Operador de momento angular - Angular momentum operator

Parte de uma série de artigos sobre
Mecânica quântica
${\ displaystyle i \ hbar {\ frac {\ partial} {\ partial t}} | \ psi (t) \ rangle = {\ hat {H}} | \ psi (t) \ rangle}$ Equação de Schrödinger
Introdução Glossário História
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v t e

Na mecânica quântica , o operador de momento angular é um dos vários operadores relacionados análogos ao momento angular clássico . O operador de momento angular desempenha um papel central na teoria da física atômica e molecular e outros problemas quânticos envolvendo simetria rotacional . Esse operador é aplicado a uma representação matemática do estado físico de um sistema e produz um valor de momento angular se o estado tiver um valor definido para ele. Tanto nos sistemas clássicos quanto nos mecânicos quânticos, o momento angular (junto com o momento linear e a energia ) é uma das três propriedades fundamentais do movimento.

Existem vários operadores de momento angular: momento angular total (geralmente denotado J ), momento angular orbital (geralmente denotado L ) e momento angular de spin ( spin para abreviar, geralmente denotado S ). O termo operador de momento angular pode (confusamente) referir-se ao momento angular total ou orbital. O momento angular total é sempre conservado , consulte o teorema de Noether .

Visão geral

"Cones vetoriais" de momento angular total J (roxo), orbital L (azul) e spin S (verde). Os cones surgem devido à incerteza quântica entre a medição dos componentes do momento angular ( veja abaixo ).

Na mecânica quântica, o momento angular pode se referir a uma das três coisas diferentes, mas relacionadas.

Momento angular orbital

A definição clássica de momento angular é . As contrapartes quânticas desses objetos compartilham a mesma relação: ${\ displaystyle \ mathbf {L} = \ mathbf {r} \ times \ mathbf {p}}$

${\ displaystyle \ mathbf {L} = \ mathbf {r} \ times \ mathbf {p}}$

onde r é o operador de posição quântica , p é o operador de momento quântico , × é o produto vetorial e L é o operador de momento angular orbital . G (tal como p e r ) é um operador de vector (um vector, cujos componentes são os operadores), ou seja, onde G _x , L _Y , L _z são três operadores de mecânica quântica diferentes. ${\ displaystyle \ mathbf {L} = \ left (L_ {x}, L_ {y}, L_ {z} \ right)}$

No caso especial de uma única partícula sem carga elétrica e sem spin , o operador de momento angular orbital pode ser escrito na base de posição como:

${\ displaystyle \ mathbf {L} = -i \ hbar (\ mathbf {r} \ times \ nabla)}$

onde ∇ é o operador diferencial vetorial, del .

Momento angular de giro

Existe outro tipo de momento angular, denominado momento angular de spin (mais frequentemente abreviado para spin ), representado pelo operador de spin . O spin é frequentemente descrito como uma partícula girando literalmente em torno de um eixo, mas isso é apenas uma metáfora: o spin é uma propriedade intrínseca de uma partícula, sem relação com qualquer tipo de movimento (ainda que experimentalmente observável) no espaço. Todas as partículas elementares têm um spin característico, que geralmente é diferente de zero. Por exemplo, os elétrons sempre têm "spin 1/2", enquanto os fótons sempre têm "spin 1" (detalhes abaixo ). ${\ displaystyle \ mathbf {S} = \ left (S_ {x}, S_ {y}, S_ {z} \ right)}$

Momento angular total

Finalmente, existe o momento angular total , que combina o spin e o momento angular orbital de uma partícula ou sistema: ${\ displaystyle \ mathbf {J} = \ left (J_ {x}, J_ {y}, J_ {z} \ right)}$

${\ displaystyle \ mathbf {J} = \ mathbf {L} + \ mathbf {S}.}$

A conservação do momento angular afirma que J para um sistema fechado, ou J para todo o universo, é conservado. No entanto, L e S geralmente não são conservados. Por exemplo, a interação spin-órbita permite que o momento angular seja transferido para frente e para trás entre L e S , com o J total permanecendo constante.

Relações de comutação

Relações de comutação entre componentes

O operador de momento angular orbital é um operador vetorial, o que significa que pode ser escrito em termos de seus componentes vetoriais . Os componentes têm as seguintes relações de comutação entre si: ${\ displaystyle \ mathbf {L} = \ left (L_ {x}, L_ {y}, L_ {z} \ right)}$

${\ displaystyle \ left [L_ {x}, L_ {y} \ right] = i \ hbar L_ {z}, \; \; \ left [L_ {y}, L_ {z} \ right] = i \ hbar L_ {x}, \; \; \ left [L_ {z}, L_ {x} \ right] = i \ hbar L_ {y},}$

onde [,] denota o comutador

${\ displaystyle [X, Y] \ equiv XY-YX.}$

Isso pode ser escrito geralmente como

${\ displaystyle \ left [L_ {l}, L_ {m} \ right] = i \ hbar \ sum _ {n = 1} ^ {3} \ varepsilon _ {lmn} L_ {n}}$,

onde l , m , n são os índices componentes (1 para x , 2 para y , 3 para z ), e ε _lmn denota o símbolo de Levi-Civita .

Uma expressão compacta como uma equação vetorial também é possível:

${\ displaystyle \ mathbf {L} \ times \ mathbf {L} = i \ hbar \ mathbf {L}}$

As relações de comutação podem ser provadas como uma consequência direta das relações de comutação canônicas , onde δ _lm é o delta de Kronecker . ${\ displaystyle [x_ {l}, p_ {m}] = i \ hbar \ delta _ {lm}}$

Existe uma relação análoga na física clássica:

${\ displaystyle \ left \ {L_ {i}, L_ {j} \ right \} = \ varepsilon _ {ijk} L_ {k}}$

onde L _n é um componente do operador clássico de momento angular e é o colchete de Poisson . ${\ displaystyle \ {, \}}$

As mesmas relações de comutação se aplicam aos outros operadores de momento angular (spin e momento angular total):

${\ displaystyle \ left [S_ {l}, S_ {m} \ right] = i \ hbar \ sum _ {n = 1} ^ {3} \ varepsilon _ {lmn} S_ {n}, \ quad \ left [ J_ {l}, J_ {m} \ right] = i \ hbar \ sum _ {n = 1} ^ {3} \ varepsilon _ {lmn} J_ {n}}$.

