Anel polinomial - Polynomial ring

Em matemática , especialmente no campo da álgebra , um anel polinomial ou álgebra polinomial é um anel (que também é uma álgebra comutativa ) formado a partir do conjunto de polinômios em um ou mais indeterminados (tradicionalmente também chamados de variáveis ) com coeficientes em outro anel , frequentemente um campo .

Freqüentemente, o termo "anel polinomial" se refere implicitamente ao caso especial de um anel polinomial em um indeterminado sobre um campo. A importância de tais anéis polinomiais depende do alto número de propriedades que eles têm em comum com o anel dos inteiros .

Anéis polinomiais ocorrem e geralmente são fundamentais em muitas partes da matemática, como teoria dos números , álgebra comutativa e geometria algébrica . Em teoria dos anéis , muitas classes de anéis, como domínios únicos fatoração , anéis regulares , anéis de grupo , anéis de séries poder formal , polinômios Ore , anéis graduados , foram introduzidos para generalizar algumas propriedades de anéis de polinômios.

Uma noção intimamente relacionada é a do anel de funções polinomiais em um espaço vetorial e, mais geralmente, anel de funções regulares em uma variedade algébrica .

Definição (caso univariado)

O anel polinomial , K [ X ] , em X sobre um campo (ou, mais geralmente, um anel comutativo ) K pode ser definido (existem outras definições equivalentes que são comumente usadas) como o conjunto de expressões, chamados polinômios em X , do formulário

onde p 0 , p 1 , ..., p m , os coeficientes de p , são elementos de K , p m ≠ 0 se m > 0 , e X , X 2 , ..., são símbolos, que são considerados como "potências" de X , e siga as regras usuais de exponenciação : X 0 = 1 , X 1 = X e para quaisquer inteiros não negativos k e l . O símbolo X é chamado de indeterminado ou variável. (O termo "variável" vem da terminologia de funções polinomiais . No entanto, aqui, X não tem nenhum valor (além de si mesmo) e não pode variar, sendo uma constante no anel polinomial.)

Dois polinômios são iguais quando os coeficientes correspondentes de cada X k são iguais.

Pode-se pensar no anel K [ X ] como surgindo de K adicionando um novo elemento X que é externo a K , comuta com todos os elementos de K e não tem outras propriedades específicas. (Isso pode ser usado para definir anéis polinomiais.)

O anel polinomial em X sobre K é equipado com uma adição, uma multiplicação e uma multiplicação escalar que o tornam uma álgebra comutativa . Essas operações são definidas de acordo com as regras comuns de manipulação de expressões algébricas. Especificamente, se

e

então

e

onde k = max ( m , n ), l = m + n ,

e

Nessas fórmulas, os polinômios p e q são estendidos pela adição de "termos fictícios" com coeficientes zero, de modo que todos p i e q i que aparecem nas fórmulas sejam definidos. Especificamente, se m < n , então p i = 0 para m < in .

A multiplicação escalar é o caso especial da multiplicação onde p = p 0 é reduzido ao seu termo constante (o termo que é independente de X ); isso é

É fácil de verificar que estas três operações cumprirem os axiomas de uma álgebra comutativa sobre K . Portanto, os anéis polinomiais também são chamados de álgebras polinomiais .

Outra definição equivalente é muitas vezes preferida, embora menos intuitiva, porque é mais fácil torná-la completamente rigorosa, que consiste em definir um polinômio como uma sequência infinita ( p 0 , p 1 , p 2 , ...) de elementos de K , tendo o propriedade de que apenas um número finito dos elementos é diferente de zero, ou equivalentemente, uma sequência para a qual existe algum m de modo que p n = 0 para n > m . Nesse caso, p 0 e X são considerados notações alternativas para as sequências ( p 0 , 0, 0, ...) e (0, 1, 0, 0, ...) , respectivamente. Um uso direto das regras de operação mostra que a expressão

é então uma notação alternativa para a sequência

( p 0 , p 1 , p 2 ,…, p m , 0, 0,…) .

Terminologia

Deixar

ser um polinômio diferente de zero com

O termo constante de p é Ele é zero no caso do polinômio zero.

O grau de p , escrito deg ( p ), é o maior k tal que o coeficiente de X k não é zero.

O coeficiente líder de p é

No caso especial do polinômio zero, cujos coeficientes são zero, o coeficiente líder é indefinido e o grau foi deixado indefinidamente, definido como −1 ou definido como −∞ .

