de um pouco de álgebra, torna-se

Essas duas rotações, portanto , correspondem às transformadas bilineares de R 2CM , ou seja, são exemplos de transformações de Möbius .

Uma transformação geral de Möbius é dada por

As rotações geram todo o SO (3) e as regras de composição das transformações de Möbius mostram que qualquer composição de se traduz na composição correspondente das transformações de Möbius. As transformações de Möbius podem ser representadas por matrizes

uma vez que um fator comum de α , β , γ , δ é cancelado.

Pela mesma razão, a matriz não é definida de forma única, pois a multiplicação por - I não tem efeito sobre o determinante ou a transformação de Möbius. A lei de composição das transformações de Möbius segue aquela das matrizes correspondentes. A conclusão é que cada transformação de Möbius corresponde a duas matrizes g , - g ∈ SL (2, C ) .

Usando esta correspondência, pode-se escrever

Essas matrizes são unitárias e, portanto, Π u (SO (3)) ⊂ SU (2) ⊂ SL (2, C ) . Em termos de ângulos de Euler, encontramos para uma rotação geral

 

 

 

 

( 1 )

um tem

 

 

 

 

( 2 )

Pelo contrário, considere uma matriz geral

Faça as substituições

Com as substituições, Π ( g α , β ) assume a forma do lado direito ( RHS ) de ( 2 ), que corresponde em Π u a uma matriz na forma do RHS de ( 1 ) com o mesmo φ , θ , ψ . Em termos dos parâmetros complexos α , β ,

Para verificar isso, substitua por α . β os elementos da matriz no RHS de ( 2 ). Após alguma manipulação, a matriz assume a forma do RHS de ( 1 ).

É claro a partir da forma explícita em termos de ângulos de Euler que o mapa

que acabamos de descrever é um homomorfismo de grupo suave, 2: 1 e sobrejetivo . É, portanto, uma descrição explícita do mapa de cobertura universal de SO (3) do grupo de cobertura universal SU (2) .

Álgebra de mentira

Associado a cada grupo de Lie está sua álgebra de Lie , um espaço linear da mesma dimensão que o grupo de Lie, fechado sob um produto alternado bilinear denominado colchete de Lie . A álgebra de Lie de SO (3) é denotada por e consiste em todas as matrizes 3 × 3 assimétricas . Isso pode ser visto diferenciando a condição de ortogonalidade , A T A = I , A ∈ SO (3) . O colchete de Lie de dois elementos de é, como para a álgebra de Lie de cada grupo de matrizes, dado pelo comutador de matriz , [ A 1 , A 2 ] = A 1 A 2 - A 2 A 1 , que é novamente assimétrico matriz. O colchete de álgebra de Lie captura a essência do produto do grupo de Lie em um sentido tornado preciso pela fórmula Baker – Campbell – Hausdorff .

Os elementos de são os "geradores infinitesimais" de rotações, ou seja, são os elementos do espaço tangente da variedade SO (3) no elemento de identidade. Se denota uma rotação no sentido anti-horário com ângulo φ em torno do eixo especificado pelo vetor unitário, então

Isso pode ser usado para mostrar que a álgebra de Lie (com comutador) é isomórfica à álgebra de Lie (com produto vetorial ). Sob este isomorfismo, um vetor de Euler corresponde ao mapa linear definido por

Em mais detalhe, uma base mais frequentemente adequado para como um 3 -dimensional de espaço vectorial é

As relações de comutação desses elementos básicos são,

que concordam com as relações dos três vetores unitários padrão de sob o produto vetorial .