Estes podem ser assumido para manter em analogia com L . Alternativamente, eles podem ser derivados conforme discutido abaixo .

Essas relações de comutação significam que L tem a estrutura matemática de uma álgebra de Lie , e o ε _lmn são suas constantes de estrutura . Neste caso, a álgebra de Lie é SU (2) ou SO (3) em notação física ( ou respectivamente em notação matemática), ou seja, álgebra de Lie associada a rotações em três dimensões. O mesmo é verdade para J e S . O motivo é discutido abaixo . Essas relações de comutação são relevantes para medição e incerteza, conforme discutido mais adiante. ${\ displaystyle \ operatorname {su} (2)}$${\ displaystyle \ operatorname {so} (3)}$

Em moléculas do momento angular total de F é a soma do rovibronic (orbital) momento angular N , spin electrico momento angular S , e o spin nuclear momento angular eu . Para os estados singuletos electrónicos do momento angular rovibronic é indicado J em vez de N . Como explicado por Van Vleck, os componentes do momento angular rovibrônico molecular referidos a eixos fixos na molécula têm relações de comutação diferentes daquelas dadas acima, que são para os componentes sobre eixos fixos no espaço.

Relações de comutação envolvendo magnitude vetorial

Como qualquer vetor, o quadrado de uma magnitude pode ser definido para o operador de momento angular orbital,

${\ displaystyle L ^ {2} \ equiv L_ {x} ^ {2} + L_ {y} ^ {2} + L_ {z} ^ {2}}$ .

${\ displaystyle L ^ {2}}$é outro operador quântico . Ele comuta com os componentes de , ${\ displaystyle \ mathbf {L}}$

${\ displaystyle \ left [L ^ {2}, L_ {x} \ right] = \ left [L ^ {2}, L_ {y} \ right] = \ left [L ^ {2}, L_ {z} \ direita] = 0.}$

Uma maneira de provar que esses operadores comutam é começar a partir das relações de comutação [ L _ℓ , L _m ] na seção anterior:

Prova de [ L ² , L _x ] = 0, a partir das relações de comutação [ L _ℓ , L _m ]  -

$${\ displaystyle {\ begin {alinhado} \ left [L ^ {2}, L_ {x} \ right] & = \ left [L_ {x} ^ {2}, L_ {x} \ right] + \ left [ L_ {y} ^ {2}, L_ {x} \ right] + \ left [L_ {z} ^ {2}, L_ {x} \ right] \\ & = L_ {y} \ left [L_ {y }, L_ {x} \ direita] + \ esquerda [L_ {y}, L_ {x} \ direita] L_ {y} + L_ {z} \ esquerda [L_ {z}, L_ {x} \ direita] + \ left [L_ {z}, L_ {x} \ right] L_ {z} \\ & = L_ {y} \ left (-i \ hbar L_ {z} \ right) + \ left (-i \ hbar L_ {z} \ right) L_ {y} + L_ {z} \ left (i \ hbar L_ {y} \ right) + \ left (i \ hbar L_ {y} \ right) L_ {z} \\ & = 0 \ end {alinhado}}}$$

Matematicamente, é um invariante de Casimir da álgebra de Lie SO (3) medido por . ${\ displaystyle L ^ {2}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {L}}$

Como acima, há uma relação análoga na física clássica:

${\ displaystyle \ left \ {L ^ {2}, L_ {x} \ right \} = \ left \ {L ^ {2}, L_ {y} \ right \} = \ left \ {L ^ {2} , L_ {z} \ right \} = 0}$

onde é um componente do operador clássico de momento angular e é o colchete de Poisson . ${\ displaystyle L_ {i}}$${\ displaystyle \ {, \}}$

Voltando ao caso quântico, as mesmas relações de comutação se aplicam aos outros operadores de momento angular (spin e momento angular total), também,

${\ displaystyle {\ begin {alinhado} \ left [S ^ {2}, S_ {i} \ right] & = 0, \\\ left [J ^ {2}, J_ {i} \ right] & = 0 . \ end {alinhado}}}$

Princípio da incerteza

Em geral, na mecânica quântica, quando dois operadores observáveis não comutam, eles são chamados de observáveis ​​complementares . Dois observáveis ​​complementares não podem ser medidos simultaneamente; em vez disso, eles satisfazem um princípio de incerteza . Quanto mais precisamente um observável é conhecido, menos precisamente o outro pode ser conhecido. Assim como existe um princípio de incerteza relacionando posição e momento, existem princípios de incerteza para momento angular.

A relação Robertson-Schrödinger dá o seguinte princípio de incerteza:

${\ displaystyle \ sigma _ {L_ {x}} \ sigma _ {L_ {y}} \ geq {\ frac {\ hbar} {2}} \ left | \ langle L_ {z} \ rangle \ right |.}$

onde é o desvio padrão dos valores medidos de X e indica o valor esperado de x . Esta desigualdade também é verdadeiro se x, y, z são rearranjados, ou se G é substituído por J ou S . ${\ displaystyle \ sigma _ {X}}$${\ displaystyle \ langle X \ rangle}$

Portanto, duas componentes ortogonais do momento angular (por exemplo L _x e L _y ) são complementares e não podem ser conhecidas ou medidas simultaneamente, exceto em casos especiais como . ${\ displaystyle L_ {x} = L_ {y} = L_ {z} = 0}$

É, entretanto, possível medir ou especificar simultaneamente L ² e qualquer componente de L ; por exemplo, L ² e L _z . Isso geralmente é útil, e os valores são caracterizados pelo número quântico azimutal ( l ) e o número quântico magnético ( m ). Nesse caso, o estado quântico do sistema é um autoestado simultâneo dos operadores L ² e L _z , mas não de L _x ou L _y . Os autovalores estão relacionados a l e m , conforme mostrado na tabela abaixo.