Um polinômio constante é o polinômio zero ou um polinômio de grau zero.

Um polinômio diferente de zero é mônico se seu coeficiente líder for

Dados dois polinômios p e q , um tem

e, sobre um campo , ou mais geralmente um domínio integral ,

Segue-se imediatamente que, se K é um domínio integral, então K [ X ] também é .

Segue-se também que, se K é um domínio integral, um polinómio é uma unidade (isto é, que tem um inverso multiplicativo ) se e só se for constante e é uma unidade em K .

Dois polinômios são associados se um for o produto do outro por uma unidade.

Sobre um campo, todo polinômio diferente de zero está associado a um polinômio mônico único.

Dados dois polinômios, p e q , diz-se que p divide q , p é um divisor de q , ou q é um múltiplo de p , se houver um polinômio r tal que q = pr .

Um polinômio é irredutível se não for o produto de dois polinômios não constantes ou, de maneira equivalente, se seus divisores forem polinômios constantes ou tiverem o mesmo grau.

Avaliação polinomial

Deixe- K ser um campo ou, mais geralmente, um anel conmutativo , e R um anel contendo K . Para qualquer polinômio p em K [ X ] e qualquer elemento a em R , a substituição de X por a em p define um elemento de R , que é denotado por P ( a ) . Este elemento é obtido realizando em R após a substituição das operações indicadas pela expressão do polinômio. Este cálculo é chamado de avaliação de P em a . Por exemplo, se tivermos

temos

(no primeiro exemplo R = K , e no segundo R = K [ X ] ). Substituir X por si mesmo resulta em

explicando porque as sentenças "Seja P um polinômio" e "Seja P ( X ) um polinômio" são equivalentes.

A função polinomial definida por um polinômio P é a função de K em K que é definida por Se K for um campo infinito, dois polinômios diferentes definem funções polinomiais diferentes, mas essa propriedade é falsa para campos finitos. Por exemplo, se K for um campo com q elementos, então os polinômios 0 e X q - X definem a função zero.

Para cada a em R , a avaliação em a , ou seja, o mapa define um homomorfismo de álgebra de K [ X ] para R , que é o homomorfismo único de K [ X ] para R que fixa K , e mapeia X para a . Em outras palavras, K [ X ] possui a seguinte propriedade universal . Para cada anel R contendo K , e cada elemento a de R , existe um homomorfismo álgebra único de K [ X ] para R que fixa K , e mapeia X para a . Como para todas as propriedades universais, isso define o par ( K [ X ], X ) até um isomorfismo único, e pode, portanto, ser tomado como uma definição de K [ X ] .

Polinômios univariados sobre um campo

Se K for um campo , o anel polinomial K [ X ] tem muitas propriedades semelhantes às do anel de inteiros. A maioria dessas semelhanças resulta da semelhança entre a longa divisão de inteiros e a longa divisão de polinômios .

A maioria das propriedades de K [ X ] que estão listadas nesta seção não permanecem verdadeiras se K não for um campo, ou se considerarmos polinômios em vários indeterminados.

Como para inteiros, a divisão euclidiana de polinômios tem uma propriedade de exclusividade. Isto é, dado duas polinómios um e b ≠ 0 em K [ X ] , existe um único par ( q , r ) de polinómios de tal modo que um = bq + r , e, ou r = 0 ou DEG ( r ) <° ( b ) . Isso torna K [ X ] um domínio euclidiano . No entanto, a maioria dos outros domínios euclidianos (exceto inteiros) não tem nenhuma propriedade de unicidade para a divisão, nem um algoritmo fácil (como a divisão longa) para calcular a divisão euclidiana.

A divisão euclidiana é a base do algoritmo euclidiano para polinômios que calcula um polinômio máximo divisor comum de dois polinômios. Aqui, "maior" significa "tendo um grau máximo" ou, equivalentemente, sendo máximo para a pré - ordem definida pelo grau. Dada uma maior divisor comum de dois polinómios, outros maiores divisores comuns são obtidos pela multiplicação por uma constante diferente de zero (isto é, todos os máximos divisores comuns de uma e b estão associados). Em particular, dois polinômios que não são ambos zero têm um único divisor comum máximo que é monic (coeficiente líder igual a1 ).