Conforme anunciado acima, pode-se identificar qualquer matriz nesta álgebra de Lie com um vetor de Euler

Essa identificação às vezes é chamada de mapa de chapéu . Sob esta identificação, o colchete corresponde ao produto vetorial ,

A matriz identificada com um vetor tem a propriedade de

onde do lado esquerdo temos a multiplicação de matrizes ordinárias. Isso implica que está no espaço nulo da matriz assimétrica com a qual é identificado, porque

Uma nota sobre álgebras de Lie

Nas representações da álgebra de Lie , o grupo SO (3) é compacto e simples de classificação 1 e, portanto, possui um único elemento Casimir independente , uma função invariante quadrática dos três geradores que comuta com todos eles. A forma de Killing para o grupo de rotação é apenas o delta de Kronecker , e então este invariante de Casimir é simplesmente a soma dos quadrados dos geradores, da álgebra

Ou seja, o invariante de Casimir é dado por

Para representações unitárias irredutíveis D j , os autovalores deste invariante são reais e discretos, e caracterizam cada representação, que é de dimensão finita, de dimensionalidade . Ou seja, os valores próprios deste operador Casimir são

onde é inteiro ou meio-inteiro e referido como o spin ou momento angular .

Assim, os geradores 3 × 3 L exibidos acima atuam na representação do tripleto (spin 1), enquanto os geradores 2 × 2 abaixo, t , atuam na representação do dupleto ( spin-½ ). Tomando consigo os produtos Kronecker de D 1/2 repetidamente, pode-se construir todas as representações irredutíveis superiores D j . Ou seja, os geradores resultantes para sistemas de spin mais altos em três dimensões espaciais, para j arbitrariamente grande , podem ser calculados usando esses operadores de spin e operadores de escada .

Para cada representação irredutível unitária D j existe uma equivalente, D - j −1 . Todas as representações irredutíveis de dimensão infinita devem ser não unitárias, uma vez que o grupo é compacto.

Na mecânica quântica , o invariante de Casimir é o operador de "momento angular ao quadrado"; valores inteiros de spin j caracterizam representações bosônicas , enquanto valores inteiros de meio-inteiro representam representações fermiônicas . As matrizes anti-hermitianas usadas acima são utilizadas como operadores de spin , após serem multiplicadas por i , portanto agora são hermitianas (como as matrizes de Pauli). Assim, nesta linguagem,

e, portanto

Expressões explícitas para esses D j são,

onde é arbitrário e

Por exemplo, as matrizes de spin resultantes para spin 1 ( ) são:

Observe, no entanto, como estes estão em uma base equivalente, mas diferente, a base esférica , do que acima na base cartesiana.

Para girar 3/2( ):

Para girar 5/2( ):

Isomorfismo com 𝖘𝖚 (2)

As álgebras de Lie e são isomorfos. Uma base para é dada por

Estes estão relacionados com as matrizes de Pauli por

As matrizes de Pauli obedecem à convenção dos físicos para álgebras de Lie. Nessa convenção, os elementos da álgebra de Lie são multiplicados por i , o mapa exponencial (abaixo) é definido com um fator extra de i no expoente e as constantes de estrutura permanecem as mesmas, mas a definição delas adquire um fator de i . Da mesma forma, as relações de comutação adquirem um fator de i . As relações de comutação para o são

onde ε ijk é o símbolo totalmente anti-simétrico com ε 123 = 1 . O isomorfismo entre e pode ser configurado de várias maneiras. Para conveniência posterior, e são identificados por mapeamento

e estendendo por linearidade.

Mapa exponencial

O mapa exponencial para SO (3) , é, uma vez que SO (3) é um grupo de Lie da matriz, definido usando a série exponencial da matriz padrão ,

Para qualquer matriz assimétrica A ∈ 𝖘𝖔 (3) , e A está sempre em SO (3) . A prova usa as propriedades elementares da matriz exponencial

uma vez que as matrizes A e A T comutam, isso pode ser facilmente comprovado com a condição de matriz assimétrica. Isso não é suficiente para mostrar que 𝖘𝖔 (3) é a álgebra de Lie correspondente para SO (3) , e deve ser provada separadamente.

