Comprimento de onda - Wavelength

O comprimento de onda de uma onda senoidal , λ, pode ser medido entre quaisquer dois pontos com a mesma fase , como entre cristas (na parte superior) ou vales (na parte inferior) ou cruzamentos de zero correspondentes, conforme mostrado.

Na física , o comprimento de onda é o período espacial de uma onda periódica - a distância na qual a forma da onda se repete. É a distância entre pontos correspondentes consecutivos da mesma fase na onda, como duas cristas, vales ou cruzamentos de zero adjacentes , e é uma característica de ondas viajantes e ondas estacionárias , bem como de outros padrões de ondas espaciais. O inverso do comprimento de onda é chamado de frequência espacial . O comprimento de onda é comumente designado pela letra grega lambda (λ). O termo comprimento de onda também é algumas vezes aplicado a ondas moduladas e aos envoltórios sinusoidais de ondas moduladas ou ondas formadas pela interferência de vários sinusóides.

Supondo que uma onda senoidal se mova a uma velocidade de onda fixa, o comprimento de onda é inversamente proporcional à frequência da onda: ondas com frequências mais altas têm comprimentos de onda mais curtos e frequências mais baixas têm comprimentos de onda mais longos.

O comprimento de onda depende do meio (por exemplo, vácuo, ar ou água) por onde uma onda viaja. Exemplos de ondas são ondas sonoras , luz , ondas de água e sinais elétricos periódicos em um condutor . Uma onda sonora é uma variação na pressão do ar , enquanto na luz e em outras radiações eletromagnéticas a intensidade dos campos elétrico e magnético variam. Ondas de água são variações na altura de um corpo d'água. Em uma vibração de rede cristalina , as posições atômicas variam.

A faixa de comprimentos de onda ou frequências para fenômenos de onda é chamada de espectro . O nome se originou com o espectro de luz visível, mas agora pode ser aplicado a todo o espectro eletromagnético , bem como a um espectro de som ou espectro de vibração .

Ondas sinusoidais

Em meios lineares , qualquer padrão de onda pode ser descrito em termos da propagação independente de componentes senoidais. O comprimento de onda λ de uma forma de onda senoidal viajando a velocidade constante v é dado por

onde v é chamado de velocidade de fase (magnitude da velocidade de fase ) da onda e f é a frequência da onda . Em um meio dispersivo , a própria velocidade de fase depende da frequência da onda, tornando a relação entre o comprimento de onda e a frequência não linear.

No caso da radiação eletromagnética - tal como a luz - no espaço livre , a velocidade de fase é a velocidade da luz , cerca de 3 × 10 8  m / s. Assim, o comprimento de onda de uma onda eletromagnética (rádio) de 100 MHz é de cerca de: 3 × 10 8  m / s dividido por 108  Hz = 3 metros. O comprimento de onda da luz visível varia de vermelho escuro , cerca de 700 nm , a violeta , cerca de 400 nm (para outros exemplos, consulte espectro eletromagnético ).

Para ondas sonoras no ar, a velocidade do som é 343 m / s (em temperatura ambiente e pressão atmosférica ). Os comprimentos de onda de frequências sonoras audíveis para o ouvido humano (20  Hz -20 kHz) são, portanto, entre aproximadamente 17  m e 17  milimetros , respectivamente. Freqüências um pouco mais altas são usadas pelos morcegos para que eles possam identificar alvos menores que 17 mm. Os comprimentos de onda do som audível são muito mais longos do que os da luz visível.

As ondas estacionárias sinusoidais em uma caixa que restringe os pontos finais a serem nós terão um número inteiro de meios comprimentos de onda que se ajustam à caixa.
Uma onda estacionária (preta) representada como a soma de duas ondas que se propagam viajando em direções opostas (vermelho e azul)

Ondas estacionárias

Uma onda estacionária é um movimento ondulatório que permanece em um lugar. Uma onda estacionária senoidal inclui pontos estacionários sem movimento, chamados de nós , e o comprimento de onda é o dobro da distância entre os nós.