O algoritmo Euclidiano estendido permite calcular (e provar) a identidade de Bézout . No caso de K [ X ] , pode ser declarado como segue. Dados dois polinômios p e q de respectivos graus m e n , se seu maior divisor comum mônico g tem o grau d , então há um único par ( a , b ) de polinômios tais que

e

(Para tornar isso verdadeiro no caso limite em que m = d ou n = d , deve-se definir como negativo o grau do polinômio zero. Além disso, a igualdade pode ocorrer apenas se p e q estiverem associados.) A propriedade de exclusividade é bastante específico para K [ X ] . No caso dos inteiros a mesma propriedade é verdadeira, se os graus são substituídos por valores absolutos, mas, para haver unicidade, deve-se exigir um > 0 .

O lema de Euclides se aplica a K [ X ] . Ou seja, se a divide bc , e é coprime com b , então a divide c . Aqui, coprime significa que o maior divisor comum mônico é1 . Prova: por hipótese e identidade de Bézout, existem e , p e q tais que ae = bc e 1 = ap + bq . Então

A propriedade de fatoração única resulta do lema de Euclides. No caso de inteiros, este é o teorema fundamental da aritmética . No caso de K [ X ] , pode-se afirmar que: todo polinômio não constante pode ser expresso de maneira única como o produto de uma constante e de um ou vários polinômios mônicos irredutíveis; esta decomposição é única até a ordem dos fatores. Em outros termos, K [ X ] é um domínio de fatoração único . Se K é o campo dos números complexos, o teorema fundamental da álgebra afirma que um polinômio univariado é irredutível se e somente se seu grau for um. Neste caso, a propriedade de fatoração única pode ser reafirmada como: todo polinômio univariado não constante sobre os números complexos pode ser expresso de uma maneira única como o produto de uma constante e um ou vários polinômios da forma X - r ; esta decomposição é única até a ordem dos fatores. Para cada fator, r é uma raiz do polinômio e o número de ocorrências de um fator é a multiplicidade da raiz correspondente.

Derivação

A derivada (formal) do polinômio

é o polinômio

No caso de polinômios com coeficientes reais ou complexos , esta é a derivada padrão . A fórmula acima define a derivada de um polinômio mesmo se os coeficientes pertencerem a um anel no qual nenhuma noção de limite é definida. A derivada torna o anel polinomial uma álgebra diferencial .

A existência da derivada é uma das principais propriedades de um anel polinomial que não é compartilhado com inteiros e torna alguns cálculos mais fáceis em um anel polinomial do que em inteiros.

Fatoração sem quadrados

Interpolação de Lagrange

Decomposição polinomial

Fatoração

Exceto para a fatoração, todas as propriedades anteriores de K [ X ] são eficazes , uma vez que suas provas, conforme esboçado acima, estão associadas a algoritmos para testar a propriedade e computar os polinômios cuja existência é afirmada. Além disso, esses algoritmos são eficientes, pois sua complexidade computacional é uma função quadrática do tamanho da entrada.

A situação é completamente diferente para a fatoração: a prova da fatoração única não dá nenhuma indicação de um método de fatoração. Já para os inteiros, não há algoritmo conhecido para fatorá-los em tempo polinomial . Essa é a base do criptossistema RSA , amplamente usado para comunicações seguras na Internet.

No caso de K [ X ] , os factores, e os métodos para calcular-los, dependem fortemente da K . Sobre os números complexos, os fatores irredutíveis (aqueles que não podem ser fatorados mais) são todos de grau um, enquanto, sobre os números reais, existem polinômios irredutíveis de grau 2, e, sobre os números racionais , existem polinômios irredutíveis de qualquer grau. Por exemplo, o polinômio é irredutível sobre os números racionais, é fatorado como sobre os números reais e, e como sobre os números complexos.

A existência de um algoritmo de fatoração depende também do campo terreno. No caso dos números reais ou complexos, o teorema de Abel – Ruffini mostra que as raízes de alguns polinômios e, portanto, os fatores irredutíveis, não podem ser calculados exatamente. Portanto, um algoritmo de fatoração pode calcular apenas aproximações dos fatores. Vários algoritmos foram projetados para calcular essas aproximações, consulte Descoberta de raiz de polinômios .

Há um exemplo de um campo K tal que existem algoritmos exatos para as operações aritméticas de K , mas não pode haver nenhum algoritmo para decidir se um polinômio da forma é irredutível ou é um produto de polinômios de grau inferior.