O nível de dificuldade da prova depende de como a álgebra de Lie de um grupo de matrizes é definida. Hall (2003) define a álgebra de Lie como o conjunto de matrizes

nesse caso, é trivial. Rossmann (2002) usa para uma definição derivadas de segmentos de curvas suaves em SO (3) por meio da identidade assumida na identidade, caso em que é mais difícil.

Para um A ≠ 0 fixo , e tA , −∞ < t <∞ é um subgrupo de um parâmetro ao longo de uma geodésica em SO (3) . Que isso forneça um subgrupo de um parâmetro segue diretamente das propriedades do mapa exponencial.

O mapa exponencial fornece um difeomorfismo entre uma vizinhança da origem no 𝖘𝖔 (3) e uma vizinhança da identidade no SO (3) . Para uma prova, consulte Teorema do subgrupo fechado .

O mapa exponencial é sobrejetivo . Isso decorre do fato de que todo R ∈ SO (3) , uma vez que toda rotação deixa um eixo fixo ( teorema de rotação de Euler ), é conjugado a uma matriz diagonal de blocos da forma

tal que A = BDB −1 , e que

junto com o fato de que 𝖘𝖔 (3) é fechado sob a ação adjunta de SO (3) , o que significa que BθL z B −1 ∈ 𝖘𝖔 (3) .

Assim, por exemplo, é fácil verificar a identidade popular

Como mostrado acima, cada elemento A ∈ 𝖘𝖔 (3) está associado a um vetor ω = θ u , onde u = ( x , y , z ) é um vetor de magnitude unitária. Uma vez que u está no espaço nulo de A , se alguém agora girar para uma nova base, por meio de alguma outra matriz ortogonal O , com u como eixo z , a coluna e linha finais da matriz de rotação na nova base serão zero.

Portanto, sabemos de antemão, pela fórmula do exponencial, que exp ( OAO T ) deve deixar u fixo. É matematicamente impossível fornecer uma fórmula direta para essa base como uma função de u , porque sua existência violaria o teorema da bola cabeluda ; mas a exponenciação direta é possível, e produz

onde e . Isso é reconhecido como uma matriz para uma rotação em torno do eixo u pelo ângulo θ : cf. Fórmula de rotação de Rodrigues .

Mapa logarítmico

Dado R ∈ SO (3) , deixe denotar a parte antissimétrica e deixe Então, o logaritmo de A é dado por

Isso se manifesta pela inspeção da forma de simetria mista da fórmula de Rodrigues,

onde o primeiro e o último termo do lado direito são simétricos.

Fórmula Baker-Campbell-Hausdorff

Suponha que X e Y na álgebra de Lie sejam dados. Suas exponenciais, exp ( X ) e exp ( Y ) , são matrizes de rotação, que podem ser multiplicadas. Uma vez que o mapa exponencial é uma sobreposição, para alguns Z na álgebra de Lie, exp ( Z ) = exp ( X ) exp ( Y ) , e pode-se escrever provisoriamente

para C alguma expressão em X e Y . Quando exp ( X ) e exp ( Y ) comutam, então Z = X + Y , imitando o comportamento da exponenciação complexa.

O caso geral é dado pela fórmula BCH mais elaborada , uma expansão em série de colchetes de Lie aninhados. Para matrizes, o colchete de Lie é a mesma operação do comutador , que monitora a falta de comutatividade na multiplicação. Esta expansão geral se desdobra da seguinte forma,

A expansão infinita na fórmula BCH para SO (3) se reduz a uma forma compacta,

para coeficientes de função trigonométrica adequados ( α , β , γ ) .

Os coeficientes trigonométricos

Os ( α , β , γ ) são dados por

Onde

para

O produto interno é o produto interno de Hilbert-Schmidt e a norma é a norma associada. Sob o isomorfismo de chapéu,

o que explica os fatores para θ e φ . Isso desaparece na expressão do ângulo.

Vale a pena escrever este gerador de rotação composto como

para enfatizar que esta é uma identidade de álgebra de Lie .

