Kernel (álgebra) - Kernel (algebra)

Em álgebra , o kernel de um homomorfismo (função que preserva a estrutura ) é geralmente a imagem inversa de 0 (exceto para grupos cuja operação é denotada multiplicativamente, onde o kernel é a imagem inversa de 1). Um caso especial importante é o kernel de um mapa linear . O kernel de uma matriz , também chamado de espaço nulo , é o kernel do mapa linear definido pela matriz.

O núcleo de um homomorfismo é reduzido a 0 (ou 1) se e somente se o homomorfismo for injetivo , ou seja, se a imagem inversa de cada elemento consistir em um único elemento. Isso significa que o kernel pode ser visto como uma medida do grau em que o homomorfismo deixa de ser injetivo.

Para alguns tipos de estrutura, como grupos abelianos e espaços vetoriais , os núcleos possíveis são exatamente as subestruturas do mesmo tipo. Nem sempre é o caso e, às vezes, os grãos possíveis receberam um nome especial, como subgrupo normal para grupos e ideais bilaterais para anéis .

Os kernels permitem definir objetos de quociente (também chamados de álgebras de quociente na álgebra universal e cokernels na teoria das categorias ). Para muitos tipos de estrutura algébrica, o teorema fundamental sobre homomorfismos (ou primeiro teorema do isomorfismo ) afirma que a imagem de um homomorfismo é isomórfica ao quociente do kernel.

O conceito de kernel foi estendido a estruturas tais que a imagem inversa de um único elemento não é suficiente para decidir se um homomorfismo é injetivo. Nestes casos, o kernel é uma relação de congruência .

Este artigo é um levantamento de alguns tipos importantes de kernels em estruturas algébricas.

Levantamento de exemplos

Mapas lineares

Deixe que V e W ser espaço vectorial mais de um campo (ou mais geralmente, os módulos ao longo de um anel ) e deixe que t seja um mapa linear de V a W . Se 0 W é o vetor zero de W , então o kernel de T é a pré - imagem do subespaço zero { 0 W }; isto é, o subconjunto de V que consiste em todos os elementos de V que são mapeados por T para o elemento 0 W . O kernel é geralmente denotado como ker T , ou alguma variação disso:

Como um mapa linear preserva vetores zero, o vetor zero 0 V de V deve pertencer ao kernel. A transformação T é injetiva se e somente se seu kernel for reduzido ao subespaço zero.

O kernel ker T é sempre um subespaço linear de V . Assim, faz sentido falar do espaço quociente V / (ker T ). O primeiro teorema do isomorfismo para espaços vetoriais afirma que esse espaço quociente é naturalmente isomórfico à imagem de T (que é um subespaço de W ). Como consequência, a dimensão de V é igual à dimensão do kernel mais a dimensão da imagem.

Se V e W são de dimensão finita e as bases foram escolhidas, então T pode ser descrito por uma matriz M , e o kernel pode ser calculado resolvendo o sistema homogêneo de equações lineares M v = 0 . Neste caso, o núcleo de T podem ser identificados ao núcleo da matriz M , também chamado de "espaço nulo" de M . A dimensão do espaço nulo, chamada de nulidade de M , é dada pelo número de colunas de M menos a classificação de M , como consequência do teorema da nulidade da classificação .

Resolver equações diferenciais homogêneas freqüentemente equivale a calcular o núcleo de certos operadores diferenciais . Por exemplo, a fim de encontrar todas as funções duas vezes diferenciáveis f da linha real para si mesma, de modo que

seja V o espaço de todas as funções diferenciáveis ​​duas vezes, seja W o espaço de todas as funções, e defina um operador linear T de V a W por

para f em V e x um número real arbitrário . Em seguida, todas as soluções para a equação diferencial está em ker T .

Pode-se definir kernels para homomorfismos entre módulos sobre um anel de maneira análoga. Isso inclui kernels para homomorfismos entre grupos abelianos como um caso especial. Este exemplo captura a essência dos kernels em categorias abelianas gerais ; veja Kernel (teoria da categoria) .

Homomorfismos de grupo

Deixe G e H ser grupos e deixá- f ser um homomorphism grupo de L para H . Se e H é o elemento de identidade de H , então o kernel de f é a pré-imagem do conjunto singleton { e H }; isto é, o subconjunto de L que consiste em todos os elementos de L que são mapeados por f para o elemento de e H . O kernel geralmente é denotado ker f (ou uma variação). Em símbolos:

Como um homomorfismo de grupo preserva elementos de identidade, o elemento de identidade e G de G deve pertencer ao kernel. O homomorfismo f é injetivo se e somente se seu kernel é apenas o conjunto singleton { e G }. Isso é verdade porque se o homomorfismo f não for injetivo, então existe com tal . Isso significa que , o que equivale a afirmar que, uma vez que os homomorfismos de grupo carregam inversos em inversos e desde então . Em outras palavras ,. Por outro lado, se existe um elemento , então , f não é injetivo.