Quantização

Na mecânica quântica , o momento angular é quantizado - ou seja, não pode variar continuamente, mas apenas em "saltos quânticos" entre certos valores permitidos. Para qualquer sistema, as seguintes restrições aos resultados de medição se aplicam, onde é reduzida a constante de Planck : ${\ displaystyle \ hbar}$

Se você medir ...	... o resultado pode ser ...	Notas
${\ displaystyle L ^ {2}}$	${\ displaystyle \ hbar ^ {2} \ ell (\ ell +1)}$,    Onde ${\ displaystyle \ ell = 0,1,2, \ ldots}$	${\ displaystyle \ ell}$às vezes é chamado de número quântico azimutal ou número quântico orbital .
${\ displaystyle L_ {z}}$	${\ displaystyle \ hbar m _ {\ ell}}$,    Onde ${\ displaystyle m _ {\ ell} = - \ ell, (- \ ell +1), \ ldots, (\ ell -1), \ ell}$	${\ displaystyle m _ {\ ell}}$às vezes é chamado de número quântico magnético . Essa mesma regra de quantização vale para qualquer componente de ; por exemplo ,. ${\ displaystyle \ mathbf {L}}$${\ displaystyle L_ {x} \, ou \, L_ {y}}$ Essa regra às vezes é chamada de quantização espacial .
${\ displaystyle S ^ {2}}$	${\ displaystyle \ hbar ^ {2} s (s + 1)}$,    Onde ${\ displaystyle s = 0, {\ tfrac {1} {2}}, 1, {\ tfrac {3} {2}}, \ ldots}$	s é chamado de número quântico de spin ou apenas spin . Por exemplo, uma partícula de spin ½ é uma partícula em que s = ½.
${\ displaystyle S_ {z}}$	${\ displaystyle \ hbar m_ {s}}$,    Onde ${\ displaystyle m_ {s} = - s, (- s + 1), \ ldots, (s-1), s}$	${\ displaystyle m_ {s}}$às vezes é chamado de número quântico de projeção de spin . Essa mesma regra de quantização vale para qualquer componente de ; por exemplo ,. ${\ displaystyle \ mathbf {S}}$${\ displaystyle S_ {x} \, ou \, S_ {y}}$
${\ displaystyle J ^ {2}}$	${\ displaystyle \ hbar ^ {2} j (j + 1)}$,    Onde ${\ displaystyle j = 0, {\ tfrac {1} {2}}, 1, {\ tfrac {3} {2}}, \ ldots}$	j é às vezes chamado de número quântico do momento angular total .
${\ displaystyle J_ {z}}$	${\ displaystyle \ hbar m_ {j}}$,    Onde ${\ displaystyle m_ {j} = - j, (- j + 1), \ ldots, (j-1), j}$	${\ displaystyle m_ {j}}$às vezes é chamado de número quântico de projeção do momento angular total . Essa mesma regra de quantização vale para qualquer componente de ; por exemplo ,. ${\ displaystyle \ mathbf {J}}$${\ displaystyle J_ {x} \, ou \, J_ {y}}$

Nesta onda estacionária em uma corda circular, o círculo é dividido em exatamente 8 comprimentos de onda . Uma onda estacionária como essa pode ter 0, 1, 2 ou qualquer número inteiro de comprimentos de onda ao redor do círculo, mas não pode ter um número não inteiro de comprimentos de onda como 8,3. Na mecânica quântica, o momento angular é quantizado por uma razão semelhante.

Derivação usando operadores de escada

Uma maneira comum de derivar as regras de quantização acima é o método de operadores de escada . Os operadores de escada para o momento angular total são definidos como: ${\ displaystyle \ mathbf {J} = \ left (J_ {x}, J_ {y}, J_ {z} \ right)}$

${\ displaystyle {\ begin {alinhado} J _ {+} & \ equiv J_ {x} + iJ_ {y}, \\ J _ {-} & \ equiv J_ {x} -iJ_ {y} \ end {alinhado}} }$

Suponha que seja um autoestado simultâneo de e (isto é, um estado com um valor definido para e um valor definido para ). Então, usando as relações de comutação para os componentes de , pode-se provar que cada um dos estados e é zero ou um autoestado simultâneo de e , com o mesmo valor de para, mas com valores para que são aumentados ou diminuídos respectivamente. O resultado é zero quando o uso de um operador de escada resultaria em um estado com um valor fora da faixa permitida. Usando os operadores de escada desta forma, os valores e números quânticos possíveis para e podem ser encontrados. ${\ displaystyle | \ psi \ rangle}$${\ displaystyle J ^ {2}}$${\ displaystyle J_ {z}}$${\ displaystyle J ^ {2}}$${\ displaystyle J_ {z}}$${\ displaystyle \ mathbf {J}}$${\ displaystyle J _ {+} | \ psi \ rangle}$${\ displaystyle J _ {-} | \ psi \ rangle}$${\ displaystyle J ^ {2}}$${\ displaystyle J_ {z}}$${\ displaystyle | \ psi \ rangle}$${\ displaystyle J ^ {2}}$${\ displaystyle J_ {z}}$${\ displaystyle \ hbar}$${\ displaystyle J_ {z}}$${\ displaystyle J ^ {2}}$${\ displaystyle J_ {z}}$

Derivação dos valores e números quânticos possíveis para e . Clique em [mostrar] à direita ${\ displaystyle J_ {z}}$${\ displaystyle J ^ {2}}$