A identidade acima vale para todas as representações fiéis de 𝖘𝖔 (3) . O núcleo de um homomorfismo da álgebra de Lie é um ideal , mas 𝖘𝖔 (3) , sendo simples , não tem ideais não triviais e todas as representações não triviais são, portanto, fiéis. É válido em particular na representação do dupleto ou espinor. A mesma fórmula explícita, portanto, segue de uma maneira mais simples através das matrizes de Pauli, cf. a derivação 2 × 2 para SU (2) .

O caso SU (2)

A versão do vetor de Pauli da mesma fórmula BCH é a lei de composição de grupo um tanto mais simples de SU (2),

Onde

a lei esférica dos cossenos . (Observe que a ', b', c ' são ângulos, não o a , b , c acima.)

Manifestamente tem o mesmo formato acima,

com

de modo a

Para normalização uniforme dos geradores na álgebra de Lie envolvida, expresse as matrizes de Pauli em termos de matrizes t , σ → 2 i t , de modo que

Para verificar se esses são os mesmos coeficientes acima, calcule as razões dos coeficientes,

Finalmente, γ = γ ' dada a identidade d = sen 2 c' .

Para o caso n × n geral , pode-se usar a Ref.

O caso do quaternion

O Quatérnion formulação da composição de duas rotações R B e R A também produz directamente o eixo de rotação e o ângulo de rotação do composto R C = R B R Uma .

Deixe o quatérnion associado a uma rotação espacial R ser construído a partir de seu eixo de rotação S e do ângulo de rotação φ deste eixo. O quaternion associado é dado por,

Então a composição da rotação R R com R A é a rotação R C = R B R A com eixo de rotação e ângulo definido pelo produto dos quatérnios

isso é

Expanda este produto para obter

Divida os dois lados desta equação pela identidade, que é a lei dos cossenos em uma esfera ,

e computar

Esta é a fórmula de Rodrigues para o eixo de uma rotação composta definida em termos dos eixos das duas rotações. Ele derivou essa fórmula em 1840 (ver página 408).

Os três eixos de rotação A , B e C formam um triângulo esférico e os ângulos diédricos entre os planos formados pelos lados desse triângulo são definidos pelos ângulos de rotação.

Rotações infinitesimais

As matrizes na álgebra de Lie não são rotações em si mesmas; as matrizes assimétricas são derivadas. Uma "rotação diferencial" real, ou matriz de rotação infinitesimal tem a forma

onde é incrivelmente pequeno e A ∈ 𝖘𝖔 (3) .

Essas matrizes não satisfazem todas as mesmas propriedades das matrizes de rotação finita ordinárias sob o tratamento usual de infinitesimais. Para entender o que isso significa, considere

Em primeiro lugar, testar a condição de ortogonalidade, Q T Q = I . O produto é

diferindo de uma matriz de identidade por infinitesimais de segunda ordem, descartados aqui. Portanto, em primeira ordem, uma matriz de rotação infinitesimal é uma matriz ortogonal.

Em seguida, examine o quadrado da matriz,

Novamente descartando os efeitos de segunda ordem, observe que o ângulo simplesmente dobra. Isso sugere a diferença mais essencial de comportamento, que podemos exibir com a ajuda de uma segunda rotação infinitesimal,

Compare os produtos dA x  dA y a dA y dA x ,

Por ser de segunda ordem, nós a descartamos: assim, para a primeira ordem, a multiplicação de matrizes de rotação infinitesimais é comutativa . Na verdade,

novamente para a primeira ordem. Em outras palavras, a ordem em que as rotações infinitesimais são aplicadas é irrelevante .

Este fato útil torna, por exemplo, a derivação da rotação do corpo rígido relativamente simples. Mas deve-se sempre ter o cuidado de distinguir (o tratamento de primeira ordem de) essas matrizes de rotação infinitesimais de ambas as matrizes de rotação finitas e de elementos da álgebra de Lie. Ao comparar o comportamento das matrizes de rotação finitas na fórmula BCH acima com o das matrizes de rotação infinitesimais, onde todos os termos do comutador serão infinitesimais de segunda ordem, encontra-se um espaço vetorial de boa-fé. Tecnicamente, esta dispensa de quaisquer termos de segunda ordem equivale à contração do Grupo .

