operação binária -Binary operation

Uma operação binária é uma regra para combinar os argumentos x e y para produzir

Em matemática , uma operação binária ou operação diádica é uma regra para combinar dois elementos (chamados operandos ) para produzir outro elemento. Mais formalmente, uma operação binária é uma operação de aridade dois.

Mais especificamente, uma operação binária em um conjunto é uma operação cujos dois domínios e o contradomínio são o mesmo conjunto. Os exemplos incluem as operações aritméticas familiares de adição , subtração e multiplicação . Outros exemplos são facilmente encontrados em diferentes áreas da matemática, como adição de vetores , multiplicação de matrizes e conjugação em grupos .

Uma operação de aridade dois que envolve vários conjuntos às vezes também é chamada de operação binária . Por exemplo, a multiplicação escalar de espaços vetoriais usa um escalar e um vetor para produzir um vetor, e o produto escalar usa dois vetores para produzir um escalar. Tais operações binárias podem ser chamadas simplesmente de funções binárias .

As operações binárias são a pedra angular da maioria das estruturas algébricas que são estudadas em álgebra , em particular em semigrupos , monóides , grupos , anéis , corpos e espaços vetoriais .

Terminologia

Mais precisamente, uma operação binária em um conjunto S é um mapeamento dos elementos do produto cartesiano S × S para S :

Como o resultado da execução da operação em um par de elementos de S é novamente um elemento de S , a operação é chamada de operação binária fechada (ou interna ) em S (ou às vezes expressa como tendo a propriedade de closure ).

Se f não é uma função , mas uma função parcial , então f é chamada de operação binária parcial . Por exemplo, a divisão de números reais é uma operação binária parcial, porque não se pode dividir por zero : a /0 é indefinido para todo número real a . Tanto na álgebra universal quanto na teoria dos modelos , as operações binárias devem ser definidas em todos os elementos de S × S.

Às vezes, especialmente na ciência da computação , o termo operação binária é usado para qualquer função binária .

Propriedades e exemplos

Exemplos típicos de operações binárias são a adição (+) e a multiplicação (×) de números e matrizes , bem como a composição de funções em um único conjunto. Por exemplo,

  • No conjunto dos números reais R , f ( a , b ) = a + b é uma operação binária, pois a soma de dois números reais é um número real.
  • No conjunto dos números naturais N , f ( a , b ) = a + b é uma operação binária, pois a soma de dois números naturais é um número natural. Esta é uma operação binária diferente da anterior, pois os conjuntos são diferentes.
  • No conjunto M(2, R ) de matrizes 2 × 2 com entradas reais, f ( A , B ) = A + B é uma operação binária, pois a soma de duas dessas matrizes é uma matriz 2 × 2 .
  • No conjunto M(2, R ) de matrizes 2 × 2 com entradas reais, f ( A , B ) = AB é uma operação binária, pois o produto de duas dessas matrizes é uma matriz 2 × 2 .
  • Para um dado conjunto C , seja S o conjunto de todas as funções h  : CC. Defina f  : S × SS por f ( h 1 , h 2 )( c ) = ( h 1h 2 ) ( c ) = h 1 ( h 2 ( c )) para todo cC , a composição de as duas funções h 1 e h 2 em S . Então f é uma operação binária já que a composição das duas funções é novamente uma função no conjunto C (isto é, um membro de S ).

Muitas operações binárias de interesse em álgebra e lógica formal são comutativas , satisfazendo f ( a , b ) = f ( b , a ) para todos os elementos a e b em S , ou associativas , satisfazendo f ( f ( a , b ), c ) = f ( a , f ( b , c )) para todos a , b e c em S . Muitos também têm elementos de identidade e elementos inversos .

Os três primeiros exemplos acima são comutativos e todos os exemplos acima são associativos.

No conjunto dos números reais R , a subtração , ou seja, f ( a , b ) = ab , é uma operação binária que não é comutativa pois, em geral, abba . Também não é associativo, pois, em geral, a − ( bc ) ≠ ( ab ) − c ; por exemplo, 1 − (2 − 3) = 2 mas (1 − 2) − 3 = −4 .