Por outro lado, sobre os números racionais e sobre os campos finitos, a situação é melhor do que para a fatoração de inteiros , pois existem algoritmos de fatoração que possuem uma complexidade polinomial . Eles são implementados na maioria dos sistemas de álgebra computacional de uso geral .

Polinômio mínimo

Se θ é um elemento de uma associativa K -álgebra L , a avaliação polinomial em θ é a única álgebra homomorphism φ de K [ X ] em L que mapeia X para q e não afeta os elementos de K em si (que é a identidade mapa em K ). Consiste em substituir X por θ em cada polinômio. Isso é,

A imagem desse homomorfismo de avaliação é a subálgebra gerada por x , que é necessariamente comutativa. Se φ for injetiva, a subálgebra gerada por θ é isomórfica a K [ X ] . Neste caso, esta subálgebra é freqüentemente denotada por K [ θ ] . A ambigüidade da notação geralmente é inofensiva, devido ao isomorfismo.

Se o homomorfismo de avaliação não for injetivo, significa que seu kernel é um ideal diferente de zero , consistindo em todos os polinômios que se tornam zero quando X é substituído por θ . Este ideal consiste em todos os múltiplos de algum polinômio mônico, que é chamado de polinômio mínimo de x . O termo mínimo é motivado pelo fato de seu grau ser mínimo entre os graus dos elementos do ideal.

Existem dois casos principais em que polinômios mínimos são considerados.

Na teoria de campo e teoria dos números , um elemento θ de um campo de extensão L de K é algébrico sobre K se é uma raiz de algum polinômio com coeficientes em K . O polinômio mínimo sobre K de θ é, portanto, o polinômio mônico de grau mínimo que tem θ como raiz. Porque L é um campo, este polinomial mínima é necessariamente irredutível sobre K . Por exemplo, o polinômio mínimo (tanto sobre os reais quanto sobre os racionais) do número complexo i é . Os polinômios ciclotômicos são os polinômios mínimos das raízes da unidade .

Em álgebra linear , o n x n matrizes quadradas mais de K formar um associativo K -álgebra de dimensão finita (como um vector de espaço). Portanto, o homomorfismo de avaliação não pode ser injetivo, e cada matriz possui um polinômio mínimo (não necessariamente irredutível). Pelo teorema de Cayley-Hamilton , o homomorfismo de avaliação mapeia para zero o polinômio característico de uma matriz. Segue-se que o polinômio mínimo divide o polinômio característico e, portanto, o grau do polinômio mínimo é no máximo n .

Anel quociente

No caso de K [ X ] , o anel quociente por um ideal pode ser construído, como no caso geral, como um conjunto de classes de equivalência . No entanto, como cada classe de equivalência contém exatamente um polinômio de grau mínimo, outra construção é freqüentemente mais conveniente.

Dado um polinômio p de grau d , o anel quociente de K [ X ] pelo ideal gerado por p pode ser identificado com o espaço vetorial dos polinômios de graus menores que d , com o "módulo de multiplicação p " como uma multiplicação, o Módulo de multiplicação p consistindo no resto sob a divisão por p do produto (usual) dos polinômios. Este anel quociente é denotado de várias maneiras como ou simplesmente

O anel é um campo se e somente se p for um polinômio irredutível . De fato, se p é irredutível, todo polinômio q diferente de zero de grau inferior é coprime com p , e a identidade de Bézout permite calcular r e s tais que sp + qr = 1 ; então, r é o inverso multiplicativo de q módulo p . Inversamente, se p é redutível, então existem polinômios a, b de graus menores que deg ( p ) tais que ab = p  ; portanto , a, b são divisores zero não zero módulo p , e não podem ser invertidos.

Por exemplo, a definição padrão do campo dos números complexos pode ser resumida dizendo que é o anel quociente

e que a imagem de X em é denotada por i . Na verdade, pela descrição acima, esse quociente consiste em todos os polinômios de grau um em i , que têm a forma a + bi , com a e b em O restante da divisão euclidiana necessária para multiplicar dois elementos do anel quociente é obtido substituindo i 2 por −1 em seu produto como polinômios (esta é exatamente a definição usual do produto de números complexos).

Vamos θ ser um elemento algébrico em um K -álgebra A . Por algébrico , entende-se que θ tem um polinômio p mínimo . O teorema do isomorfismo do primeiro anel afirma que o homomorfismo de substituição induz um isomorfismo de na imagem K [ θ ] do homomorfismo de substituição. Em particular, se A é uma extensão simples de K gerada por θ , isso permite identificar A e Esta identificação é amplamente usada na teoria algébrica dos números .