Realizações de rotações

Vimos que existem várias maneiras de representar as rotações:

Harmônicos esféricos

O grupo SO (3) de rotações euclidianas tridimensionais tem uma representação infinita dimensional no espaço de Hilbert.

onde estão os harmônicos esféricos . Seus elementos são funções quadradas integráveis ​​de valor complexo na esfera. O produto interno neste espaço é dado por

 

 

 

 

( H1 )

Se f é uma função quadrada integrável arbitrária definida na esfera unitária S 2 , então ela pode ser expressa como

 

 

 

 

( H2 )

onde os coeficientes de expansão são dados por

 

 

 

 

( H3 )

A ação do grupo Lorentz se restringe àquela de SO (3) e é expressa como

 

 

 

 

( H4 )

Esta ação é unitária, o que significa que

 

 

 

 

( H5 )

O D ( ) pode ser obtido a partir do D ( m ,  n ) acima usando a decomposição de Clebsch-Gordan , mas eles são mais facilmente expressos diretamente como um exponencial de uma su (2) -representação de dimensão ímpar (a representação tridimensional um é exatamente 𝖘𝖔 (3) ). Neste caso, o espaço L 2 ( S 2 ) se decompõe ordenadamente em uma soma direta infinita de representações dimensionais finitas ímpares irredutíveis V 2 i + 1 , i = 0, 1, ... de acordo com

 

 

 

 

( H6 )

Isso é característico de representações unitárias de dimensão infinita de SO (3) . Se Π for uma representação unitária de dimensão infinita em um espaço de Hilbert separável , então ele se decompõe como uma soma direta de representações unitárias de dimensão finita. Essa representação, portanto, nunca é irredutível. Todas as representações de dimensão finita irredutíveis (Π, V ) podem ser tornadas unitárias por uma escolha apropriada do produto interno,

onde a integral é a única integral invariante sobre SO (3) normalizada para 1 , aqui expressa usando a parametrização dos ângulos de Euler . O produto interno dentro do integral é qualquer produto interno em V .

Generalizações

O grupo de rotação generaliza naturalmente para o espaço euclidiano n- dimensional , com sua estrutura euclidiana padrão. O grupo de todas as rotações próprias e impróprias em n dimensões é denominado grupo ortogonal O ( n ), e o subgrupo de rotações próprias é denominado grupo ortogonal especial SO ( n ), que é um grupo de Lie de dimensão n ( n - 1 ) / 2 .

Na relatividade especial , trabalha-se em um espaço vetorial quadridimensional, conhecido como espaço de Minkowski, em vez de espaço euclidiano tridimensional. Ao contrário do espaço euclidiano, o espaço de Minkowski possui um produto interno com assinatura indefinida . No entanto, ainda é possível definir rotações generalizadas que preservam esse produto interno. Essas rotações generalizadas são conhecidas como transformações de Lorentz e o grupo de todas essas transformações é chamado de grupo de Lorentz .

O grupo de rotação SO (3) pode ser descrito como um subgrupo de E + (3) , o grupo euclidiano de isometrias diretas de euclidiano. Este grupo maior é o grupo de todos os movimentos de um corpo rígido : cada um deles é uma combinação de um rotação em torno de um eixo arbitrário e uma translação ou, dito de outra forma, uma combinação de um elemento de SO (3) e uma translação arbitrária.

Em geral, o grupo de rotação de um objeto é o grupo de simetria dentro do grupo de isometrias diretas; em outras palavras, a intersecção do grupo de simetria completo e o grupo de isometrias diretas. Para objetos quirais , é igual ao grupo de simetria completo.

Veja também

Notas de rodapé

Referências

Bibliografia

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