No conjunto dos números naturais N , a operação binária exponenciação , f ( a , b ) = a b , não é comutativa, pois a bb a (cf. Equação x y = y x ), e também não é associativa, pois f ( f ( a , b ), c ​​) ≠ f ( a , f ( b , c )) . Por exemplo, com a = 2 , b = 3 ec = 2 , f (2 3 ,2) = f (8,2) = 8 2 = 64 , mas f (2,3 2 ) = f (2, 9) = 2 9 = 512 . Ao alterar o conjunto N para o conjunto de inteiros Z , essa operação binária se torna uma operação binária parcial, pois agora é indefinida quando a = 0 e b é qualquer número inteiro negativo. Para qualquer conjunto, esta operação tem uma identidade correta (que é 1) já que f ( a , 1) = a para todo a no conjunto, que não é uma identidade (identidade bilateral) já que f (1, b ) ≠ b no geral.

A divisão (/), uma operação binária parcial no conjunto dos números reais ou racionais, não é comutativa nem associativa. Tetration (↑↑), como uma operação binária sobre os números naturais, não é comutativa ou associativa e não tem elemento de identidade.

Notação

As operações binárias são frequentemente escritas usando notação infixa como ab , a + b , a · b ou (por justaposição sem símbolo) ab em vez de notação funcional da forma f ( a , b ) . As potências geralmente também são escritas sem operador, mas com o segundo argumento como sobrescrito .

As operações binárias às vezes são escritas usando prefixo ou (mais frequentemente) notação pós-fixada, ambas dispensando parênteses. Eles também são chamados, respectivamente, de notação polonesa e notação polonesa reversa .

par e tupla

Uma operação binária, ab , depende do par ordenado ( a, b ) e assim ( ab ) c (onde os parênteses aqui significam primeiro operar no par ordenado ( a , b ) e depois operar no resultado disso usando o par ordenado par (( ab ), c ​​)) depende em geral do par ordenado (( a , b ), c ​​). Assim, para o caso geral, não associativo, as operações binárias podem ser representadas com árvores binárias .

No entanto:

  • Se a operação for associativa, ( ab ) c = a ( bc ), então o valor de ( ab ) c depende apenas da tupla ( a , b , c ).
  • Se a operação for comutativa, ab = ba , então o valor de ( ab ) c depende apenas de { { a , b }, c }, onde chaves indicam multisets .
  • Se a operação for associativa e comutativa, então o valor de ( ab ) c depende apenas do multiconjunto { a , b , c }.
  • Se a operação for associativa, comutativa e idempotente , aa = a , então o valor de ( ab ) c depende apenas do conjunto { a , b , c }.

Operações binárias como relações ternárias

Uma operação binária f em um conjunto S pode ser vista como uma relação ternária em S , ou seja, o conjunto de triplos ( a , b , f ( a, b )) em S × S × S para todo a e b em S .

Operações binárias externas

Uma operação binária externa é uma função binária de K × S a S . Isso difere de uma operação binária em um conjunto no sentido de que K não precisa ser S ; seus elementos vêm de fora .

Um exemplo de uma operação binária externa é a multiplicação escalar em álgebra linear . Aqui K é um corpo e S é um espaço vetorial sobre aquele corpo.

Algumas operações binárias externas podem alternativamente ser vistas como uma ação de K em S . Isso requer a existência de uma multiplicação associativa em K e uma regra de compatibilidade da forma onde e (aqui, tanto a operação externa quanto a multiplicação em K são denotadas por justaposição).

O produto escalar de dois vetores mapeia S × S para K , onde K é um corpo e S é um espaço vetorial sobre K . Depende dos autores se é considerada uma operação binária.

Veja também

Notas

Referências

  • Fraleigh, John B. (1976), A First Course in Abstract Algebra (2ª ed.), Leitura: Addison-Wesley, ISBN 0-201-01984-1
  • Hall Jr., Marshall (1959), The Theory of Groups , Nova York: Macmillan
  • Hardy, Darel W.; Walker, Carol L. (2002), Álgebra Aplicada: Códigos, Cifras e Algoritmos Discretos , Upper Saddle River, NJ: Prentice-Hall, ISBN 0-13-067464-8
  • Rotman, Joseph J. (1973), A Teoria dos Grupos: Uma Introdução (2ª ed.), Boston: Allyn e Bacon

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