Módulos

O teorema da estrutura para módulos gerados finitamente sobre um domínio ideal principal aplica-se a K [ X ], quando K é um corpo. Isto significa que cada módulo um número finito gerado sobre K [ X ] pode ser decomposta em uma soma directa de um módulo livre e um número finito de módulos de forma , onde P é um polinómio irredutível sobre K e k um nero inteiro positivo.

Definição (caso multivariado)

Dados n símbolos chamados indeterminados , um monômio (também chamado de produto de potência )

é um produto formal desses indeterminados, possivelmente elevado a um poder não negativo. Como de costume, expoentes iguais a um e fatores com expoente zero podem ser omitidos. Em particular,

A tupla de expoentes α = ( α 1 , ..., α n ) é chamada de vetor multidegree ou expoente do monômio. Para uma notação menos complicada, a abreviatura

é freqüentemente usado. O grau de um monômio X α , freqüentemente denotado deg α ou | α | , é a soma de seus expoentes:

Um polinômio nestes indeterminados, com coeficientes em um campo, ou mais geralmente um anel , K é uma combinação linear finita de monômios

com coeficientes em K . O grau de um polinômio diferente de zero é o máximo dos graus de seus monômios com coeficientes diferentes de zero.

O conjunto de polinômios denotado é, portanto, um espaço vetorial (ou um módulo livre , se K for um anel) que tem os monômios como base.

é naturalmente equipada (ver abaixo) com uma multiplicação que faz com que um anel , e uma álgebra associativa sobre K , chamado o anel polinomial em n indeterminadas mais de K (o artigo definido o reflecte que é exclusivamente definido acima para o nome e o fim de o indeterminado.Se o anel K é comutativo , também é um anel comutativo.

Operações em K [ X 1 , ..., X n ]

Adição e multiplicação escalar de polinômios são aquelas de um espaço vetorial ou módulo livre equipado por uma base específica (aqui a base dos monômios). Explicitamente, deixe onde I e J são conjuntos finitos de vetores expoentes.

A multiplicação escalar de pe um escalar é

A adição de p e q é

onde se e se Além disso, se um tem para algum, o termo zero correspondente é removido do resultado.

A multiplicação é

onde é o conjunto das somas de um vetor expoente em I e outro em J (soma usual de vetores). Em particular, o produto de dois monômios é um monômio cujo vetor expoente é a soma dos vetores expoentes dos fatores.

A verificação dos axiomas de uma álgebra associativa é direta.

Expressão polinomial

Uma expressão polinomial é uma expressão construída com escalares (elementos de K ), indeterminados e os operadores de adição, multiplicação e exponenciação para potências inteiras não negativas.

Como todas estas operações são definidas em uma expressão polinomial representa um polinomial, que é um elemento de A definição de uma polinomial como uma combinação linear de monomios é uma expressão particular polinomial, que é muitas vezes chamado a forma canónica , forma normal , ou forma expandida do polinômio. Dada uma expressão polinomial, pode-se calcular a forma expandida do polinômio representado expandindo com a lei distributiva todos os produtos que têm uma soma entre seus fatores e, em seguida, usando comutatividade (exceto para o produto de dois escalares) e associatividade para transformar os termos da soma resultante em produtos de um escalar e um monômio; então, obtém-se a forma canônica reagrupando os termos semelhantes .

A distinção entre uma expressão polinomial e o polinômio que ela representa é relativamente recente e principalmente motivada pela ascensão da álgebra computacional , onde, por exemplo, o teste se duas expressões polinomiais representam o mesmo polinômio pode ser um cálculo não trivial.

Caracterização categórica

Se K é um anel comutativo, o anel polinomial K [ X 1 , ..., X n ] tem a seguinte propriedade universal : para cada K- álgebra A comutativa , e cada n - tupla ( x 1 , ..., x n ) de elementos de a , existe uma única homomorphism álgebra de K [ X 1 , ..., X n ] para uma que mapeia cada um no correspondente Esta homomorphism é o homomorphism de avaliação , que consiste em substituir por em cada polinomial.

Como é o caso para toda propriedade universal, isso caracteriza o par até um isomorfismo único .