Let Ser uma função de estado para o sistema com autovalor para e autovalor para . ${\ displaystyle \ psi ({J ^ {2}} 'J_ {z}')}$${\ displaystyle {J ^ {2}} '}$${\ displaystyle J ^ {2}}$${\ displaystyle J_ {z} '}$${\ displaystyle J_ {z}}$ De é obtido, ${\ displaystyle J ^ {2} = J_ {x} ^ {2} + J_ {y} ^ {2} + J_ {z} ^ {2}}$ ${\ displaystyle J_ {x} ^ {2} + J_ {y} ^ {2} = J ^ {2} -J_ {z} ^ {2}}$. Aplicando ambos os lados da equação acima para , ${\ displaystyle \ psi ({J ^ {2}} 'J_ {z}')}$ ${\ displaystyle (J_ {x} ^ {2} + J_ {y} ^ {2}) \; \ psi ({J ^ {2}} 'J_ {z}') = ({J ^ {2}} '-J_ {z}' ^ {2}) \; \ psi ({J ^ {2}} 'J_ {z}')}$ . Uma vez que e são observáveis ​​reais, não é negativo e . Portanto, tem um limite superior e inferior. ${\ displaystyle J_ {x}}$${\ displaystyle J_ {y}}$${\ displaystyle {J ^ {2}} '- J_ {z}' ^ {2}}$${\ textstyle | J_ {z} '| \ leq {\ sqrt {{J ^ {2}}'}}}$${\ displaystyle J_ {z} '}$ Duas das relações de comutação para os componentes de são, ${\ displaystyle \ mathbf {J}}$ ${\ displaystyle [J_ {y}, J_ {z}] = i \ hbar J_ {x}, \; \; [J_ {z}, J_ {x}] = i \ hbar J_ {y}}$. Eles podem ser combinados para obter duas equações, que são escritas juntas usando os sinais a seguir, ${\ displaystyle \ pm}$ ${\ displaystyle J_ {z} (J_ {x} \ pm iJ_ {y}) = (J_ {x} \ pm iJ_ {y}) (J_ {z} \ pm \ hbar)}$, onde uma das equações usa os sinais e a outra usa os sinais. Aplicando ambos os lados do acima para , ${\ displaystyle +}$${\ displaystyle -}$${\ displaystyle \ psi ({J ^ {2}} 'J_ {z}')}$ ${\ displaystyle {\ begin {alinhados} J_ {z} (J_ {x} \ pm iJ_ {y}) \; \ psi ({J ^ {2}} 'J_ {z}') & = (J_ {x } \ pm iJ_ {y}) (J_ {z} \ pm \ hbar) \; \ psi ({J ^ {2}} 'J_ {z}') \\ & = (J_ {z} '\ pm \ hbar) (J_ {x} \ pm iJ_ {y}) \; \ psi ({J ^ {2}} 'J_ {z}') \;. \\\ end {alinhado}}}$ O acima mostra que são duas autofunções de com respectivos autovalores , a menos que uma das funções seja zero, caso em que não é uma autofunção. Para as funções que não são zero, ${\ displaystyle (J_ {x} \ pm iJ_ {y}) \; \ psi ({J ^ {2}} 'J_ {z}')}$${\ displaystyle J_ {z}}$${\ displaystyle {J_ {z}} '\ pm \ hbar}$ ${\ displaystyle \ psi ({J ^ {2}} 'J_ {z}' \ pm \ hbar) = (J_ {x} \ pm iJ_ {y}) \; \ psi ({J ^ {2}} ' J_ {z} ')}$ . Outras autofunções e autovalores correspondentes podem ser encontradas aplicando repetidamente , desde que a magnitude do autovalor resultante seja . Como os autovalores de são limitados, seja o autovalor mais baixo e o mais alto. Então ${\ displaystyle J_ {z}}$${\ displaystyle J_ {x} \ pm iJ_ {y}}$${\ displaystyle \ leq {\ sqrt {{J ^ {2}} '}}}$${\ displaystyle J_ {z}}$${\ displaystyle J_ {z} ^ {0}}$${\ displaystyle J_ {z} ^ {1}}$ ${\ displaystyle (J_ {x} -iJ_ {y}) \; \ psi ({J ^ {2}} 'J_ {z} ^ {0}) = 0}$          e ${\ displaystyle (J_ {x} + iJ_ {y}) \; \ psi ({J ^ {2}} 'J_ {z} ^ {1}) = 0}$ , uma vez que não há estados onde o autovalor de é ou . Aplicando à primeira equação, à segunda, e usando , pode-se mostrar que ${\ displaystyle J_ {z}}$${\ displaystyle <J_ {z} ^ {0}}$${\ displaystyle> J_ {z} ^ {1}}$${\ displaystyle (J_ {x} + iJ_ {y})}$${\ displaystyle (J_ {x} -iJ_ {y})}$${\ displaystyle J_ {x} ^ {2} + J_ {y} ^ {2} = J ^ {2} -J_ {z} ^ {2}}$ ${\ displaystyle {J ^ {2}} '- (J_ {z} ^ {0}) ^ {2} + \ hbar J_ {z} ^ {0} = 0}$          e ${\ displaystyle {J ^ {2}} '- (J_ {z} ^ {1}) ^ {2} - \ hbar J_ {z} ^ {1} = 0}$ . Subtraindo a primeira equação da segunda e reorganizando, ${\ displaystyle (J_ {z} ^ {1} + J_ {z} ^ {0}) (J_ {z} ^ {0} -J_ {z} ^ {1} - \ hbar) = 0}$ . Desde então , o segundo fator é negativo. Então o primeiro fator deve ser zero e assim . ${\ displaystyle J_ {z} ^ {1} \ geq J_ {z} ^ {0}}$${\ displaystyle J_ {z} ^ {0} = - J_ {z} ^ {1}}$ A diferença vem da aplicação sucessiva de ou que abaixa ou aumenta o autovalor de por para que, ${\ displaystyle J_ {z} ^ {1} -J_ {z} ^ {0}}$${\ displaystyle J_ {x} -iJ_ {y}}$${\ displaystyle J_ {x} + iJ_ {y}}$${\ displaystyle J_ {z}}$${\ displaystyle \ hbar}$ ${\ displaystyle J_ {z} ^ {1} -J_ {z} ^ {0} = 0, \ hbar, 2 \ hbar, \ dots}$ Deixar ${\ displaystyle J_ {z} ^ {1} -J_ {z} ^ {0} = 2j \ hbar}$, Onde ${\ displaystyle j = 0, {\ tfrac {1} {2}}, 1, {\ tfrac {3} {2}}, \ dots \ ;.}$ Em seguida, usando e acima, ${\ displaystyle J_ {z} ^ {0} = - J_ {z} ^ {1}}$ ${\ displaystyle J_ {z} ^ {0} = - j \ hbar}$  e  ,${\ displaystyle J_ {z} ^ {1} = j \ hbar}$ e os valores próprios permitidos de são ${\ displaystyle J_ {z}}$ ${\ displaystyle J_ {z} '= - j \ hbar, -j \ hbar + \ hbar, -j \ hbar +2 \ hbar, \ dots, j \ hbar}$ . Expressando em termos de um número quântico , e substituindo a partir de cima, ${\ displaystyle J_ {z} '}$${\ displaystyle m_ {j} \;}$${\ displaystyle J_ {z} ^ {0} = - j \ hbar}$${\ displaystyle {J ^ {2}} '- (J_ {z} ^ {0}) ^ {2} + \ hbar J_ {z} ^ {0} = 0}$ ${\ displaystyle J_ {z} '= m_ {j} \ hbar \ qquad}$ ${\ displaystyle m_ {j} = - j, -j + 1, -j + 2, \ dots, j}$ ${\ displaystyle {J ^ {2}} '= j (j + 1) \ hbar ^ {2} \ qquad j = 0, {\ tfrac {1} {2}}, 1, {\ tfrac {3} { 2}}, \ dots \ ;.}$