Acontece que ker f não é apenas um subgrupo de G, mas na verdade um subgrupo normal . Assim, faz sentido falar do grupo de quocientes G / (ker f ). O primeiro teorema do isomorfismo para grupos afirma que este grupo de quocientes é naturalmente isomórfico à imagem de f (que é um subgrupo de H ).

No caso especial de grupos abelianos , isso funciona exatamente da mesma maneira que na seção anterior.

Exemplo

Seja G o grupo cíclico de 6 elementos {0,1,2,3,4,5} com adição modular , H o cíclico de 2 elementos {0,1} com adição modular ef o homomorfismo que mapeia cada elemento g em L para o elemento g módulo 2 em H . Em seguida, ker f = {0, 2, 4}, uma vez que todos estes elementos são mapeados para 0 H . O grupo quociente G / (ker f ) tem dois elementos: {0,2,4} e {1,3,5}. Na verdade, é isomorfa a H .

Homomorfismos de anel

Vamos R e S ser anéis (assumido unital ) e deixe f ser um homomorphism anel de R para S . Se 0 S é o elemento zero de S , então o kernel de f é seu kernel como mapa linear sobre os inteiros, ou, equivalentemente, como grupos aditivos. É o preimage do nulo ideal {0 S }, que é, o subconjunto de R consistindo de todos os elementos de R que são mapeados por f para o elemento 0 S . O kernel geralmente é denotado ker f (ou uma variação). Em símbolos:

Visto que um homomorfismo de anel preserva zero elementos, o elemento zero 0 R de R deve pertencer ao kernel. O homomorfismo f é injetivo se e somente se seu kernel for apenas o conjunto singleton {0 R }. Este é sempre o caso se R for um campo e S não for o anel zero .

Desde ker f contém a identidade multiplicativa somente quando S é o anel de zero, verifica-se que o kernel geralmente não é uma subanillo de R. O kernel é um sub RNG , e, mais precisamente, um dos dois lados ideal de R . Assim, faz sentido falar do anel quociente R / (ker f ). O primeiro teorema de isomorfismo para anéis afirma que este anel quociente é naturalmente isomórfico à imagem de f (que é um subanel de S ). (observe que os anéis não precisam ser unitais para a definição do kernel).

Até certo ponto, isso pode ser pensado como um caso especial da situação dos módulos, uma vez que são todos bimódulos sobre um anel R :

  • O próprio R ;
  • qualquer ideal bilateral de R (como ker f );
  • qualquer anel quociente de R (tal como R / (ker f )); e
  • o codomorfismo de qualquer homomorfismo de anel cujo domínio é R (como S , o codomorfismo de f ).

No entanto, o teorema do isomorfismo fornece um resultado mais forte, porque os isomorfismos de anel preservam a multiplicação, enquanto os isomorfismos de módulo (mesmo entre anéis) em geral não preservam.

Este exemplo captura a essência dos kernels em álgebras de Mal'cev gerais .

Homomorfismos monóides

Deixe- H e N ser monoides e deixá- f ser um homomorphism monóide de M para N . Em seguida, o núcleo de f é o subconjunto do produto directo M x M que consiste de todas aquelas pares ordenados de elementos de H , cujos componentes são ambos mapeados por f para o mesmo elemento em N . O kernel geralmente é denotado ker f (ou uma variação). Em símbolos:

Como f é uma função , os elementos da forma ( m , m ) devem pertencer ao kernel. O homomorfismo f é injetivo se e somente se seu núcleo for apenas o conjunto diagonal {(m, m): m em M }.

Acontece que ker f é uma relação de equivalência em M e, de fato, uma relação de congruência . Assim, faz sentido falar do quociente monóide M / (ker f ). O primeiro teorema do isomorfismo para monóides afirma que este quociente monóide é naturalmente isomórfico à imagem de f (que é um submonóide de N ), (para a relação de congruência).

Isso é muito diferente dos exemplos acima. Em particular, a pré-imagem do elemento identidade de N não é suficiente para determinar o kernel de f .

Álgebra universal

Todos os casos acima podem ser unificados e generalizados na álgebra universal .