A figura superior mostra três ondas estacionárias em uma caixa. Considera-se que as paredes da caixa exigem que a onda tenha nós nas paredes da caixa (um exemplo de condições de contorno ) determinando quais comprimentos de onda são permitidos. Por exemplo, para uma onda eletromagnética, se a caixa tiver paredes de metal ideais, a condição para nós nas paredes ocorre porque as paredes de metal não podem suportar um campo elétrico tangencial, forçando a onda a ter amplitude zero na parede.

A onda estacionária pode ser vista como a soma de duas ondas sinusoidais viajando de velocidades opostas dirigidas. Conseqüentemente, o comprimento de onda, o período e a velocidade da onda estão relacionados exatamente como para uma onda viajante. Por exemplo, a velocidade da luz pode ser determinada a partir da observação de ondas estacionárias em uma caixa de metal contendo um vácuo ideal.

Representação matemática

Ondas sinusoidais viajando são frequentemente representadas matematicamente em termos de sua velocidade v (na direção x), frequência f e comprimento de onda λ como:

onde y é o valor da onda em qualquer posição xe tempo t , e A é a amplitude da onda. Eles também são comumente expressos em termos de número de onda k (2π vezes o recíproco do comprimento de onda) e frequência angular ω (2π vezes a frequência) como:

em que o comprimento de onda e o número de onda estão relacionados à velocidade e frequência como:

ou

Na segunda forma dada acima, a fase ( kx - ωt ) é frequentemente generalizada para ( kr - ωt ) , substituindo o número de onda k por um vetor de onda que especifica a direção e o número de onda de uma onda plana no espaço 3 , parametrizado pelo vetor posição r . Nesse caso, o número de onda k , a magnitude de k , ainda está na mesma relação com o comprimento de onda como mostrado acima, com v sendo interpretado como velocidade escalar na direção do vetor de onda. A primeira forma, usando comprimento de onda recíproco na fase, não generaliza tão facilmente para uma onda em uma direção arbitrária.

Generalizações para sinusóides de outras fases e para exponenciais complexos também são comuns; veja onda plana . A convenção típica de usar a fase cosseno em vez da fase seno ao descrever uma onda é baseada no fato de que o cosseno é a parte real do exponencial complexo na onda

Mídia geral

O comprimento de onda é diminuído em um meio com propagação mais lenta.
Refração: ao entrar em um meio onde sua velocidade é menor, a onda muda de direção.
Separação de cores por um prisma (clique para ver a animação)

A velocidade de uma onda depende do meio em que ela se propaga. Em particular, a velocidade da luz em um meio é menor do que no vácuo , o que significa que a mesma frequência corresponderá a um comprimento de onda mais curto no meio do que no vácuo, como mostrado na figura à direita.

Essa mudança na velocidade ao entrar em um meio causa refração , ou uma mudança na direção das ondas que encontram a interface entre os meios em um ângulo. Para ondas eletromagnéticas , essa mudança no ângulo de propagação é governada pela lei de Snell .

A velocidade da onda em um meio não só pode diferir daquela em outro, mas a velocidade normalmente varia com o comprimento de onda. Como resultado, a mudança de direção ao entrar em um meio diferente muda com o comprimento de onda da onda.

Para ondas eletromagnéticas, a velocidade em um meio é governada por seu índice de refração de acordo com

em que c é a velocidade da luz no vácuo e n0 ) é o índice de refracção do meio em comprimento de onda λ 0 , em que a última é medida em vácuo, em vez de no meio. O comprimento de onda correspondente no meio é

Quando comprimentos de onda de radiação eletromagnética são citados, o comprimento de onda no vácuo geralmente é pretendido, a menos que o comprimento de onda seja especificamente identificado como o comprimento de onda em algum outro meio. Na acústica, onde um meio é essencial para a existência das ondas, o valor do comprimento de onda é dado para um meio especificado.

A variação da velocidade da luz com o comprimento de onda é conhecida como dispersão e também é responsável pelo fenômeno familiar em que a luz é separada em cores componentes por um prisma . A separação ocorre quando o índice de refração dentro do prisma varia com o comprimento de onda, então diferentes comprimentos de onda se propagam em diferentes velocidades dentro do prisma, fazendo com que eles refratem em diferentes ângulos. A relação matemática que descreve como a velocidade da luz em um meio varia com o comprimento de onda é conhecida como relação de dispersão .