Uma vez que e têm as mesmas relações de comutação que , a mesma análise de escada pode ser aplicada a eles, exceto que há uma restrição adicional para os números quânticos de que eles devem ser inteiros. ${\ displaystyle \ mathbf {S}}$${\ displaystyle \ mathbf {L}}$${\ displaystyle \ mathbf {J}}$${\ displaystyle \ mathbf {L}}$

Derivação tradicional da restrição a números quânticos inteiros para e . Clique em [mostrar] à direita ${\ displaystyle L_ {z}}$${\ displaystyle L ^ {2}}$

Na representação de Schroedinger, o componente z do operador de momento angular orbital pode ser expresso em coordenadas esféricas como, ${\ displaystyle L_ {z} = - i \ hbar {\ frac {\ partial} {\ partial \ phi}}}$ . Para e autofunção com autovalor , ${\ displaystyle L_ {z}}$ ${\ displaystyle \ psi}$${\ displaystyle L_ {z} '}$ ${\ displaystyle -i \ hbar {\ frac {\ partial} {\ partial \ phi}} \ psi = L_ {z} '\ psi}$ . Resolvendo para , ${\ displaystyle \ psi}$ ${\ displaystyle \ psi = Ae ^ {iL_ {z} '\ phi / \ hbar}}$, de onde é independente . Uma vez que é necessário ter um valor único, e adicionar aos resultados em uma coordenada para o mesmo ponto no espaço, ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle \ phi}$${\ displaystyle \ psi}$${\ displaystyle 2 \ pi}$${\ displaystyle \ phi}$ ${\ displaystyle Ae ^ {iL_ {z} '(\ phi +2 \ pi) / \ hbar} = Ae ^ {iL_ {z}' \ phi / \ hbar}}$, ${\ displaystyle e ^ {iL_ {z} '2 \ pi / \ hbar} = 1}$ . Resolvendo para o autovalor , ${\ displaystyle L_ {z} '}$ ${\ displaystyle L_ {z} '= m_ {l} \ hbar \;, \ quad}$onde é um inteiro.${\ displaystyle m_ {l}}$ Do exposto e da relação , segue-se que também é um número inteiro. Isso mostra que os números quânticos e para o momento angular orbital são restritos a inteiros, ao contrário dos números quânticos para o momento angular total e spin , que podem ter valores meio-inteiros. ${\ displaystyle m _ {\ ell} = - \ ell, (- \ ell +1), \ ldots, (\ ell -1), \ ell \ \}$${\ displaystyle \ ell}$${\ displaystyle m _ {\ ell}}$${\ displaystyle \ ell}$${\ displaystyle \ mathbf {L}}$${\ displaystyle \ mathbf {J}}$${\ displaystyle \ mathbf {S}}$ Uma derivação alternativa que não assume funções de onda de valor único segue e outro argumento usando grupos de Lie está abaixo .

Derivação alternativa da restrição para números quânticos inteiros para e Clique [mostrar] à direita ${\ displaystyle L_ {z}}$${\ displaystyle L ^ {2}}$

Uma parte fundamental da derivação tradicional acima é que a função de onda deve ter um valor único. Isso agora é reconhecido por muitos como não sendo completamente correto: uma função de onda não é observável e apenas a densidade de probabilidade precisa ter um valor único. As possíveis funções de onda de meio inteiro de valor duplo têm uma densidade de probabilidade de valor único. ${\ displaystyle \ psi}$${\ displaystyle \ psi ^ {*} \ psi}$ Isso foi reconhecido por Pauli em 1939 (citado por Japaridze et al ) ... não há nenhum argumento convincente a priori afirmando que as funções de onda que descrevem alguns estados físicos devem ser funções de valor único. Para as quantidades físicas, que são expressas por quadrados de funções de onda, para serem de valor único, é bastante suficiente que, após se moverem em torno de um contorno fechado, essas funções ganhem um fator exp (iα) Foram encontradas funções de onda de duplo valor, como e . Estes não se comportam bem sob os operadores de escada, mas foram considerados úteis na descrição de partículas quânticas rígidas ${\ displaystyle | {\ tfrac {1} {2}}, {\ tfrac {1} {2}} \ rangle = e ^ {i \ phi / 2} sin ^ {\ frac {1} {2}} \ theta}$${\ displaystyle | {\ tfrac {1} {2}}, - {\ tfrac {1} {2}} \ rangle = e ^ {- i \ phi / 2} sin ^ {\ frac {1} {2} } \ theta}$ Ballentine apresenta um argumento baseado unicamente no formalismo do operador e que não depende da função de onda ser de valor único. O momento angular azimutal é definido como ${\ displaystyle L_ {z} = Q_ {x} P_ {y} -Q_ {y} P_ {x}}$ Definir novos operadores ${\ displaystyle {\ begin {alinhados} q_ {1} & = {\ frac {Q_ {x} + P_ {y}} {\ surd 2}} \\ q_ {2} & = {\ frac {Q_ {x } -P_ {y}} {\ surd 2}} \\ p_ {1} & = {\ frac {P_ {x} -Q_ {y}} {\ surd 2}} \\ p_ {2} & = { \ frac {P_ {x} + Q_ {y}} {\ surd 2}} \ end {alinhado}}}$ (A correção dimensional pode ser mantida inserindo fatores de massa e frequência angular unitária numericamente igual a um.) Então ${\ displaystyle L_ {z} = {\ frac {1} {2}} (p_ {1} ^ {2} + q_ {1} ^ {2}) - {\ frac {1} {2}} (p_ {2} ^ {2} + q_ {2} ^ {2})}$ Mas os dois termos à direita são apenas os hamiltonianos para o oscilador harmônico quântico com massa unitária e frequência angular ${\ displaystyle {\ begin {align} H_ {1} & = {\ frac {1} {2}} (p_ {1} ^ {2} + q_ {1} ^ {2}) \\ H_ {2} & = {\ frac {1} {2}} (p_ {2} ^ {2} + q_ {2} ^ {2}) \ end {alinhado}}}$ e , , e todos trajeto. Para comutar operadores Hermitianos, um conjunto completo de vetores de base pode ser escolhido, que são autovetores para todos os quatro operadores. (O argumento de Glorioso pode ser facilmente generalizado para qualquer número de operadores de deslocamento.) ${\ displaystyle L ^ {2}}$${\ displaystyle L_ {z}}$${\ displaystyle H_ {1}}$${\ displaystyle H_ {2}}$ Para qualquer um desses vetores próprios com ${\ displaystyle \ psi}$ ${\ displaystyle {\ begin {alinhado} L ^ {2} \ psi & = \ hbar \ ell (\ ell +1) \ psi \\ L_ {z} \ psi & = \ hbar m \ psi \\ H_ {1 } \ psi & = \ hbar (n_ {1} + {\ frac {1} {2}}) \ psi \\ H_ {2} \ psi & = \ hbar (n_ {2} + {\ frac {1} {2}}) \ psi \ end {alinhado}}}$ para alguns inteiros , encontramos ${\ displaystyle n_ {1}, n_ {2}}$ ${\ displaystyle {\ begin {align} m & = (n_ {1} + {\ frac {1} {2}}) - (n_ {2} + {\ frac {1} {2}}) \\ & = n_ {1} -n_ {2} \ end {alinhado}}}$ Como diferença de dois inteiros, deve ser um inteiro, do qual também é integral. ${\ displaystyle m}$${\ displaystyle \ ell}$ Uma versão mais complexa deste argumento usando os operadores de escada do oscilador harmônico quântico foi dada por Buchdahl.