Isso também pode ser interpretado em termos de functores adjuntos . Mais precisamente, sejam SET e ALG respectivamente as categorias de conjuntos e K -álgebras comutativas (aqui, e a seguir, os morfismos são definidos trivialmente). Existe um functor esquecido que mapeia álgebras para seus conjuntos subjacentes. Por outro lado, o mapa define um functor na outra direção. (Se X for infinito, K [ X ] é o conjunto de todos os polinômios em um número finito de elementos de X. )

A propriedade universal do anel polinomial significa que F e POL são functores adjuntos . Ou seja, há uma bijeção

Isso também pode ser expresso dizendo que os anéis polinomiais são álgebras comutativas livres , uma vez que são objetos livres na categoria das álgebras comutativas. Da mesma forma, um anel polinomial com coeficientes inteiros é o anel comutativo livre sobre seu conjunto de variáveis, uma vez que anéis comutativos e álgebras comutativas sobre inteiros são a mesma coisa.

Estrutura graduada

Univariada em um anel vs. multivariada

Um polinômio em pode ser considerado como um polinômio univariado no indeterminado sobre o anel , reagrupando os termos que contêm a mesma potência, ou seja, usando a identidade

que resulta da distributividade e associatividade das operações do anel.

Isso significa que se tem um isomorfismo de álgebra

que mapeia cada indeterminado para si mesmo. (Este isomorfismo é frequentemente escrito como uma igualdade, o que é justificado pelo fato de que os anéis polinomiais são definidos até um isomorfismo único .)

Em outras palavras, um anel polinomial multivariado pode ser considerado como um polinômio univariado sobre um anel polinomial menor. Isso é comumente usado para provar propriedades de anéis polinomiais multivariados, por indução no número de indeterminados.

As principais propriedades estão listadas abaixo.

Propriedades que passam de R para R [ X ]

Nesta seção, R é um anel comutativo, K é um campo, X denota um único indeterminado e, como de costume, é o anel de inteiros. Aqui está a lista das principais propriedades do anel que permanecem verdadeiras ao passar de R para R [ X ] .

  • Se R é um domínio integral, então o mesmo vale para R [ X ] (uma vez que o coeficiente líder de um produto de polinômios é, se não zero, o produto dos coeficientes líderes dos fatores).
    • Em particular, e são domínios integrais.
  • Se R é um domínio de fatoração único , o mesmo vale para R [ X ] . Isso resulta do lema de Gauss e a propriedade fatoração única de onde L é o campo de fracções de R .
    • Em particular, e são domínios de fatoração exclusivos.
  • Se R é um anel Noetheriano , o mesmo vale para R [ X ] .
    • Em particular, e são anéis Noetherianos; este é o teorema da base de Hilbert .
  • Se R é um anel Noetheriano, então onde " " denota a dimensão Krull .
    • Em particular, e
  • Se R é um anel regular , o mesmo vale para R [ X ] ; neste caso, um tem
    onde " " denota a dimensão global .
    • Em particular, e são anéis regulares, e A última igualdade é
    o teorema de sizígia de Hilbert .

Vários indeterminados em um campo

Os anéis polinomiais em várias variáveis ​​em um campo são fundamentais na teoria invariante e na geometria algébrica . Algumas de suas propriedades, como as descritas acima, podem ser reduzidas ao caso de um único indeterminado, mas nem sempre é o caso. Em particular, por causa das aplicações geométricas, muitas propriedades interessantes devem ser invariáveis ​​sob transformações afins ou projetivas dos indeterminados. Isso geralmente implica que não se pode selecionar um dos indeterminados para uma recorrência nos indeterminados.

O teorema de Bézout , o Nullstellensatz de Hilbert e a conjectura Jacobiana estão entre as propriedades mais famosas que são específicas para polinômios multivariados sobre um campo.

Nullstellensatz de Hilbert

O Nullstellensatz (alemão para "teorema do locus zero") é um teorema, primeiro provado por David Hilbert , que estende ao caso multivariado alguns aspectos do teorema fundamental da álgebra . É fundamental para a geometria algébrica , pois estabelece uma forte ligação entre as propriedades algébricas de e as propriedades geométricas de variedades algébricas , que são (grosso modo) conjuntos de pontos definidos por equações polinomiais implícitas .

O Nullstellensatz tem três versões principais, cada uma sendo um corolário da outra. Duas dessas versões são fornecidas a seguir. Para a terceira versão, o leitor deve consultar o artigo principal do Nullstellensatz.