Meios não uniformes

Vários comprimentos de onda locais em uma base de crista a crista em uma onda do oceano se aproximando da costa

O comprimento de onda pode ser um conceito útil, mesmo se a onda não for periódica no espaço. Por exemplo, em uma onda do oceano se aproximando da costa, mostrada na figura, a onda de entrada ondula com um comprimento de onda local variável que depende em parte da profundidade do fundo do mar em comparação com a altura da onda. A análise da onda pode ser baseada na comparação do comprimento de onda local com a profundidade da água local.

Uma onda sinusoidal viajando em um meio não uniforme, com perda

Ondas que são sinusoidais no tempo, mas se propagam através de um meio cujas propriedades variam com a posição (um meio não homogêneo ) podem se propagar a uma velocidade que varia com a posição e, como resultado, podem não ser sinusoidais no espaço. A figura à direita mostra um exemplo. À medida que a onda diminui, o comprimento de onda fica mais curto e a amplitude aumenta; após um local de resposta máxima, o comprimento de onda curto é associado a uma grande perda e a onda morre.

A análise das equações diferenciais de tais sistemas é frequentemente feita de forma aproximada, usando o método WKB (também conhecido como método de Liouville-Green ). O método integra fase através do espaço usando um número de onda local , que pode ser interpretado como indicando um "comprimento de onda local" da solução em função do tempo e do espaço. Este método trata o sistema localmente como se fosse uniforme com as propriedades locais; em particular, a velocidade de onda local associada a uma frequência é a única coisa necessária para estimar o número de onda local correspondente ou comprimento de onda. Além disso, o método calcula uma amplitude de mudança lenta para satisfazer outras restrições das equações ou do sistema físico, como para a conservação de energia na onda.

Cristais

Uma onda em uma linha de átomos pode ser interpretada de acordo com uma variedade de comprimentos de onda.

As ondas em sólidos cristalinos não são contínuas, porque são compostas de vibrações de partículas discretas dispostas em uma rede regular. Isso produz aliasing porque a mesma vibração pode ser considerada como tendo uma variedade de comprimentos de onda diferentes, conforme mostrado na figura. As descrições que usam mais de um desses comprimentos de onda são redundantes; é convencional escolher o comprimento de onda mais longo que se adapta ao fenômeno. A faixa de comprimentos de onda suficientes para fornecer uma descrição de todas as ondas possíveis em um meio cristalino corresponde aos vetores de onda confinados à zona de Brillouin .

Esta indeterminação no comprimento de onda em sólidos é importante na análise de fenômenos de onda, como bandas de energia e vibrações de rede . É matematicamente equivalente ao aliasing de um sinal que é amostrado em intervalos discretos.

Formas de onda mais gerais

Ondas quase periódicas em águas rasas

O conceito de comprimento de onda é mais frequentemente aplicado a ondas sinusoidais, ou quase sinusoidais, porque em um sistema linear o sinusoidal é a forma única que se propaga sem mudança de forma - apenas uma mudança de fase e potencialmente uma mudança de amplitude. O comprimento de onda (ou alternativamente número de onda ou vetor de onda ) é uma caracterização da onda no espaço, que está funcionalmente relacionada à sua frequência, conforme restringido pela física do sistema. Os sinusóides são as soluções de ondas viajantes mais simples e soluções mais complexas podem ser construídas por sobreposição .

No caso especial de meios livres de dispersão e uniformes, outras ondas além dos sinusóides se propagam com forma imutável e velocidade constante. Em certas circunstâncias, ondas de forma imutável também podem ocorrer em meios não lineares; por exemplo, a figura mostra as ondas do oceano em águas rasas que têm cristas mais nítidas e vales mais planos do que os de uma sinusóide, típica de uma onda cnoidal , uma onda progressiva assim chamada porque é descrita pela função elíptica de Jacobi de ordem m , geralmente denotado como cn ( x ; m ) . Ondas oceânicas de grande amplitude com certas formas podem se propagar inalteradas, devido às propriedades do meio não linear das ondas superficiais.