Interpretação visual

Ilustração do modelo vetorial de momento angular orbital.

Uma vez que os momentos angulares são operadores quânticos, eles não podem ser desenhados como vetores como na mecânica clássica. No entanto, é comum retratá-los heuristicamente dessa maneira. Representado à direita está um conjunto de estados com números quânticos e para os cinco cones de baixo para cima. Desde então , os vetores são todos mostrados com comprimento . Os anéis representam o fato que é conhecido com certeza, mas e são desconhecidos; portanto, todo vetor clássico com o comprimento apropriado e componente z é desenhado, formando um cone. O valor esperado do momento angular para um dado conjunto de sistemas no estado quântico caracterizado por e poderia estar em algum lugar neste cone, embora não possa ser definido para um único sistema (uma vez que os componentes de não comutam entre si). ${\ displaystyle \ ell = 2}$${\ displaystyle m _ {\ ell} = - 2, -1,0,1,2}$${\ displaystyle | L | = {\ sqrt {L ^ {2}}} = \ hbar {\ sqrt {6}}}$${\ displaystyle \ hbar {\ sqrt {6}}}$${\ displaystyle L_ {z}}$${\ displaystyle L_ {x}}$${\ displaystyle L_ {y}}$${\ displaystyle \ ell}$${\ displaystyle m _ {\ ell}}$${\ displaystyle L}$

Quantização em sistemas macroscópicos

As regras de quantização são amplamente consideradas verdadeiras mesmo para sistemas macroscópicos, como o momento angular L de um pneu em rotação. No entanto, eles não têm nenhum efeito observável, então isso não foi testado. Por exemplo, se for aproximadamente 100000000, não faz essencialmente nenhuma diferença se o valor preciso é um número inteiro como 100000000 ou 100000001, ou um número não inteiro como 100000000.2 - as etapas discretas são atualmente muito pequenas para medir. ${\ displaystyle L_ {z} / \ hbar}$

Momento angular como gerador de rotações

A definição mais geral e fundamental de momento angular é como o gerador de rotações. Mais especificamente, deixe ser um operador de rotação , que gira qualquer estado quântico em torno do eixo por ângulo . As , o operador se aproxima do operador de identidade , porque uma rotação de 0 ° mapeia todos os estados para eles próprios. Então, o operador de momento angular em torno do eixo é definido como: ${\ displaystyle R ({\ hat {n}}, \ phi)}$${\ displaystyle {\ hat {n}}}$${\ displaystyle \ phi}$${\ displaystyle \ phi \ rightarrow 0}$${\ displaystyle R ({\ hat {n}}, \ phi)}$${\ displaystyle J _ {\ hat {n}}}$${\ displaystyle {\ hat {n}}}$

${\ displaystyle J _ {\ hat {n}} \ equiv i \ hbar \ lim _ {\ phi \ rightarrow 0} {\ frac {R \ left ({\ hat {n}}, \ phi \ right) -1} {\ phi}} = \ left.i \ hbar {\ frac {\ partial R \ left ({\ hat {n}}, \ phi \ right)} {\ partial \ phi}} \ right | _ {\ phi = 0}}$

onde 1 é o operador de identidade . Notar também que R é um aditivo morfismo:  ; como consequência ${\ displaystyle R \ left ({\ hat {n}}, \ phi _ {1} + \ phi _ {2} \ right) = R \ left ({\ hat {n}}, \ phi _ {1} \ direita) R \ esquerda ({\ hat {n}}, \ phi _ {2} \ direita)}$

${\ displaystyle R \ left ({\ hat {n}}, \ phi \ right) = \ exp \ left (- {\ frac {i \ phi J _ {\ hat {n}}} {\ hbar}} \ right )}$

onde exp é a matriz exponencial .

Em termos mais simples, o operador de momento angular total caracteriza como um sistema quântico é alterado quando é girado. A relação entre os operadores de momento angular e os operadores de rotação é a mesma que a relação entre álgebras de Lie e grupos de Lie em matemática, conforme discutido mais adiante.