A primeira versão generaliza o fato de que um polinômio univariado diferente de zero tem um zero complexo se e somente se não for uma constante. A afirmação é: um conjunto de polinômios S em tem um zero comum em um campo algebraicamente fechado contendo K , se e somente se 1 não pertencer ao ideal gerado por S , ou seja, se 1 não for uma combinação linear de elementos de S com coeficientes polinomiais .

A segunda versão generaliza o fato de que os polinômios univariados irredutíveis sobre os números complexos são associados a um polinômio da forma. A afirmação é: Se K é algebricamente fechado, então os ideais máximos de têm a forma

Teorema de Bézout

O teorema de Bézout pode ser visto como uma generalização multivariada da versão do teorema fundamental da álgebra que afirma que um polinômio univariado de grau n tem n raízes complexas, se forem contadas com suas multiplicidades.

No caso de polinómios bivariáveis , indica que dois polinómios de graus de d e de e em duas variáveis, que não têm factores comuns de grau positivo, tem exactamente de zeros comuns em um campo algebricamente fechado contendo os coeficientes, se os zeros são contadas com sua multiplicidade e incluem os zeros no infinito .

Para estabelecer o caso geral, e não considerar "zero no infinito" como zeros especiais, é conveniente trabalhar com polinômios homogêneos e considerar zeros em um espaço projetivo . Nesse contexto, um zero projetivo de um polinômio homogêneo é, até um escalonamento, a ( n + 1) - tupla de elementos de K que é de forma diferente (0, ..., 0) , e tal que . Aqui, "até uma escala" significa que e são considerados o mesmo zero para qualquer diferente de zero. Em outras palavras, um zero é um conjunto de coordenadas homogêneas de um ponto em um espaço projetivo de dimensão n .

Então, o teorema de Bézout afirma: Dados n polinômios homogêneos de graus em n + 1 indeterminados, que têm apenas um número finito de zeros projetivos comuns em uma extensão algebraicamente fechada de K , então a soma das multiplicidades desses zeros é o produto

Conjectura jacobiana

Generalizações

Os anéis polinomiais podem ser generalizados de muitas maneiras, incluindo anéis polinomiais com expoentes generalizados, anéis de série de potências, anéis polinomiais não comutativos , anéis polinomiais inclinados e plataformas polinomiais .

Variáveis ​​infinitas

Uma ligeira generalização dos anéis polinomiais é permitir um número infinito de indeterminados. Cada monômio ainda envolve apenas um número finito de indeterminados (de modo que seu grau permanece finito), e cada polinômio ainda é uma combinação linear (finita) de monômios. Assim, qualquer polinômio individual envolve apenas um número finito de indeterminados, e qualquer computação finita envolvendo polinômios permanece dentro de algum subanémio de polinômios em muitos indeterminados finitos. Essa generalização tem a mesma propriedade dos anéis polinomiais usuais, de ser a álgebra comutativa livre , a única diferença é que é um objeto livre sobre um conjunto infinito.

Também se pode considerar um anel estritamente maior, definindo como um polinômio generalizado uma soma formal infinita (ou finita) de monômios com um grau limitado. Este anel é maior do que o anel polinomial usual, pois inclui somas infinitas de variáveis. No entanto, é menor do que o anel da série de potências em infinitas variáveis . Esse anel é usado para construir o anel de funções simétricas sobre um conjunto infinito.

Expoentes generalizados

Uma simples generalização apenas altera o conjunto do qual os expoentes da variável são extraídos. As fórmulas para adição e multiplicação fazem sentido, desde que se possa adicionar expoentes: X iX j = X i + j . Um conjunto para o qual a adição faz sentido (é fechado e associativo) é chamado de monóide . O conjunto de funções de um monóide N de um anel R , que são diferentes de zero e a apenas um número finito de locais pode ser dada a estrutura de um anel conhecido como R [ N ], o anel monóide de N com coeficientes em R . A adição é definida componente de sábio, de modo que se c = um + b , em seguida, c n = um n + b n para todos os n em N . A multiplicação é definida como o produto de Cauchy, de modo que se c = ab , então para cada n em N , c n é a soma de todos a i b j onde i , j variam sobre todos os pares de elementos de N cuja soma para n .

Quando N é comutativo, é conveniente denotar a função a em R [ N ] como a soma formal:

e então as fórmulas para adição e multiplicação são familiares:

e

onde a última soma é assumida por todos os i , j em N que somam n .