Comprimento de onda de uma forma de onda periódica, mas não senoidal.

Se uma onda viajante tem uma forma fixa que se repete no espaço ou no tempo, é uma onda periódica . Essas ondas às vezes são consideradas como tendo um comprimento de onda, embora não sejam sinusoidais. Conforme mostrado na figura, o comprimento de onda é medido entre pontos correspondentes consecutivos na forma de onda.

Pacotes de ondas

Um pacote de ondas de propagação

Pacotes de ondas localizados , "rajadas" de ação das ondas em que cada pacote de ondas viaja como uma unidade, encontram aplicação em muitos campos da física. Um pacote de ondas tem um envelope que descreve a amplitude geral da onda; dentro do envelope, a distância entre picos ou depressões adjacentes é às vezes chamada de comprimento de onda local . Um exemplo é mostrado na figura. Em geral, o envelope do pacote de ondas se move a uma velocidade diferente das ondas constituintes.

Usando a análise de Fourier , os pacotes de ondas podem ser analisados ​​em somas infinitas (ou integrais) de ondas senoidais de diferentes números de onda ou comprimentos de onda.

Louis de Broglie postulou que todas as partículas com um valor específico de momento p têm um comprimento de onda λ = h / p , onde h é a constante de Planck . Essa hipótese estava na base da mecânica quântica . Hoje em dia, esse comprimento de onda é chamado de comprimento de onda de de Broglie . Por exemplo, os elétrons em um monitor CRT têm um comprimento de onda De Broglie de cerca de 10 −13 m. Para evitar que a função de onda de tal partícula se espalhe por todo o espaço, de Broglie propôs o uso de pacotes de ondas para representar partículas localizadas no espaço. A propagação espacial do pacote de ondas e a propagação dos números de onda dos sinusóides que compõem o pacote correspondem às incertezas na posição e no momento da partícula, cujo produto é limitado pelo princípio da incerteza de Heisenberg .

Interferência e difração

Interferência de dupla fenda

Padrão de intensidade de luz em uma tela para luz que passa por duas fendas. Os rótulos à direita referem-se à diferença dos comprimentos do caminho das duas fendas, que são idealizadas aqui como fontes pontuais.

Quando as formas de onda senoidais se adicionam, elas podem se reforçar (interferência construtiva) ou se cancelar (interferência destrutiva) dependendo de sua fase relativa. Este fenômeno é usado no interferômetro . Um exemplo simples é um experimento devido a Young, onde a luz é passada por duas fendas . Conforme mostrado na figura, a luz passa por duas fendas e brilha em uma tela. O caminho da luz para uma posição na tela é diferente para as duas fendas e depende do ângulo θ que o caminho faz com a tela. Se supormos que a tela está longe o suficiente das fendas (ou seja, s é grande em comparação com a separação da fenda d ), os caminhos são quase paralelos e a diferença de caminho é simplesmente d sen θ. Consequentemente, a condição para interferência construtiva é:

onde m é um número inteiro e para interferência destrutiva é:

Assim, se o comprimento de onda da luz for conhecido, a separação da fenda pode ser determinada a partir do padrão de interferência ou franjas e vice-versa .

Para múltiplas fendas, o padrão é

onde q é o número de fendas e g é a constante de grade. O primeiro fator, I 1 , é o resultado de fenda única, que modula o segundo fator de variação mais rápida que depende do número de fendas e de seu espaçamento. Na figura 11 , 1 foi definido como unidade, uma aproximação muito grosseira.

O efeito da interferência é redistribuir a luz, para que a energia contida na luz não seja alterada, apenas onde ela aparece.

Difração de fenda única

O padrão de difração de uma fenda dupla tem um envelope de fenda única .

A noção de diferença de caminho e interferência construtiva ou destrutiva usada acima para o experimento de fenda dupla também se aplica à exibição de uma única fenda de luz interceptada em uma tela. O principal resultado dessa interferência é espalhar a luz da fenda estreita em uma imagem mais ampla na tela. Esta distribuição da energia das ondas é chamada de difração .