Os diferentes tipos de operadores de rotação . A caixa superior mostra duas partículas, com estados de spin indicados esquematicamente pelas setas.

1. O operador R , relacionado a J , faz a rotação de todo o sistema.
2. O operador R _espacial , relacionado a L , gira as posições das partículas sem alterar seus estados de spin internos.
3. O operador R _internal , relacionado a S , gira os estados de spin internos das partículas sem alterar suas posições.

Assim como J é o gerador para operadores de rotação , L e S são geradores para operadores de rotação parcial modificados. O operador

${\ displaystyle R _ {\ text {spatial}} \ left ({\ hat {n}}, \ phi \ right) = \ exp \ left (- {\ frac {i \ phi L _ {\ hat {n}}} {\ hbar}} \ right),}$

gira a posição (no espaço) de todas as partículas e campos, sem girar o estado interno (rotação) de qualquer partícula. Da mesma forma, o operador

${\ displaystyle R _ {\ text {interno}} \ left ({\ hat {n}}, \ phi \ right) = \ exp \ left (- {\ frac {i \ phi S _ {\ hat {n}}} {\ hbar}} \ right),}$

gira o estado interno (spin) de todas as partículas, sem mover nenhuma partícula ou campo no espaço. A relação J = L + S vem de:

${\ displaystyle R \ left ({\ hat {n}}, \ phi \ right) = R _ {\ text {interno}} \ left ({\ hat {n}}, \ phi \ right) R _ {\ text { espacial}} \ left ({\ hat {n}}, \ phi \ right)}$

ou seja, se as posições são giradas e, em seguida, os estados internos são girados, então, todo o sistema foi girado.

Rotações SU (2), SO (3) e 360 ​​°

Embora se possa esperar (uma rotação de 360 ​​° é o operador de identidade), isso não é assumido na mecânica quântica, e muitas vezes não é verdade: quando o número quântico do momento angular total é um meio-inteiro (1/2 , 3/2, etc.), e quando for um número inteiro ,. Matematicamente, a estrutura das rotações no universo não é SO (3) , o grupo de rotações tridimensionais na mecânica clássica. Em vez disso, é SU (2) , que é idêntico a SO (3) para pequenas rotações, mas onde uma rotação de 360 ​​° é matematicamente diferenciada de uma rotação de 0 °. (Uma rotação de 720 ° é, no entanto, o mesmo que uma rotação de 0 °.) ${\ displaystyle R \ left ({\ hat {n}}, 360 ^ {\ circ} \ right) = 1}$${\ displaystyle R \ left ({\ hat {n}}, 360 ^ {\ circ} \ right) = - 1}$${\ displaystyle R \ left ({\ hat {n}}, 360 ^ {\ circ} \ right) = + 1}$

Por outro lado, em todas as circunstâncias, porque uma rotação de 360 ​​° de uma configuração espacial é o mesmo que nenhuma rotação. (Isso é diferente de uma rotação de 360 ​​° do estado interno (rotação) da partícula, que pode ou não ser o mesmo que nenhuma rotação.) Em outras palavras, os operadores carregam a estrutura de SO (3) , enquanto e carregam a estrutura de SU (2) . ${\ displaystyle R _ {\ text {spatial}} \ left ({\ hat {n}}, 360 ^ {\ circ} \ right) = + 1}$${\ displaystyle R _ {\ text {spatial}}}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle R _ {\ text {interno}}}$

Da equação , escolhe-se um estado próprio e desenha ${\ displaystyle + 1 = R _ {\ text {spatial}} \ left ({\ hat {z}}, 360 ^ {\ circ} \ right) = \ exp \ left (-2 \ pi iL_ {z} / \ hbar \ right)}$${\ displaystyle L_ {z} | \ psi \ rangle = m \ hbar | \ psi \ rangle}$

${\ displaystyle e ^ {- 2 \ pi im} = 1}$

o que quer dizer que os números quânticos do momento angular orbital só podem ser inteiros, não meio-inteiros.

Conexão com a teoria da representação

Começando com um certo estado quântico , considere o conjunto de estados para todos os possíveis e , ou seja, o conjunto de estados que surgem da rotação do estado inicial de todas as maneiras possíveis. A extensão linear desse conjunto é um espaço vetorial e, portanto, a maneira pela qual os operadores de rotação mapeiam um estado para outro é uma representação do grupo de operadores de rotação. ${\ displaystyle | \ psi _ {0} \ rangle}$${\ displaystyle R \ left ({\ hat {n}}, \ phi \ right) \ left | \ psi _ {0} \ right \ rangle}$${\ displaystyle {\ hat {n}}}$${\ displaystyle \ phi}$

Quando os operadores de rotação atuam em estados quânticos, ele forma uma representação do grupo de Lie SU (2) (para R e R _interno ), ou SO (3) (para R _espacial ).

A partir da relação entre J e operadores de rotação,

Quando os operadores de momento angular atuam em estados quânticos, ele forma uma representação da álgebra de Lie ou .${\ displaystyle {\ mathfrak {su}} (2)}$${\ displaystyle {\ mathfrak {so}} (3)}$

(As álgebras de Lie de SU (2) e SO (3) são idênticas.)

A derivação do operador escada acima é um método para classificar as representações da álgebra de Lie SU (2).

Conexão com as relações de comutação

As rotações clássicas não comutam entre si: por exemplo, girar 1 ° sobre o eixo x e, em seguida, 1 ° sobre o eixo y dá uma rotação geral ligeiramente diferente do que girar 1 ° sobre o eixo y e então 1 ° sobre x - eixo. Analisando cuidadosamente essa não comutatividade, as relações de comutação dos operadores de momento angular podem ser derivadas.

(Este mesmo procedimento de cálculo é uma maneira de responder à questão matemática "Qual é a álgebra de Lie dos grupos de Lie SO (3) ou SU (2) ?")

Conservação de momento angular

O hamiltoniano H representa a energia e a dinâmica do sistema. Em uma situação esfericamente simétrica, o hamiltoniano é invariante sob rotações:

${\ displaystyle RHR ^ {- 1} = H}$

onde R é um operador de rotação . Como consequência, e em seguida, devido à relação entre J e R . Pelo teorema de Ehrenfest , segue-se que J é conservado. ${\ displaystyle [H, R] = 0}$${\ displaystyle [H, \ mathbf {J}] = \ mathbf {0}}$

Para resumir, se H é rotacionalmente invariante (esfericamente simétrico), então o momento angular total J é conservado. Este é um exemplo do teorema de Noether .