Caso Geral

Deixe A e B ser estruturas algébricas de um determinado tipo e deixe f ser um homomorphism desse tipo de A para B . Em seguida, o núcleo de f é o subconjunto do produto directo Um × Um consistindo de todos os pares ordenados de elementos da Uma cujos componentes são ambos mapeados por f para o mesmo elemento em B . O kernel geralmente é denotado ker f (ou uma variação). Em símbolos:

Como f é uma função , os elementos da forma ( a , a ) devem pertencer ao kernel.

O homomorfismo f é injetivo se e somente se seu núcleo for exatamente o conjunto diagonal {( a , a ): a A }.

É fácil ver que ker f é uma relação de equivalência em A , e de fato uma relação de congruência . Assim, faz sentido falar da álgebra quociente A / (ker f ). O primeiro teorema do isomorfismo na álgebra universal geral afirma que esta álgebra de quociente é naturalmente isomórfica à imagem de f (que é uma subálgebra de B ).

Observe que a definição de kernel aqui (como no exemplo monóide) não depende da estrutura algébrica; é um conceito puramente teórico definido . Para mais informações sobre esse conceito geral, fora da álgebra abstrata, consulte o kernel de uma função .

Álgebras de Malcev

No caso das álgebras de Malcev, essa construção pode ser simplificada. Toda álgebra de Malcev tem um elemento neutro especial (o vetor zero no caso de espaços vetoriais , o elemento identidade no caso de grupos comutativos e o elemento zero no caso de anéis ou módulos). O traço característico de uma álgebra de Malcev é que podemos recuperar toda a relação de equivalência ker f da classe de equivalência do elemento neutro.

Para ser mais específico, deixou Um e B ser Malcev estruturas algébricas de um determinado tipo e deixá- f ser um homomorphism de que tipo de um para B . Se e B é o elemento neutro de B , então o kernel de f é a pré - imagem do conjunto singleton { e B }; isto é, o subconjunto de um composto de todos os elementos da Uma mapeados por f para o elemento de e B . O kernel é geralmente denotado ker f (ou uma variação). Em símbolos:

Visto que um homomorfismo da álgebra de Malcev preserva elementos neutros, o elemento de identidade e A de A deve pertencer ao kernel. O homomorfismo f é injetivo se e somente se seu kernel é apenas o conjunto singleton { e A }.

A noção de ideal generaliza a qualquer álgebra de Malcev (como subespaço linear no caso de espaços vetoriais, subgrupo normal no caso de grupos, ideais bilaterais no caso de anéis e submódulo no caso de módulos ). Acontece que ker f não é uma subálgebra de A , mas é um ideal. Então, faz sentido falar da álgebra de quociente G / (ker f ). O primeiro teorema de isomorfismo para álgebras de Malcev afirma que esta álgebra de quociente é naturalmente isomórfica à imagem de f (que é uma subálgebra de B ).

A conexão entre isso e a relação de congruência para tipos mais gerais de álgebras é a seguinte. Primeiro, o kernel-as-an-ideal é a classe de equivalência do elemento neutro e A sob o kernel-as-a-congruence. Para a direção inversa, precisamos da noção de quociente na álgebra de Mal'cev (que é a divisão em ambos os lados para grupos e subtração para espaços vetoriais, módulos e anéis). Usando esta, elementos de um e B de A são equivalentes sob o kernel-como-um-congruência se e apenas se o seu quociente de um / b é um elemento do núcleo como-um-ideal.

Álgebras com estrutura não algébrica

Às vezes, as álgebras são equipadas com uma estrutura não algébrica além de suas operações algébricas. Por exemplo, pode-se considerar grupos topológicos ou espaços vetoriais topológicos , que estão equipados com uma topologia . Nesse caso, esperaríamos que o homomorfismo f preservasse essa estrutura adicional; nos exemplos topológicos, gostaríamos que f fosse um mapa contínuo . O processo pode se complicar com as álgebras de quociente, que podem não ser bem comportadas. Nos exemplos topológicos, podemos evitar problemas exigindo que as estruturas algébricas topológicas sejam de Hausdorff (como normalmente é feito); então o kernel (como quer que seja construído) será um conjunto fechado e o espaço de quociente funcionará bem (e também será de Hausdorff).

Kernels na teoria da categoria

A noção de núcleo na teoria das categorias é uma generalização dos núcleos das álgebras abelianas; veja Kernel (teoria da categoria) . A generalização categórica do kernel como uma relação de congruência é o par de kernel . (Também existe a noção de kernel de diferença , ou equalizador binário .)

Veja também

Notas

Referências

  • Dummit, David S .; Foote, Richard M. (2004). Abstract Algebra (3ª ed.). Wiley . ISBN   0-471-43334-9 .