Dois tipos de difração são distinguidos, dependendo da separação entre a fonte e a tela: difração de Fraunhofer ou difração de campo distante em grandes separações e difração de Fresnel ou difração de campo próximo em separações próximas.

Na análise da fenda única, a largura diferente de zero da fenda é levada em consideração, e cada ponto na abertura é tomado como a fonte de uma contribuição para o feixe de luz ( wavelets de Huygens ). Na tela, a luz que chega de cada posição dentro da fenda tem um comprimento de caminho diferente, embora possivelmente uma diferença muito pequena. Consequentemente, ocorre interferência.

No padrão de difração de Fraunhofer suficientemente longe de uma única fenda, dentro de uma aproximação de pequeno ângulo , a propagação de intensidade S está relacionada à posição x por meio de uma função sinc ao quadrado :

 com 

onde L é a largura da fenda, R é a distância do padrão (na tela) da fenda e λ é o comprimento de onda da luz usada. A função S tem zeros onde u é um inteiro diferente de zero, onde estão os valores x em uma proporção de separação para o comprimento de onda.

Resolução limitada por difração

A difração é a limitação fundamental no poder de resolução de instrumentos ópticos, como telescópios (incluindo radiotelescópios ) e microscópios . Para uma abertura circular, o ponto da imagem limitada por difração é conhecido como disco de Airy ; a distância x na fórmula de difração de fenda única é substituída pela distância radial r e o seno é substituído por 2 J 1 , onde J 1 é uma função de Bessel de primeira ordem .

O tamanho espacial resolvível de objetos vistos através de um microscópio é limitado de acordo com o critério de Rayleigh , o raio do primeiro nulo do disco de Airy, a um tamanho proporcional ao comprimento de onda da luz usada e dependendo da abertura numérica :

onde a abertura numérica é definida como sendo θ o meio-ângulo do cone de raios aceito pela objetiva do microscópio .

O tamanho angular da porção central brilhante (raio ao primeiro nulo do disco de Airy ) da imagem difratada por uma abertura circular, uma medida mais comumente usada para telescópios e câmeras, é:

onde λ é o comprimento de onda das ondas que são focadas para a imagem, D o diâmetro da pupila de entrada do sistema de imagem, nas mesmas unidades, e a resolução angular δ está em radianos.

Tal como acontece com outros padrões de difração, o padrão é dimensionado em proporção ao comprimento de onda, portanto, comprimentos de onda mais curtos podem levar a uma resolução mais alta.

Comprimento de onda

O termo comprimento de onda é usado para descrever um objeto que tem uma ou mais dimensões menores do que o comprimento da onda com a qual o objeto interage. Por exemplo, o termo fibra óptica de diâmetro de comprimento de onda significa uma fibra óptica cujo diâmetro é menor que o comprimento de onda da luz que se propaga através dela.

Uma partícula de comprimento de onda é uma partícula menor do que o comprimento de onda da luz com a qual interage (veja o espalhamento de Rayleigh ). As aberturas de comprimento de onda são orifícios menores do que o comprimento de onda da luz que se propaga através delas. Tais estruturas têm aplicações em transmissão ótica extraordinária e guias de onda em modo zero , entre outras áreas da fotônica .

Comprimento de sub-onda também pode se referir a um fenômeno envolvendo objetos de sub-comprimento de onda; por exemplo, imagens de sub comprimento de onda .

Comprimento de onda angular

Relação entre comprimento de onda, comprimento de onda angular e outras propriedades de onda.

Uma quantidade relacionada ao comprimento de onda é o comprimento de onda angular (também conhecido como comprimento de onda reduzido ), geralmente simbolizado por ƛ (barra lambda). É igual ao comprimento de onda "regular" "reduzido" por um fator de 2π ( ƛ = λ / 2π). É geralmente encontrado na mecânica quântica, onde é usado em combinação com a constante de Planck reduzida (símbolo ħ , h-bar) e a frequência angular (símbolo ω ) ou número de onda angular (símbolo k ).

Veja também

Referências

links externos