Se H é apenas o hamiltoniano para uma partícula, o momento angular total dessa partícula é conservado quando a partícula está em um potencial central (isto é, quando a função de energia potencial depende apenas de ). Alternativamente, H pode ser o hamiltoniano de todas as partículas e campos no universo, e então H é sempre invariante rotacionalmente, já que as leis fundamentais da física do universo são as mesmas, independentemente da orientação. Esta é a base para dizer que a conservação do momento angular é um princípio geral da física. ${\ displaystyle \ left | \ mathbf {r} \ right |}$

Para uma partícula sem spin, J = L , então o momento angular orbital é conservado nas mesmas circunstâncias. Quando o spin é diferente de zero, a interação spin-órbita permite que o momento angular seja transferido de L para S ou de volta. Portanto, L não é, por si só, conservado.

Acoplamento de momento angular

Freqüentemente, dois ou mais tipos de momento angular interagem entre si, de modo que o momento angular pode ser transferido de um para o outro. Por exemplo, no acoplamento spin-órbita , o momento angular pode ser transferido entre L e S , mas apenas o J = L + S total é conservado. Em outro exemplo, em um átomo com dois elétrons, cada um tem seu próprio momento angular J ₁ e J ₂ , mas apenas o total J = J ₁ + J ₂ é conservado.

Nessas situações, muitas vezes é útil conhecer a relação entre, por um lado, estados onde todos têm valores definidos e, por outro lado, estados onde todos têm valores definidos, já que os quatro últimos geralmente são conservados (constantes de movimento ) O procedimento para ir e voltar entre essas bases é usar coeficientes de Clebsch-Gordan . ${\ displaystyle \ left (J_ {1} \ right) _ {z}, \ left (J_ {1} \ right) ^ {2}, \ left (J_ {2} \ right) _ {z}, \ left (J_ {2} \ right) ^ {2}}$${\ displaystyle \ left (J_ {1} \ right) ^ {2}, \ left (J_ {2} \ right) ^ {2}, J ^ {2}, J_ {z}}$

Um resultado importante neste campo é que uma relação entre os números quânticos para : ${\ displaystyle \ left (J_ {1} \ right) ^ {2}, \ left (J_ {2} \ right) ^ {2}, J ^ {2}}$

${\ displaystyle j \ in \ left \ {\ left | j_ {1} -j_ {2} \ right |, \ left (\ left | j_ {1} -j_ {2} \ right | +1 \ right), \ ldots, \ left (j_ {1} + j_ {2} \ right) \ right \}}$.

Para um átomo ou molécula com J = L + S , o termo símbolo fornece os números quânticos associados aos operadores . ${\ displaystyle L ^ {2}, S ^ {2}, J ^ {2}}$

Momento angular orbital em coordenadas esféricas

Operadores de momento angular geralmente ocorrem ao resolver um problema com simetria esférica em coordenadas esféricas . O momento angular na representação espacial é

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} \ mathbf {L} & = i \ hbar \ left ({\ frac {\ hat {\ boldsymbol {\ theta}}} {\ sin (\ theta)}} {\ frac { \ partial} {\ partial \ phi}} - {\ hat {\ boldsymbol {\ phi}}} {\ frac {\ partial} {\ partial \ theta}} \ right) \\ & = i \ hbar \ left ( {\ hat {\ mathbf {x}}} \ left (\ sin (\ phi) {\ frac {\ partial} {\ partial \ theta}} + \ cot (\ theta) \ cos (\ phi) {\ frac {\ partial} {\ partial \ phi}} \ right) + {\ hat {\ mathbf {y}}} \ left (- \ cos (\ phi) {\ frac {\ partial} {\ partial \ theta}} + \ cot (\ theta) \ sin (\ phi) {\ frac {\ partial} {\ partial \ phi}} \ right) - {\ hat {\ mathbf {z}}} {\ frac {\ partial} { \ parcial \ phi}} \ direita) \\ L _ {+} & = \ hbar e ^ {i \ phi} \ esquerda ({\ frac {\ parcial} {\ parcial \ theta}} + i \ cot (\ theta ) {\ frac {\ partial} {\ partial \ phi}} \ right), \\ L _ {-} & = \ hbar e ^ {- i \ phi} \ left (- {\ frac {\ partial} {\ parcial \ theta}} + i \ cot (\ theta) {\ frac {\ partial} {\ partial \ phi}} \ right), \\ L ^ {2} & = - \ hbar ^ {2} \ left ( {\ frac {1} {\ sin (\ theta)}} {\ frac {\ parcial} {\ parcial \ theta}} \ left (\ sin (\ theta) {\ frac {\ parcial} {\ parcial \ theta }} \ right) + {\ frac {1} {\ sin ^ {2} (\ theta)}} {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial \ phi ^ {2}}} \ right), \\ L_ {z} & = -i \ hbar {\ frac {\ partial} {\ partial \ phi}}. \ end {alinhado}}}$

Em coordenadas esféricas, a parte angular do operador de Laplace pode ser expressa pelo momento angular. Isso leva à relação

${\ displaystyle \ Delta = {\ frac {1} {r ^ {2}}} {\ frac {\ partial} {\ partial r}} \ left (r ^ {2} \, {\ frac {\ partial} {\ partial r}} \ right) - {\ frac {L ^ {2}} {\ hbar ^ {2} r ^ {2}}}.}$

Ao resolver para encontrar estados próprios do operador , obtemos o seguinte ${\ displaystyle L ^ {2}}$

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} L ^ {2} | l, m \ rangle & = \ hbar ^ {2} l (l + 1) | l, m \ rangle \\ L_ {z} | l, m \ rangle & = \ hbar m | l, m \ rangle \ end {alinhado}}}$

Onde

${\ displaystyle \ left \ langle \ theta, \ phi | l, m \ right \ rangle = Y_ {l, m} (\ theta, \ phi)}$

são os harmônicos esféricos .

Veja também

Notas

Referências