Alguns autores como ( Lang 2002 , II, §3) chegam ao ponto de tomar essa definição de monóide como ponto de partida, e polinômios de variável única regulares são o caso especial em que N é o monóide de inteiros não negativos. Polinômios em várias variáveis ​​simplesmente consideram N como o produto direto de várias cópias do monóide de inteiros não negativos.

Vários exemplos interessantes de anéis e grupos são formados considerando N como o monóide aditivo de números racionais não negativos ( Osbourne 2000 , §4.4) . Veja também a série Puiseux .

Série de potências

As séries de potências generalizam a escolha do expoente em uma direção diferente, permitindo um número infinito de termos diferentes de zero. Isso requer várias hipóteses sobre o monóide N usado para os expoentes, para garantir que as somas no produto de Cauchy sejam somas finitas. Alternativamente, uma topologia pode ser colocada no anel e então restringida a somas infinitas convergentes. Para a escolha padrão de N , os inteiros não negativos, não há problemas, e o anel da série de potências formais é definido como o conjunto de funções de N a um anel R com adição de componentes e multiplicação dada por Cauchy produtos. O anel da série de potências também pode ser visto como a conclusão do anel do anel polinomial em relação ao ideal gerado por x .

Anéis polinomiais não comutativos

Para anéis polinomiais de mais de uma variável, os produtos XY e YX são simplesmente definidos como iguais. Uma noção mais geral de anel polinomial é obtida quando a distinção entre esses dois produtos formais é mantida. Formalmente, o anel polinomial em n variáveis ​​não comutáveis ​​com coeficientes no anel R é o anel monóide R [ N ], onde o monóide N é o monóide livre em n letras, também conhecido como o conjunto de todas as strings sobre um alfabeto de n símbolos , com multiplicação dada por concatenação. Nem os coeficientes nem as variáveis ​​precisam comutar entre si, mas os coeficientes e as variáveis ​​comutam entre si.

Assim como o anel polinomial em n variáveis ​​com coeficientes no anel comutativo R é a álgebra R comutativa livre de classificação n , o anel polinomial não comutativo em variáveis n com coeficientes no anel comutativo R é a álgebra R unital, associativa livre em n geradores, que é não comutativo quando n  > 1.

Anéis diferenciais e polinomiais inclinados

Outras generalizações de polinômios são anéis diferenciais e polinomiais inclinados.

Um anel polinomial diferencial é um anel de operadores diferenciais formados a partir de um anel R e uma derivação δ de R em R . Essa derivação opera em R e será denotada por X , quando vista como um operador. Os elementos de R também operam em R por multiplicação. A composição de operadores é denotada como a multiplicação usual. Segue-se que a relação δ ( ab ) = ( b ) + δ ( a ) b pode ser reescrita como

Essa relação pode ser estendida para definir uma multiplicação oblíqua entre dois polinômios em X com coeficientes em R , que os tornam um anel não comutativo.

O exemplo padrão, chamado de álgebra de Weyl , considera R como um anel polinomial (usual) k [ Y ] e δ como a derivada polinomial padrão . Tomando a = Y na relação acima, obtém-se a relação de comutação canônica , XY - YX = 1. Estender essa relação por associatividade e distributividade permite construir explicitamente a álgebra de Weyl . ( Lam 2001 , §1, ex1.9 )

O anel polinomial inclinado é definido de forma semelhante para um anel R e um endomorfismo de anel f de R , estendendo a multiplicação da relação Xr = f ( r ) ⋅ X para produzir uma multiplicação associativa que distribui sobre a adição padrão. Mais geralmente, dado um homomorfismo F do monóide N dos inteiros positivos no anel de endomorfismo de R , a fórmula X nr = F ( n ) ( r ) ⋅ X n permite construir um anel polinomial inclinado. ( Lam 2001 , §1, ex 1.11) Os anéis polinomiais de inclinação estão intimamente relacionados às álgebras de produto cruzado .

Plataformas polinomiais

A definição de um anel polinomial pode ser generalizada relaxando o requisito de que a estrutura algébrica R seja um campo ou um anel ao requisito de que R seja apenas um semicampo ou plataforma ; a estrutura / extensão polinomial resultante R [ X ] é uma estrutura polinomial . Por exemplo, o conjunto de todos os polinômios multivariados com coeficientes de número natural é uma estrutura polinomial.

Veja também

Referências